重庆市开州区文峰教育集团入学测试2024-2025学年八年级下学期开学 数学试题（含解析）

这是一份重庆市开州区文峰教育集团入学测试2024-2025学年八年级下学期开学 数学试题（含解析），共25页。试卷主要包含了作图请一律用黑色2B铅笔完成；等内容，欢迎下载使用。
注意事项：
1．试题的答案书写在答题卡上，不得在试题卷上直接作答；
2．作答前认真阅读答题卡上的注意事项；
3．作图（包括辅助线）请一律用黑色2B铅笔完成；
4．考试结束，由监考人员将试题卷和答题卡一并收回．
一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑．
1. 下列图形中，为轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了轴对称图形的识别．熟练掌握：平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形是轴对称图形是解题的关键．
根据轴对称图形的定义进行判断即可．
【详解】解：A中不是轴对称图形，故不符合要求；
B中不是轴对称图形，故不符合要求；
C中不是轴对称图形，故不符合要求；
D中是轴对称图形，故符合要求；
故选：D．
2. 下列运算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据同底数幂的乘法运算法则，幂的乘方运算法则，积的乘方运算法则，合并同类项法则计算即可．
详解】解：A、，故该选项不符合题意；
B、，故该选项符合题意；
C、，故该选项不符合题意；
D、，故该选项不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题主要考查了同底数幂的乘法，合并同类项以及幂的乘方与积的乘方，熟练掌握相关的运算法则是解答本题的关键．
3. 若点与关于x轴对称，则在（ ）
A. 第四象限B. 第三象限C. 第二象限D. 第一象限
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了关于x轴、y轴对称的点的坐标，关于x轴对称的点的点的横坐标相同，纵坐标互为相反数，关于y轴对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标相同，根据关于x轴对称的点的点的横坐标相同，纵坐标互为相反数，可得a、b的值，可得答案．
【详解】解：点与关于x轴对称，
，，
则即在第二象限，
故选：C．
4. 如图所示，．若，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了全等三角形的性质，三角形内角和定理，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键；
根据全等三角形的性质得，然后根据三角形的内角和定理即可得出答案．
【详解】解：∵，，
∴，
∴，
故选：D．
5. 已知，，则的值为（ ）
A. B. 84C. D. 300
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了已知式子的值求代数式的值，整式的因式分解，先整理，把，代入计算，即可作答．
详解】解：∵，，
∴，
故答案为：D．
6. 下列命题中是假命题的是（ ）
A. 全等三角形对应边上的高相等
B. 全等三角形的面积相等
C. 能够完全重合的两个三角形全等
D. 两个全等的三角形一定关于某条直线成轴对称
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了全等三角形的性质以及成轴对称图形的判断，以及命题的真假．熟记全等三角形的性质是解答本题的关键．根据全等三角形的性质逐项判断即可解答．
【详解】解：A.全等三角形对应边上的高相等,是真命题，不符合题意；
B. 全等三角形的面积相等，是真命题，不符合题意；
C. 能够完全重合的两个三角形全等，是真命题，不符合题意；
D. 两个全等的三角形不一定关于某条直线成轴对称，故原命题是假命题，符合题意；
故选：D．
7. 用圆圈按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有2个圆圈，第②个图案中有5个圆圈，第③个图案中有8个圆圈，第④个图案中有11个圆圈，…，按此规律排列下去，则第⑦个图案中圆圈的个数为（ ）

A. 14B. 20C. 23D. 26
【答案】B
【解析】
【分析】根据前四个图案圆圈的个数找到规律，即可求解.
【详解】解：因为第①个图案中有2个圆圈，；
第②个图案中有5个圆圈，；
第③个图案中有8个圆圈，；
第④个图案中有11个圆圈，；
…，
所以第⑦个图案中圆圈的个数为；
故选：B.
【点睛】本题考查了图形类规律探究，根据前四个图案圆圈的个数找到第n个图案的规律为是解题的关键.
8. 我市把提升城市园林绿化水平作为推进城市更新行动的有效抓手，从2023年开始通过拆违建绿、见缝插绿等方式在全域打造多个小而美的“口袋公园”．现需要购买A、B两种绿植，已知A种绿植单价是B种绿植单价的3倍，用6750元购买的A种绿植比用3000元购买的B种绿植少50株．设B种绿植单价是x元，则可列方程是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了分式方程的应用，设B种绿植单价是x元，则A种绿植单价是元，根据用6750元购买的A种绿植比用3000元购买的B种绿植少50株，列出方程即可．
【详解】解：设B种绿植单价是x元，则A种绿植单价是元，根据题意得：
，
故选：C．
9. 如图，在四边形中，，，，E、F分别是、上的点，且．若，则一定等于（ ）
A B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查同角的补角相等、全等三角形的判定与性质等知识，正确地作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．
延长到点H，使，连接、，则，因为，，得，
，再证明得，，再推导出，进而证明，得，则．
【详解】解：延长到点H，使，连接、，
则，
∵，，，
∴，，
在和中
，
，
∴，
∵，
∴，
∴，
在和中
，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
故选：A．
10. 对于多项式： ，只选取两个字母，并交换它们的位置（符号不参与交换），称这种操作为一种“交换操作”，然后再进行运算，并将化简的结果记为．
例如：，交换后；，交换后．
下列相关说法正确的个数是：
①存在一种“交换操作”，使其运算结果为；
②共有四种“交换操作”，使其运算结果与原多项式相等；
③所有的“交换操作”共有7种不同的运算结果．
A. 0B. 1C. 2D. 3
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查新定义题型，根据题意交换 z、n的位置即可判断①；字母前面都是加号的字母互换，字母前面都是减号的字母互换时，所得的运算结果都与原多项式的结果相等，据此可判断②；共有10种交换方式，即x、y交换，x、z交换，x、m交换，x、n交换，y、z交换，y、m交换，y、n交换，z、m交换，z、n交换，m、n交换，求出当x、m交换时，当x、y交换时，当m、n交换时，当m、z交换时，当n、y交换时，当y、z交换时的结果即可判断③．
【详解】解：①当把z、n的位置互换时，，故①正确；
②字母前面都是加号的字母互换，字母前面都是减号的字母互换时，所得的运算结果都与原多项式的结果相等，即x、y互换，x、m互换，y、m互换，n、z互换时，所得的运算结果都与原多项式的结果相等，
∴共有四种“交换操作”，使其运算结果与原多项式相等，故②正确；
③∵一共有5个字母，
∴共有10种交换方式，即x、y交换，x、z交换，x、m交换，x、n交换，y、z交换，y、m交换，y、n交换，z、m交换，z、n交换，m、n交换，
∵其中x、y互换，x、m互换，y、m互换，z、n互换时结果与原式相等，可算作一个结果，
当x、z交换时，结果为，
当x、n交换时，结果为，
当y、z交换时，结果为，
当y、n交换时，结果为，
当z、m交换时，结果为，
当m、n交换时，结果为，
综上所述，所有的“交换操作”共有7种不同的运算结果，故③正确；
故选D．
二、填空题（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上．
11. 我们知道太阳的主要成分是氢，氢原子的半径约为，数据用科学记数法表示为__________．
【答案】
【解析】
【分析】此题考查了科学记数法的表示方法，运用科学记数法进行解答，科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正整数；当原数的绝对值时，是负整数．
【详解】解：；
故答案为：．
12. 因式分解：________．
【答案】
【解析】
【分析】先提取公因式，再套用公式分解即可．
本题考查了因式分解，熟练掌握先提取公因式，再套用公式分解是解题的关键．
【详解】
．
故答案为：．
13. 如图，正五边形的一条边在正六边形的一条边上，则________度．

【答案】12
【解析】
【分析】本题考查了多边形的内角和定理，利用求多边形的内角和公式，得出正五边形的内角、正六边形的内角是解题关键，根据正多边形的内角的求法，可得、，进而可得答案．
【详解】正五边形的内角，
，
正六边形的内角，
，
，
故答案为：12．
14. 若关于x的一元一次不等式组有且仅有个偶数解，且关于的分式方程的解是正数，则所有满足条件的整数的值之和是_________．
【答案】
【解析】
【分析】此题考查了分式方程的解，解分式方程，一元一次不等式组的整数解，不等式组整理后，根据恰有个偶数解，确定出的范围，再由分式方程的解为正数，确定出满足题意的整数的值，求出这些整数的和即可．熟练掌握各自的解法是解、题的关键．
【详解】解：不等式组整理得，
解得：，
∵不等式组恰有个偶数解，
∴，
解得：，
∵关于的分式方程的解是正数，
∴且，
解得：且，
∴且，
∴满足条件的整数的值有，,，，，
∴，
∴所有满足条件的整数的值之和是．
故答案为：．
15. 如图，点在等边三角形的边上，，，射线，垂足为点，点是射线上一动点，点是线段上一动点，当取得最小值时，此时的长为______；当取最小值时，则此时的长为______．
【答案】 ①. 5 ②. 7
【解析】
【分析】当取得最小值时，则点与点重合时，记为，过点作，连接，结合等边三角形的性质以及30度所对的直角边是斜边的一半，得出当取得最小值时，此时的长为5，作点关于的对称点，连接，则当，，三点共线，且时，此时的值最小，由题意可得，则，再设，，可得，然后结合，解得，即可作答．
【详解】解：依题意，点射线上一动点，点是线段上一动点，
∴当取得最小值时，则点与点重合时，记为，过点作，连接，
如图所示，
∵等边三角形的边上，，
∴，
∴在中，，
即当取得最小值时，此时的长为；
如图，作点关于的对称点，连接，
，
，
当，，三点共线，且时，此时的值最小，即的值最小，
是等边三角形，
，
，
，
，
设，
，
，，
，
∵，
∴解得：，
，
∴
故答案为：，7．
【点睛】本题主要考查了轴对称中的光线反射问题（最短路线问题），根据成轴对称图形的特征进行求解，垂线段最短，等边三角形的性质，直角三角形的两个锐角互余，含度角的直角三角形的性质，线段的和与差，解一元一次方程等知识点，熟练掌握轴对称中的光线反射问题（最短路线问题）是解题的关键．
16. 若四位数满足且各个数位上的数互不相等，那么称这个数为“合作数”，例如：四位数，∵，∴是合作数，又如四位数，∵，∴不是合作数．若一个“合作数”千位为，则满足条件的最大“合作数”是_______；若一个“合作数”的前三个数字组成的三位数和后三个数字组成的三位数的和满足被整除，则满足条件的最大“合作数”是_______．
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】本题考查二元一次方程，不等式的性质，列代数式，整式的加减，熟练根据题意列出代数式，并熟练掌握分离整数法，解不定方程是解题的关键．利用千位为，得出，要使“合作数”最大确定百位数为，得出，再取十位最大即可；根据题意列出前三个数字组成的三位数和后三个数字组成的三位数的和为，利用它们的和被整除，得出是整数，结合及、、、的性质得出，则此时，结合、、、的性质即可得出满足条件的最大“合作数”．
【详解】解：∵“合作数”千位为，，
∴，
要使“合作数”最大，则百位数为，
∴，即，
∵各个数位上的数互不相等，
∴十位数为且个位数为时，“合作数”最大，
∴若一个“合作数”千位为，则满足条件的最大“合作数”是；
由题意得、、、是整数，且，，，，
前三位数可表示为，后三位数可表示为，
∴它们的和为，
∵它们的和被整除，
∴是整数，
∵、、、是整数，
∴是整数，
∵，
∴，
又∵，
∴，
又∵，且各个数位上的数互不相等，
∴，
又∵是整数，
∴，
∴，即，
又∵、是整数，且，，
∴要使满足条件的“合作数”最大，最大取（大于时，），
此时，
∵，、是整数，且，，
∴要使满足条件的“合作数”最大，最大值为，此时，，
∴满足条件的“合作数”最大是，
故答案为：①；②．
三、解答题：（本大题8个小题，17题16分，其余每小题各10分，共86分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上．
17. （1）①计算： ；
②化简：．
（2）先化简，再求值：，其中．
【答案】（1）①6；②；（2），2
【解析】
【分析】（1）①先计算绝对值，0指数，和负指数，再进行加减计算即可；
②先根据平方差公式和单项式乘多项式法则进行乘法运算，再去括号，合并同类项即可；
（2）先根据分式的混合运算法则进行化简，再将代入化简以后的式子中求值即可．
本题主要考查了实数混合运算、整式的运算以及分式的混合运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
【详解】（1）①解：原式
；
②解：原式
；
（2）解：原式
，
当时，原式．
18. 如图，在中，，，的垂直平分线交于点，交于点．
（1）尺规作图（保留作图痕迹，不写作法）：过点作的垂线，交于点，连接；
（2）猜想（）中与的数量关系，完成下列证明：
∵是的垂直平分线，
∴ ，
∴，
∵，
∴，
∴
又∵在中，，
∴，
∴，
∴ ，
又∵，
∴ ．
【答案】（1）作图见解析
（2），，，
【解析】
【分析】（）根据线段垂直平分线的作法作图即可；
（）根据线段垂直平分线的性质得到，即得，利用三角形的外角性质求得 ，得到，根据等角对等边得到，进而由三线合一即可求证．
【小问1详解】
解：如图所示，直线即为所求；
【小问2详解】
证明：∵是的垂直平分线，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
又∵在中，，
∴，
∴
∴，
又∵，
∴ ，
故答案为：，，，．
【点睛】本题考查了尺规作图作垂线，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的判定与性质，三角形的外角性质等知识，正确作出图形，掌握相关知识的联系和运用是解题的关键．
19. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别是，，，网格中每个小正方形的边长都是1个单位长度．
（1）画出，使与关于x轴对称；
（2）求的面积；
（3）请在图中找到一点D，使，请直接写出点D的坐标．
【答案】（1）见解析 （2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根据关于x轴对称的点横坐标相同，纵坐标互为相反数，先求出点A、B、C对应点的位置，然后顺次连接即可；
（2）利用割补法求解即可；
（3）取，利用勾股定理证明，再由即可证明．
【小问1详解】
解：如图所示，即为所求；
【小问2详解】
解：由题意得，
【小问3详解】
解；如图所示，点即为所求．
∵，
∴．
【点睛】本题主要考查了坐标与图形变化——轴对称，三角形面积，全等三角形的判定，勾股定理，灵活运用所学知识是解题的关键．
20. 某校开展了“美丽校园”活动周，活动周设置了“：文明礼仪，：生态环境，：校园安全，：卫生保洁”四个主题活动，每个学生限选一个主题参与．为了解活动开展情况，学校随机抽取了部分学生进行调查，并根据调查结果绘制了如图所示的不完整的条形统计图和扇形统计图．

（1）本次随机调查的学生人数是______人；被调查学生中，选择主题的人数是______人，请补全条形统计图；
（2）在扇形统计图中，“”主题对应扇形的圆心角为______度；
（3）若该校共有名学生，试估计该校参与“文明礼仪”主题的学生人数．
【答案】（1），，统计图见解析
（2）
（3）该校参与“文明礼仪”主题的学生人数人
【解析】
【分析】（1）用“”的人数除以所占比例求得总人数，根据条形统计图求得主题的人数，进而补全统计图，即可得出答案；
（2）用乘以“”所占的比例即可；
（3）学校总人数参与“生态环境”主题所占的比即可得出答案．
【小问1详解】
解：本次随机调查的学生人数是人，
“”人数为：人，
故答案为：，；
补全条形统计图如下，
【小问2详解】
解：“”主题对应扇形的圆心角为
故答案为：．
【小问3详解】
解：（人）
答：该校参与“文明礼仪”主题的学生人数人．
【点睛】本题考查了扇形统计图、条形统计图；读懂题意，正确的找出各个主题活动所对应的数据图是解题的关键．
21. 如图，在中，为的角平分线，E为上一点，且满足．
（1）求证：；
（2）若，求的大小．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】本题主要考查了角平分线的定义，三角形外角的定义和性质，全等三角形的判定和性质．
（1）由角平分线的性质得出，即可利用证明．
（2）由全等三角形的性质得出，再根据三角形外角的定义和性质即可得出答案．
【小问1详解】
证明：∵为的角平分线，
，
在和中，
，
【小问2详解】
解：∵，
，
，
．
22. 今年春节期间开州区紫水豆干凭借过硬的质量、优质的口碑大火，豆干店的王老板用2500元购进一批紫水豆干，很快售完；王老板又用4400元购进第二批紫水豆干，所购数量是第一批的2倍，由于进货量增加，进价比第一批每千克少了3元．
（1）第一批紫水豆干每千克进价多少元？
（2）王老板在销售第二批紫水豆干时，售价在第二批进价的基础上增加了，售出160千克后，为了尽快售完，决定将剩余紫水豆干在第二批进价的基础上每千克降价元进行促销，结果第二批紫水豆干的销售利润为1520元，求的值．
【答案】（1）25元 （2）
【解析】
【分析】本题考查了分式方程的应用，一元一次方程的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）设第一批紫水豆干每千克进价元，根据用2500元购进一批紫水豆干，用4400元购进第二批紫水豆干，所购数量是第一批的2倍，进价比第一批每千克少了3元，然后列式，即可作答．
（2）因为售价在第二批进价的基础上增加了，售出160千克后，第二批进价的基础上每千克降价元进行促销，第二批紫水豆干的销售利润为1520元，进行列式，即可作答．
【小问1详解】
解：依题意，设第一批紫水豆干每千克进价元，
∴，
解得，
经检验是原方程的解，
答：第一批紫水豆干每千克25元；
【小问2详解】
解：（元），（千克）
依题意，，
解得．
23. 现有长与宽分别为、的小长方形若干个，用两个这样的小长方形拼成如图1的图形，用四个相同的小长方形拼成图2的图形，请认真观察图形，解答下列问题：
（1）根据图中条件，请写出图1和图2所验证的关于、的关系式：
图1表示：_____________；
图2表示：_____________；
根据上面的解题思路与方法，解决下列问题：
（2）若，，求的值；
（3）请直接写出下列问题答案：
①若，，则________；
②若，则_________．
【答案】（1），；（2）12；（3）①；②13
【解析】
【分析】本题考查了完全平方公式的几何背景及完全平方公式的应用，解题的关键熟练掌握完全平方公式，并进行灵活运用．
（1）结合图形面积关系：由图1可知，大正方形的面积等于两个小正方形的面积加上两个长方形的面积可得；由图2可知，大正方形的面积等于小正方形的面积加上4个长方形的面积可得；
（2）把两边平方后，再代入，即可求出的值；
（3）①根据将原式变形求解即可；
②根据将原式变形求解即可；
【详解】解：（1）图1中大正方形的面积等于两个小正方形的面积加上两个长方形的面积可得
表示为：；
图2中大正方形的面积等于小正方形的面积加上4个长方形的面积可得；
表示为：；
故答案为：，；
（2）∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
（3）①由图2知，
则
∴
∵
∴
∴
∴；
②∵，即
设，
∵，
∴，
∴；
故答案为：，13．
24. 以为斜边在它的同侧作和，其中，，、交于点．

（1）如图1，平分，求证：；
（2）如图2，过点A作，分别交、于点、点，连接，过A作，交于点，连接，交于点，求证：；
（3）如图3，点为边的中点，点是边上一动点，连接，将线段绕点逆时针旋转90°得到线段，连接、，当，最小时，请直接写出的度数．
【答案】（1）见详解 （2）见详解
（3）
【解析】
【分析】（1）过点P作于点T，根据等腰直角三角形和角平分线的性质可得，证明，可得，由，等量代换即可得出结论；
（2）连接，先根据证明，则可得，又由，可得，且平分，则可得，再证明则可得．
（3）过点A作于点O，连接，，先证，得，可得点K在所在的直线上移动，则，可得出当且仅当B，K，P三点共线时取得最小值，然后根据三角的外角定理即可求出的度数．
【小问1详解】
证明：如图，过点P作于点T，

，，
，
，
，，
，
平分，，，
，
，
在和中，
，
，
，
，
；
【小问2详解】
解：如图，连接

，
，
，
，
，
，
，
，
，
在和中，
，
；
，
又∵，
，且平分，
，
，
，
，
，
．
【小问3详解】
解：过点A作于点O，连接 ，，

，，，
，
∵点M是的中点，
，，
，
，
∵线段绕点M逆时针旋转得到线段，
，，
，
，
，
在和中，
，
，
，
∴点K在所在的直线上移动，
垂直平分，
，
，
∴当且仅当B，K，P三点共线时取得最小值，此时K点在上，
，，
，
在中，，，
．
【点睛】本题是三角形综合题，考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，等腰直角三角形的性质，三角形的三边关系等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形和直角三角形解决问题，属于中考常考题型．