人教版数学八下同步考点讲练专题18.6 三角形的中位线【九大题型】（2份，原卷版+解析版）

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专题18.6 三角形的中位线【九大题型】【人教版】TOC \o "1-3" \h \u  HYPERLINK \l "_Toc24805" 【题型1 利用三角形的中位线求角度】  PAGEREF _Toc24805 \h 1 HYPERLINK \l "_Toc10491" 【题型2 利用三角形的中位线求线段长度】  PAGEREF _Toc10491 \h 2 HYPERLINK \l "_Toc7415" 【题型3 利用三角形的中位线求周长】  PAGEREF _Toc7415 \h 3 HYPERLINK \l "_Toc22262" 【题型4 利用三角形的中位线求面积】  PAGEREF _Toc22262 \h 5 HYPERLINK \l "_Toc14095" 【题型5 利用三角形的中位线求最值】  PAGEREF _Toc14095 \h 6 HYPERLINK \l "_Toc15537" 【题型6 与三角形中位线有关的规律探究】  PAGEREF _Toc15537 \h 7 HYPERLINK \l "_Toc2420" 【题型7 与三角形中位线有关的格点作图】  PAGEREF _Toc2420 \h 8 HYPERLINK \l "_Toc23523" 【题型8 三角形中位线的实际应用】  PAGEREF _Toc23523 \h 10 HYPERLINK \l "_Toc1380" 【题型9 与三角形中位线有关的证明】  PAGEREF _Toc1380 \h 11【知识点 三角形的中位线】定义：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半。【题型1 利用三角形的中位线求角度】【例1】（2022春·江苏苏州·八年级校考期中）如图，在四边形中，，E、F、G分别是的中点，若，，则等于（    ）A． B． C． D．【变式1-1】（2022秋·福建泉州·九年级晋江市季延中学校考期末）如图，在中，、分别是边、的中点，．现将沿折叠，点落在三角形所在平面内的点为，则的度数为（　　　）A． B． C． D．【变式1-2】（2022春·北京·八年级人大附中校考期中）如图，四边形的对角线平分，且CD=AC，点O，E分别是AC，AD的中点，则的度数为_____________．【变式1-3】（2022春·山西太原·八年级统考期末）如图，已知△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点，连接DE并延长至F．使EF＝DE，连接CF．若∠B＝45°，则的度数为 _____．【题型2 利用三角形的中位线求线段长度】【例2】（2022春·湖北武汉·八年级校联考期中）如图，中，，，，、分别是其角平分线和中线，过点作于，交于，连接，则线段的长为（    ）A． B．1 C． D．2【变式2-1】（2022秋·河南南阳·九年级期末）如图，菱形的对角线相交于点O，点E在上，连接，点F为的中点，连接，若，，，则线段的长为（    ）A．5 B． C． D．6【变式2-2】（2022秋·河南新乡·九年级校考期末）如图，在中，平分，D是的中点，，，则的长为（    ）A．1 B． C．2 D．【变式2-3】（2022秋·安徽宣城·八年级校考期中）如图，的周长为，点，都在边上，的平分线垂直于，垂足为，的平分线垂直于，垂足为，若，则的长为（　　）A． B． C． D．【题型3 利用三角形的中位线求周长】【例3】（2022春·河北唐山·八年级统考期中）如图，在△ABC中，CD⊥AB于点D，E，F分别为AC，BC的中点．AB＝10，BC=8，DE＝4.5，则△DEF的周长是（    ）A．14.5 B．12.5 C．9.5 D．13.5【变式3-1】（2022春·浙江杭州·八年级杭州英特外国语学校校考期中）如图，已知矩形的对角线的长为，连接矩形各边中点E、F、G、H得四边形，则四边形的周长为（   ）．A．10 B．20 C．30 D．40【变式3-2】（2022春·河南信阳·八年级统考期末）如图，点D是内一点，，，，，点E，F，G，H分别是AB，AC，CD，BD的中点，则四边形EFGH的周长是（　　　）．A．14 B．18 C．21 D．24【变式3-3】（2022春·重庆·八年级重庆南开中学校考期末）如图，矩形ABCD的对角线AC，BD交于点O，E为BC边上一点，连接DE，F为DE的中点，连接OF，CF，若的周长为10，则的周长为（    ）A．4 B．5 C．6 D．7【题型4 利用三角形的中位线求面积】【例4】（2022春·山东德州·八年级校考期末）如图，的面积是，点，，，分别是，，，的中点，则的面积是________【变式4-1】（2022春·广东深圳·八年级统考期末）如图，EF是△ABC的中位线，点O是EF上一点，且满足，则△ABC 的面积与△AOC的面积之比为（    ） A． B． C． D．【变式4-2】（2022春·河北石家庄·八年级统考期末）如图，在给定的△ABC中，动点D从点B出发沿BC方向向终点C运动，DEAC交AB于点E，DFAB交AC于点F，O是EF的中点，在整个运动过程中，△OBC的面积的大小变化情况是（　　）A．不变 B．一直增大C．先增大后减小 D．先减小后增大【变式4-3】（2022春·江苏苏州·八年级校考期末）如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点，F是BC边上的一个动点，连接DE，EF，FD．若△ABC的面积为18 cm，则△DEF的面积是__cm 【题型5 利用三角形的中位线求最值】【例5】（2022秋·山东泰安·八年级校考期末）如图，在菱形中，，，E，F分别是边上的动点，连接和，G，H分别为，的中点，连接，则的最小值为（    ）A． B． C． D．1【变式5-1】（2023秋·河南南阳·九年级南阳市第三中学校考期末）如图，点，的坐标分别为，，点为平面直角坐标系内一点，，点为线段的中点，连接，则的最小值为（    ）A． B． C． D．【变式5-2】（2023秋·陕西西安·九年级统考期末）如图，矩形中，，为的中点，为上一动点，为中点，连接，则的最小值是___________．【变式5-3】（2022春·甘肃兰州·八年级校考期末）已知菱形ABCD的两条对角线分别为6和8，M、N分别是边BC、CD的中点，P是对角线BD上一点，则PM+PN的最小值是（　　）A．5 B．5 C．5 D．不能确定【题型6 与三角形中位线有关的规律探究】【例6】（2022春·辽宁丹东·八年级校考期末）如下图，在边长为a的等边中，分别取三边的中点，，，得；再分别取三边的中点，，，得；这样依次下去，经过第2022次操作后得，则的面积为__________．【变式6-1】（2022秋·浙江湖州·九年级统考期末）如图，将沿着过中点的直线折叠，使点落在边上的处，称为第1次操作，折痕到的距离记为；还原纸片后，再将沿着过中点的直线折叠，使点落在边上的处，称为第2次操作，折痕到的距离记为；按上述方法不断操作下去，经过第4次操作后得到的折痕到的距离记为，若，则的值是（    ）A． B． C． D．【变式6-2】（2022秋·山东济南·九年级统考期中）如图，是边长为1的等边三角形，分别取边的中点D、E，连接，作得到四边形，它的周长记作；分别取的中点，连接，作，得到四边形，它的周长记作，…，照此规律作下去，则等于___________．【变式6-3】（2022秋·江苏连云港·八年级统考期中）如图，在中，，，．分别是的中点，连接；分别是的中点，连接；……按此规律进行下去，则中最短边的长度为_______．【题型7 与三角形中位线有关的格点作图】【例7】（2022春·浙江杭州·九年级期末）如图，在的方格纸中，线段的两个端点分别落在格点上，请按要求画图：（1）在图1中画一个格点四边形，且与垂直．（2）在图2中画一个以为中位线的格点．【变式7-1】（2022秋·山西晋城·九年级统考期末）请在如图所示的正方形和等边三角形网格内，仅用无刻度的直尺完成下列作图，过点P向线段AB引平行线．【变式7-2】（2022·浙江温州·校考二模）如图，在所给的方格纸中，每个小正方形的边长都是1，四边形是平行四边形，连结（点，，，均在格点上），请按要求完成下列作图任务．要求：①仅用无刻度直尺，且不能用直尺中的直角；②保留作图痕迹．（1）在图1中作的中位线，且；（2）在图2中取边上点，以，为邻边作，且的面积等于的面积． 【变式7-3】（2022·四川乐山·三模）如图，在4×4的正方形网格图中，点A、B均在格点上，请按要求完成下列解答：（注：作图仅能使用无刻度的直尺，且要求保留作图痕迹．请你借助网格图完成第（2）、（3）、（4）小题的作图）．(1)直接写出线段AB的长为；(2)在网格图中找一个格点C，连接BC，使BC⊥AB；(3)在网格图中，用正确的方法画出线段AB的中点D；(4)连接AC并在线段AC上找一点E，连接DE，使DEBC．【题型8 三角形中位线的实际应用】【例8】（2022春·湖北·八年级校考期中）如图，某花木场有一块如四边形形状的空地，其中，其各边中点分别是E、F、G、H，测得对角线，现想利用篱笆围成四边形场地，则需篱笆的总长度是（    ）A． B． C． D．【变式8-1】（2022春·广东惠州·八年级校联考期末）如图，A，B两点被池塘隔开，在AB外选一点C，连接AC和BC．分别取AC，BC的中点D，E，测得D，E两点间的距离为20m，则A，B两点间的距离为______m．【变式8-2】（2022春·重庆南岸·八年级统考期末）某地为了更好地保护红军历史博物馆，经过精心的筹备规划，决定把原来博物馆的平面图扩大．如图，已知原来博物馆的平面图是，规划后博物馆的平面图是四边形，其中点A，B，C，D分别是边的中点．如果原来博物馆的平面图的面积为，则规划后博物馆的平面图占地面积为________．【变式8-3】（2022秋·陕西商洛·八年级统考期末）如图（1），要在燃气管道l上修建一个泵站，分别向A、B两镇供气，泵站修在管道的什么地方，可使所用的输气管线最短？聪明的小华通过独立思考，很快得出了解决这个问题的正确方法．她把管道l看成一条直线（图2），问题就转化为：要在直线l上找一点P，使AP与BP的和最小，她的做法是这样的：①作点B关于直线l的对称点B′；②连接AB′交直线l于点P，则点P即为所求．请你参照小华的做法解决 下列问题，如图（3），在△ABC中，点D、E分别是AB、AC边的中点，BC＝6，BC边上的高为4，请你在BC边上确定一点P，使△PDE的周长最小．(1)在图中作出点P（保留作图痕迹，不写作法）；(2)求△PDE周长的最小值．【题型9 与三角形中位线有关的证明】【例9】（2022秋·山东青岛·九年级校考期末）如图，在平行四边形中，对角线、相交于点，，、、分别是、、的中点．求证：(1)；(2)连接，求证：四边形是菱形．【变式9-1】（2022秋·吉林长春·九年级统考期末）【教材呈现】如图是华师版九年级上册数学教材第80页的第3题，请完成这道题的证明．【结论应用】（1）如图②，在上边题目的条件下，延长图①中的线段的延长线交的延长线于点E，延长线段交的延长线于点F．求证：．（2）若（1）中的，则的大小为　 　．【变式9-2】（2022秋·安徽合肥·九年级校联考期末）如图，在和中，，，，不动，绕点A旋转，连接、，F为的中点，连接．(1)如图①，当时，求证：；(2)当时，（1）的结论是否成立？请结合图②说明理由．【变式9-3】（2022春·吉林松原·八年级校考期末）阅读材料：如图1，四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O，点M是AB边上的一点，过点M分别作MEBD，MFAC交直线AC，BD于点E，F，显然四边形OEMF是平行四边形．(1)当对角线，满足______时，四边形是矩形．(2)如图，若四边形是矩形，且是的中点，判断四边形是什么特殊的平行四边形，并写出证明过程．(3)如图，在四边形为矩形的条件下，若点是边延长线上的一点，此时，，三条线段之间存在怎样的数量关系？并说明理由．