北京市西城区2024-2025学年高二上册10月月考数学学情检测试卷（含答案）

这是一份北京市西城区2024-2025学年高二上册10月月考数学学情检测试卷（含答案），共13页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．已知点，则点关于轴的对称点的坐标为（ ）
A．B．C．D．
2．已知向量，，且，那么（ ）
A．B．C．D．
3．如图，在三棱锥中，是的中点，若，，，则等于（ ）
A．B．
C．D．
4．已知正四棱锥，底面边长是，体积是，那么这个四棱锥的侧棱长为（ ）
A．B．C．D．
5．如图，在三棱锥中，，且，，分别是棱，的中点，则和所成的角等于（ ）
A．B．
C．D．
6．已知是两条不重合的直线，是三个两两不重合的平面，给出下列四个命题, 其中正确的是（ ）
①若，，则；
②若，则；
③若，，，则；
④若是异面直线，，则．
A．①和②B．①和③C．③和④D．①和④
7．在正方体中，直线是底面所在平面内的一条动直线，记直线与直线所成的角为，则的最小值是（ ）
A．B．C．D．
8．如图，在平行六面体中，，,,，则（ ）
A．B．
C．D．
9．如图，在长方体中，为棱的中点，为四边形内（含边界）的一个动点，且，则动点的轨迹长度为（ ）
A．B．
C．D．
10．如图，在直三棱柱中，，点在棱上，点在棱上，下列结论中不正确的是（ ）
A．三棱锥的体积的最大值为
B．点到平面的距离为
C．点到直线的距离的最小值为
D．的最小值为
二、填空题(本大题共5小题，每小题4分，共20分.)
11．已知向量，，若，则 .
12．已知正方体的棱长为，则点到直线的距离为 .
13．如图，的二面角的棱上有，两点，线段，分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于.已知,,,则的长为 .
14．在我国古代数学名著《九章算术》中，四个面都为直角三角形的三棱锥称为鳖臑．已知在鳖臑中，为的中点，则点到平面的距离为 .

第13题图 第14题图
15．如图，在正方体中，点在棱上运动，则下列结论正确的是 ．
①直线平面；
②三棱锥的体积为定值；
③异面直线与所成角的取值范围是；
④直线与平面所成角的正弦值的最大值为.
三、解答题(本大题共4小题，每小题10分，共40分.解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.)
16．如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，,分别为，的中点．
(1)求证：平面；
(2)若,平面,求证：平面.
17．如图，在直三棱柱中，，、分别为、的中点，．
(1)求证：；
(2)求直线与平面所成角的正弦值；
(3)求点到平面的距离.
18．如图，在四棱锥中，底面是边长为的正方形，侧面为等腰直角三角形，且，点为棱上的点，平面与棱交于点.
(1)求证：；
(2)从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择两个作为已知，求平面与平面所成锐二面角的大小.
条件①：；
条件②：平面平面；
条件③.
注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分.
19．在梯形中，，，，为的中点，线段与交于点（如图1）.将△沿折起到△位置，使得（如图2）.

(1)求证：平面平面；
(2)线段上是否存在点，使得与平面所成角的正弦值为?若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
答案
一、选择题
填空题
3 12. 13. 14. 2 15. ①②④
三、解答题
16．
（1）证明：连接，
∵底面是平行四边形，且是的中点，
∴是的中点，
∵E为PC的中点，
∴，
∵平面，平面，
∴平面.
证明：
∵平面,平面,
∴AB⊥PA,
∵PA⊥AD,AB∩AD=A，AB,AD面ABCD,
∴PA⊥面ABCD,
∵EF//PA,
∴EF⊥面ABCD.
（1）证明：
∵三棱柱是直三棱柱，
∴平面，
∵平面，
∴，
又∵，为中点，
∴，
∵，
∴平面，
∵平面，
∴．
（2）
方法1：
解：∵直三棱柱ABC-A1B1C1,
∴,
∵,
∴,
∵，，
∴，
∵，
∴平面．
∵
∴AB⊥BC,
∵，，
∴平面，
连结，即为直线与平面所成角．
∵，
∴，，
.
∴与平面所成角的正弦值为．
方法2：
解：∵直三棱柱ABC-A1B1C1,
∴,
∵,
∴,
∵，，
∴，
∵，
∴平面．
∵
∴BC⊥AB,
如图所示，以B为原点，以BA,BC,BB1所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系B-xyz,
∵A1（2,0,2）C（0,2,0）B（0，0，0），
∴（2，-2,2）（0,2,0），
∵BC⊥面ABB1A1，
∴为平面ABB1A1的一个法向量，
设与平面所成角为θ，
∴，
∴与平面所成角的正弦值为．
（3）解：设A1到平面BEF的距离为d，
∵E（1,1,0），F（0,2,1），A1（2,0,2）,
∴,
设为平面BEF的一个法向量，
∴即,
令x=1,则,
,
因此点A1到平面BEF的距离为.
（1）证明：
∵底面是正方形，
∴，
∵平面，平面,
∴平面，
又∵平面与交于点，平面，平面平面
∴.
（2）选条件①②
解：∵侧面为等腰直角三角形，且
∴，,
∵平面平面，平面平面，平面,
∴平面，
∵为正方形，
∴.
以点为坐标原点，以所在直线分别为轴,轴,轴，建立如图所示空间直角坐标系，
则
∵，
∴,
∴BE=,
∴点为的中点，
∴,
∴，
设平面的一个法向量为：，
则，
令，可得，
设平面的法向量为：，则
，，
令，可得，
所以，
则两平面所成的锐二面角为.
选条件①③
∵侧面为等腰直角三角形，且
∴
∵，
∴平面，
∵平面，
∴.
又∵，
∴平面
∵平面
∴
∵，
∴为等腰三角形，
∴点为的中点
又∵，
∴为等腰直角三角形，
下面同①②
选条件②③
∵侧面为等腰直角三角形，且，
∴
∵平面平面，平面平面，平面,
∴平面为正方形，
∴.
又∵，
∴平面，
∵平面
∴
∵，
∴为等腰三角形
∴点为的中点.
下面同①②.
（1）证明：
∵在梯形中，，，，为的中点，∴，，BC=DP,
∴是正三角形，四边形为菱形，
∴，，
∵，
又∵平面ABC,
∴平面ABC,
∵平面,
∴平面⊥平面ABC.
解：
存在.
∵平面，OP⊥AC,
∴，，两两互相垂直，
如图，以点为坐标原点，，，所在直线为，，轴建立空间直角坐标系O-xyz.
则，，，，
∴，，
设平面的一个法向量为，则
，即，令，则，，
，
设，
∵，，
∴，
设与平面所成角为，则，
即，，解得，
∴线段上存在点，且，使得与平面所成角的正弦值为.
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
D
A
C
C
B
D
A
D
B
D