初中数学北师大版（2024）七年级上册（2024）3 一元一次方程的应用优秀备课ppt课件

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能根据古代数学问题中的数量关系列出方程，感悟 数学模型的思想.2. 借助古代数学问题，体会利用表格分析数量关系是 一种有效方法.3. 经历运用方程解决古代数学问题的过程，感受数学 与实际的联系，加强应用意识.
《九章算术》“盈不足”章第一题：今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四.问：人数、物价各几何？
《九章算术》是中国古代的数学专著，是《算经十书》中最重要的一部。
你知道我国古人是如何解决这个问题的吗？
题目大意：几个人合伙买东西，若每人出 8 钱，则会多出 3 钱，若每人出 7 钱，则还少 4 钱。问合伙的人数和物品的价格分别是多少？
（1）问题中有哪些已知量和未知量？它们之间有怎样的等量关系？
已知量：每人出8钱和7钱时出钱总数与物价的差距；未知量：人数与物价.等量关系：每人出的钱数×人数-多出的钱数 =每人出的钱数×人数+少出的钱数
（2）设人数为 x，其他未知量能用含 x 的代数式表示吗？请完成下表。
（3）根据等量关系，你能列出怎样的方程？
利用表格分析数量关系是一种有效方法。
设人数为 x。根据等量关系，列出方程： 。解这个方程，得 x = 。因此，人数为 ，物价为 。
8x - 3 = 7x + 4
如果设物价为 y，你能列出怎样的方程？与同伴进行交流。
例2 《九章算术》“盈不足”章第五题：今有共买金，人出四百，盈三千四百；人出三百，盈一百。问人数、金价各几何？题目大意：几个人合伙买金，每人出 400 钱，会多出 3400 钱；每人出 300 钱，会多出 100 钱。合伙人数、金价各是多少？
分析：设人数为 x，你能把下表补充完整吗？
400x - 3400
解：设合伙人数为 x，则金价可表示为 （400x - 3400）钱，还可表示为 （300x - 100）钱，根据等量关系，列出方程：
方程的两边就是金价的两种不同的表达式。
400x - 3400 = 300x - 100。
解这个方程，得 x = 33。
300×33 - 100 = 9800。
因此，人数为 33，金价为 9800 钱。
（1）对于例 2，如果设金价为 y，能列出怎样的方程？
解得 y = 9800。
（2）对于例2 《九章算术》给出了一种算法： 人数 = 两次剩余钱数之差÷两次每人所出钱数之差； 物价 = 每人出的较多钱数×人数 - 剩余钱数， 或 物价 = 每人出的较少钱数×人数 + 不足的钱数。你能理解这种解法吗？与方程的求解过程相比，有什么不同？与同伴进行交流。
1. 隔墙听得客分银，不知人数不知银，七两分之多四两，九两分之少半斤. 问：人、银各几何？ (选自《算法统宗》)题目大意：几个人分银子，若每人分7两，则剩余4两；若每人分9两，则差8两. 有多少个人？有多少两银子？(1斤=16两)
解：设一共x人，则银子可表示为(7x+4)两或(9x-8)两
根据题意列方程得 7x+4=9x-8
解得 x=6
7×6+4=46(两)
答：有6人，有46两银子.
知识点2　 一般的盈余问题2. 【2024盐城亭湖区期末新考向数学文化】我国古代《孙子 算经》记载了这样一个数学问题：“今有三人共车，二车 空；二人共车，五人步.问车有几何？”意思是：每3人共 乘一辆车，最终剩余2辆车；每2人共乘一辆车，最终有5 人无车可乘，则车有 辆.
3. [教材P150随堂练习T1变式]几名同学共同分一些作业本， 如果每名同学分10本，则剩下6本；如果每名同学分12 本，则缺6本，那么分作业本的同学有(　A　)
4. 【情境题·生活应用】有若干支铅笔要奖给部分学生，若 每人5支就多3支，若每人7支就少5支，则学生数和铅笔数 分别为 人、 支.
5. 学校在开学前聘请消毒专业人员对教室喷洒消毒液进行消 毒，如果每人喷洒8间教室，则剩下4间教室未喷洒；如果 每人喷洒10间教室，则有一人少喷洒4间教室.求这次消毒 了几间教室.
解：设一共有 x 人喷洒消毒液，则易得8 x ＋4＝10( x －1)＋6，
解得 x ＝4.则8 x ＋4＝36.所以这次消毒了36间教室.
6. 爸爸买了一箱苹果回家，小芳想分给家里的每一个人，如 果每人分3个，就剩下3个苹果分不完，如果每人分4个， 则还差2个苹果才够分，问小芳家有几个人？爸爸买了多 少个苹果？
解：设小芳家有 x 个人.根据题意得，3 x ＋3＝4 x －2，
解得 x ＝5，则3 x ＋3＝18.故小芳家有5个人，爸爸买了18个苹果.
7. 【2024潍坊期末新考向数学文化】我国古代著作《增删算 法统宗》中记载了一首古算诗：“林下牧童闹如簇，不知 人数不知竹.每人六竿多十四，每人八竿恰齐足.”其大意 是：“牧童们在树下拿着竹竿高兴地玩耍，不知有多少人 和竹竿.每人6竿，多14竿；每人8竿，恰好用完”.甲、乙两名同学分别给出自己的理解：
8. 我国古代问题：以绳测井，若将绳三折测之，绳多四尺， 若将绳四折测之，绳多一尺，井深几何？译文：“用一根 绳子去量井深，把绳三折来量，井外余绳四尺，把绳四折 来量，井外余绳一尺，井深几尺？设井深 x 尺，则可列方 程为 ⁠.
3( x ＋4)＝4( x ＋1)　
9. [2024临沂兰山区月考]用A型和B型机器生产同样的产品，已知5台A型机器一天的产品装满8箱后还剩4个，7台B型机器一天生产的产品装满11箱后还剩1个.(1)若每台A型机器比B型机器一天多生产1个产品，求每箱装多少个产品.
(2)每台A型机器与B型机器每天生产的产品数量能相等吗？
(3)你还能提出其他问题并列方程解决吗？
10. 理发店曾师傅在美容美发商场选购某品牌的洗发水，其规格和价格如下表所示.
曾师傅估算店里一个月洗发水的使用量，若买“大桶装”洗发水，则需若干桶但还差1升；若买“小桶装”洗发水，则需多买16桶但会剩余1升，
(1)曾师傅预计店里一个月需要洗发水多少升？
解：(1)设需购买“大桶装”洗发水 x 桶，则需购买 “小桶装”洗发水( x ＋16)桶，依题意得，18 x ＋1＝5( x ＋16)－1，解得 x ＝6，则18 x ＋1＝18×6＋1＝109.所以曾师傅预计店里一个月需要洗发水109升.
(2)喜迎新年，商场进行促销：满1 000元减118元现金，并且该品牌商家对“小桶装”洗发水有“买4送1”的促销活动，曾师傅打算购买“小桶装”洗发水，比促销前节省了多少钱？
解：(2)由(1)易知，需购买22桶“小桶装”洗发水.因为该品牌商家对“小桶装”洗发水有“买4送1”的促销活动，所以易得只需购买“小桶装”洗发水18桶.因为18×86＝1 548(元)＞1 000元，所以比促销前节省了22×86－(1 548－118)＝462(元).
盈时的总量－盈时的数量＝亏时的总量＋____的数量
方法点拨：“盈余不足”问题，往往都是根据同一个量的两种不同表示方式来列方程求解，一般有两种设未知数的方法。