2025年中考数学二轮复习：二次函数的线段周长问题 压轴练习题（含答案）

这是一份2025年中考数学二轮复习：二次函数的线段周长问题 压轴练习题（含答案），共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题
1．如图，函数 y=−x2+12 的图象与x轴交于A，B两点，点C是以 M(0，2) 为圆心，2为半径的圆上的动点，P是 AC 的中点，连结 OP ，则线段 OP 的最小值是（ ）
A．1B．3C．2D．7
2．已知抛物线 y=ax2+4ax+4a+1(a≠0) 过A（m，3），B（n，3）两点，若线段AB的长不大于4，则代数式 a2+a−1 的最小值是( )
A．14B．−14C．12D．−54
二、填空题
3．如图，在平面直角坐标系中，点A、E在抛物线y=ax2上，过点A、E分别作y轴的垂线，交抛物线于点B、F，分别过点E、F作X轴的垂线交线段AB于两点C、D.当点E(2，4)，四边形CDFE为正方形时，则线段AB的长为 .
4．如图，抛物线y=ax2-2ax+3 (a>0)与y轴交于点A，过点A作x轴的平行线交抛物线于点M，P为抛物线的顶点，若直线OP交直线AM于点B，且M为线段AB的中点，则线段PB的长为 .
5．“一切为了U”是常山在赶考共同富裕道路上，最新确定的城市品牌．已知线段AB，对于坐标平面内的一个动点P，如果满足∠APB=30°，则称点P为线段AB的“U点”，如图，二次函数y=12x2+3x+52与x轴交于点A和点B．（1）线段AB的长度为 ；（2）若线段AB的“U”点落在y轴的正半轴上，则该“U点”的坐标为 ．
三、解答题
6．如图，抛物线y=x2−bx+c交x轴于点A1,0，交y轴于点B，对称轴是x=2．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P是抛物线对称轴上的一个动点，是否存在点P，使△PAB的周长最小？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
7．如图，抛物线y=ax2+bx+ca≠0与x轴交于A−3,0、B4,0两点，且OB=OC．
（1）求抛物线解析式；
（2）点H是抛物线对称轴上的一个动点，连接AH、CH、AC，求出当△ACH的周长最小时点H的坐标．
8．如图，直线y=x−3与x轴、y轴分别交于点B、A，抛物线y=a(x−2)2+k经过点A、B，其顶点为C．
（1）求抛物线的解析式．
（2）求△ABC的面积．
（3）点P为直线AB上方抛物线上的任意一点，过点P作PD//y轴交直线AB于点D，求线段PD的最大值及此时点P的坐标．
9．如图，直线y=x+2与抛物线y=ax2+bx+6(a≠0)相交于A(12,52)和B(4,m)，点P是线段AB上异于A、B的动点，过点P作PC⊥x轴于点D，交抛物线于点C.
（1）求抛物线的解析式；
（2）是否存在这样的P点，使线段PC的长有最大值?若存在，求出线段PC的最大值；若不存在，请说明理由；
（3）当点P在抛物线的对称轴上时，抛物线上存在点Q，使得△ABQ的面积恰为△ABD面积的一半，请直接写出点Q的坐标.
10．如图，已知二次函数y=x2+bx+c经过A，B两点，BC⊥x轴于点C，且点A−1，0，C4，0，AC=BC．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点E是线段AB上一动点（不与A，B重合），过点E作x轴的垂线，交抛物线于点F，当线段EF的长度最大时，求点E的坐标．
（3）点P是抛物线对称轴上的一个动点，是否存在这样的P点，使△ABP成为直角三角形？若存在，求出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．
11．如图，已知抛物线y=ax2+bx+ca≠0的图像与x轴交于点A−1,0和点B3,0，与y轴交于点C0,−3．
（1）求二次函数的表达式；
（2）如图，点M是直线BC下方的二次函数图象上的一个动点，过点M作MH⊥x轴于点H，交BC于点N，求线段MN最大时点M的坐标；
（3）在（2）的条件下，该抛物线上是否存在点Q，使得∠QCB=∠CBM．若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
12．如图，抛物线y=12x2−x−4与x轴交于点A和B，与y轴交于点C．
（1）求A、B、C三点坐标；
（2）如图1，动点P从点A出发，在线段AB上以每秒1个单位长度向点B做匀速运动，同时，动点Q从点B出发，在线段BC上以每秒2个单位长度向点C做匀速运动，当其中一点到达终点时，另一点随之停止运动，连接PQ，设运动时间为t秒，问P、Q两点运动多久后△PBQ的面积S最大，最大面积是多少？
（3）如图2，点D为抛物线上一动点，直线AD交y轴于点E，直线BD交y轴于点F，求CECF的值．
13．在平面直角坐标系中，直线y=−x−2与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线y=ax2+bx+ca>0经过A，B两点，并与x轴的正半轴交于点C．
（1）求a，b满足的关系式及c的值；
（2）当a=14时，若点P是抛物线对称轴上的一个动点，求△ABP周长的最小值；
（3）当a=1时，若点Qm,n是直线AB下方抛物线上的一个动点，过点Q作QD⊥AB于点D．当m取何值时，线段QD取最大值？并求出QD的最大值．
14．如图，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于点A(−1,0)和点B，与y轴交于点C(0,−4)，其顶点为D．
（1）求抛物线的表达式及顶点D的坐标；
（2）在y轴上是否存在一点M，使得△BDM的周长最小．若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）若点E在以点P(3,0)为圆心，1为半径的⊙P上，连结AE，以AE为边在AE的下方作等边三角形AEF，连结BF．求BF的取值范围．
15．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图像经过原点和点A(4,0).经过点A的直线与该二次函数图象交于点B(1,3)，与y轴交于点C.
（1）求二次函数的解析式及点C的坐标；
（2）点P是二次函数图象上的一个动点，当点P在直线AB上方时，过点P作PE⊥x轴于点E，与直线AB交于点D，设点P的横坐标为m.
①m为何值时线段PD的长度最大，并求出最大值；
②是否存在点P，使得△BPD与△AOC相似.若存在，请求出点P坐标；若不存在，请说明理由.
答案解析部分
1．【答案】A
2．【答案】B
3．【答案】42
4．【答案】154
5．【答案】4；(0，23−7)或(0，23+7)
6．【答案】（1）由题意得，1−b+c=0b2=2，
解得b=4，c=3，
∴抛物线的解析式为：y=x2−4x+3；
​​​​​​
（2）∵点A与点C关于直线x=2对称，
∴连接BC与直线x=2交于点P，则点P即为所求，
根据抛物线的对称性可知，点C的坐标为3,0，
y=x2−4x+3与y轴的交点为B0,3，
∴设直线BC的解析式为：y=kx+b，
3k+b=0b=3，
解得，k=−1，b=3，
∴直线BC的解析式为：y=−x+3，
则直线BC与直线x=2的交点坐标为：P2,1
∴点P的坐标为：2,1．
7．【答案】（1）解：由题意可得，OC=OB=4，
∴C0,−4，
把A−3,0、B4,0、C0,−4代入y=ax2+bx+ca≠0，
得9a−3b+c=016+4b+c=0c=−4，解得a=13b=−13c=−4，
∴抛物线解析式为y=13x2−13x−4；
（2）y=13x2−13x−4，
∴抛物线的对称轴为x=12，
∵A−3，0、B4，0两点关于x=12对称， 点H是抛物线对称轴上的一个动点 ，
∴AH=BH
∴△ACH的周长为AC+CH+AC=AC+CH+BH，
∴当B、C、H三点共线时，△ACH周长的最小，
如图所示：连接BC交对称轴于点H，则△ACH周长的最小；
∵B4，0，C0,−4，
设直线BC的解析式为y=kx−4，
代入B4，0可得：4k−4=0，解得：k=1，
∴直线BC的解析式为y=x−4，
当x=12时，y=−72，
∴H12,−72．
8．【答案】（1）解：当x=0时，y=−3，
当y=0时，x=3，
∴A(0,−3)，B(3,0)，
由题意得：4a+k=−3a+k=0，
解得：a=−1k=1，
∴抛物线的解析式为：y=−(x−2)2+1=−x2+4x−3；
（2）解：由抛物线的顶点式得：C(2,1)，
设AC的解析式为：y=bx−3，
则2b−3=1，
解得：b=2，
∴AC的解析式为：y=2x−3，
令AC与x轴交于点E，
当y=0时，2x−3=0，
解得：x=1.5，则E(1.5,0)，
∴S△ABC=S△ABE+S△CBE=12BE⋅|xA|+12BE⋅|xC|=12×(3−1.5)×(1+3)=3；
（3）解：设AB的解析式为：y=mx−3，
则：0=3m−3，
解得：m=1，
∴AB的解析式为：y=x−3，
∴点P为直线AB上方抛物线上的任意一点，过点P作PD//y轴，
设点P(x,−x2+4x−3)，(0