2019届二轮复习解三角形学案（全国通用）

2019届二轮复习   解三角形  学案 （全国通用）

【高考地位】

正余弦定理是三角函数中有关三角知识的继续与发展，进一步揭示了任意三角形的边与角之间的关系，其边角转换功能在求解三角形及判断三角形形状时有着重要应用. 在高考各种题型均有出现如选择题、填空题和解答题，其试题难度属中档题.

【方法点评】

类型一  判断三角形的形状

使用情景：已知边与三角函数之间的等式关系

解题模板：第一步   运用正弦定理或余弦定理将已知等式全部转化为都是角或都是边的等式；

第二步   利用三角函数的图像及其性质或者边与边之间的等式关系得出所求的三角形的形状；

第三步   得出结论.

例1在中，已知，那么一定是（   ）

A．等腰三角形                     B．直角三角形

C．等腰三角形或直角三角形         D．等腰直角三角形

【答案】A

考点：正弦定理．

【点评】解决这类问题的方法通常有两种思路：一是将等式两边的边运用正弦定理全部转化为正弦角的形式，使得式子只有三角形式；二是运用余弦定理将右边的化为边的形式，使得等式只有边与边之间的等式关系.

【变式演练1】在中，角所对的边分别为，若，则为．

A．钝角三角形       B．直角三角形        C．锐角三角形        D．等边三角形

【答案】A

【解析】

试题分析：根据 定理：,那么,根据,所以,所以,整理为： ,三角形中,所以,那么．

考点：1．正弦定理；2．解斜三角形．

【变式演练2】在中，内角，，所对的边分别为，，，若，且，，成等比数列，则一定是（   ）

A．不等边三角形    B．钝角三角形    C．等腰直角三角形    D．等边三角形

【答案】D

考点：1．等比数列；2．解三角形．

类型二  解三角形中的边和角

使用情景：三角形中

解题模板：第一步   直接运用正弦或余弦定理通常使用的条件判断是运用正弦定理还是余弦定理；

第二步   利用相应的正弦、余弦定理的计算公式即可得出所求的结论.

例2、 设的内角， ， 所对的边长分别为， ， ，若， ， ，则（   ）

A.     B.     C.     D. 或

【答案】C

【解析】第一步，直接运用正弦或余弦定理通常使用的条件判断是运用正弦定理还是余弦定理：

根据正弦定理 ，得

第二步，利用相应的正弦、余弦定理的计算公式即可得出所求的结论：

，则为锐角，则 ，选C.  

考点：正弦定理.

【点评】正弦定理主要解决两类三角问题：其一是已知二边及其一边的对角求其中一角的情况；其二是已知一边及其一对角求另一边的情况.

【变式演练3】已知△中，，，，若三角形有两解，则的取值范围是（   ）

A．                                      B．

C.                                 D．

【答案】C

【解析】

考点：三角形解的个数的判定.

【变式演练4】在中，角的对边为，若，则角为（   ）

A．             B．          C．            D．

【答案】A

【解析】

试题分析：因为，由余弦定理，可得，又，所以，故选A．

考点：余弦定理．

【变式演练5】在中，，则（   ）

A．         B．       C.         D．

【答案】D

【解析】

考点：正弦定理与余弦定理.

类型三  解决与面积有关问题

使用情景：三角形中

解题模板：第一步   主要利用正、余弦定理求出三角形的基本元素如角与边；

第二步   结合三角形的面积公式直接计算其面积.

例3  在中，内角的对边分别为，且，若，则的面积为            ．

【答案】

【解析】第一步，主要利用正、余弦定理求出三角形的基本元素如角与边：

由正弦定理，知，即，

所以，所以，所以．

因为，所以，又，所以，

第二步，结合三角形的面积公式直接计算其面积：

所以．

考点：正弦定理．

【方法点睛】解三角形问题，多为边和角的求值问题，其基本步骤是：（1）确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向；（2）根据条件和所求合理选择正弦定理与余弦定理，使边化角或角化边；（3）求解．

【变式演练6】在△中，，，分别为角，，的对边，如果，，成等差数列，，△的面积为,则b为（   ）

A．                 B．                

C．                D．

【答案】B

【解析】

考点：1.余弦定理；2.面积公式.

【变式演练7】顶点在单位圆上的中，角所对的边分别为．若，，则     ．

【答案】

【解析】

试题分析：由题意和正弦定理可得a=2rsinA=，（r为△ABC外接圆半径1），

∵sinA=，∴cosA=±，由余弦定理可得a2=b2+c2-2bccosA，

代入数据可得3=4±bc，解得bc=2，

∴S△ABC=bcsinA=

考点：余弦定理；正弦定理

【变式演练8】在中，角、、所对的边分别为、、，已知．

（1）求及的面积；

（2）求．

【答案】（1）；（2）．

【高考再现】

1.【2017全国I卷文，11】△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c．已知，a=2，c=，则C=

A．    B．   C．   D．

【答案】B

【解析】

试题分析：由题意得

，

即，所以．

由正弦定理得，即，得，故选B．

【考点】解三角形

【名师点睛】在解有关三角形的题目时，要有意识地考虑用哪个定理更合适，或是两个定理都要用，要抓住能够利用某个定理的信息．一般地，如果式子中含有角的余弦或边的二次式时，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．

2.【2017山东，理9】在中，角，，的对边分别为，，．若为锐角三角形，且满足，则下列等式成立的是

（A）              （B）                 （C）                   （D）

【答案】A

【考点】1.三角函数的和差角公式2.正弦定理.

【名师点睛】本题较为容易，关键是要利用两角和差的三角函数公式进行恒等变形. 首先用两角和的正弦公式转化为含有，，的式子，用正弦定理将角转化为边，得到.解答三角形中的问题时，三角形内角和定理是经常用到的一个隐含条件，不容忽视.  

3. 【2018年全国卷Ⅲ理数高考试题】的内角的对边分别为， 若的面积为，则

A．     B．     C．     D．

【答案】C

【解析】分析：利用面积公式和余弦定理进行计算可得。

详解：由题可知

所以

由余弦定理

所以

故选C.

点睛：本题主要考查解三角形，考查了三角形的面积公式和余弦定理。

4.【2018年全国卷Ⅲ理数高考试题】设,是双曲线（）的左、右焦点，是坐标原点．过作的一条渐近线的垂线，垂足为．若，则的离心率为

A．     B．     C．     D．

【答案】B

【解析】

分析：由双曲线性质得到，然后在和在中利用余弦定理可得。

点睛：本题主要考查双曲线的相关知识，考查了双曲线的离心率和余弦定理的应用，属于中档题。

5.【2018年全国卷II】在中，,BC=1,AC=5，则AB=

A．     B．     C．     D．

【答案】A

【解析】

分析：先根据二倍角余弦公式求cosC,再根据余弦定理求AB.

详解：因为

所以，选A.

点睛：解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.

6.【2018年江苏卷】在中，角所对的边分别为，，的平分线交于点D，且，则的最小值为        ．

【答案】9

【解析】分析：先根据三角形面积公式得条件、再利用基本不等式求最值.

点睛：在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.

7.【2018年浙江卷】在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若，b=2，A=60°，则sin B=           ，c=           ．

【答案】3

【解析】  

分析:根据正弦定理得sinB,根据余弦定理解出c.

详解：由正弦定理得,所以

由余弦定理得（负值舍去）.

点睛：解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化为边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.

8.【2018年北京卷】若的面积为,且∠C为钝角，则∠B=         ；的取值范围是         .

【答案】

【解析】

【分析】

根据题干结合三角形面积公式及余弦定理可得，可求得；再利用，将问题转化为求函数的取值范围问题.  

【详解】

【点睛】

此题考查解三角形的综合应用，能够根据题干给出的信息选用合适的余弦定理公式是解题的第一个关键；根据三角形内角的隐含条件，结合诱导公式及正弦定理，将问题转化为求解含的表达式的最值问题是解题的第二个关键.

9.【2018年新课标I卷】△的内角的对边分别为，已知，，则△的面积为        ．

【答案】.

【解析】

【分析】

首先利用正弦定理将题中的式子化为，化简求得，利用余弦定理，结合题中的条件，可以得到，可以断定A为锐角，从而求得，进一步求得，利用三角形面积公式求得结果.

【详解】

【点睛】

本题主要考查余弦定理及正弦定理的应用，属于中档题.对余弦定理一定要熟记两种形式：（1）；（2），同时还要熟练掌握运用两种形式的条件.另外，在解与三角形、三角函数有关的问题时，还需要记住等特殊角的三角函数值，以便在解题中直接应用.

10．【2018年天津卷】在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知.

（I）求角B的大小；

（II）设a=2，c=3，求b和的值.

【答案】(Ⅰ)；(Ⅱ) .

【解析】

分析：（1）由题意结合正弦定理边化角结合同角三角函数基本关系可得，则 ．

（2）在中，由余弦定理可得 ．结合二倍角公式和两角差的正弦公式可得

详解：（1）在△ABC中，由正弦定理，可得，又由，得，即，可得．又因为，可得B=．学 .

（2）在△ABC中，由余弦定理及a=2，c=3，B=，有，故b=．

由，可得．因为a<c，故．因此， 所以，

点睛：在处理三角形中的边角关系时，一般全部化为角的关系，或全部化为边的关系．题中若出现边的一次式一般采用到正弦定理，出现边的二次式一般采用到余弦定理．应用正、余弦定理时，注意公式变式的应用．解决三角形问题时，注意角的限制范围．

11．【2018年北京卷】在△ABC中，a=7，b=8，cosB= –．

（Ⅰ）求∠A；

（Ⅱ）求AC边上的高．

【答案】(1) ∠A=  (2) AC边上的高为

【解析】

分析：（1）先根据平方关系求,再根据正弦定理求，即得；（2）根据三角形面积公式两种表示形式列方程，再利用诱导公式以及两角和正弦公式求，解得边上的高．

（2）在△ABC中，∵sinC=sin（A+B）=sinAcosB+sinBcosA==．

如图所示，在△ABC中，∵sinC=，∴h==，∴AC边上的高为．

点睛：解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.

12．【2018年新课标I卷】在平面四边形中，，，，.

（1）求；

（2）若，求.

【答案】（1）；（2）5

【解析】

分析：(1)根据正弦定理可以得到，根据题设条件，求得，结合角的范围，利用同角三角函数关系式，求得；

(2)根据题设条件以及第一问的结论可以求得，之后在中，用余弦定理得到所满足的关系，从而求得结果.

点睛：该题考查的是有关解三角形的问题，涉及到的知识点有正弦定理、同角三角函数关系式、诱导公式以及余弦定理，在解题的过程中，需要时刻关注题的条件，以及开方时对于正负号的取舍要从题的条件中寻找角的范围所满足的关系，从而正确求得结果.

【反馈练习】

1．【河北省石家庄市2018届高三下学期一模考试数学试题】

在中， ， ，则的最大值为（   ）

A．     B．     C．     D．

【答案】D

【解析】有正弦定理可得，  学  ]

故当时， 的最大值为.

故选D.  

2．【吉林省四平市2018届高三质量检测数学试题】在中，已知分别为角的对边且若且，则的周长等于(    )

A．     B． 12    C．     D．

【答案】A

3．【贵州省黔东南州2018届高三下学期第二次模拟考试数学试题】

在中，内角所对的边分别为,已知，且，则面积的最大值为

A．     B．     C．     D．

【答案】B

【解析】由已知有， ，由于，

又，则，

当且仅当时等号成立.故选B.

4．【山东省枣庄市2018届高三第二次模拟考试数学试题】

已知的内角， ， 的对边分别为， ， ，若 ，则（   ）

A．     B．     C．     D．

【答案】B

5．【山西省2018届高三第一次模拟考试数学试题】在中，点为边上一点，若， ， ， ，则的面积是（   ）

A．     B．     C．     D．

【答案】C

【解析】,且,在中,有余弦定理,有,解得,在中,可得.则.选C. 学 /

6．【河南安阳2018届高三第二次模拟考试数学试题】已知在中，角， ， 所对的边分别为， ， ， ，点在线段上，且.若，则（    ）

A．     B．     C．     D．

【答案】B

7．【四川省凉山州2018届高中毕业班第二次诊断性检测 数学】在中， ， ， 为角， ， 所对的边，若，则角的值为（    ）

A．     B．     C． 或    D． 或

【答案】C

【解析】由题意得，在中，

根据余弦定理，

有意义， ，

是的内角，

或

故选

8．【广东省肇庆市2018届高三第三次模拟数学】已知的角对边分别为，若，且的面积为，则的最小值为        .

【答案】

9．【2018年普通高等学校招生全国统一考试模拟试题（衡水金卷调研卷）文数五】我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》卷五“田域类”里有一个题目：“问有沙田一段，有三斜，其小斜一十三里，中斜一十四里，大斜一十五里.里法三百步.欲知为田几何.”这道题讲的是有一个三角形沙田，三边分别为里， 里， 里，假设里按米计算，则该三角形沙田外接圆的半径为           米.

【答案】

【解析】

由题意画出图象，如上图所示，且里=6500米， 里=7000米， 里=7500米，在中，由余弦定理有，B为锐角， ，设外接圆半径为，则由正弦定理有, 米。

点睛：本题主要考查正弦定理和余弦定理的应用，属于中档题。本题关键是阅读理解，在题目中找出对解答本题有用的信息来。

10．【上海市普陀区2018届高三下学期质量调研（二模）数学试题】在锐角三角形中，角、、的对边分别为、、，若，则角的大小为        .

【答案】

【解析】由，两边同除以得，由余弦定理可得 是锐角， ，故答案为.

11．【衡水金卷2018年普通高等学校招生全国统一考试 分 综合卷 理 数学（二）模拟试题】中，角的对边分别为，当最大时，           ．

【答案】

12．【山东省济南市2018届高三上学期期末考试数学（理）试题】已知的内角的对边分别为，若， ， ，则的面积为          ．

【答案】

【解析】，由正弦定理可得 ，由余弦定理可得， ，与，联立解得， ， ，则的面积，故答案为.

13．【贵州省凯里市第一中学2018届高三下学期《黄金卷》第二套模拟考试数学（理）试题】已知在中，角、、的对边分别是、、， ， ，且.  ]

（Ⅰ）求角；

（Ⅱ）若，求周长的最大值.

【答案】(Ⅰ) ；(Ⅱ)9.

【解析】试题分析： 由可得，再根据正弦定理可得的值，根据的取值范围，即可求出答案

根据余弦定理可求得，化简即可求得，当且仅当时取等号，求得周长的最大值

（Ⅱ）由余弦定理可得：

即∴∴  ∴，

当且仅当时取等号，∴周长的最大值为6+3=9

14．【北京市朝阳区2018年高三一模数学（文）试题】在中,已知, .

（Ⅰ）若,求的面积;

（Ⅱ）若为锐角,求的值.  ]

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.

【解析】试题分析：（Ⅰ）由,根据正弦定理可得, ,

因为,所以,所以,由三角形面积公式可得结果；（Ⅱ）由（Ⅰ）知,因为为锐角,所以.

所以，将所需三角函数值代入即可得结果.

（Ⅱ）由（Ⅰ）知,因为为锐角,所以.

所以

.学 .

15．【百校联盟2018届TOP20三月联考（全国II卷）理数试题】已知在锐角中， ， ， 分别是角， ， 的对边，点在边上，且， ， .

（1）求；

（2）求周长的最大值.

【答案】（1）；（2）

【解析】试题分析：（1）根据正弦定理， ，可得解；

（2）由余弦定理，得，

得，

即可解得最大值，进而得周长最大值.

（2）由余弦定理，得，

所以，

∴，当且仅当时，等号成立.

故.所以周长的最大值为.