2023年中考数学二轮复习----线段周长问题（二次函数综合）(含答案)

2023年中考数学二轮复习----线段周长问题（二次函数综合）

一、解答题

1．如图，抛物线与x轴交于、两点，直线l与抛物线交于A、C两点，其中点C的横坐标是2．

(1)求抛物线的函数表达式；

(2)在抛物线的对称轴上找一点P，使得△PBC的周长最小，并求出点P的坐标；

(3)在平面直角坐标系中，是否存在一点E，使得以E、A、B、C为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．

2．如图,二次函数的图像交x轴于A、B两点，交y轴于点C，点B的坐标为，顶点的坐标为，连接．

(1)求二次函数的解析式和直线的解析式；

(2)点是直线上的一个动点（不与B、C重合），过点M作x轴的垂线，交抛物线于点N，交x轴于点P.

①如图1，求线段长度的最大值；

②如图2，连接.试问：抛物线上是否存在点Q,使得与的面积相等，且线段的长度最小？如果存在，求出点Q的坐标；如果不存在，请说明理由．

3．已知二次函数（，，是常数，）的自变量与函数值的部分对应值如下表：

(1)求二次函数的解析式及，的值；

(2)为二次函数图象上的任意一点，其横坐标为，过点作//轴，点的横坐标为；

①若线段与二次函数的图象有两个交点，借助图象写出的取值范围：_________．

②设二次函数的图象与轴正半轴的交点为，连接，，若是直角三角形，直接写出的值．

4．如图，在平面直角坐标系中，已知点的坐标为，且，抛物线图象经过三点．

（1）求两点的坐标；

（2）求抛物线的解析式；

（3）若点是直线下方的抛物线上的一个动点，作于点，当的值最大时，求此时点的坐标及的最大值．

5．如图1，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B右侧），与y轴交于点C，点D是抛物线的顶点．

（1）如图1，连接AC、BC，若点P是直线AC上方抛物线上一动点，过点P作PE//BC交于点E，作PQ//y轴交AC于点Q，当△PQE周长最大时，若点M在y轴上，点N在x轴上，求PM+MNAN的最小值；

（2）如图2，点G为x轴正半轴上一点，且OG=OC，连接CG，过点作于点，将绕点顺时针旋转，记旋转中的为△，在旋转过程中，直线，分别与直线交于点，，△能否成为等腰三角形？若能请直接写出所有满足条件的的值；若不能，请说明理由．

6．已知抛物线y=a（x﹣1）2﹣3（a≠0）的图象与y轴交于点A（0，﹣2），顶点为B．

（1）试确定a的值，并写出B点的坐标；

（2）若一次函数的图象经过A、B两点，试写出一次函数的解析式；

（3）试在x轴上求一点P，使得△PAB的周长取最小值；

（4）若将抛物线平移m（m≠0）个单位，所得新抛物线的顶点记作C，与原抛物线的交点记作D，问：点O、C、D能否在同一条直线上？若能，请求出m的值；若不能，请说明理由．

7．综合与探究

如图，抛物线y=﹣与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，直线l经过B，C两点，点M从点A出发以每秒1个单位长度的速度向终点B运动，连接CM，将线段MC绕点M顺时针旋转90°得到线段MD，连接CD，BD．设点M运动的时间为t（t＞0），请解答下列问题：

（1）求点A的坐标与直线l的表达式；

（2）①直接写出点D的坐标（用含t的式子表示），并求点D落在直线l上时的t的值；

②求点M运动的过程中线段CD长度的最小值；

（3）在点M运动的过程中，在直线l上是否存在点P，使得△BDP是等边三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

8．如图，抛物线与x轴交于点，与y轴交于点C．

(1)求抛物线的解析式；

(2)若点M为该抛物线对称轴上一点，当最小时，求点M的坐标；

(3)若点P在抛物线第一象限的图象上，则面积的最大值为________．

9．如图，二次函数 的图象与x轴与交于点A、点B（2，0），与y轴交于点C，∠ACB=90o．

(1)求二次函数解析式;

（2）直线与轴平行，分别交线段AB、CB于点E、F，且与抛物线交于点P．

①求线段PF取得最大值时，OE的长；

②四边形ACPB的面积是否存在最大值？如果存在求出此最大值和点P的坐标；如果不存在，说明理由．

 (3)不解方程组，直接写出的解．

10．已知抛物线与x轴交于点，，与y轴交于点C．

(1)求抛物线的函数解析式．

(2)如图1，点D在抛物线上，过点D作轴，交直线BC于点E，交x轴于点F，设点D的横坐标为m，且，求线段DE长度的最大值．

(3)如图2，设M为抛物线的顶点，，在y轴上是否存在点Q，使得？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

11．如图，已知抛物线与一直线相交于A(-1，0)，B(2，3)两点，抛物线的顶点为M．

(1)求抛物线的表达式及顶点M的坐标；

(2)若C是抛物线上位于直线AB上方的一个动点，设点C的横坐标为t，过点C作y轴的平行线交AB与D，当t为何值时，线段CD的长最大，并求其最大值；

(3)若抛物线的对称轴与直线AB相交于点N，E为直线AB上的任意一点，过点E作EFAB交抛物线于点F，以M，N，E，F为顶点的四边形能否为平行四边形？若能，求出点E的坐标；若不能，请说明理由．

12．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线的顶点，与轴相交于，两点，与轴交于点，与直线相交于，两点．

（1）求抛物线的函数表达式；

（2）当时，求的值；

（3）如图2，作轴交的延长线于，当的周长最小时，求点的坐标．

13．如图，已知抛物线y＝ax2+bx﹣3的图象与x轴交于点A（1，0）和B（3，0），与y轴交于点C，D是抛物线的顶点，对称轴与x轴交于E．

（1）求抛物线的解析式；

（2）如图1，在抛物线的对称轴DE上求作一点M，使△AMC的周长最小，并求出点M的坐标和周长的最小值．

（3）如图2，点P是x轴上的动点，过P点作x轴的垂线分别交抛物线和直线BC于F、G，使△FCG是等腰三角形，直接写出P的横坐标．

14．如图，顶点为的抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，过点作轴交抛物线于另一点，作轴，垂足为点.双曲线经过点，连接，.

(1)求抛物线的表达式；

(2)点，分别是轴，轴上的两点，当以，，，为顶点的四边形周长最小时，求出点，的坐标；

（3）动点P从点O出发,以每秒1个单位长度的速度沿0C方向运动,运动时间为t秒，当t为何值时，∠BPD的度数最大? (请直接写出结果)

15．如图，抛物线与轴交于点，点，与轴交于点，其对称轴为．过点的直线与抛物线交于另一点．

(1)该抛物线的解析式为 ；

(2)点是轴上的一动点，当为等腰三角形时，直接写出点的坐标；

(3)点是第四象限内抛物线上的一个点，过点作于．若取得最大值时，求这个最大值：

(4)是抛物线对称轴上一点，过点作轴于点．当最短时，求点的坐标．

16．如如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于A（-2，0）、B（4，0）两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，连接AC、BC，点P为直线BC上方抛物线上一动点，连接OP交BC于点Q．

(1)求抛物线的表达式；

(2)当的值最大时，求点P的坐标和的最大值；

(3)点M为抛物线上的点，当时，求点M的坐标．

17．在平面直角坐标系中，已知二次函数．

（1）若，当时，函数图象的最低点的纵坐标为-18，求的值；

（2）若该函数图象上有两点，设，当时，总有，求的取值范围；

（3）已知和，若抛物线与线段只有一个公共点，求的取值范围．

参考答案：

1．(1)

(2)

(3)存在，E的坐标为或或

2．(1)；

(2)①；②存在，，

3．(1)，m、n的值分别为﹣3，﹣4；

(2)①﹣3≤k＜﹣1；②k的值为﹣1＋或﹣1－．

4．（1）A（4，0）,C（0，﹣4）；（2） ；（3）PD的最大值为，此时点P（2，﹣6）．

5．（1）PM+MN﹣AN的最小值是；（2）满足条件的旋转角α为15°或37.5°或60°或127.5°．

6．（1）a=1，B（1，-3）；（2）y=-x-2；（3）P（，0）；（4）能，m=2或-3.

7．（1）A（﹣3，0），y=﹣x+；（2）①D（t﹣3+，t﹣3），②CD最小值为；（3）P（2，﹣），

8．(1)；

(2)M（，）；

(3)27

9．（1）（2）①1；（3）

10．(1)；

(2)；

(3)存在点Q，点Q的坐标为（0，）或（0，）

11．(1)，顶点M的坐标为（1，4）

(2)当时，CD的长最大，最大值为

(3)能，点E的坐标为：（0，1）或（，）或（，）

12．（1）；（2）或；（3），

13．（1）y＝﹣x2+4x﹣3；（2）M（2，-1）；周长最小为3+；（3）P的坐标是：（5，0）或（4，0）或（3﹣，0）或（3+，0）

14．(1)；(2)；；(3)

15．(1)

(2)或或或

(3)

(4)

16．(1)

(2)最大值为，

(3)点M的坐标为或

17．（1）m=2;（2）2≤n≤ 4;（3）当m=2或时抛物线与线段AB有一个交点．