2023-2024学年山东省青岛市李沧区九年级上学期期末模拟数学试卷（解析版）

这是一份2023-2024学年山东省青岛市李沧区九年级上学期期末模拟数学试卷（解析版），共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，作图题，解答题等内容，欢迎下载使用。
第Ⅰ卷（共24分）
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
1. 如图所示的物体，其主视图是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】从正面可以看到的平面图形是
故选A.
2. 如图，在中，，，，则的面积为（ ）
A. 24B. 30C. 40D. 48
【答案】A
【解析】在中，，，，
∴，
∴，
∴，
故选A．
3. 暑假即将来临，小明和小亮每人要从甲、乙、丙三个社区中随机选取一个社区参加综合实践活动，那么小明和小亮选到同一社区参加实践活动的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】画树状图得：
∵共有9种等可能的结果，小明和小亮选到同一社区参加实践活动的有3种情况，
∴小明和小亮选到同一社区参加实践活动的概率为：，故选B.
4. 如图，将ABC放在每个小正方形的边长为1的网格中，点A，B，C均在格点上，则tanA的值是（ ）
A. B. C. 2D.
【答案】D
【解析】连接BD，如图所示：
根据网格特点可知，，
∴，
∵， ，
∴在Rt△ABD中，tanA＝＝，故D正确．
故选：D．
5. 点均在二次函数的图象上，则，的大小关系是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】∵，
∴图象的开口向上，对称轴是直线，时，y随x的增大而增大，
关于对称轴的对称点为，
∵，∴，
故选：D．
6. 如图，小强从热气球上的A点测量一栋高楼顶部的仰角，测量这栋高楼底部的俯角，热气球与高楼的水平距离为米，则这栋高楼的高BC为（ ）米．
A. 45B. 60C. 75D. 90
【答案】B
【解析】∵
∴米
∵
∴米
∴米
故选B．
7. 如图，矩形的顶点A、B分别在反比例函数与的图像上，点C、D在x轴上，分别交y轴于点E、F，则阴影部分的面积等于（ ）
A. B. 2C. D.
【答案】D
【解析】设点A坐标为，．则．
∴点B的纵坐标为．
∴点B横坐标为．∴．∴．
∵，∴，∴．
∴．
∴．
．
∴．
故选：D．
8. 如图，抛物线交x轴于O，A两点；将绕点A旋转得到抛物线，交x轴于；将绕点A2旋转得到抛物线，交x轴于，……，如此进行下去，则抛物线的解析式是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】∵，
∴配方可得，
∴顶点坐标为，
∴A坐标为，
∵由旋转得到，
∴，即顶点坐标为，；
照此类推可得，顶点坐标为，；
顶点坐标为，；
……，
∴抛物线的顶点坐标是，，．
抛物线的解析式是．
故选：A．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
9. 已知，则的值为 _____．
【答案】
【解析】设，
∴，，
∴=，
故答案为：．
10. 在一个不透明的袋子中有除颜色外均相同的个白球和若干黑球，通过多次摸球试验后，发现摸到白球的频率约为，估计袋中黑球有___________个．
【答案】
【解析】∵通过多次摸球试验后，发现摸到白球的频率约为，
∴摸到白球的概率约为，
∴袋子中一共有个球，
∴估计袋子中黑球的有个，
故答案为：
11. 如图，在中，，则的值是_______；
【答案】
【解析】在中，
则，
∴，
故答案：．
12. 如图是反比例函数和在第一象限的图像，直线轴，并分别交两条双曲线于、两点，若，则_____．
【答案】
【解析】如图，设直线与轴交于点，
由反比例函数比例系数的几何意义可知，
，，
∵，
∴，
解：．
13. 某商品经过两次连续提价，每件售价由原来的100元上涨到了121元．设平均每次涨价的百分率为，则是____________．
【答案】
【解析】设平均每次涨价的百分率为，
由题意得：，
解得：，（舍去，不符合题意），
故答案为：．
14. 如图，在矩形纸片ABCD中，AD＝10，AB＝8，将AB沿AE翻折，使点B落在处，AE为折痕；再将EC沿EF翻折，使点C恰好落在线段EB'上的点处，EF为折痕，连接．若CF＝3，则tan＝_____．
【答案】
【解析】连接AF，设CE＝x，则C′E＝CE＝x，BE＝B′E＝10﹣x，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝CD＝8，AD＝BC＝10，∠B＝∠C＝∠D＝90°，
∴AE2＝AB2+BE2＝82+（10﹣x）2＝164﹣20x+x2，
EF2＝CE2+CF2＝x2+32＝x2+9，
由折叠知，∠AEB＝∠AEB′，∠CEF＝∠C′EF，
∵∠AEB+∠AEB′+∠CEF+∠C′EF＝180°，
∴∠AEF＝∠AEB′+∠C′EF＝90°，
∴AF2＝AE2+EF2＝164﹣20x+x2+x2+9＝2x2﹣20x+173，
∵AF2＝AD2+DF2＝102+（8﹣3）2＝125，
∴2x2﹣20x+173＝125，
解得，x＝4或6，
当x＝6时，EC＝EC′＝6，BE＝B′E＝8﹣6＝2，EC′＞B′E，不合题意，应舍去，
∴CE＝C′E＝4，
∴B′C′＝B′E﹣C′E＝（10﹣4）﹣4＝2，
∵∠B′＝∠B＝90°，AB′＝AB＝8，
∴tan∠B'AC′＝=．
三、作图题（本题满分4分）
15. 已知：，，求作：矩形．
解：如图，四边形即为所求．
四、解答题（本大题共9小题，共74分）
16. （1）解方程：2x2+4x﹣3＝0；
（2）计算：sin245°+tan60°•cs30°．
解：（1）解方程：2x2+4x﹣3＝0，
因为a=2，b=4，c=-3，
所以 ，
所以，
所以，；
（2）计算：sin245°+tan60°•cs30°，
解：原式===2.
17. 某学校为了解全校学生对电视节目（新闻、体育、动画、娱乐、戏曲）的喜爱情况，从全校学生中随机抽取部分学生进行问卷调查，并把调查结果绘制成两幅不完整的统计图．
请根据以上信息，解答下列问题
（1）这次被调查的学生共有多少名？
（2）请将条形统计图补充完整；
（3）若该校有3000名学生，估计全校学生中喜欢体育节目的约有多少名？
（4）该校宣传部需要宣传干事，现决定从喜欢新闻节目的甲、乙、丙、丁四名同学中选取2名，用树状图或列表法求恰好选中甲、乙两位同学的概率．
解：（1）这次被调查的学生人数为（名；
（2）喜爱“体育”的人数为（名，
补全图形如下：
（3）估计全校学生中喜欢体育节目的约有（名；
（4）列表如下：
所有等可能的结果为12种，恰好选中甲、乙两位同学的有2种结果，
所以恰好选中甲、乙两位同学的概率为．
18. 如图1，是一款手机支架图片，由底座、支撑板和托板构成．图2是其侧面结构示意图，量得托板长，支撑板长，底座长，托板AB连接在支撑板顶端点C处，且，托板可绕点C转动，支撑板可绕D点转动．如图2，若．(参考数值，，)

（1）求点C到直线的距离(精确到0.1cm)；
（2）求点A到直线的距离(精确到0.1cm)．
解：（1）如图2，过点C作，垂足为N

由题意可知，，
在中， ，
∴．
答：点C到直线的距离约为．
（2）如图3，过A作，交的延长线于点M，过点C作，垂足为F，

∴
在中，，，
∴，
∴．
答：点A到直线的距离约为21.5cm．
19. 一家商店销售某种商品，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售、增加盈利，该店采取降价措施，在每件盈利不少于24元的前提下，经过一段时间销售，发现销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件．
（1）求每件商品降价多少元时，该商店每天销售利润为1200元．
（2）求每件商品降价多少元时，该商店每天销售利润最大，最大利润是多少元？
解：（1）设每件商品降价x元时，该商店每天销售利润为1200元
由题意得：（40－x）（20＋2x）＝1200
解得：x1＝10，x2＝20
∵每件盈利不少于24元
∴x2＝20应舍去
∴x＝10
即每件商品应降价10元时，该商店每天销售利润为1200元．
（2）设每件商品降价n元时，该商店每天销售利润为y元
则：y＝（40－n）（20＋2n）
y＝－2n2＋60n＋800
∵－2＜0
∴y有最大值
当n＝15时，y有最大值1250元
∴每件利润为25元，符合题意
即每件商品降价15元时，该商店每天销售利润最大值为1250元
20. 如图，在矩形中，，在边 上是否存在一点 E，使？若存在，求出的长；若不存在，请说明理由．
解：假设在边 上存在一点 E，使 ，设 ，
∵四边形 是矩形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴此方程无解，
∴在 上不存在点 E，使．
21. 如图，一次函数的图象与y轴交于点C，与反比例函数的图象交于，两点．
（1）求A、B两点的坐标和反比例函数的表达式；
（2）连接、，求的面积；
（3）在x轴上找一点P，使的值最小，求满足条件的点P的坐标．
解：（1）把，两点的坐标代入，
得，
，解得，
则、，
把代入，得，
∴反比例函数的表达式为；
（2）∵一次函数图象与y轴交于点C，
∴，
∴，
∵、，
∴；
（3）作B点关于x轴的对称点，连接交x轴于P点，则，
∵，
∴此时的值最小，
设直线的解析式为，
把点，的坐标代入，得，解得，
∴直线的解析式为，
当时，，解得：，
∴点P的坐标为．
22. 如图在平行四边形中，O 为对角线 的中点，过点 O 的直线 分别交，于点 E，F．
（1）求证：；
（2）从下列条件中任选一个作为已知条件后，试判断四边形的形状，并证明你的结论．①，②．
选择的条件：_________（填写序号）．（注：如果选择①，②分别进行解答，按第一个解答计分）
（1）证明：四边形 为平行四边形
为对角线 的中点
（）
；
（2）解：四边形是矩形
选择的条件： ①
证明：.
四边形 是平行四边形
平行四边形是矩形
选择的条件： ②
证明：
四边形是平行四边形
∵
平行四边形 是菱形
23. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点，与y轴交于点C，点D为的中点．
（1）求该抛物线的函数表达式；
（2）点G是该抛物线对称轴上的动点，若有最小值，求此时点G的坐标；
（3）若点P是第四象限内该抛物线上一动点，求面积的最大值；
解：（1）把代入抛物线得：，
解得：，∴抛物线的函数表达式为；
（2）∵点G是该抛物线对称轴上的动点，
∴，
∴，
∴当点G正好在直线与抛物线对称轴的交点上时最小，
把代入得：，
∴点C的坐标为：，
设直线的解析式为：，
把代入得：，
解得：，
∴ 直线的解析式为：，
抛物线的对称轴为直线，
把代入得：，
∴点G的坐标为：；
（3）连接，过点P作轴，交于点Q，如图所示：
∵点D是的中点，
∴，
∴当面积最大时，面积最大，
设，则，
，
，
∴当时，面积取最大值4，
∴面积的最大值为．
24. （1）如图1，和均为等边三角形，直线和直线交于点F．填空：
①线段，之间的数量关系为________；②的度数为______．
（2）如图2所示，和均为等腰直角三角形，，直线和直线交于点F，请判断的度数及线段，之间的数量关系，并说明理由．
（3）如图3所示，和均为直角三角形，，，当点B在线段的延长线上时，求线段和的长度．
解：（1）①∵和均为等边三角形，
∴，，，
∴，
即，
∴，
∴；
故答案为：；
②∵，
∴，
设交于点O，
∵，
∴，
即．
故答案为：．
（2）结论：， ．理由如下：
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴．
（3）在中，，
在中，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴ ，
∴，
∴，
∴．甲
乙
丙
丁
甲
（乙，甲）
（丙，甲）
（丁，甲）
乙
（甲，乙）
（丙，乙）
（丁，乙）
丙
（甲，丙）
（乙，丙）
（丁，丙）
丁
（甲，丁）
（乙，丁）
（丙，丁）