河北辛集中学2019届高三模拟考试（四）数学（文）试卷

文科数学试题 一、单选题1．已知集合2，，，则　　A． B． C． D．2．复数的共轭复数是（     ）A．    B．    C．    D．3．已知数列满足．若，且，则（    ）.A． B． C． D．4．某班级在一次数学竞赛中为全班学生设置了一等奖、二等奖、三等奖以及参与奖，各个奖品的单价分别为：一等奖元、二等奖元、三等奖元、参与奖元，获奖人数的分配情况如图，则以下说法不正确的是（    ）.A．获得参与奖的人数最多     B．各个奖项中参与奖的总费用最高C．购买每件奖品费用的平均数为元     D．购买的三等奖的奖品件数是一、二等奖的奖品件数和的二倍5．分别是双曲线的左、右焦点， 为双曲线右支上一点，且，则（    ）A．4    B．3    C．    D．26．某几何体的三视图如图所示，图中三个正方形的边长均为，则该几何体的体积为（    ）.A． B． C． D．7．相传黄帝时代，在制定乐律时，用“三分损益”的方法得到不同的竹管，吹出不同的音调。“三分损益”包含“三分损一”和“三分益一”，用现代数学的方法解释如下，“三分损一”是在原来的长度减去一分，即变为原来的三分之二；“三分益一”是在原来的长度增加一分，即变为原来的三分之四，如图的程序是与“三分损益”结合的计算过程，若输入的的值为，输出的的值为（    ）.A． B． C． D．8．已知由射线逆时针旋转到射线≤0)的位置，两条射线所成的角为，则（    ）.A． B． C． D．9．已知实数满足不等式组，则的最大值为（  ）A．0    B．3    C．9    D．1110．已知数列的前项和为，将该数列按下列格式（第行有个数）排成一个数阵，则该数阵第行从左向右第个数字为（    ）.A． B． C． D．11．已知（其中，的最小值为，将的图像向左平移个单位得，则的单调递减区间是（    ）A． B．C． D．12．已知函数则函数的零点个数为（    ）.A． B． C． D． 二、填空题13．已知平面向量，之间的夹角为，若，，则__________．14．函数的图象在原点处的切线方程为__________．15．已知直线，抛物线，若过点与直线垂直的直线与抛物线交于，两点，则__________．16．已知三棱锥的各顶点都在球面上，,平面,，,若该球的体积为，则三棱锥的表面积为__________．  三、解答题17．已知在中，内角，，的对边分别为，，，边上的高为，．（1）求角的大小；（2）若的周长为，求边的长。18．已知四棱锥中，四边形为梯形，,平面平面，为线段的中点，.（1）证明：平面；（2）若，求点到平面的距离.19．某汽车公司推出了共享汽车“Warmcar”，有一款车型为“众泰云”新能源共享汽车，其中一种租用方式“分时计费”规则为：元/分钟元/公里.已知小李家离上班地点为公里，每天租用该款汽车上、下班各一次，由于堵车及红绿灯等原因每次路上开车花费的时间(分钟）是一个随机变量，现统计了次路上开车花费时间，在各时间段内的频数分布情况如下表所示：时间（分钟）频数 （1）写出小李上班一次租车费用（元）与用车时间(分钟）的函数关系式；（2）根据上面表格估计小李平均每次租车费用；（3）“众秦云”新能源汽车还有一种租用方式为“按月计费”，规则为每个月收取租金元，若小李每个月上班时间平均按天计算，在不计电费的情况下，请你为小李选择一种省钱的租车方式.20．已知椭圆的左顶点为，离心率为，点在椭圆上.（1)求椭圆的方程；（2）若直线与椭圆交于，两点，直线，分别与轴交于点，，求证：在轴上存在点，使得无论非零实数怎样变化，总有为直角，并求出点的坐标.21．已知函数.（1）若，求曲线在点处的切线方程；（2）求函数的极值点个数.22．已知曲线的极坐标方程为，直线的参数方程为（为参数，）.（1）求曲线的直角坐标方程；（2）若直线经过点且与曲线交于，两点，求.23．已知函数.（1）若，求不等式的解集；（2）当时，不等式恒成立，求的取值范围. 
文科数学试题参考答案1．C，，则，选.2．C先把复数的分母实数化，，根据共轭复数的概念易得答案C。3．D由数列满足，根据等差中项公式，可得数列为等差数列，故，即，又，所以，则，故选D.4．B由题意，设全班人数为，由扇形统计图可知，一等奖占，二等奖占，三等奖占，参与奖占.获得参与奖的人数最多，故A正确；各奖项的费用：一等奖，二等奖，三等奖占，参与奖占，可知各个奖项中三等奖的总费用最高，故B错误；平均费用元，故C正确；一等奖奖品数为，二等奖奖品数为，三等奖奖品数为，故D正确.故选B.5．A【解析】由双曲线的定义可知， 本题选择A选项.6．B由题意，根据给定的三视图可知，该几何体是棱长为2的正方体挖出两个圆锥体，如图所示.由图中知圆锥的半径为，高为，该几何体的体积为，故选B.7．B由题意，执行循环结构的程序框图，可得：第1次循环：，不满足判断条件；第2次循环：，不满足判断条件；第3次循环：，满足判断条件，输出结果，故选B．8．A由题意，设的倾斜角为，则，，射线的倾斜角为，，，所以 ，故选A.9．C【解析】的最大值为故选10．B由题意，知，当时，，当，所以，又由数阵知，每一行的项数依次构成的数列，，，，，构成首项为，公比为的等比数列，由等比数列的前项和公式知，该数阵第行从左到右第个数为数列的第项，所以该数为，故选B.11．A∵f（x）＝sin（ωx+θ），其中ω＞0，θ∈（0，），f'（x1）＝f'（x2）＝0，|x2﹣x1|min，∴•T，∴ω＝2，∴f（x）＝sin（2x+θ）．又f（x）＝f（x），∴f（x）的图象的对称轴为x，∴2•θ＝kπ，k∈Z，又，∴θ，f（x）＝sin（2x）．将f（x）的图象向左平移 个单位得G（x）＝sin（2x）＝cos2x 的图象，令2kπ≤2x≤2kπ+π，求得kπ≤x≤kπ，则G（x）＝cos2x 的单调递减区间是[kπ，kπ]，12．B由题意，令，得，令,由，得或，作出函数的图象，如图所示，结合函数的图象可知，有个解，有个解，故的零点个数为，故选B.13．8由题意，平面向量，之间的夹角为，若，，所以．故答案为：8.14．由题意，函数的导数为，则在原点处的切线斜率为，所以在原点处的切线方程为，即为，故答案为：．15．依题意，设直线的方程为，将点代入，解得，故直线，联立，整理得，所以 .故答案为：16．27.如图所示，因为平面，所以，，，因为，，所以平面，所以，设的中点为，则，所以为三棱锥外接球的球心，由题知，解得，所以，在中，,，所以，在中，，在中，，所以三棱锥的表面积为 .故答案为：27.17．（1）；（2）(1)由题意，根据三角形的面积公式，可得，解得，即，又，．(2）由余弦定理可得，即， 又，，则，解得.18．（1）见解析；（2）（1)由题意知，,且，所以四边形是正方形，连接，所以，又因为，，所以四边形是平行四边形，所以，则.因为平面平面，，平面平面，故平面.所以，所以，又因为，则平面.（2），，的面积为，又由（1）知平面，，又在中，，，，由（1）知，的面积为，设点到平面的距离为，则，即.19．(1) （元）(2)元(3) 分时计费解：(1) （元） (2) 平均每次用车时间为：（分钟）平均一次租车费用（元）(3) 租用方式为“分时计费”一个月总费用为元因为<元所以，对小李租车仅用于上下班的情况，采用“分时计费”更省钱．20．（1）；（2）见解析（1)依题意，，所以  ①，又因为点在椭圆上，所以   ②，由①②解得，，所以椭圆方程为.（2）设，，则，不妨令.由可得，解得，，，所以所在直线方程为，所在直线方程为，可得，同理可得，所以，，所以，，所以或，所以存在点且坐标为或．使得无论非零实数怎么变化，总有为直角.21．（1）；（2）见解析（1）依题意，，故，又，故所求切线方程为.（2）依题意.令，则，且当时，当时，，所以函数在单调递减，在单调递增，，当时，恒成立，.函数在区间单调递增，无极值点； 当时，，故存在和，使得，当时，，当时，，当时，，所以函数在单调递减，在和单调递增，所以为函数的极大值点，为函数的极小值点.综上所述，当时，无极值点；当时，有个极值点.22．（1）；（2）8（1)由题意，曲线，可化为，又由，可得曲线的直角坐标方程为.（2）根据条件直线经过两定点和，所以直线的方程为，由，消去并整理得，令点，，则，所以 .23．（1）或；（2）（1）由题意，不等式，可得，可转化为不等式组，解得或，所以不等式的解集为或．（2）因为，所以，所以不等式恒成立，即在上恒成立，所以，即， 又因为在是增函数，所以，所以.