（人教版）数学八年级下册期末提升练习专题08 平行四边形的性质与判定重难点题型专训（2份，原卷版+解析版）

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题型一 利用平行四边形的判定定理证明
题型二 利用平行四边形的性质求角度
题型三 利用平行四边形的性质求长度
题型四 利用平行四边形的性质求面积
题型五 平行四边形中的线段最值问题
题型六 平行四边形中的翻折问题
题型七 平行四边形中的旋转问题
题型八 平行四边形的存在性问题
题型九 三角形中位线有关的证明
题型十 平行四边形的性质与判定综合题型
【经典例题一 利用平行四边形的判定定理证明】
【知识归纳】
1.两组对边分别平行的四边形是平行四边形；
2.两组对边分别相等的四边形是平行四边形；
3.一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；
4.两组对角分别相等的四边形是平行四边形；
5.对角线互相平分的四边形是平行四边形.
特别说明：（1）这些判定方法是学习本章的基础，必须牢固掌握，当几种方法都能判定同一个平行四边形时，应选择较简单的方法.
（2）这些判定方法既可作为判定平行四边形的依据，也可作为“画平行四边形”的依据.
【例1】（2022春·福建泉州·八年级统考期末）如图，四边形中，ADBC，，，．若点是线段的中点，则的长为（ ）
A．B．2C．D．3
【变式训练】
【变式1】（2022春·浙江杭州·八年级校考期中）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，BD=2AD，E，F，G分别是OC，OD，AB的中点．下列结论正确的是（ ）
①EG⊥AB；②EF=EG；③四边形BEFG为平行四边形；④AC垂直平分线段FG．
A．①②③B．①②④C．②③④D．①②③④
【变式2】（2022秋·重庆綦江·九年级校考阶段练习）如图，在中，D是边上的中点，连结，把沿翻折，得到，连接，若，则的面积为___________
【变式3】（2022春·宁夏银川·八年级校考期末）如图，在中，对角线，相交于点O，点E，F在上，点G，H在上，且，．
(1)若，，试求的度数．
(2)求证：四边形是平行四边形．
【经典例题二 利用平行四边形的性质求角度】
【知识归纳】
1．边的性质：平行四边形两组对边平行且相等；
2．角的性质：平行四边形邻角互补，对角相等；
3．对角线性质：平行四边形的对角线互相平分；
4．平行四边形是中心对称图形，对角线的交点为对称中心；
特别说明：（1）平行四边形的性质中边的性质可以证明两边平行或两边相等；角的性质可以证明两角相等或两角互补；对角线的性质可以证明线段的相等关系或倍半关系.
（2）由于平行四边形的性质内容较多，在使用时根据需要进行选择.
（3）利用对角线互相平分可解决对角线或边的取值范围的问题，在解答时应联系三角形三边的不等关系来解决.
【例2】（2021春·江苏南京·八年级校考期中）如图，以平行四边形的边为斜边向内作等腰直角，使，，且点在平行四边形内部，连接、，则的度数是（ ）．
A．B．C．D．
【变式训练】
【变式1】（2021春·全国·八年级专题练习）在中，，于点，点为的中点，若，则的度数是（ ）
A．B．C．D．
【变式2】（2022春·陕西西安·八年级西安市铁一中学校考阶段练习）如图，平行四边形中，于点，为线段上一点且满足，，连并延长交于点，则的度数为 _____．
【变式3】（2021春·福建福州·八年级校考期中）如图，在平行四边形ABCD中，AC⊥CD，E为BC中点，点M在线段BE上，连接AM，AE，在BC下方有一点N，满足∠CAD＝∠BCN，连接MN．
(1)若∠BCN＝60°，求证：∠BAE＝30°；
(2)若MA＝MN，求证：∠NMC＝∠MAE；
(3)在（2）的条件下，若MC＝EA+CN，求证：AB＝AE．
【经典例题三 利用平行四边形的性质求长度】
【例3】（2022春·四川绵阳·八年级校考期中）如图，在中，，，点E、F分别在上，将四边形沿折叠得四边形，恰好垂直于，若，则的值为（ ）
A．3B．C．D．
【变式训练】
【变式1】（2022春·陕西咸阳·八年级统考期末）如图， 在四边形 中，，， 点 为 延长线上一点，连接 AC、AE，AE交 于点H，的平分线交 于点 ．若， 点为 的中点， ， 则 的长为（ ）．
A．9B．C．10D．
【变式2】（2020春·重庆渝中·八年级重庆市第二十九中学校校考期中）如图，平行四边形中，＝，°，将沿边折叠得到，交于，，则点到的距离为______．
【变式3】（2022春·辽宁沈阳·八年级统考期末）在平行四边形中，对角线交于点O．且分别平分．
(1)求的度数；
(2)猜测线段之间的等量关系，并证明你的结论；
(3)设点P为对角线上一点，，若平行四边形的周长为16，平行四边形的面积为，直接写出的长．
【经典例题四 利用平行四边形的性质求面积】
【例4】（2023·广东佛山·校考一模）如图，直线经过平行四边形的对角线的交点，若四边形的面积为cm2，则四边形的面积为（ ）cm2．
A．B．C．D．
【变式训练】
【变式1】（2022秋·福建厦门·八年级厦门市湖滨中学校考期末）如图，已知，∠ABC=60°，BC=2AB=8，点C关于AD的对称点为E，连接BE交AD于点F，点G为CD的中点，连接EG、BG，则=（ ）
A．B．C．D．
【变式2】（2022秋·重庆北碚·八年级西南大学附中校考阶段练习）如图，平行四边形ABCD中，，，，点E为DC中点，点F为BC上一点，△CEF沿EF折叠，点C恰好落在BD边上的点G处，则BGF的面积为______．
【变式3】（2022秋·吉林长春·八年级长春市第五十二中学校考期中）在中，，，，动点从点出发，以的速度沿折线运动，连接交于点，设点的运动时间为秒．
(1)当点在边上运动时，直接写出、的长；
(2)在（1）的条件下，当是等腰三角形时，求的值；
(3)当点在的垂直平分线上时，求出此时的值；
(4)点与点同时出发，且点在边上由点向点运动，点的速度是，当直线平分的面积时，直接写出的值．
【经典例题五 平行四边形中的线段最值问题】
【例5】（2022春·福建龙岩·八年级校考阶段练习）如图，在平行四边形中，．点M是边的中点，点N是边上的一个动点．将沿所在的直线翻折到，连接．则线段长度的最小值为（ ）
A．5B．7C．D．
【变式训练】
【变式1】（2022春·福建福州·八年级校考期末）如图，在中，，，，D为AB边上一点，将DC平移到AE（点D与点A对应），连接DE，则DE的最小值为（ ）
A．B．2C．4D．
【变式2】（2021春·安徽安庆·八年级统考期末）如图，在中，，，，E为斜边边上的一动点，以，为边作平行四边形．
（1）的长为________．
（2）线段长度的最小值为______．
【变式3】（2021春·福建厦门·八年级厦门双十中学校考阶段练习）如图，在等边中，点是射线上一动点（点在点的右侧），．点是线段的中点，连接．
（1）请你判断线段与的数量关系，并给出证明；
（2）若，求线段长度的最小值．
【经典例题六 平行四边形中的翻折问题】
【例6】（2022春·浙江杭州·八年级统考期中）如图，在平行四边形ABCD中，AD＝，E，F分别为CD，AB上的动点，DE＝BF，分别以AE，CF所在直线为对称轴翻折△ADE，△BCF，点D，B的对称点分别为G，H．若E、G、H、F恰好在同一直线上，∠GAF＝45°，且GH＝3，则AF的长是（ ）
A．4B．5C．6D．7
【变式训练】
【变式1】（2022秋·九年级课时练习）如图，在平行四边形ABCD中，，，，点E在AB边上，将沿着直线DE翻折得．连结，若点恰好落在的平分线上，则，C两点间的距离为（ ）
A．3或6B．3或C．D．6
【变式2】（2022春·浙江舟山·八年级校考期中）在平行四边形ABCD中，BC=3，CD=4，点E是CD边上的中点，将ΔBCE沿BE翻折得ΔBGE，连结AE，A、G、E在同一直线上，则点G到AB的距离为________．
【变式3】（2023春·江苏·八年级专题练习）如图，在平行四边形中，，，，
(1)平行四边形的面积为________．
(2)若是边的中点，是边上的一个动点，将沿所在直线翻折得到，连接，则长度的最小值是________．
【经典例题七 平行四边形中的旋转问题】
【例7】（2021春·浙江·九年级期末）如图，在中，，，将点绕点逆时针旋转得到点，点落在线段上，在线段BE上取点，使，连结，，则的长为（ ）
A．2B．C．D．
【变式训练】
【变式1】（2020·湖北·九年级统考阶段练习）如图，等腰△ABC的顶角∠A=36°，若将其绕点C顺时针旋转36°，得到△，点B′在AB边上，交AC于E，连接AA′．有下列结论：①△ABC≌△；②四边形是平行四边形；③图中所有的三角形都是等腰三角形；其中正确的结论是（ ）
A．①②B．① ③C．②③D．① ② ③
【变式2】（2022春·江苏盐城·八年级校联考阶段练习）如图，在▱ABCD中，AB=2，BC=3，∠ABC=60°，对角线AC与BD交于点O，将直线l绕点O按顺时针方向旋转，分别交AD、BC于点E、F，则四边形ABFE周长的最小值是______．
【变式3】（2022春·陕西渭南·八年级统考期末）如图，是等边三角形，点E在直线BC上，点F在直线AB上（点E、F不与三角形的顶点重合），，连接CF和AE，将线段CF绕点C顺时针旋转得到线段CG，连接AG．
(1)如图1，当点E与点F分别在线段BC与线段AB上时．
①求证：；
②求证：四边形AECG是平行四边形；
(2)如图2，当点E与点F分别在线段CB与线段BA的延长线上时，请判断四边形AECG还是平行四边形吗？并说明理由．
【经典例题八 平行四边形的存在性问题】
【例8】（2022春·浙江温州·八年级校联考阶段练习）在直角坐标系中，A，B，C，D的坐标依次为，，，．若以A，B，C，D为顶点的四边形是平行四边形，则的值不可能是（ ）
A．-7B．-1C．1D．7
【变式训练】
【变式1】（2022春·江苏南京·八年级校考期中）如图，在四边形ABCD中，AD//BC，AD＝6 cm，BC＝12 cm，点P从A出发以1 cm/s的速度向D运动，点Q从C出发以2 cm/s的速度向B运动．两点同时出发，当点P运动到点D时，点Q也随之停止运动．若设运动的时间为t秒，以点A、B、C、D、P、Q任意四个点为顶点的四边形中同时存在两个平行四边形，则t的值是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【变式2】（2022秋·山东济宁·八年级校考阶段练习）如图，在等边中，，射线，点E从点A出发沿射线以的速度运动，点F从点B出发沿射线以的速度运动．如果点E、F同时出发，设运动时间为t，当________s时，以A、C、E、F为顶点四边形是平行四边形．
【变式3】（2022春·河南郑州·八年级校考期末）如图，在四边形中，，，，若动点从A点出发，以每秒的速度沿线段向点运动；点从点出发以每秒的速度沿方向运动，当点到达点时，动点、同时停止运动，回答下列问题：
(1)设点、同时出发，并运动了秒，求当为多少秒时，四边形变为平行四边形．
(2)如图，若四边形变为平行四边形，，动点从A点出发，以每秒的速度沿线段向点运动；动点从点出发以每秒的速度在间往返运动，当点到达点时，动点、同时停止运动，设、两点同时出发，并运动了秒，求当为多少秒时，以，，，B四点组成的四边形是平行四边形．请直接写出答案．
【经典例题九 三角形中位线有关的证明】
【例8】（2021春·四川凉山·八年级校考期中）如图，中，平分，且，E为的中点，，，，则的长为（ ）．
A．6B．3C．1.5D．5
【变式训练】
【变式1】（2023秋·湖北武汉·八年级校考期末）如图，在中，，，，点为的中点，点为内一动点且，点为的中点，当最小时，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
【变式2】（2022春·黑龙江哈尔滨·八年级哈尔滨市第四十七中学校考阶段练习）如图，在中，，点B为延长线上一点，且，连接，点F、E分别为、的中点，连接、，当，时，则的长度为______．
【变式3】（2023秋·山西吕梁·九年级统考期末）综合与实践
【知识呈现】
两块等腰直角三角板和如图摆放，其中，是的中点，是的中点，是的中点．
(1)如图，若点，分别在，的延长线上，通过观察和测量，猜想和的数量关系为______，位置关系为______；
【拓展巩固】
(2)如图，若将三角板绕着点顺时针旋转至在一条直线上时，其余条件均不变，则（1）中的猜想是否还成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由；
【探究提升】
(3)如图，将图中的绕点顺时针旋转一个锐角，得到图，中的猜想还成立吗？直接写出结论，不用证明．
【经典例题十 平行四边形的性质与判定综合题型】
【例8】（2022春·陕西咸阳·八年级统考期末）如图，分别以的直角边，斜边为边向外作等边和等边，F为的中点，连接，，．则以下结论：①；②四边形为平行四边形；③，其中正确的有（ ）
A．0个B．1个C．2个D．3个
【变式训练】
【变式1】（2021春·辽宁丹东·八年级统考期末）如图，的对角线交于点O，平分，交于点，且，，连接，下列结论：①；②；③；④；⑤．其中成立的个数是（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【变式2】（2023秋·江西抚州·八年级临川一中校考期末）在中，，D为形内一点，以为腰作等腰，使，连接，若分别是的中点，，则的长为_______．
【变式3】（2022春·陕西西安·八年级西安市铁一中学校考阶段练习）在数学中，我们会用“截长补短”的方法来解决几条线段之间的和差问题．请看这个例题：如图1，在四边形中，，，若，求四边形的面积．
解：延长线段到E，使得，连接，我们可以证明，根据全等三角形的性质得，，则，得，这样，四边形的面积就转化为等腰直角三角形面积．
(1)根据上面的思路，我们可以求得四边形的面积为 cm2．
(2)如图2，在中，，且，求线段的最小值．
(3)如图3，在平行四边形中，对角线与相交于O，且；，则是否为定值？若是，求出定值；若不是，求出的最小值及此时平行四边形的面积．
【培优检测】
1．（2023秋·河北保定·九年级校考期末）如图，在中，于点D，，若E，F分别为的中点，则的长为（ ）
A．B．C．D．
2．（2021春·浙江杭州·八年级校考期中）如图所示，在平行四边形中，M是的中点，，，，则的长为（ ）
A．B．2C．D．
3．（2022·江苏淮安·模拟预测）如图，在平行四边形中，点、、分别是、、的中点，，则的长是（ ）
A．2B．3C．4D．5
4．（2022秋·山东烟台·八年级统考期末）如图，在平行四边形中，E为上一点，且，，，，则下列结论：①；②平行四边形周长是24；③；④；⑤E为中点．正确的结论有（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
5．（2022春·陕西西安·八年级西安市铁一中学校考阶段练习）如图，是的边上的点，是中点，连接并延长交于点，连接与相交于点，若，，则阴影部分的面积为（ ）
A．24B．17C．13D．10
6．（2023秋·陕西西安·九年级统考期末）如图，是内一点，，，，，、、、分别是、、、的中点，则四边形的周长是（ ）
A．B．C．D．
7．（2023春·江苏·八年级专题练习）如图，在平行四边形ABCD中，AD＝2AB，F是AD的中点，作CE⊥AB，垂足E在线段AB上，连接EF、CF，则下列结论：①；②EF＝CF；③；④∠DFE＝4∠AEF．其中一定成立的是（ ）
A．①②③④B．①②③C．①②D．①②④
8．（2022春·陕西汉中·八年级统考期末）如图，分别以的斜边、直角边为边向外作等边和等边，为的中点，连接、，与相交于点，若，下列结论：①；②四边形为平行四边形；③；④．其中正确结论有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
9．（2022秋·山东东营·八年级校考阶段练习）如图，在中，，，，过点A作 且点F在点A的右侧．点D从点A出发沿射线方向以1cm/秒的速度运动，同时点P从点E出发沿射线方向以2cm/秒的速度运动，在线段上取点C，使得，设点D的运动时间为x秒．当x=___________秒时，以A，B，C，D为顶点的四边形是平行四边形．
10．（2022秋·黑龙江哈尔滨·九年级校考期中）如图，已知中，垂直平分，且，点为上一点，连接，若，，则的长为____________．
11．（2022·江苏镇江·统考一模）如图，在平行四边形中，，E为边上的一动点，那么的最小值等于______．
12．（2022·江苏扬州·校考二模）如图，平行四边形中，点E在上，以为折痕，把向上翻折，点A正好落在边的点F处，若的周长为6，的周长为，那么的长为_________．
13．（2021春·浙江杭州·八年级杭州英特外国语学校校考期中）如图，在矩形中，，E是边上的一个动点，连接，过点D作于F，连接，当为等腰三角形时，则的长是______．
14．（2023秋·广东广州·九年级广州大学附属中学校考阶段练习）如图，在等腰直角三角形中，，，线段在斜边上运动，且．连接，．则周长的最小值是______．
15．（2023·全国·八年级专题练习）如图，在中，，分别是的中点，延长到点，使得，连接与交于点．，求四边形的面积．
16．（2022秋·河南周口·九年级校考期中）如图，在四边形中，E，F分别是的中点．
(1)若，求的长．
(2)若，求证：．
17．（2022秋·山东济宁·八年级济宁市第十三中学校考阶段练习）如图，在梯形中，，，，E是的中点． 动点P从点A出发沿向终点D运动，动点P平均每秒运动1 cm；同时动点Q从点C出发沿向终点B运动，动点Q平均每秒运动2 cm，当动点P停止运动时，动点Q也随之停止运动．
(1)当动点P运动t()秒时，则________；(用含t的代数式直接表示)
(2)当动点Q运动t秒时，
① 若，则________；(用含t的代数式直接表示)
② 若，则________；(用含t的代数式直接表示)
(3)当运动时间t为多少秒时，以点P，Q，D，E为顶点的四边形是平行四边形？
18．（2022秋·黑龙江哈尔滨·九年级哈尔滨市第一一三中学校校考阶段练习）在平行四边形中，点E在边上，点F在边上，连接、、、，．
(1)如图1，求证：；
(2)如图2，设交于点G，交于点H，连接，若E是边的中点，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图中以G为顶点并且与全等的所有三角形．
19．（2023秋·山东淄博·八年级校考期末）如图①所示，是某公园的平面示意图，、、、分别是该公园的四个入口，两条主干道、交于点，请你帮助公园的管理人员解决以下问题：
(1)若，，，公园的面积为 ；
(2)在（1）的条件下，如图②，公园管理人员在参观了武汉东湖绿道后，为提升游客游览的体验感，准备修建三条绿道、、，其中点在上，点在上，且（点与点、不重合），并计划在与两块绿地所在区域种植郁金香，求种植郁金香区域的面积；
(3)若将公园扩大，此时，，，修建（2）中的绿道每千米费用为10万元，请你计算该公园修建这三条绿道投入资金的最小值．
20．（2022春·河北石家庄·八年级校考期末）问题：如图1，在▱ABCD中，AB＝8，AD＝5，∠DAB，∠ABC的平分线AE，BF分别与直线CD交于点E，F，则EF＝ ．
（1）把“问题”中的条件“AB＝8”去掉，其余条件不变；
①如图2，当点E与点F重合时，求AB的长；
②当点E与点C重合时，则EF＝ ．
（2）把“问题”中的条件“AB＝8，AD＝5”去掉，其余条件不变，当点C，D，E，F相邻两点间的距离相等时，请画出图形并直接写出相应图形下的值．