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2023-2024学年山东省青岛市李沧区九年级（上）期末数学试卷（含解析）
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这是一份2023-2024学年山东省青岛市李沧区九年级（上）期末数学试卷（含解析），共23页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.2024年1月4日，第22届瓦萨国际滑雪节开幕式在长春净月潭国家森林公园启幕.如图，一名滑雪运动员沿着倾斜角为α的斜坡，从点A滑行到点B.若AB=500m，则这名滑雪运动员下降的高度为( )
A. 500sinαm
B. 500csαm
C. 500tanαm
D. 500tanαm
2.如图是一把做工精湛的紫砂壶，其俯视图的大致形状是( )
A.
B.
C.
D.
3.小明拿一个等边三角形木框在阳光下玩，等边三角形木框在地上的投影不可能是( )
A. 线段B. 一个点C. 等边三角形D. 等腰三角形
4.如图是一把直角三角尺，∠C=90°，∠B=30°，AC=7cm，DF=5cm，且△ABC∽△DFE，则这把三角尺中△ABC与△DFE的周长比为( )
A. 7：5
B. 49：25
C. 14：5
D. 196：25
5.已知ab=cd，则下列各式不一定成立的是( )
A. a+bb=c+ddB. a+1b=c+1dC. ac=bdD. (ab)2=(cd)2
6.若点A是二次函数y=(x+3)2−1图象的最低点，则点A的坐标是( )
A. (3,−1)B. (−3,−1)C. (−1,3)D. (−1,−3)
7.在△ABC中，tanA=1，csB=12，则△ABC的形状( )
A. 一定是锐角三角形B. 一定是直角三角形C. 一定是钝角三角形D. 无法确定
8.已知线段m，n，p，q，则下列图形中线段的数量关系能得到mn=pq的是( )
A. B. C. D.
9.如图，在一个长为80m，宽为50m的矩形停车场中有四块相同的矩形停车区域，它们的面积之和为2520m2，四块停车区域之间以及周边留有宽度相同的行车通道，如果设行车通道的宽度为x m，那么列出的方程为( )
A. (80−x)(50−x)=2520B. (80−4x)(50−x)=2520
C. (80−4x)(50−2x)=2520D. (80−5x)(50−2x)=2520
10.已知反比例函数y=kx(k≠0)在第二象限内的图象与一次函数y=x+b的图象如图所示，则函数y=−x2+bx+1−k的图象可能为( )
A.
B.
C.
D.
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11.某校九年级共有男生800名，从中随机抽取100名进行身高情况统计.抽取的100名男生身高在170～180cm之间的有63名，那么估计该校九年级男生身高在170～180cm之间的大约有______名.
12.如图，将视力表中的两个“E”放在平面直角坐标系中，两个“E”字是位似图形，位似中心为点O，①号“E”与②号“E”的位似比为1：2.点M与点N为一组对应点，若点M的坐标为(−2,4)，则点N的坐标为______．
13.一幢5层楼房只有一个窗户亮着一盏灯，一棵小树和一根电线杆在窗口灯光下的影子如图所示，则亮着灯的窗口是______.(填写相应的数字序号即可)
14.如图，在菱形ABCD中，点E为对角线AC上一点，且AE=AD，连接DE，若AB=10，AC=16，则DE的长为______．
15.已知关于x的方程2x2+kx−10=0的一个根为x=5，则另一个根为______．
16.如图，在正方形ABCD中，点E为边BC的中点，AE交BD于点F，过点D作DG⊥AE于点G，则S△DAG：S△DFG= ______．
三、解答题：本题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题4分)
已知：线段a．
求作：矩形ABCD，使得AB=a，AC=2a．
18.(本小题8分)
(1)解方程：x2−10x−7=0．
(2)已知关于x的一元二次方程(m−2)x2−3x+2=0有实数根，求m的取值范围．
19.(本小题6分)
杭州亚运会吉祥物是一组承载深厚底蕴和充满时代活力的机器人，组合名为“江南忆”，出自唐朝诗人白居易的名句“江南忆，最忆是杭州”，它融合了杭州的历史人文、自然生态和创新基因.现有三张不透明的卡片，其正面图案分别为杭州亚运会吉祥物“宸宸”、“琮琮”、“莲莲”图案(卡片依次记为A，B，C)，卡片除正面图案不同外，其余均相同.现将这三张卡片背面向上洗匀，从中随机抽取一张，记录图案后放回，重新洗匀后再从中随机抽取一张.请用画树状图(或列表)的方法，求两次抽出的卡片上的图案都是“宸宸”的概率．
20.(本小题8分)
如图，某小区有南北两个门，北门A在南门B的正北方向，小红自小区北门A处出发，沿南偏西53°方向前往小区居民活动中心C处；小强自南门B处出发，沿正西方向行走300m到达D处，再沿北偏西30°方向前往小区居民活动中心C处与小红汇合，两人所走的路程相同，求该小区北门A与南门B之间的距离.(结果保留整数，参考数据：sin53°≈0.8，cs53°≈0.6，tan53°≈1.3 3≈1.73)
21.(本小题8分)
如图，一次函数y=kx+b的图象与反比例函数y=−6mx的图象相交于点A(m+2,6)和点B(−3,m−1)，与x轴交于点C，与y轴交于点D．
(1)求反比例函数与一次函数的关系式；
(2)根据图象直接写出−6mx22.(本小题8分)
在探究图形变化规律的过程中，结合数学知识之间的内在联系，通过类比、迁移，可以获得宝贵的数学经验．
【探究1】
如图1，△ABC和△AEF均为等腰直角三角形，∠BAC=∠EAF=90°，连接BE，CF，且点B，E，F在同一条直线上，则∠BFC= ______°；
【探究2】
如图2，△ABC和△AEF均为等腰直角三角形，∠BAC=∠EAF=90°，连接BE，CF，延长BE交CF于点D，则∠BDC= ______°.
【探究3】
如图3，△ABC和△AEF均为等腰三角形，AB=AC，AE=AF，连接BE，CF，延长BE交CF于点D，若∠BAC=∠EAF=m°，则∠BDC= ______°.(用含m的式子表示)
【探究4】
如图4，△ABC和△AEF均为等腰三角形，AB=AC，AE=AF，连接BE，CF，延长BE交FC的延长线于点D，若∠BAC=∠EAF=120°，则∠BDC= ______°.
23.(本小题8分)
如图，在四边形ABCD中，两条对角线相交于点O，BD⊥BC，垂足为点B，BD⊥AD，垂足为点D，OB=OD，点E，F分别是AO，CO的中点，连接BE，BF，DE，DF．
(1)求证：OE=OF；
(2)从下列条件中任选一个作为已知条件后，试判断四边形BEDF的形状，并证明你的结论．
①∠AOD=60°，②AC=2BD．
选择的条件：______(填写序号)．
(注：如果选择①，②分别进行解答，按第一个解答计分)
24.(本小题10分)
“活力海洋之都，精彩宜人之水“，青岛获评2023年中国十大旅游目的地必去城市.为宣传青岛城市文化，某景区研发出一款文创纪念品，投入景区内进行销售.已知该文创纪念品每件的成本为20元，销售一段时间发现，每天的销售量y(件)与销售单价x(元/件)之间的关系如图所示，图象是直线的一部分．
(1)求y与x之间的函数关系式；
(2)该景区要想使这种文创纪念品的销售利润每天达到6000元，每件文创纪念品的定价应为多少元？
(3)若规定该文创纪念品的利润率不得高于60%，当销售单价定为多少元时，每天的获利最大？最大利润是多少？
25.(本小题12分)
如图1，在矩形ABCD中，AB=6cm，AD=8cm，点P从点A出发，沿AD方向匀速运动，速度为2cm/s；同时，点Q从点A出发，沿AB方向匀速运动，速度为1cm/s.过点Q作QE//AC，交BC于点E，连接PE，PQ.设运动时间为t(s)(0(1)当t为何值时，PE//CD？
(2)设△EPQ的面积为S(cm2)，求S与t之间的函数关系式；
(3)在运动过程中，是否存在某一时刻t，使S△EPQ：S△ACD=15：24？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由；
(4)如图2，点O为AC的中点，连接OE.当△CEO为等腰三角形时，请直接写出t的值．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：在Rt△ABC中，∠B=α，AB=500m，
∵sinB=ACAB，
∴AC=AB⋅sinB=500sinα(m)，
故选：A．
根据正弦的定义解答即可．
本题考查的是解直角三角形的应用−坡度坡角问题，掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．
2.【答案】D
【解析】解：根据视图的定义，选项D中的图形符合题意，
故选：D．
根据俯视图的定义，从上面看所得到的图形即为俯视图．
本题考查简单组合体的三视图，理解视图的定义是正确判断的前提．
3.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查了平行投影特点，不同位置，不同时间，影子的大小、形状可能不同．
在不同时刻，同一物体的影子的方向和大小可能不同，不同时刻物体在太阳光下的影子的大小在变，方向也在改变，依此进行分析．
【解答】
解：当等边三角形木框与阳光平行时，投影是线段；
当等边三角形木框与阳光垂直时，投影是等边三角形；
当等边三角形木框与阳光有一定角度时，投影是等腰三角形；
投影不可能是一个点．
故选：B．
4.【答案】C
【解析】解：∵∠C=90°，∠B=30°，AC=7cm，
∴AB=2AC=14cm，
∵△ABC∽△DFE，DF=5cm，
∴ABDF=145，
∴△ABC与△DFE的周长比14：5．
故选：C．
根据30°的直角三角形的性质，求出AB=14，再根据△ABC∽△DFE，求出两个三角形的相似比，再利用相似三角形的性质解答即可．
本题主要考查了相似三角形的性质，熟练掌握相关性质是解答本题的关键．
5.【答案】B
【解析】解：∵ab=cd，
∴ad=bc．
A、∵ab=cd，
∴ab+1=cd+1，即a+bb=c+dd，故本选项一定成立，不符合题意；
B、∵d与b不一定相等，ad=bc，
∴ad+d与bc+b不一定相等，
∴a+1b与c+1d不一定相等，故本选项不一定成立，符合题意；
C、∵ab=cd，
∴ac=bd，故本选项一定成立，不符合题意；
D、∵ab=cd，
∴(ab)2=(cd)2，故本选项一定成立，不符合题意．
故选：B．
根据比例的性质，进行各种演变即可得到结论．
本题考查了比例线段，掌握比例的性质并且能够对比例式进行恒等变形是解题的关键．
6.【答案】B
【解析】解：∴二次函数y=(x+3)2−1，
∴抛物线开口向上，顶点为(−3,−1)，
∴抛物线的最低点为(−3,−1)，
∵点A是二次函数y=(x+3)2−1图象的最低点，
∴点A(−3,−1)，
故选：B．
根据函数解析式可确定顶点坐标，进而可得答案．
此题主要考查了二次函数的最值，二次函数图象上点的坐标特征，熟知二次函数的性质是解题的关键．
7.【答案】A
【解析】解：∵tanA=1，csB=12，
∴∠A=45°，∠B=60°，
∴∠C=180°−45°−60°=75°，
则△ABC的形状是锐角三角形，
故选：A．
根据特殊锐角三角函数值求得∠A，∠B的度数后进行判断即可．
本题考查特殊锐角三角函数值，结合已知条件求得∠A，∠B的度数是解题的关键．
8.【答案】D
【解析】解：∵A选项中，利用同位角线段，两直线平行和平行线分线段成比例定理得到的比例式为mn=pq，
∴线段的数量关系不能得到mn=pq，
∴A选项不符合题意；
∵B选项中，利用同位角线段，两直线平行和平行线分线段成比例定理得到的比例式为mp=nq，
∴线段的数量关系不能得到mn=pq，
∴B选项不符合题意；
∵C选项中，利用内错角线段，两直线平行和平行线分线段成比例定理得到的比例式为mn=pq，
∴线段的数量关系不能得到mn=pq，
∴C选项不符合题意；
∵D选项中，利用同位角线段，两直线平行和相似三角形的判定与性质定理得到的比例式为mq=pn，
∴mn=pq．
∴线段的数量关系能得到mn=pq，
∴D选项符合题意；
故选：D．
利用平行线分线段成比例定理和相似三角形的判定与性质对每个选项的结论解析即可得出结论．
本题主要考查了平行线的判定与性质，平行线分线段成比例定理和相似三角形的判定与性质，熟练掌握上述定理与性质是解题的关键．
9.【答案】D
【解析】解：根据题意，可得(80−5x)(50−2x)=2520，
故选：D．
根据据停车区域面积之和为拼起来矩形的面积，列出一元二次方程即可．
本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程．
10.【答案】B
【解析】解：∵一次函数y=x+b的图象经过第一、二、三象限，且与y轴交于正半轴，则b>0，反比例函数y=的图象经过第二、四象限，则k<0，
∴函数y=−x2+bx+1−k的图象开口向下，对称轴为直线x=b2>0，1−k>0．
∴在B、C两个选项中选择．
又由题意，反比例函数y=与一次函数y=x+b的图象有两个交点，其中一个交点纵坐标为2，
∴k2+b=2．
∴2−b=k2<0．
∴b>2．
∴对称轴为直线x=>1．
综上，可得B正确．
故选：B．
依据题意，由一次函数y=x+b的图象经过第一、二、三象限，且与y轴交于正半轴，则b>0，反比例函数y=的图象经过第二、四象限，则k<0，从而函数y=−x2+bx+1−k的图象开口向下，对称轴为直线x=b2>0，1−k>0，从而排除A、D，在B、C两个选项中选择，又由题意，反比例函数y=与一次函数y=x+b的图象有两个交点，其中一个交点纵坐标为2，k2+b=2，进而可得2−b=k2<0，从而可得对称轴为直线x=>1，故可得解．
本题主要考查的是一次函数、反比例函数和二次函数的图象，应该熟记一次函数、反比例函数和二次函数在不同情况下所在的象限．
11.【答案】504
【解析】解：∵抽取的100名男生身高在170～180cm之间的有63名．
∴九年级男生身高在170～180cm之间的大约有800×63100=504(名)．
故答案为：504．
用九年级男生总数乘以身高在170～180cm之间的男生所占的百分比即可得出答案．
本题考查了用样本估计总体，掌握用样本估计总体的方法是解题的关键．
12.【答案】(4,−8)
【解析】解：∵点M与点N为一组对应点，若点M的坐标为(−2,4)，相似比为1：2，
∴N(4,−8)．
故答案为：(4,−8)．
利用位似变换的性质求解即可．
本题考查位似变换，坐标确定位置等知识，解题的关键是掌握位似变换的性质．
13.【答案】3
【解析】解：如图，点O即为所求，投影中心在3号窗口．
故答案为：3．
根据中心投影的定义，画出图形即可．
本题考查中心投影，解题的关键是正确作出投影中心的位置，属于中考常考题型．
14.【答案】2 10
【解析】解：连接DB，交AC于点F，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，AF=CF，
∵AB=10，
∴AD=AE=AB=10，
∵AC=16，
∴AF=CF=8，
在Rt△ADF中，AD=10，AF=8，
根据勾股定理得：DF=6，
∵AE=10，AF=8，
∴EF=AE−AF=10−8=2，
在Rt△DEF中，DF=6，EF=2，
根据勾股定理得：DE= DF2+EF2=2 10，
故答案为：2 10，
连接DB，根据菱形的性质得出AD=AE=AB=10，AF=CF=8，根据线段的和差关系求出EF的值，再利用勾股定理解答即可．
本题主要考查了菱形的性质和勾股定理，熟练掌握相关性质是解答本题的关键．
15.【答案】x=−1
【解析】解：设此方程的另一根为m，
由一元二次方程根与系数的关系得：5m=−102=−5，
解得m=−1，
即方程的另一根为x=−1，
故答案为：x=−1．
本题根据x1⋅x2=ca，即可得到答案．
本题考查了一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题关键．
16.【答案】3：2
【解析】解：∵点E为边BC的中点，
∴BE=12BC，
∵四边形ABCD为正方形，
∴BC//AD，BC=AD，
∴BE=12AD．
∵BC//AD，
∴△BEF∽△DAF，
∴EFAF=BEAD=12，S△BEFS△DAF=(BEAD)2=14，
设S△BEF=a，则S△DAF=4a，S△ABF=2S△BEF=2a．
∴S△ABE=3a．
设BE=k，则AB=AD=2k，
∴AE= AB2+BE2= 5k.
∵AD//BE，
∴∠DAG=∠AEB，
∵∠AGD=∠ABE=90°，
∴△AGD∽△EBA，
∴S△AGDS△EBA=(ADAE)2=(2k 5k)2=45，
∴S△AGD=45×3a=125a，
∴S△DGF=S△DAF−S△DAG=4a−125a=85a，
∴S△DAG：S△DFG=125a：85a=3：2．
故答案为：3：2．
利用正方形的性质和相似三角形的判定与性质得到△BEF∽△DAF，它们面积的比为1：4，设S△BEF=a，则S△DAF=4a，S△ABF=2S△BEF=2a，S△ABE=3a；利用相似三角形的判定与性质得到△AGD∽△EBA，它们面积的比为4：5，分别计算得到S△DAG，S△DFG，则结论可求．
本题主要考查了正方形的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，熟练掌握正方形的性质和相似三角形的判定与性质是解题的关键．
17.【答案】解：如图，矩形ABCD为所作．
【解析】先再直线l上截取AD=2a，再过A点作直线l的垂线，接着在垂线上截取AB=a，然后分别以B点、D点为圆心，AD为半径或AB的长画弧两弧相交于点C，则四边形ABCD满足条件．
本题考查了作图−复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．
18.【答案】解：(1)x2−10x−7=0，
x2−10x=7，
x2−10x+25=7+25，即(x−5)2=32，
∴x−5=±4 2，
∴x1=5+4 2，x2=5−4 2；
(2)∵关于x的一元二次方程(m−2)x2−3x+2=0有实数根，
∴△≥0，
即Δ=b2−4ac=(−3)2−4(m−2)×2
=9−8m+16
=−8m+16≥0，
∴m≤2，
∵此方程是一元二次方程，
∴m−2≠0，即m≠2．
∴m的取值范围是：m<2．
【解析】(1)利用配方法求解即可；
(2)由于一元二次方程有实数根，所以Δ≥0，再由此方程是一元二次方程可知m−2≠0，根据这两个条件求出m的取值范围即可．
本题考查的是解一元二次方程，一元二次方程根的判别式，在解答此类题目时一定要注意二次项系数不为0，这是此题的易错点．
19.【答案】解：画树状图如下：
共有9种等可能的结果，其中两次抽出的卡片上的图案都是“宸宸”的结果有：(A,A)，共1种，
∴两次抽出的卡片上的图案都是“宸宸”的概率为19．
【解析】画树状图得出所有等可能的结果数以及两次抽出的卡片上的图案都是“宸宸”的结果数，再利用概率公式可得出答案．
本题考查列表法与树状图法，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．
20.【答案】解：过点C作CE⊥AB于点E，过点D作DF⊥CE于点F，
则EF=BD=300，BE=DF，
在Rt△DCF中，设CF=x m，则CD=2xm，FD= 3x m，
∴AC=(300+2x)m，
在Rt△ACE中，sin53°=CEAC，
即x+300300+2x=0.8，
解得x=100，
∴DF=BE=100 3m，CE=400m，AC=500m，
∴AE= AC2−CE2=300，
∴AB=AE+BE=300+100 3≈473(m)，
答：该小区北门A与南门B之间的距离为473米．
【解析】过点C作CE⊥AB于点E，过点D作DF⊥CE于点F，在Rt△DCF中，设CF=x m，则CD=2xm，FD= 3x m，在Rt△ACE中，利用sin53°求出x即可解答．
本题主要考查解直角三角形的应用，解题的关键是构造直角三角形与三角函数的应用．
21.【答案】解：(1)∵点A(m+2,6)在函数y=−6mx图象上，
∴−6m=6(m+2)，
解得m=−1，
∴反比例函数的关系式为y=6x，A(1,6)，B(−3,−2)，
把A(1,6)，B(−3,−2)代入y=kx+b得k+b=6−3k+b=−2，
解得k=2b=4，
∴一次函数的解析式：y=2x+4；
(2)令y=0，则2x+4=0，
∴x=−2，
∴C(−2,0)，
观察图象，−6mx【解析】(1)把点A(m+2,6)代入y=−6mx，即可求得m的值，从而求得反比例函数的关系式以及A、B的坐标，然后利用待定系数法即可求得一次函数的关系式；
(2)利用一次函数的解析式求得点C，然后根据图象即可求解．
本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，待定系数法求一次函数的解析式，数形结合是解题的关键．
22.【答案】90 90 m 60
【解析】解：(1)∵∠BAC=∠EAF=90°，
∴∠BAC+∠CAE=∠EAF+∠CAE，即∠BAE=∠CAF，
∵AB=AC，∠BAE=∠CAF，AE=AF，
∴△BAE≌△CAF(SAS)，
∴∠ABE=∠ACF，
∴∠BFC=180°−∠CBF−∠ACB−∠ACF=180°−(∠CBF+∠ABE)−∠ACB=90°，
故答案为：90；
(2)∵∠BAC=∠EAF=90°，
∴∠BAC+∠CAE=∠EAF+∠CAE，即∠BAE=∠CAF，
∵AB=AC，∠BAE=∠CAF，AE=AF，
∴△BAE≌△CAF(SAS)，
∴∠ABE=∠ACF，
∴∠BDC=180°−∠CBD−∠ACB−∠ACD=180°−(∠CBD+∠ABD)−∠ACB=90°，
故答案为：90；
(3)同(2)可得△BAE≌△CAF(SAS)，
∴∠ABE=∠ACF，
∴∠BDC=180°−∠CBD−∠ACB−∠ACD=180°−(∠CBD+∠ABD)−∠ACB=
=180°−∠ABC−∠ACB
=∠BAC=m°，
故答案为：m；
(4)∵∠BAC=∠EAF=120°，
∴∠BAC−∠CAE=∠EAF−∠CAE，即∠BAE=∠CAF，
∵AB=AC，∠BAE=∠CAF，AE=AF，
∴△BAE≌△CAF(SAS)，
∴∠ABE=∠ACF，
∴∠BDC=∠ACB+∠ACF−∠CBD=∠ACB+(∠ABE−∠CBD)=180°−∠BAC=60°，
故答案为：60．
(1)证明△BAE≌△CAF(SAS)，由全等三角形的性质得出∠ABE=∠ACF，由三角形内角和定理可得出答案；
(2)证明△BAE≌△CAF(SAS)，由全等三角形的性质得出∠ABE=∠ACF，则可得出答案；
(3)证明△BAE≌△CAF(SAS)，得出∠ABE=∠ACF，则可得出答案；
(4)证明△BAE≌△CAF(SAS)，得出∠ABE=∠ACF，同理可得出答案．
本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理，三角形外角的性质，等腰三角形的判定与性质．熟练掌握全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理，三角形外角的性质，等腰三角形的性质是解题的关键．
23.【答案】①
【解析】(1)证明：∵BD⊥BC，BD⊥AD，
∴∠ODA=∠OBC=90°，
在△AOD和△COB中，
∠ODA=∠OBCOD=OB∠AOD=∠COB，
∴△AOD≌△COB(ASA)，
∴OA=OC，
∵点E，F分别是AO，CO的中点，
∴OE=OF；
(2)解：选择①，四边形BEDF为矩形．
理由如下：
∵DE为Rt△AOD的斜边上的中线，
∴DE=OE，
∵∠AOD=60°，
∴△ODE为等边三角形，
∴OD=OE，
∵OD=OB，OE=OF，
∴四边形BEDF为平行四边形，
∵OD=OB=OE=OF，
∴EF=BD，
∴四边形BEDF为矩形．
故答案为：①
若选择②，四边形BEDF为矩形．
理由如下：
∵AC=2BD，OA=OC，
∴OA=OC=BD，
∵点E，F分别是AO，CO的中点，OB=OD，
∴OD=OB=OE=OF，
∴四边形BEDF为矩形．
(1)先证明△AOD≌△COB得到OA=OC，然后利用点E，F分别是AO，CO的中点得到OE=OF；
(2)若选择①，四边形BEDF为矩形．理由为：根据直角三角形斜边上的中线性质得到DE=OE，则可判断△ODE为等边三角形，所以OD=OB，OE=OF，从而可判断四边形BEDF为矩形．
若选择②，四边形BEDF为矩形．理由为：利用AC=2BD，OA=OC得到OA=OC=BD，然后利用点E，F分别是AO，CO的中点，OB=OD得到OD=OB=OE=OF，从而可判断四边形BEDF为矩形．
本题考查了全等三角形的判定与性质：全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．也考查了矩形的判定与性质．
24.【答案】解：(1)由题意，设函数关系式为y=kx+b，
又过点(30,350)，(50,250)，
∴30k+b=35050k+b=250．
∴k=−5b=500．
∴所求函数关系式为y=−5x+500．
(2)由题意，每天的销售利润=(x−20)(−5x+500)，
∴销售利润每天达到6000元，得6000=(x−20)(−5x+500)．
∴x=40或x=80．
答：该景区要想使这种文创纪念品的销售利润每天达到6000元，每件文创纪念品的定价应为40元或80元．
(3)由题意，每天的销售利润=(x−20)(−5x+500)
=−5x2+600x−10000
=−5(x2−120x)−10000
=−5(x2−120x+3600)+8000
=−5(x−60)2+8000．
∵该文创纪念品的利润率不得高于60%，
∴每款纪念品利润不超过(20×60%)元=12元．
∴售价0∵−5<0，
∴当x=32时，销售单价定为32元时，每天的获利最大，最大利润是4080．
【解析】(1)依据题意，设函数关系式为y=kx+b，又过点(30,350)，(50,250)，进而由待定系数法可以得解；
(2)依据题意，由每天的销售利润=(x−20)(−5x+500)，从而6000=(x−20)(−5x+500)，进而计算可以得解；
(3)依据题意，由每天的销售利润=(x−20)(−5x+500)=−5(x−60)2+8000，再结合该文创纪念品的利润率不得高于60%，从而售价0本题主要考查了一次函数和二次函数的综合问题，正确找出题目中的等量关系是解决问题的关键．
25.【答案】解：(1)∵四边形ABCD为矩形，
∴∠D=∠DAB=∠B=90°，BC=AD=8，AC= AB2+BC2=10．
由题意得：AP=2t，AQ=t，
∴PD=8−2t，BQ=6−t．
∵QE//AC，
∴△BEQ∽△BEA，
∴BQBA=BEBC，
∴6−t6=BE8，
∴BE=43(6−t)．
∵PE//CD，BC//AD，
∴四边形PDCE为平行四边形，
∴CE=PD，
∴PA=BE，
∴2t=43(6−t)，
∴t=2.4．
∴t为2.4时，PE//CD；
(2)S=S梯形APEB−S△APQ−S△BEQ
=12(AP+BE)⋅AB−12×AP⋅AQ−12×BE⋅BQ
=12[2t+43(6−t)]×6−12×2t×t−12×(6−t)×43(6−t)
=23t+24−t2−23t2+8t−24
=−53t2+10t．
∴S与t之间的函数关系式为S=−53t2+10t；
(3)存在某一时刻t，使S△EPQ：S△ACD=15：24，此时t=3.理由：
∵S△ACD=12×AD⋅BC=24，S△EPQ：S△ACD=15：24，
∴−53t2+10t24=1524，
∴−53t2+10t=15，
∴t2−6t+9=0，
∴t1=t2=3．
∴存在某一时刻t，使S△EPQ：S△ACD=15：24，此时t=3；
(4)①当EC=EO时，
过点E作EH⊥OC于点H，如图，
∵点O为AC的中点，
∴OC=12AC=5，
∵EC=EO，EH⊥OC，
∴OH=CH=12OC=52，
∵∠ECH=∠ACB，∠EHC=∠B=90°，
∴△CEH∽△CAB，
∴CHCB=CECA，
∴528=8−43(6−t)10，
∴t=7532．
②当EC=CO时，
∴EC=5，
∴8−43(6−t)=5，
∴t=154．
③当OE=CO时，
∴OE=5，
此时，点E与点B重合，不合题意，舍去．
综上，当△CEO为等腰三角形时，t的值为154或7532．
【解析】(1)利用矩形和直角三角形的性质求得BC，AC，利用t的代数式表示出线段AP，AQ，BQ，利用相似三角形判定与性质BE，再利用平行四边形的判定与性质得到关于t的方程，解方程即可得出结论；
(2)利用S=S梯形APEB−S△APQ−S△BEQ解答即可；
(3)利用(2)的结论列出关于t的方程，解方程即可得出结论；
(4)利用分类讨论的思想方法分三种情况讨论解答：①当EC=EO时，过点E作EH⊥OC于点H，利用等腰三角形的三线合一的性质和相似三角形的判定与性质解答即可；②当EC=CO时，EC=5，则8−43(6−t)=5，解方程即可得出结论；当OE=CO时，点E与点B重合，不合题意，舍去．
本题主要考查了矩形的性质，直角三角形的性质，勾股定理，平行线的性质，相似三角形的判定与性质，本题是动点问题，利用t的代数式表示出相应线段的长度是解题的关键．
1.2024年1月4日，第22届瓦萨国际滑雪节开幕式在长春净月潭国家森林公园启幕.如图，一名滑雪运动员沿着倾斜角为α的斜坡，从点A滑行到点B.若AB=500m，则这名滑雪运动员下降的高度为( )
A. 500sinαm
B. 500csαm
C. 500tanαm
D. 500tanαm
2.如图是一把做工精湛的紫砂壶，其俯视图的大致形状是( )
A.
B.
C.
D.
3.小明拿一个等边三角形木框在阳光下玩，等边三角形木框在地上的投影不可能是( )
A. 线段B. 一个点C. 等边三角形D. 等腰三角形
4.如图是一把直角三角尺，∠C=90°，∠B=30°，AC=7cm，DF=5cm，且△ABC∽△DFE，则这把三角尺中△ABC与△DFE的周长比为( )
A. 7：5
B. 49：25
C. 14：5
D. 196：25
5.已知ab=cd，则下列各式不一定成立的是( )
A. a+bb=c+ddB. a+1b=c+1dC. ac=bdD. (ab)2=(cd)2
6.若点A是二次函数y=(x+3)2−1图象的最低点，则点A的坐标是( )
A. (3,−1)B. (−3,−1)C. (−1,3)D. (−1,−3)
7.在△ABC中，tanA=1，csB=12，则△ABC的形状( )
A. 一定是锐角三角形B. 一定是直角三角形C. 一定是钝角三角形D. 无法确定
8.已知线段m，n，p，q，则下列图形中线段的数量关系能得到mn=pq的是( )
A. B. C. D.
9.如图，在一个长为80m，宽为50m的矩形停车场中有四块相同的矩形停车区域，它们的面积之和为2520m2，四块停车区域之间以及周边留有宽度相同的行车通道，如果设行车通道的宽度为x m，那么列出的方程为( )
A. (80−x)(50−x)=2520B. (80−4x)(50−x)=2520
C. (80−4x)(50−2x)=2520D. (80−5x)(50−2x)=2520
10.已知反比例函数y=kx(k≠0)在第二象限内的图象与一次函数y=x+b的图象如图所示，则函数y=−x2+bx+1−k的图象可能为( )
A.
B.
C.
D.
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11.某校九年级共有男生800名，从中随机抽取100名进行身高情况统计.抽取的100名男生身高在170～180cm之间的有63名，那么估计该校九年级男生身高在170～180cm之间的大约有______名.
12.如图，将视力表中的两个“E”放在平面直角坐标系中，两个“E”字是位似图形，位似中心为点O，①号“E”与②号“E”的位似比为1：2.点M与点N为一组对应点，若点M的坐标为(−2,4)，则点N的坐标为______．
13.一幢5层楼房只有一个窗户亮着一盏灯，一棵小树和一根电线杆在窗口灯光下的影子如图所示，则亮着灯的窗口是______.(填写相应的数字序号即可)
14.如图，在菱形ABCD中，点E为对角线AC上一点，且AE=AD，连接DE，若AB=10，AC=16，则DE的长为______．
15.已知关于x的方程2x2+kx−10=0的一个根为x=5，则另一个根为______．
16.如图，在正方形ABCD中，点E为边BC的中点，AE交BD于点F，过点D作DG⊥AE于点G，则S△DAG：S△DFG= ______．
三、解答题：本题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题4分)
已知：线段a．
求作：矩形ABCD，使得AB=a，AC=2a．
18.(本小题8分)
(1)解方程：x2−10x−7=0．
(2)已知关于x的一元二次方程(m−2)x2−3x+2=0有实数根，求m的取值范围．
19.(本小题6分)
杭州亚运会吉祥物是一组承载深厚底蕴和充满时代活力的机器人，组合名为“江南忆”，出自唐朝诗人白居易的名句“江南忆，最忆是杭州”，它融合了杭州的历史人文、自然生态和创新基因.现有三张不透明的卡片，其正面图案分别为杭州亚运会吉祥物“宸宸”、“琮琮”、“莲莲”图案(卡片依次记为A，B，C)，卡片除正面图案不同外，其余均相同.现将这三张卡片背面向上洗匀，从中随机抽取一张，记录图案后放回，重新洗匀后再从中随机抽取一张.请用画树状图(或列表)的方法，求两次抽出的卡片上的图案都是“宸宸”的概率．
20.(本小题8分)
如图，某小区有南北两个门，北门A在南门B的正北方向，小红自小区北门A处出发，沿南偏西53°方向前往小区居民活动中心C处；小强自南门B处出发，沿正西方向行走300m到达D处，再沿北偏西30°方向前往小区居民活动中心C处与小红汇合，两人所走的路程相同，求该小区北门A与南门B之间的距离.(结果保留整数，参考数据：sin53°≈0.8，cs53°≈0.6，tan53°≈1.3 3≈1.73)
21.(本小题8分)
如图，一次函数y=kx+b的图象与反比例函数y=−6mx的图象相交于点A(m+2,6)和点B(−3,m−1)，与x轴交于点C，与y轴交于点D．
(1)求反比例函数与一次函数的关系式；
(2)根据图象直接写出−6mx
在探究图形变化规律的过程中，结合数学知识之间的内在联系，通过类比、迁移，可以获得宝贵的数学经验．
【探究1】
如图1，△ABC和△AEF均为等腰直角三角形，∠BAC=∠EAF=90°，连接BE，CF，且点B，E，F在同一条直线上，则∠BFC= ______°；
【探究2】
如图2，△ABC和△AEF均为等腰直角三角形，∠BAC=∠EAF=90°，连接BE，CF，延长BE交CF于点D，则∠BDC= ______°.
【探究3】
如图3，△ABC和△AEF均为等腰三角形，AB=AC，AE=AF，连接BE，CF，延长BE交CF于点D，若∠BAC=∠EAF=m°，则∠BDC= ______°.(用含m的式子表示)
【探究4】
如图4，△ABC和△AEF均为等腰三角形，AB=AC，AE=AF，连接BE，CF，延长BE交FC的延长线于点D，若∠BAC=∠EAF=120°，则∠BDC= ______°.
23.(本小题8分)
如图，在四边形ABCD中，两条对角线相交于点O，BD⊥BC，垂足为点B，BD⊥AD，垂足为点D，OB=OD，点E，F分别是AO，CO的中点，连接BE，BF，DE，DF．
(1)求证：OE=OF；
(2)从下列条件中任选一个作为已知条件后，试判断四边形BEDF的形状，并证明你的结论．
①∠AOD=60°，②AC=2BD．
选择的条件：______(填写序号)．
(注：如果选择①，②分别进行解答，按第一个解答计分)
24.(本小题10分)
“活力海洋之都，精彩宜人之水“，青岛获评2023年中国十大旅游目的地必去城市.为宣传青岛城市文化，某景区研发出一款文创纪念品，投入景区内进行销售.已知该文创纪念品每件的成本为20元，销售一段时间发现，每天的销售量y(件)与销售单价x(元/件)之间的关系如图所示，图象是直线的一部分．
(1)求y与x之间的函数关系式；
(2)该景区要想使这种文创纪念品的销售利润每天达到6000元，每件文创纪念品的定价应为多少元？
(3)若规定该文创纪念品的利润率不得高于60%，当销售单价定为多少元时，每天的获利最大？最大利润是多少？
25.(本小题12分)
如图1，在矩形ABCD中，AB=6cm，AD=8cm，点P从点A出发，沿AD方向匀速运动，速度为2cm/s；同时，点Q从点A出发，沿AB方向匀速运动，速度为1cm/s.过点Q作QE//AC，交BC于点E，连接PE，PQ.设运动时间为t(s)(0
(2)设△EPQ的面积为S(cm2)，求S与t之间的函数关系式；
(3)在运动过程中，是否存在某一时刻t，使S△EPQ：S△ACD=15：24？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由；
(4)如图2，点O为AC的中点，连接OE.当△CEO为等腰三角形时，请直接写出t的值．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：在Rt△ABC中，∠B=α，AB=500m，
∵sinB=ACAB，
∴AC=AB⋅sinB=500sinα(m)，
故选：A．
根据正弦的定义解答即可．
本题考查的是解直角三角形的应用−坡度坡角问题，掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．
2.【答案】D
【解析】解：根据视图的定义，选项D中的图形符合题意，
故选：D．
根据俯视图的定义，从上面看所得到的图形即为俯视图．
本题考查简单组合体的三视图，理解视图的定义是正确判断的前提．
3.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查了平行投影特点，不同位置，不同时间，影子的大小、形状可能不同．
在不同时刻，同一物体的影子的方向和大小可能不同，不同时刻物体在太阳光下的影子的大小在变，方向也在改变，依此进行分析．
【解答】
解：当等边三角形木框与阳光平行时，投影是线段；
当等边三角形木框与阳光垂直时，投影是等边三角形；
当等边三角形木框与阳光有一定角度时，投影是等腰三角形；
投影不可能是一个点．
故选：B．
4.【答案】C
【解析】解：∵∠C=90°，∠B=30°，AC=7cm，
∴AB=2AC=14cm，
∵△ABC∽△DFE，DF=5cm，
∴ABDF=145，
∴△ABC与△DFE的周长比14：5．
故选：C．
根据30°的直角三角形的性质，求出AB=14，再根据△ABC∽△DFE，求出两个三角形的相似比，再利用相似三角形的性质解答即可．
本题主要考查了相似三角形的性质，熟练掌握相关性质是解答本题的关键．
5.【答案】B
【解析】解：∵ab=cd，
∴ad=bc．
A、∵ab=cd，
∴ab+1=cd+1，即a+bb=c+dd，故本选项一定成立，不符合题意；
B、∵d与b不一定相等，ad=bc，
∴ad+d与bc+b不一定相等，
∴a+1b与c+1d不一定相等，故本选项不一定成立，符合题意；
C、∵ab=cd，
∴ac=bd，故本选项一定成立，不符合题意；
D、∵ab=cd，
∴(ab)2=(cd)2，故本选项一定成立，不符合题意．
故选：B．
根据比例的性质，进行各种演变即可得到结论．
本题考查了比例线段，掌握比例的性质并且能够对比例式进行恒等变形是解题的关键．
6.【答案】B
【解析】解：∴二次函数y=(x+3)2−1，
∴抛物线开口向上，顶点为(−3,−1)，
∴抛物线的最低点为(−3,−1)，
∵点A是二次函数y=(x+3)2−1图象的最低点，
∴点A(−3,−1)，
故选：B．
根据函数解析式可确定顶点坐标，进而可得答案．
此题主要考查了二次函数的最值，二次函数图象上点的坐标特征，熟知二次函数的性质是解题的关键．
7.【答案】A
【解析】解：∵tanA=1，csB=12，
∴∠A=45°，∠B=60°，
∴∠C=180°−45°−60°=75°，
则△ABC的形状是锐角三角形，
故选：A．
根据特殊锐角三角函数值求得∠A，∠B的度数后进行判断即可．
本题考查特殊锐角三角函数值，结合已知条件求得∠A，∠B的度数是解题的关键．
8.【答案】D
【解析】解：∵A选项中，利用同位角线段，两直线平行和平行线分线段成比例定理得到的比例式为mn=pq，
∴线段的数量关系不能得到mn=pq，
∴A选项不符合题意；
∵B选项中，利用同位角线段，两直线平行和平行线分线段成比例定理得到的比例式为mp=nq，
∴线段的数量关系不能得到mn=pq，
∴B选项不符合题意；
∵C选项中，利用内错角线段，两直线平行和平行线分线段成比例定理得到的比例式为mn=pq，
∴线段的数量关系不能得到mn=pq，
∴C选项不符合题意；
∵D选项中，利用同位角线段，两直线平行和相似三角形的判定与性质定理得到的比例式为mq=pn，
∴mn=pq．
∴线段的数量关系能得到mn=pq，
∴D选项符合题意；
故选：D．
利用平行线分线段成比例定理和相似三角形的判定与性质对每个选项的结论解析即可得出结论．
本题主要考查了平行线的判定与性质，平行线分线段成比例定理和相似三角形的判定与性质，熟练掌握上述定理与性质是解题的关键．
9.【答案】D
【解析】解：根据题意，可得(80−5x)(50−2x)=2520，
故选：D．
根据据停车区域面积之和为拼起来矩形的面积，列出一元二次方程即可．
本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程．
10.【答案】B
【解析】解：∵一次函数y=x+b的图象经过第一、二、三象限，且与y轴交于正半轴，则b>0，反比例函数y=的图象经过第二、四象限，则k<0，
∴函数y=−x2+bx+1−k的图象开口向下，对称轴为直线x=b2>0，1−k>0．
∴在B、C两个选项中选择．
又由题意，反比例函数y=与一次函数y=x+b的图象有两个交点，其中一个交点纵坐标为2，
∴k2+b=2．
∴2−b=k2<0．
∴b>2．
∴对称轴为直线x=>1．
综上，可得B正确．
故选：B．
依据题意，由一次函数y=x+b的图象经过第一、二、三象限，且与y轴交于正半轴，则b>0，反比例函数y=的图象经过第二、四象限，则k<0，从而函数y=−x2+bx+1−k的图象开口向下，对称轴为直线x=b2>0，1−k>0，从而排除A、D，在B、C两个选项中选择，又由题意，反比例函数y=与一次函数y=x+b的图象有两个交点，其中一个交点纵坐标为2，k2+b=2，进而可得2−b=k2<0，从而可得对称轴为直线x=>1，故可得解．
本题主要考查的是一次函数、反比例函数和二次函数的图象，应该熟记一次函数、反比例函数和二次函数在不同情况下所在的象限．
11.【答案】504
【解析】解：∵抽取的100名男生身高在170～180cm之间的有63名．
∴九年级男生身高在170～180cm之间的大约有800×63100=504(名)．
故答案为：504．
用九年级男生总数乘以身高在170～180cm之间的男生所占的百分比即可得出答案．
本题考查了用样本估计总体，掌握用样本估计总体的方法是解题的关键．
12.【答案】(4,−8)
【解析】解：∵点M与点N为一组对应点，若点M的坐标为(−2,4)，相似比为1：2，
∴N(4,−8)．
故答案为：(4,−8)．
利用位似变换的性质求解即可．
本题考查位似变换，坐标确定位置等知识，解题的关键是掌握位似变换的性质．
13.【答案】3
【解析】解：如图，点O即为所求，投影中心在3号窗口．
故答案为：3．
根据中心投影的定义，画出图形即可．
本题考查中心投影，解题的关键是正确作出投影中心的位置，属于中考常考题型．
14.【答案】2 10
【解析】解：连接DB，交AC于点F，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，AF=CF，
∵AB=10，
∴AD=AE=AB=10，
∵AC=16，
∴AF=CF=8，
在Rt△ADF中，AD=10，AF=8，
根据勾股定理得：DF=6，
∵AE=10，AF=8，
∴EF=AE−AF=10−8=2，
在Rt△DEF中，DF=6，EF=2，
根据勾股定理得：DE= DF2+EF2=2 10，
故答案为：2 10，
连接DB，根据菱形的性质得出AD=AE=AB=10，AF=CF=8，根据线段的和差关系求出EF的值，再利用勾股定理解答即可．
本题主要考查了菱形的性质和勾股定理，熟练掌握相关性质是解答本题的关键．
15.【答案】x=−1
【解析】解：设此方程的另一根为m，
由一元二次方程根与系数的关系得：5m=−102=−5，
解得m=−1，
即方程的另一根为x=−1，
故答案为：x=−1．
本题根据x1⋅x2=ca，即可得到答案．
本题考查了一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题关键．
16.【答案】3：2
【解析】解：∵点E为边BC的中点，
∴BE=12BC，
∵四边形ABCD为正方形，
∴BC//AD，BC=AD，
∴BE=12AD．
∵BC//AD，
∴△BEF∽△DAF，
∴EFAF=BEAD=12，S△BEFS△DAF=(BEAD)2=14，
设S△BEF=a，则S△DAF=4a，S△ABF=2S△BEF=2a．
∴S△ABE=3a．
设BE=k，则AB=AD=2k，
∴AE= AB2+BE2= 5k.
∵AD//BE，
∴∠DAG=∠AEB，
∵∠AGD=∠ABE=90°，
∴△AGD∽△EBA，
∴S△AGDS△EBA=(ADAE)2=(2k 5k)2=45，
∴S△AGD=45×3a=125a，
∴S△DGF=S△DAF−S△DAG=4a−125a=85a，
∴S△DAG：S△DFG=125a：85a=3：2．
故答案为：3：2．
利用正方形的性质和相似三角形的判定与性质得到△BEF∽△DAF，它们面积的比为1：4，设S△BEF=a，则S△DAF=4a，S△ABF=2S△BEF=2a，S△ABE=3a；利用相似三角形的判定与性质得到△AGD∽△EBA，它们面积的比为4：5，分别计算得到S△DAG，S△DFG，则结论可求．
本题主要考查了正方形的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，熟练掌握正方形的性质和相似三角形的判定与性质是解题的关键．
17.【答案】解：如图，矩形ABCD为所作．
【解析】先再直线l上截取AD=2a，再过A点作直线l的垂线，接着在垂线上截取AB=a，然后分别以B点、D点为圆心，AD为半径或AB的长画弧两弧相交于点C，则四边形ABCD满足条件．
本题考查了作图−复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．
18.【答案】解：(1)x2−10x−7=0，
x2−10x=7，
x2−10x+25=7+25，即(x−5)2=32，
∴x−5=±4 2，
∴x1=5+4 2，x2=5−4 2；
(2)∵关于x的一元二次方程(m−2)x2−3x+2=0有实数根，
∴△≥0，
即Δ=b2−4ac=(−3)2−4(m−2)×2
=9−8m+16
=−8m+16≥0，
∴m≤2，
∵此方程是一元二次方程，
∴m−2≠0，即m≠2．
∴m的取值范围是：m<2．
【解析】(1)利用配方法求解即可；
(2)由于一元二次方程有实数根，所以Δ≥0，再由此方程是一元二次方程可知m−2≠0，根据这两个条件求出m的取值范围即可．
本题考查的是解一元二次方程，一元二次方程根的判别式，在解答此类题目时一定要注意二次项系数不为0，这是此题的易错点．
19.【答案】解：画树状图如下：
共有9种等可能的结果，其中两次抽出的卡片上的图案都是“宸宸”的结果有：(A,A)，共1种，
∴两次抽出的卡片上的图案都是“宸宸”的概率为19．
【解析】画树状图得出所有等可能的结果数以及两次抽出的卡片上的图案都是“宸宸”的结果数，再利用概率公式可得出答案．
本题考查列表法与树状图法，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．
20.【答案】解：过点C作CE⊥AB于点E，过点D作DF⊥CE于点F，
则EF=BD=300，BE=DF，
在Rt△DCF中，设CF=x m，则CD=2xm，FD= 3x m，
∴AC=(300+2x)m，
在Rt△ACE中，sin53°=CEAC，
即x+300300+2x=0.8，
解得x=100，
∴DF=BE=100 3m，CE=400m，AC=500m，
∴AE= AC2−CE2=300，
∴AB=AE+BE=300+100 3≈473(m)，
答：该小区北门A与南门B之间的距离为473米．
【解析】过点C作CE⊥AB于点E，过点D作DF⊥CE于点F，在Rt△DCF中，设CF=x m，则CD=2xm，FD= 3x m，在Rt△ACE中，利用sin53°求出x即可解答．
本题主要考查解直角三角形的应用，解题的关键是构造直角三角形与三角函数的应用．
21.【答案】解：(1)∵点A(m+2,6)在函数y=−6mx图象上，
∴−6m=6(m+2)，
解得m=−1，
∴反比例函数的关系式为y=6x，A(1,6)，B(−3,−2)，
把A(1,6)，B(−3,−2)代入y=kx+b得k+b=6−3k+b=−2，
解得k=2b=4，
∴一次函数的解析式：y=2x+4；
(2)令y=0，则2x+4=0，
∴x=−2，
∴C(−2,0)，
观察图象，−6mx
(2)利用一次函数的解析式求得点C，然后根据图象即可求解．
本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，待定系数法求一次函数的解析式，数形结合是解题的关键．
22.【答案】90 90 m 60
【解析】解：(1)∵∠BAC=∠EAF=90°，
∴∠BAC+∠CAE=∠EAF+∠CAE，即∠BAE=∠CAF，
∵AB=AC，∠BAE=∠CAF，AE=AF，
∴△BAE≌△CAF(SAS)，
∴∠ABE=∠ACF，
∴∠BFC=180°−∠CBF−∠ACB−∠ACF=180°−(∠CBF+∠ABE)−∠ACB=90°，
故答案为：90；
(2)∵∠BAC=∠EAF=90°，
∴∠BAC+∠CAE=∠EAF+∠CAE，即∠BAE=∠CAF，
∵AB=AC，∠BAE=∠CAF，AE=AF，
∴△BAE≌△CAF(SAS)，
∴∠ABE=∠ACF，
∴∠BDC=180°−∠CBD−∠ACB−∠ACD=180°−(∠CBD+∠ABD)−∠ACB=90°，
故答案为：90；
(3)同(2)可得△BAE≌△CAF(SAS)，
∴∠ABE=∠ACF，
∴∠BDC=180°−∠CBD−∠ACB−∠ACD=180°−(∠CBD+∠ABD)−∠ACB=
=180°−∠ABC−∠ACB
=∠BAC=m°，
故答案为：m；
(4)∵∠BAC=∠EAF=120°，
∴∠BAC−∠CAE=∠EAF−∠CAE，即∠BAE=∠CAF，
∵AB=AC，∠BAE=∠CAF，AE=AF，
∴△BAE≌△CAF(SAS)，
∴∠ABE=∠ACF，
∴∠BDC=∠ACB+∠ACF−∠CBD=∠ACB+(∠ABE−∠CBD)=180°−∠BAC=60°，
故答案为：60．
(1)证明△BAE≌△CAF(SAS)，由全等三角形的性质得出∠ABE=∠ACF，由三角形内角和定理可得出答案；
(2)证明△BAE≌△CAF(SAS)，由全等三角形的性质得出∠ABE=∠ACF，则可得出答案；
(3)证明△BAE≌△CAF(SAS)，得出∠ABE=∠ACF，则可得出答案；
(4)证明△BAE≌△CAF(SAS)，得出∠ABE=∠ACF，同理可得出答案．
本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理，三角形外角的性质，等腰三角形的判定与性质．熟练掌握全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理，三角形外角的性质，等腰三角形的性质是解题的关键．
23.【答案】①
【解析】(1)证明：∵BD⊥BC，BD⊥AD，
∴∠ODA=∠OBC=90°，
在△AOD和△COB中，
∠ODA=∠OBCOD=OB∠AOD=∠COB，
∴△AOD≌△COB(ASA)，
∴OA=OC，
∵点E，F分别是AO，CO的中点，
∴OE=OF；
(2)解：选择①，四边形BEDF为矩形．
理由如下：
∵DE为Rt△AOD的斜边上的中线，
∴DE=OE，
∵∠AOD=60°，
∴△ODE为等边三角形，
∴OD=OE，
∵OD=OB，OE=OF，
∴四边形BEDF为平行四边形，
∵OD=OB=OE=OF，
∴EF=BD，
∴四边形BEDF为矩形．
故答案为：①
若选择②，四边形BEDF为矩形．
理由如下：
∵AC=2BD，OA=OC，
∴OA=OC=BD，
∵点E，F分别是AO，CO的中点，OB=OD，
∴OD=OB=OE=OF，
∴四边形BEDF为矩形．
(1)先证明△AOD≌△COB得到OA=OC，然后利用点E，F分别是AO，CO的中点得到OE=OF；
(2)若选择①，四边形BEDF为矩形．理由为：根据直角三角形斜边上的中线性质得到DE=OE，则可判断△ODE为等边三角形，所以OD=OB，OE=OF，从而可判断四边形BEDF为矩形．
若选择②，四边形BEDF为矩形．理由为：利用AC=2BD，OA=OC得到OA=OC=BD，然后利用点E，F分别是AO，CO的中点，OB=OD得到OD=OB=OE=OF，从而可判断四边形BEDF为矩形．
本题考查了全等三角形的判定与性质：全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．也考查了矩形的判定与性质．
24.【答案】解：(1)由题意，设函数关系式为y=kx+b，
又过点(30,350)，(50,250)，
∴30k+b=35050k+b=250．
∴k=−5b=500．
∴所求函数关系式为y=−5x+500．
(2)由题意，每天的销售利润=(x−20)(−5x+500)，
∴销售利润每天达到6000元，得6000=(x−20)(−5x+500)．
∴x=40或x=80．
答：该景区要想使这种文创纪念品的销售利润每天达到6000元，每件文创纪念品的定价应为40元或80元．
(3)由题意，每天的销售利润=(x−20)(−5x+500)
=−5x2+600x−10000
=−5(x2−120x)−10000
=−5(x2−120x+3600)+8000
=−5(x−60)2+8000．
∵该文创纪念品的利润率不得高于60%，
∴每款纪念品利润不超过(20×60%)元=12元．
∴售价0
∴当x=32时，销售单价定为32元时，每天的获利最大，最大利润是4080．
【解析】(1)依据题意，设函数关系式为y=kx+b，又过点(30,350)，(50,250)，进而由待定系数法可以得解；
(2)依据题意，由每天的销售利润=(x−20)(−5x+500)，从而6000=(x−20)(−5x+500)，进而计算可以得解；
(3)依据题意，由每天的销售利润=(x−20)(−5x+500)=−5(x−60)2+8000，再结合该文创纪念品的利润率不得高于60%，从而售价0
25.【答案】解：(1)∵四边形ABCD为矩形，
∴∠D=∠DAB=∠B=90°，BC=AD=8，AC= AB2+BC2=10．
由题意得：AP=2t，AQ=t，
∴PD=8−2t，BQ=6−t．
∵QE//AC，
∴△BEQ∽△BEA，
∴BQBA=BEBC，
∴6−t6=BE8，
∴BE=43(6−t)．
∵PE//CD，BC//AD，
∴四边形PDCE为平行四边形，
∴CE=PD，
∴PA=BE，
∴2t=43(6−t)，
∴t=2.4．
∴t为2.4时，PE//CD；
(2)S=S梯形APEB−S△APQ−S△BEQ
=12(AP+BE)⋅AB−12×AP⋅AQ−12×BE⋅BQ
=12[2t+43(6−t)]×6−12×2t×t−12×(6−t)×43(6−t)
=23t+24−t2−23t2+8t−24
=−53t2+10t．
∴S与t之间的函数关系式为S=−53t2+10t；
(3)存在某一时刻t，使S△EPQ：S△ACD=15：24，此时t=3.理由：
∵S△ACD=12×AD⋅BC=24，S△EPQ：S△ACD=15：24，
∴−53t2+10t24=1524，
∴−53t2+10t=15，
∴t2−6t+9=0，
∴t1=t2=3．
∴存在某一时刻t，使S△EPQ：S△ACD=15：24，此时t=3；
(4)①当EC=EO时，
过点E作EH⊥OC于点H，如图，
∵点O为AC的中点，
∴OC=12AC=5，
∵EC=EO，EH⊥OC，
∴OH=CH=12OC=52，
∵∠ECH=∠ACB，∠EHC=∠B=90°，
∴△CEH∽△CAB，
∴CHCB=CECA，
∴528=8−43(6−t)10，
∴t=7532．
②当EC=CO时，
∴EC=5，
∴8−43(6−t)=5，
∴t=154．
③当OE=CO时，
∴OE=5，
此时，点E与点B重合，不合题意，舍去．
综上，当△CEO为等腰三角形时，t的值为154或7532．
【解析】(1)利用矩形和直角三角形的性质求得BC，AC，利用t的代数式表示出线段AP，AQ，BQ，利用相似三角形判定与性质BE，再利用平行四边形的判定与性质得到关于t的方程，解方程即可得出结论；
(2)利用S=S梯形APEB−S△APQ−S△BEQ解答即可；
(3)利用(2)的结论列出关于t的方程，解方程即可得出结论；
(4)利用分类讨论的思想方法分三种情况讨论解答：①当EC=EO时，过点E作EH⊥OC于点H，利用等腰三角形的三线合一的性质和相似三角形的判定与性质解答即可；②当EC=CO时，EC=5，则8−43(6−t)=5，解方程即可得出结论；当OE=CO时，点E与点B重合，不合题意，舍去．
本题主要考查了矩形的性质，直角三角形的性质，勾股定理，平行线的性质，相似三角形的判定与性质，本题是动点问题，利用t的代数式表示出相应线段的长度是解题的关键．
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