专题06图形的性质解答题-三年（2022-2024）中考数学真题分项汇编（黑龙江专用）

这是一份专题06图形的性质解答题-三年（2022-2024）中考数学真题分项汇编（黑龙江专用），共66页。试卷主要包含了解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（2022·黑龙江哈尔滨·中考真题）如图，方格纸中每个小正方形的边长均为1，的顶点和线段的端点均在小正方形的顶点上．
(1)在方格纸中面出，使与关于直线对称（点D在小正方形的顶点上）；
(2)在方格纸中画出以线段为一边的平行四边形（点G，点H均在小正方形的顶点上），且平行四边形的面积为4．连接，请直接写出线段的长．
2．（2022·黑龙江牡丹江·中考真题）如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，△ABC与△DEF关于点O成中心对称，△ABC与△DEF的顶点均在格点上，请按要求完成下列各题．
（1）在图中画出点O的位置；
（2）将△ABC 先向右平移4个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到△A1B1C1，请画出△A1B1C1；
（3）在网格中画出格点M，使A1M平分∠B1A1C1
3．（2023·黑龙江大庆·中考真题）如图，在平行四边形中，为线段的中点，连接，，延长，交于点，连接，．

(1)求证：四边形是矩形；
(2)若，，求四边形的面积．
4．（2023·黑龙江哈尔滨·中考真题）如图，方格纸中每个小正方形的边长均为个单位长度，线段AB和线段CD的端点均在小正方形的顶点上．

(1)在方格纸中画出，且为钝角（点在小正方形的顶点上）；
(2)在方格纸中将线段CD向下平移个单位长度，再向右平移个单位长度后得到线段（点的对应点是点，点的对应点是点），连接，请直接写出线段的长．
5．（2024·黑龙江牡丹江·中考真题）如图，某数学活动小组用高度为米的测角仪，对垂直于地面的建筑物的高度进行测量，于点C．在B处测得A的仰角，然后将测角仪向建筑物方向水平移动6米至处，于点G，测得A的仰角，的延长线交于点E，求建筑物的高度（结果保留小数点后一位）．（参考数据：）
6．（2024·黑龙江牡丹江·中考真题）数学老师在课堂上给出了一个问题，让同学们探究．在中，，点D在直线上，将线段绕点A顺时针旋转得到线段，过点E作，交直线于点F．
（1）当点D在线段上时，如图①，求证：；
分析问题：某同学在思考这道题时，想利用构造全等三角形，便尝试着在上截取，连接，通过证明两个三角形全等，最终证出结论：
推理证明：写出图①的证明过程：
探究问题：
（2）当点D在线段的延长线上时，如图②：当点D在线段的延长线上时，如图③，请判断并直接写出线段，，之间的数量关系；
拓展思考：
（3）在（1）（2）的条件下，若，，则______．
7．（2024·黑龙江大庆·中考真题）如图，为的内接三角形，AB为的直径，将沿直线AB翻折到，点在上．连接CD，交AB于点，延长BD，CA，两线相交于点，过点作的切线交于点．
(1)求证：；
(2)求证：；
(3)若，．求的值．
8．（2024·黑龙江牡丹江·中考真题）在中，，，，以为边向外作有一个内角为的菱形，对角线交于点O，连接，请用尺规和三角板作出图形，并直接写出的面积．
9．（2024·黑龙江大庆·中考真题）如图，平行四边形中，、分别是，的平分线，且E、F分别在边，上．
(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)若，，求的面积．
10．（2022·黑龙江绥化·中考真题）已知：．
(1)尺规作图：用直尺和圆规作出内切圆的圆心O；（只保留作图痕迹，不写作法和证明）
(2)如果的周长为14，内切圆的半径为1.3，求的面积．
11．（2022·黑龙江·中考真题）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，．
(1)将先向左平移6个单位，再向上平移4个单位，得到，画出两次平移后的，并写出点的坐标；
(2)画出绕点顺时针旋转90°后得到，并写出点的坐标；
(3)在（2）的条件下，求点旋转到点的过程中所经过的路径长（结果保留）．
12．（2022·黑龙江·中考真题）和都是等边三角形．
(1)将绕点A旋转到图①的位置时，连接BD，CE并延长相交于点P（点P与点A重合），有（或）成立；请证明．
(2)将绕点A旋转到图②的位置时，连接BD，CE相交于点P，连接PA，猜想线段PA、PB、PC之间有怎样的数量关系？并加以证明；
(3)将绕点A旋转到图③的位置时，连接BD，CE相交于点P，连接PA，猜想线段PA、PB、PC之间有怎样的数量关系？直接写出结论，不需要证明．
13．（2022·黑龙江·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，平行四边形ABCD的边AB在x轴上，顶点D在y轴的正半轴上，M为BC的中点，OA、OB的长分别是一元二次方程的两个根，，动点P从点D出发以每秒1个单位长度的速度沿折线向点B运动，到达B点停止．设运动时间为t秒，的面积为S．
(1)求点C的坐标；
(2)求S关于t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围；
(3)在点P的运动过程中，是否存在点P，使是等腰三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
14．（2022·黑龙江大庆·中考真题）如图，在四边形中，点E，C为对角线上的两点，．连接．
(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)若，求证：．
15．（2022·黑龙江哈尔滨·中考真题）已知矩形的对角线相交于点O，点E是边上一点，连接，且．
(1)如图1，求证：；
(2)如图2，设与相交于点F，与相交于点H，过点D作的平行线交的延长线于点G，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中的四个三角形（除外），使写出的每个三角形的面积都与的面积相等．
16．（2022·黑龙江牡丹江·中考真题）在菱形ABCD中，对角线AC和BD的长分别是6和8，以AD为直角边向菱形外作等腰直角三角形ADE．连接CE．请用尺规或三角板作出图形，并直接写出线段CE的长．
17．（2022·黑龙江牡丹江·中考真题）如图，和，点E，F在直线BC上，，，．如图①，易证：．请解答下列问题：
(1)如图②，如图③，请猜想BC，BE，BF之间的数量关系，并直接写出猜想结论；
(2)请选择（1）中任意一种结论进行证明；
(3)若，，，，则______，______．
18．（2023·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）如图，在中，，平分交于点D，点E是斜边上一点，以为直径的经过点D，交于点F，连接．

(1)求证：是的切线；
(2)若，，求图中阴影部分的面积（结果保留π）．
19．（2023·黑龙江绥化·中考真题）已知：点是外一点．

(1)尺规作图：如图，过点作出的两条切线，，切点分别为点、点．（保留作图痕迹，不要求写作法和证明）
(2)在（1）的条件下，若点在上（点不与，两点重合），且．求的度数．
20．（2023·黑龙江·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点坐标分别是，．

(1)将向上平移4个单位，再向右平移1个单位，得到，请画出．
(2)请画出关于轴对称的．
(3)将着原点顺时针旋转，得到，求线段在旋转过程中扫过的面积（结果保留）．
21．（2023·黑龙江·中考真题）如图①，和是等边三角形，连接，点F，G，H分别是和的中点，连接．易证：．
若和都是等腰直角三角形，且，如图②：若和都是等腰三角形，且，如图③：其他条件不变，判断和之间的数量关系，写出你的猜想，并利用图②或图③进行证明．

22．（2023·黑龙江大庆·中考真题）某风景区观景缆车路线如图所示，缆车从点出发，途经点后到达山顶，其中米，米，且段的运行路线与水平方向的夹角为，段的运行路线与水平方向的夹角为，求垂直高度．（结果精确到米，参考数据：，，）

23．（2023·黑龙江牡丹江·中考真题）在中，，，，D为的中点，以为直角边作含角的，，且点E与点A在的同侧，请用尺规或三角板作出符合条件的图形，并直接写出线段的长．
24．（2023·黑龙江牡丹江·中考真题）中，，垂足为E，连接，将绕点E逆时针旋转，得到，连接．

(1)当点E在线段上，时，如图①，求证：；
(2)当点E在线段延长线上，时，如图②：当点E在线段延长线上，时，如图③，请猜想并直接写出线段AE，EC，BF的数量关系；
(3)在（1）、（2）的条件下，若，，则_______．
25．（2023·黑龙江大庆·中考真题）如图，是的直径，点是圆上的一点，于点，交于点，连接，若平分，过点作于点，交于点，延长，交于点．

(1)求证：是的切线；
(2)求证：；
(3)若，求的值．
26．（2024·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）如图，内接于，为的直径，于点D，将沿所在的直线翻折，得到，点D的对应点为E，延长交的延长线于点F．
(1)求证：是的切线；
(2)若，，求图中阴影部分的面积．
27．（2024·黑龙江绥化·中考真题）已知：．
(1)尺规作图：画出的重心．（保留作图痕迹，不要求写作法和证明）
(2)在（1）的条件下，连接，．已知的面积等于，则的面积是______．
28．（2024·黑龙江大兴安岭地·中考真题）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1个单位长度，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，．
(1)画出关于y轴对称的，并写出点的坐标；
(2)画出绕点A逆时针旋转后得到的，并写出点的坐标；
(3)在（2）的条件下，求点B旋转到点的过程中所经过的路径长（结果保留）
29．（2024·黑龙江大兴安岭地·中考真题）已知是等腰三角形，，，在的内部，点M、N在上，点M在点N的左侧，探究线段之间的数量关系．

（1）如图①，当时，探究如下：
由，可知，将绕点A顺时针旋转，得到，则且，连接，易证，可得，在中，，则有．
（2）当时，如图②：当时，如图③，分别写出线段之间的数量关系，并选择图②或图③进行证明．
参考答案：
1．(1)见解析
(2)图见解析，
【分析】（1）根据轴对称的性质可得△ADC；
（2）利用平行四边形的性质即可画出图形，利用勾股定理可得DH的长．
【详解】（1）如图
（2）如图，
【点睛】本题考查了作图，轴对称变换，平行四边形的性质，勾股定理等知识，准确画出图形是解题的关键．
2．（1）作图见解析；（2）作图见解析；（3）作图见解析；
【分析】（1）连接对应点B、F，对应点C、E，其交点即为旋转中心的位置；
（2）利用网格结构找出平移后的点的位置，然后顺次连接即可；
（3）根据网格结构的特点作出即可．
【详解】解：（1）如图所示，连接BF，CE交于点O，点O即为所求．
（2）如图所示，△A1B1C1为所求；
（3）如图所示，点M即为所求．
理由：连接，
根据题意得：，
∴四边形菱形，
∴A1M平分∠B1A1C1．
3．(1)证明，见解析
(2)
【分析】（1）根据平行四边形的性质，得，根据平行线的性质，得，；再根据为线段的中点，全等三角形的判定，则，根据矩形的判定，即可；
（2）过点作于点，根据勾股定理，求出的长，再根据四边形的面积等于，即可．
【详解】（1）∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，，
∵为线段的中点，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴平行四边形是矩形．
（2）过点作于点，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴四边形的面积等于，
∵，，
∵点是对角线的中心，
∴，
∴，
∴四边形的面积为：．

【点睛】本题考查矩形，平行四边形，全等三角形的知识，解题的关键是矩形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质．
4．(1)画图见解析
(2)画图见解析，
【分析】（1）找到的格点的，使得，且，连接，则即为所求；
（2）根据平移画出，连接，勾股定理即可求解．
【详解】（1）解：如图所示，即为所求；

（2）解：如图所示，，即为所求；
．
【点睛】本题考查了平移作图，勾股定理与网格，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
5．17.5米
【分析】本题主要考查了矩形的性质与判定，解直角三角形的实际应用，由题意可得四边形是矩形，则．解直角三角形得到，进而得到，据此求出即可得到答案．
【详解】解：根据题意可知四边形是矩形，
．
如图，．
，
．
，
．
（米）
答：建筑物的高度约为米．
6．（1）见解析；（2）图②：，图③：；（3）10或18
【分析】（1）在边上截取，连接，根据题意证明出，得到，然后证明出是等边三角形，得到，进而求解即可；
（2）图②：在上取点H，使，连接并延长到点G使，连接，首先证明出是等边三角形，得到，然后求出，然后证明出，得到，，然后证明出是等边三角形，得到，进而求解即可；
图③：在上取点H使，同理证明出，得到，，进而求解即可；
（3）根据勾股定理和含角直角三角形的性质求出，，然后结合，分别（1）（2）的条件下求出的长度，进而求解即可．
【详解】（1）证明：在边上截取，连接．
在中，．
，
．
又，
．
又，，
．
又，
．
．
．
．
，
．
是等边三角形．
，
，
；
（2）图②：当点D在线段的延长线上时，，证明如下：
如图所示，在上取点H，使，连接并延长到点G使，连接，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∵线段绕点A顺时针旋转得到线段，
∴，，
∴，
∴，即，
又∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∴；
图③：当点D在线段的延长线上时，，证明如下∶
如图所示，在上取点H使，
∵，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∵将线段绕点A顺时针旋转得到线段，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∵，
又∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴；
（3）如图所示，
∵，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
由（1）可知，，
∴；
如图所示，当点D在线段的延长线上时，
∵，与矛盾，
∴不符合题意；
如图所示，当点D在线段的延长线上时，
∵，，
∴，
由（2）可知，，
∵，
∴．
综上所述，或18．
【点睛】此题考查了全等三角形的性质和判定，勾股定理，等边三角形的性质和判定，含角直角三角形的性质，解题的关键是掌握以上知识点．
7．(1)见解析
(2)见解析
(3)
【分析】（1）根据折叠可得，根据切线的定义可得，即可得证；
（2）根据题意证明，进而证明，根据相似三角形的性质，即可得证；
（3）根据，设，则，得出，根据折叠的性质可得出，则，进而求得，根据，进而根据正切的定义，即可求解．
【详解】（1）证明：∵将沿直线AB翻折到，
∴，
∵AB为的直径，是切线，
∴，
∴；
（2）解：∵是切线，
∴，
∵AB为的直径，
∴，
∴，
∵由折叠可得，
∴，
∵四边形是的内接四边形，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，即；
（3）解：∵，设，则，
∴，
∴，
∵由折叠可得，
∴，
∵在中，，
∴，
∵，，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了切线的性质，折叠问题，相似三角形的性质与判定，解直角三角形，熟练掌握以上知识是解题的关键．
8．图形见解析，的面积为12或36．
【分析】本题考查了菱形的性质，直角三角形的性质以及勾股定理．分两种情况讨论，作，垂足为，利用直角三角形的性质以及勾股定理分别求得的长，再利用三角形面积公式即可求解．
【详解】解：当时，所作图形如图，作，垂足为，
∵菱形，，
∴，，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴的面积为；
当时，所作图形如图，作，垂足为，
∵菱形，，
∴，，
∵，
∴，，
∴，，
∴的面积为；
综上，的面积为12或36．
9．(1)见解析
(2)．
【分析】（1）由平行四边形的性质得到，，结合角平分线的条件得到，由得到，，根据平行线的判定得到，根据平行四边形的判定即可得到是平行四边形；
（2）求得是等边三角形，得到，，证明，求得，作于点，在中，求得，据此求解即可．
【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∵分别是、的平分线，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形；
（2）解：由（1）得，，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∵，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
作于点，
在中，，，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了解直角三角形，相似三角形的判定和性质，勾股定理，平行四边形的判定和性质，等边三角形的判定和性质．正确引出辅助线解决问题是解题的关键．
10．(1)作图见详解
(2)9.1
【分析】（1）根据角平分线的性质可知角平分线的交点为三角形内切圆的圆心，故只要作出两个角的角平分线即可；
（2）利用割补法，连接OA，OB，OC，作OD⊥AB，OE⊥BC，OF⊥AC，这样将△ABC分成三个小三角形，这三个小三角形分别以△ABC的三边为底，高为内切圆的半径，利用提取公因式可将周长代入，进而求出三角形的面积．
【详解】（1）解：如下图所示，O为所求作点，
（2）解：如图所示，连接OA，OB，OC，作OD⊥AB，OE⊥BC，OF⊥AC，
∵内切圆的半径为1.3，
∴OD=OF=OE=1.3，
∵三角形ABC的周长为14，
∴AB+BC+AC=14，
则
故三角形ABC的面积为9.1．
【点睛】本题考查三角形的内切圆，角平分线的性质，割补法求几何图形的面积，能够将角平分线的性质与三角形的内切圆相结合是解决本题的关键．
11．(1)见解析；
(2)见解析；
(3)点旋转到点所经过的路径长为
【分析】（1）根据题目中的平移方式进行平移，然后读出点的坐标即可；
（2）先找出旋转后的对应点，然后顺次连接即可；
（3）根据旋转可得点旋转到点为弧长，利用勾股定理确定圆弧半径，然后根据弧长公式求解即可．
【详解】（1）解：如图所示△A1B1C1即为所求，
；
（2）如图所示△A2B2C2即为所求，；
（3）∵
∴点旋转到点所经过的路径长为．
【点睛】题目主要考查坐标与图形，图形的平移，旋转，勾股定理及弧长公式等，熟练掌握和灵活运用这些知识点是解题的关键．
12．(1)证明见解析
(2)图②结论：，证明见解析
(3)图③结论：
【分析】（1）由△ABC是等边三角形，得AB=AC，再因为点P与点A重合，所以PB=AB，PC=AC，PA=0，即可得出结论；
（2）在BP上截取，连接AF，证明（SAS），得，再证明（SAS），得，，然后证明是等边三角形，得，即可得出结论；
（3）在CP上截取，连接AF，证明（SAS），得，再证明（SAS），得出，，然后证明是等边三角形，得，即可得出结论：．
【详解】（1）证明：∵△ABC是等边三角形，
∴AB=AC，
∵点P与点A重合，
∴PB=AB，PC=AC，PA=0，
∴或；
（2）解：图②结论：
证明：在BP上截取，连接AF，
∵和都是等边三角形，
∴，，
∴，
∴，
∴（SAS），
∴，
∵AC=AB，CP=BF，
∴（SAS），
∴，，
∴，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴；
（3）解：图③结论：，
理由：在CP上截取，连接AF，
∵和都是等边三角形，
∴，，
∴，
∴，
∴（SAS），
∴，
∵AB=AC，BP=CF，
∴（SAS），
∴，，
∴，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
即．
【点睛】本题考查等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质是解题的关键．
13．(1)点C坐标为
(2)
(3)存在点P或或，使是等腰三角形
【分析】（1）先求出方程的解，可得，，再由，可得，然后根据四边形ABCD是平行四边形，可得CD=7，，即可求解；
（2）分两种情况讨论：当时，当时，过点A作交CB的延长线于点F，即可求解；
（3）分三种情况讨论：当CP=PM时，过点M作MF⊥PC于点F；当时；当PM=CM时，过点M作MG⊥PC于点G，即可求解．
【详解】（1）解：，解得，，
∵，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴，，
∴点C坐标为；
（2）解：当时，，
当时，过点A作交CB的延长线于点F，如图，
，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
（3）解：存在点P，使是等腰三角形，理由如下：
根据题意得：当点P在CD上运动时，可能是等腰三角形，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠C=∠BAD，BC=AD=5，
∴，
∵点M为BC的中点，
∴，
当CP=PM时，过点M作MF⊥PC于点F，
∴，
设PC=PM=a，则PD=7-a，，
∵PF2+FM2=PM2，
∴，解得：，
∴，
∴此时点P；
当时，
∴，
∴此时点P；
当PM=CM时，过点M作MG⊥PC于点G，则，
∴，
∴PD=7-PC=4，
∴此时点P；
综上所述，存在点P或或，使是等腰三角形
【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，坐标与图形，等腰三角形的性质，解直角三角形，熟练掌握相关知识点，并利用数形结合思想解答是解题的关键．
14．(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）由可得，证明，则，，进而结论得证；
（2）由，可知，，则，证明，进而结论得证．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
∴，
在和中，
∵，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴四边形是平行四边形．
（2）证明：由（1）知，，
∴，AC=DE，
∵，
∴，，
∴，
在和中，
∵，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定．解题的关键在于熟练掌握全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定．
15．(1)见解析
(2)、、、
【分析】（1）利用SSS证明两个三角形全等即可;
（2）先证明Rt△ABE≌Rt△DCE得到AE=DE，则，根据三线合一定理证明∴OE⊥AD， 推出，得到，即可证明由，得到∠OBF=∠OCH，，证明△BOF≌△COH，即可证明，则，即可推出，最后证明，即可得到；
【详解】（1）证明：∵四边形是矩形，
∴与相等且互相平分，
∴，
∵，，
∴（SSS）；
（2）解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=CD，∠BAE=∠CDE=90°，OA=OD=OB=OC，
又∵BE=CE，
∴Rt△ABE≌Rt△DCE（HL）
∴AE=DE，
∴，
∵OA=OD，AE=DE，
∴OE⊥AD，
∴，
∴，
∴，
∴；
∵，
∴∠OBF=∠OCH，，
又∵∠BOF=∠COH，OB=OC，
∴△BOF≌△COH（ASA），
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
∵，
∴∠AFE=∠DGE，∠EAF=∠EDG，
又∵AE=DE，
∴，
∴；
综上所述，、、、这4个三角形的面积与△AEF的面积相等．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，三线合一定理，矩形的性质，平行线的性质与判定等等，熟知全等三角形的性质与判定条件是解题的关键．
16．作图见解析；或
【分析】分和两种情况，利用三角形全等及菱形的性质，求出相应线段长度，再利用勾股定理即可求解．
【详解】解：（1）如下图所示，当时，．
作图方法：利用三角板以AD为直角边，作，取，作交CA的延长线于点F．
∵ 在菱形ABCD中，对角线AC和BD的长分别是6和8，
∴，，，
∴，
∴，
又∵ ，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴，
∴．
（2）如下图所示，当时，．
作图方法：利用三角板以AD为直角边，作，取，作交BD的延长线于点F，作交EF的延长线于点G．
同（1）可证，
∴，，
∴，
∵ ，
∴四边形是矩形，
∴，，
∴，
∴．
综上，或．
【点睛】本题考查菱形的性质、全等三角形的判定与性质、矩形的判定与性质、勾股定理解直角三角形等，解题的关键是注意存在和两种情况，避免漏解．
17．(1)图②：；图③：
(2)证明见解析
(3)8，14或18
【分析】（1）先判断两个三角形全等，再结合线段的和差求解即可；
（2）先证两个三角形全等，再结合线段的和差求解即可；
（3）过点A作△ABC的高AG，求出AG的长，再根据三角形的面积求出BC的长，进而求出BF即可．
【详解】（1）解：图②：．
图③：．
（2）解：图②中
在和中，
∵，
∴≌，
∴BC=FE，
∴BF=BC+CE+EF=BC+CE+BC，
即．
或图③中，
在和中，
∵，
∴≌，
∴BC=FE，
，
即．
（3）解：过点A作AG⊥BC于G，
∵≌，
∴∠B=∠F=60°，
在Rt△ABG中，
∵AB=6，∠B =60°，
∴AG=AB·sin B=6×sin 60°=，
又
∴
∴BC=8，
又∵，
∴BF=BC+BE=8+8-2=14，或BF=BC+BE=8+8+2=18，
故答案为：8，14或18．
【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，线段的和差，三角形的面积，解直角三角形，解题关键是结合图形找到线段之间的关系是解题关键．
18．(1)见解析
(2)
【分析】（1）连接，，由角平分线的定义可得，从而可得，再根据平行线的判定可得 ，从而可得，再根据切线的判定即可得出结论；
（2）连接，，由，，可得，，再由直角三角形的性质可得，再由圆周角定理可得，根据角平分线的定义可得，利用锐角三角函数求得，再由直角三角形的性质可得 ，证明是等边三角形，可得，从而证明是等边三角形，可得垂直平分，再由，可得，从而可得，再利用扇形的面积公式计算即可．
【详解】（1）证明：连接，

∵，是的半径，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴ ，
∴，
∴于点D，
又∵为的半径，
∴是的切线．
（2）解：连接，，
∵在中，，，
∴，，
∵，
∴，
∵是的直径，
∴，
∵平分，
∴，
在中，，
∴，
∴ ，
∵平分，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
又∵，
∴垂直平分，
∵，，
∴，
∴，
∴．

【点睛】本题考查角平分线的定义、平行线的判定与性质、切线的判定、直角三角形的性质、圆周角定理、等边三角形的判定与性质、垂直平分线的判定与性质及扇形的面积公式，熟练掌握相关知识是解题的关键．
19．(1)见解析
(2)或
【分析】（1）①连接，分别以点为圆心，大于的长为半径画圆，两圆交于点两点，作直线交于点，②以点为圆心，为半径画圆，与交于两点，作直线，
（2）根据切线的性质得出，根据四边形内角和得出，进而根据圆周角定理以及圆内接四边形对角互补即可求解．
【详解】（1）解：如图所示，

①连接，分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点两点，作直线交于点，
②以点为圆心，为半径画圆，与交于两点，作直线，
则直线即为所求；
（2）如图所示，点在上（点不与，两点重合），且，
∵是的切线，
∴，
∴，
当点在优弧上时，，
当点在劣弧上时，，
∴或．
【点睛】本题考查了切线的性质与判定，直径所对的圆周角是直角，圆内接四边形对角互补，圆周角定理，熟练掌握以上知识是解题的关键．
20．(1)见解析
(2)见解析
(3)
【分析】（1）根据平移的性质得出对应点的位置进而画出图形；
（2）利用轴对称的性质得出对应点的位置进而画出图形；
（3）画出旋转后的图形，根据即可得出答案．
【详解】（1）解：如图所示，即为所求；

（2）如图所示，即为所求；
（3）将着原点顺时针旋转，得到，

设所在圆交于点D，交于点E，
，，
，
，，
，
，
，，，
，
故线段在旋转过程中扫过的面积为．
【点睛】本题考查平移、轴对称变换作图和旋转的性质以及扇形的面积，熟练掌握网格结构准确找出对应点的位置是解题的关键．
21．图②中，图③中，证明见解析
【分析】图②：如图②所示，连接，先由三角形中位线定理得到，，再证明得到，则，进一步证明，即可证明是等腰直角三角形，则；
图③：仿照图②证明是等边三角形，则．
【详解】解：图②中，图③中，
图②证明如下：
如图②所示，连接，
∵点F，G分别是的中点，
∴是的中位线，
∴，
同理可得，
∵和都是等腰直角三角形，且，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴
，
∴是等腰直角三角形，
∴；

图③证明如下：
如图③所示，连接，
∵点F，G分别是的中点，
∴是的中位线，
∴，
同理可得，
∵和都是等腰三角形，且，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴
，
∴是等边三角形，
∴．

【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，三角形中位线定理，等边三角形的性质与判定，勾股定理等等，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．
22．垂直高度约为米
【分析】过点作于，作于，则四边形为矩形，在中利用正弦函数求出长度，在中，，可以求出长度，即可求出．
【详解】解：过点作于，作于，则四边形为矩形，
，
在中，，，
则（米），
米，
在中，，米，
则米，
米．
答：垂直高度约为米．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，解答时需要过点作于，作于，然后根据特殊四边形和直角三角形中的边角关系进行计算．
23．作图见解析，线段的长为或
【分析】先根据含30度角的直角三角形的性质得到，，再根据直角三角形斜边上的中线性质和等边三角形的判定证明为等边三角形，可得，，分和两种情况，利用等边三角形的性质，结合锐角三角形和勾股定理求解即可．
【详解】解：如图，当时，

∵在中，，，
∴，又，
∴，，
∵D为的中点，
∴，
∴为等边三角形，
∴，，
∵，，
∴，，
∴是等边三角形，
∴；
如图，当时，

∵，
∴
在中，，则，
在中，，则，
综上，满足条件的线段的长为或．
【点睛】本题考查含30度角的直角三角形的性质、直角三角形斜边上的中线性质、等边三角形的判定与性质、锐角三角函数以及勾股定理等知识，熟练掌握等边三角形和直角三角形的相关性质是解答的关键．
24．(1)见解析
(2)图②：，图③：
(3)1或7
【分析】（1）求证，，得，所以，进而，所以；
（2）如图②，当点E在线段延长线上，时，同（1），，得，结合平行四边形性质，得，所以；如图③，当点E在线段延长线上，时，求证，得，同（1）可证，，结合平行四边形性质，得，所以；
（3）如图①，中，勾股定理，得 ，求得；如图②，，则,中，，可得图②中，不存在，的情况；如图③，中，勾股定理，得 ，求得．
【详解】（1）证明：，
．
，
∴
∴
．
，
．
．
，
．
．
四边形是平行四边形，
．
；
（2）如图②，当点E在线段延长线上，时，

同（1），，
∴
四边形是平行四边形，
．
∴
即；
如图③，当点E在线段延长线上，时，

∵
∴
∵
∴
∴
∴
∴
同（1）可证，
∴
四边形是平行四边形，
．
∴
即
（3）如图①，∵四边形是平行四边形，
∴，
∴
∵
∴
中，,，
由，得；
如图②，，则,中，，
∴,与矛盾，故图②中，不存在，的情况；
如图③，
∵四边形是平行四边形
∴
∴
∵
∴
中，，
∴
由知，．
综上，或7．
【点睛】本题考查平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，根据条件选用恰当的方法作全等的判定是解题的关键．
25．(1)证明，见解析
(2)证明，见解析
(3)
【分析】（1）连接，根据平分，则，根据，得，根据平行线的判定和性质，即可；
（2）由（1）得，，根据，，相似三角形的判定和性质，即可；
（3）根据，则，设的半径为，则，根据勾股定理求出；根据，，根据勾股定理求出，再根据，在根据勾股定理求出，根据，即可．
【详解】（1）连接
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴是的切线．

（2）证明，如下：
由（1）得，，
∵，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
（3）∵，
∴，
设的半径为，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴．
【点睛】本题考查圆，相似三角形，锐角三角形函数的知识，解题的关键圆的切线定理的运用，相似三角形的判定和性质，锐角三角形函数的运用．
26．(1)见解析
(2)
【分析】（1）连接，由折叠的性质得，，再证明，推出，据此即可证明是的切线；
（2）先求得，在中，求得，再利用扇形面积公式求解即可．
【详解】（1）证明：连接，
∵，
∴，
∵沿直线翻折得到，
∴，，
∵是的半径，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴于点C，
又∵为的半径，
∴是的切线；
（2）解：∵，
∴，
由（1）得，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了切线的判定与扇形面积公式，折叠的性质，解直角三角形．充分运用圆的性质，综合三角函数相关概念，求得线段长度是解题的关键．
27．(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了三角形重心的性质，尺规画垂线；
（1）分别作的中线，交点即为所求；
（2）根据三角形重心的性质可得，根据三角形中线的性质可得
【详解】（1）解：如图所示
作法：①作的垂直平分线交 于点
②作的垂直平分线交于点
③连接AD、相交于点
④标出点 ，点 即为所求
（2）解：∵是的重心，
∴
∴
∵的面积等于，
∴
又∵是的中点，
∴
故答案为：．
28．(1)作图见解析，
(2)作图见解析，
(3)
【分析】本题考查了利用旋转变换作图，轴对称和扇形面积公式等知识，熟练掌握网格结构准确找出对应点的位置是解题的关键．
（1）根据题意画出即可；关于y轴对称点的坐标横坐标互为相反数，纵坐标不变；
（2）根据网格结构找出点、以点为旋转中心逆时针旋转后的对应点，然后顺次连接即可；
（3）先求出，再由旋转角等于，利用弧长公式即可求出．
【详解】（1）解：如图，为所求；点的坐标为2,3，
（2）如图，为所求；，
（3），
点B旋转到点的过程中所经过的路径长．
29．图②的结论是：；图③的结论是：；证明见解析
【分析】本题主要考查等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，30度角所对的直角边等于斜边的一半，勾股定理等知识 ，选②，以点B为顶点在外作，在上截取，连接，过点Q作，垂足为H，构造全等三角形，得出，，再证明，得到；在中由勾股定理得，即，整理可得结论；选③方法同②
【详解】解：图②的结论是：
证明：∵
∴是等边三角形，
∴，
以点B为顶点在外作，在上截取，连接，过点Q作，垂足为H，
，，
，
又
即
又，
，
；
∵
∴，
∴
，
∴，
在中,可得：
即
整理得
图③的结论是：
证明：以点B为顶点在外作，在上截取，连接，过点Q作，垂足为H，
，，
，
又
即
又，
，
在中，，
，
，
在中,可得：
即
整理得