人教版数学七年级上册期末专题训练专题03 有理数章末重难点题型（16个题型）（2份，原卷版+解析版）

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一、经典基础题
题型1 正负数意义及应用
题型2 有理数的相关概念
题型3 数集问题
题型4 利用数轴求两点间距离
题型5 有理数的大小比较
题型6 相反数的性质与求法
题型7 由绝对值求数
题型8 绝对值非负性的应用
题型9 有理数加减法乘除再认识
题型10 有理数加、减法运算的实际应用
题型11 有理数的乘除法在实际问题中的应用
题型12 新定义运算
题型13 有理数的简算
题型14 乘方的应用
题型15 新定义运算（乘方）
题型16 科学记数法与近似数
二、优选提升题
题型1 正负数意义及应用
【解题技巧】解决此类问题关键是明确正负数在题目中的实际意义从而进一步求解.
例1.（2022•滦州市期末）如图所示的是某用户微信支付情况，﹣100表示的意思是（ ）
A．发出100元红包 B．收入100元 C．余额100元 D．抢到100元红包
变式1.（2022•綦江区期末）綦江区永辉超市出售的三种品牌大米袋上，分别标有质量为（10±0.2）kg，（10±0.3）kg，（10±0.25）kg的字样，从超市中任意拿出两袋大米，它们的质量最多相差（ ）
A．0.4kgB．0.5kgC．0.55kgD．0.6kg
变式2.（2022·福建三明市·七年级期末）小明练习跳绳，以1分钟跳165个为目标，并把5次1分钟跳绳的数量记录如下（超过165个的部分记为“＋”，少于165个的部分记为“－”）：
－11，－6，－2，＋4，＋10
（1）小明在这5次跳绳练习中，1分钟最多跳多少个？
（2）小明在这5次跳绳练习中，1分钟跳绳个数最多的一次比最少的一次多几个？
（3）小明在这5次跳绳练习中，累计跳绳多少个？
题型2 有理数的相关概念
【解题技巧】解决此类问题需理解并熟记有理数相关概念，如①整数和分数统称为有理数；②正有理数、0和负有理数亦可称为有理数；③只有符号不同的两个数叫做互为相反数；④在数轴上原点的两旁，离开原点距离相等的两个点所表示的数，叫做互为相反数；⑤数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值；⑥一个正数的绝对值是它本身，一个负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0.
例1.（2022•东至县期末）下列说法中：
①0是最小的整数；②有理数不是正数就是负数；③正整数、负整数、正分数、负分数统称为有理数；
④非负数就是正数；⑤不仅是有理数，而且是分数；⑥是无限不循环小数，所以不是有理数；
⑦无限小数不都是有理数；⑧正数中没有最小的数，负数中没有最大的数．
其中错误的说法的个数为（ ）
A．7个B．6个C．5个D．4个
变式1.（2022•日照七年级期末）下列说法正确的是（ ）
①任何一个有理数的平方都是正数 ②任何一个有理数的绝对值都是非负数
③如果一个有理数的倒数等于它本身，那么这个数是1
④如果一个有理数的相反数等于它本身，那么这个数是0．
A．①④B．②③C．③④D．②④
题型3 数集问题
性质：有理数的分类。 注：数集关系中有包含关系时，数的分类不可重复
解题技巧：此类题型是有理数分类题型的拓展，一般用框图表示数据分类的集合关系，多会出现有重合甚至包含逻辑的框图。此时，先填写有重合和被包含部分的框图，再填写单一框图部分的数据。
例1．（2022·广西南宁市·七年级期中）将下列各数填入适当的括号内：
，，，2020，0，，，66．
（1）整数集合{______…}；（2）负分数集合{______…}；（3）非负整数集合{______…}．
变式1．（2021·江苏镇江市·七年级期末）下列各数：﹣1，，1.01001…（每两个1之间依次多一个0），0，，3.14，其中有理数有_____个．
变式2．（2022•江阴市七年级期中）把几个数用大括号围起来，中间用逗号断开，如：{1，2，﹣3}，我们称之为集合，其中的数称其为集合的元素．如果一个集合满足：当有理数a是集合的元素时，有理数﹣a+10也必是这个集合的元素，这样的集合我们称为和谐的集合．例如集合{10，0}就是一个和谐集合．
（1）请你判断集合{1，2}，{﹣2，1，5，9，12}是不是和谐集合？
（2）请你再写出两个和谐的集合（至少有一个集合含有三个元素）．
（3）写出所有和谐的集合中，元素个数最少的集合．
题型4 利用数轴求两点间距离
注：距离没有方向性，所以到某点的距离为a的点一般有两个
解题技巧：根据题干要求，先找出参考点位置；某点到参考点的距离为a，意味着这个点可以在参考点左边距离为a的位置，也可在参考点右边距离为a的位置。因此，此类题型一般有多解情况，请注意。最后根据画出的数轴，读出两点之间的距离。
例1. （2022·河南·七年级期末）如图，将一刻度尺放在数轴上（数轴的单位长度是1cm），刻度尺上表示“0cm”、“8cm”的点分别对应数轴上的﹣2和x，那么x的值为_____．
变式1.（2021.绵阳市七年级期中）已知点O，A，B，C，D在数轴上的位置如图所示，O为原点，，，点B所对应的数为m，则下列结论错误的是（ ）
A．点A所对应的数为B．点C所对应的数为
C．点D所对应的数为D．点A与点D间的距离为
变式2.（2021·广东广州市·七年级期末）如图，已知数轴上A、B两点所表示的数分别为﹣2和6
（1）求线段AB的长；（2）已知点P为数轴上点A左侧的一个动点，且M为PA的中点，N为PB的中点．请你画出图形，并探究MN的长度是否发生改变？若不变，求出线段MN的长；若改变，请说明理由．
题型5 有理数的大小比较
解题技巧：（1）正数与正数比较，易于比较；（2）正数与负数比较，正数＞0＞负数；（3）负数与负数比较，绝对值大的反而小；（4）如果要比较的数比较多，建议在数轴上将每个数表示出来，在数轴上，从左至右，数值一次增大。当有字母时，且暂时无法理清大小关系，可以用特值法进行比较。
例1.（2022·湖南益阳·七年级期末）比较下列各数的大小，并用“＜”号连接起来：
，，3，，，0．
变式1.（2022·云南昆明·七年级期末）按要求解答
(1)把下列各数填在相应的括号内：
，，，（每两个1之间逐次增加1个0），，，，，
正有理数集合：｛ …｝；
负数集合：｛ …｝；
整数集合：｛ …｝．
(2)画出数轴，并在数轴上表示下面5个原数，然后比较这5个原数的大小，用“<”号连接．
，，，，
题型6 相反数的性质与求法
性质：a.除0外，一组相反数一定是一正一负。
b.一个数的相反数就是在这个数前面加一个负号（负号的意义就是表示相反量）。
c.一组相反数的和为0。
解题技巧：（1）此类题型多为利用相反数的性质求解含字母数的相反数。利用性质b，直接在这个数前面添加“﹣”号，在利用多重符号化简的方法化简即可。（2）已知两个含有字母的数为相反数，利用性质c，将两个数相加和为0，表示成方程的形式，直接解方程即可。
例1．（2022·江苏盐城·七年级期末）2022的相反数是（ ）
A．B．C．−2022D．2022
变式1．（2022·广东湛江·七年级期末）下列各组数中，互为相反数的是（ ）
A．和B．和C．和D．和4
变式2．（2022·广东惠州市·七年级月考）若与互为相反数，则__________．
题型7 由绝对值求数
1)由数求绝对值：一定为非负数，即
2)由绝对值求数
a.绝对值为0的数仅有1个，即0；绝对值为正数的数有2个，其互为相反数；绝对值为负的数不存在。
b.绝对值相等的两个数，可能相等，也可能互为相反数。（建议用数轴区分，可能会有多解）
例1．（2022·辽宁朝阳·七年级期末）如果，那么的值是__．
变式1．（2022·广东潮州·七年级期末）如果｜x－2｜＝1，那么x＝_________
题型8 绝对值非负性的应用
性质：，即非负性，注：a为任意实数
解题技巧：根据绝对值的非负性“若几个非负数的和为0，则每一个非负数必为0”，
即若，则=0且=0．
例1．（2022·河北唐山·七年级期末）已知，则的值为（）
A．2019B．C．D．1
变式1．（2022·北京房山·七年级期中）若，则_________，_________．
变式2．（2022·陕西宝鸡·七年级期末）已知与互为相反数，则的值为__________．
题型9 有理数加减法乘除再认识
解题技巧：该类题型的实质是有理数加减乘除法的计算，通过理解题干条件，利用有理数加减乘除法运算规律逐一判别即可。
例1．（2022·吉林白城市·七年级期末）已知数在数轴上表示的点的位置如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
变式1．（2022·广东省初一月考）如果是有理数，则下列各式子成立的是（ ）
A．如果，那么B．如果，那么
C．若，则D．若，且，则
变式2．（2022·浙江杭州市·七年级期末）在数轴上，四个不同的点A，B，C，D分别表示有理数a，b，c，d，且，则这四个点在数轴上的大致位置表示不正确的是（ ）
A．B．
C．D．
题型10 有理数加、减法运算的实际应用
解题技巧：与利用正负数求平均数方法类似。（1）选择合适的标准数，超过标准数的记为正数，不足的记为负数；（2）对处理后的正负数进行加法运算；（3）最后还需要将处理后的正负数还原为实际数。
（4）根据题意列出算式；（5）进行有理数加减法运算，可利用运算律进行简算；（6）比较结果，得出结论。
例1．（2021·浙江杭州市·七年级期末）如图是一个二阶幻圆模型，现将-1，2，-3，4，-5，6，-7，8分别填入圆圈内，使横、纵向以及内外圆圈上的4个数字之和都相等，则的值是____________．
变式1．（2021·内蒙古鄂尔多斯市·七年级期末）10袋小麦称重后记录如图所示（单位：千克）．10袋小麦一共多少千克？如果每袋小麦以90千克为标准，10袋小麦总计超过多少千克或不足多少千克？
题型11. 有理数的乘除法在实际问题中的应用
解题技巧：（1）根据题意列出算式；（2）进行有理数乘除法运算，可利用运算律进行简算；（3）比较结果，得出结论。对原本无数量关系的问题巧妙的赋某些特定值，将其转化成数量问题，然后通过对整数的正负号进行讨论，使问题得到解决。用赋值法解决此类问题时，关键是对操作过程中的某一个量进行赋值（通常为±1），通过对操作过程的量化，讨论理数正负号变化规律，最终求解出具体问题。
例1.（2022·四川成都·七年级期末）元旦节期间，某商场对顾客实行这样的优惠政策：若一次购物不超过200元，则不予折扣；若一次购物超过200元不超过500元，则按标价给予八折优惠：若一次购物超过500元，其中500元按上述八折优惠外，超过500元的部分给予七折优惠．小明的妈妈两次购物分别付款192元和384元，如果她合起来一次性购买同样多的商品，那么她可以节约______元．
变式1．（2021·浙江台州市·中考真题）小华输液前发现瓶中药液共250毫升，输液器包装袋上标有“15滴/毫升”．输液开始时，药液流速为75滴/分钟．小华感觉身体不适，输液10分钟时调整了药液流速，输液20分钟时，瓶中的药液余量为160毫升．
（1）求输液10分钟时瓶中的药液余量；（2）求小华从输液开始到结束所需的时间．
题型12 新定义运算
解题技巧：该类题型会定义一种我们未学习过的运算规则，我们只需要照定义的运算规则，将题干写成有理数之间的运算即可。然后在直接按照有理数的运算法则求解最终答案。
例1．（2021·湖南永州市·七年级期末）若“！”是一种数学运算符号，并且1！=1，2！=2×1，3！=3×2×1，4！=4×3×2×1，…，则的值等于（ ）
A．2021B．2020C．2021！D．2020！
变式1．（2021·湖南张家界市·七年级期末）规定一种新运算“※”，两数a，b通过“※”运算得(a－2)×2＋b，即a※b＝(a－2)×2＋b，例如：3※5＝(3－2)×2＋5＝2＋5＝7．
根据上面规定解答下题：（1）求6※(－4)的值；（2）6※(－4)与(－4)※6的值相等吗？请说明理由．
题型13 有理数的简算
解题技巧：（1）有理数的简便运算一般运用加法（乘法）的运算律或减法（除法）的性质，达到简便运算的目的。（2）利用乘方的运算性质，将可以凑整的部分先放在一起简化运算，再求凑整后部分的乘方运算。
例1．（2022·广东中山市·七年级期中）运用简便方法计算。
（1） （2）
变式1．（2022·大庆市初一开学考试）计算()2 022×0.62 022的结果是( )
A．B．－C．1D．－
变式2．（2022·郑州市中原区第一中学七年级月考）阅读下面文字：
对于(﹣5)+(﹣9)+17+(﹣3)
可以如下计算：
原式＝[(﹣5)+(﹣)]+[(﹣9)+(﹣)]+(17+)+[(﹣3)+(﹣)]
＝[(﹣5)+(﹣9)+17+(﹣3)]+[(﹣)+(﹣)++(﹣)]
＝0+(﹣1)
＝﹣1
上面这种方法叫拆项法，你看懂了吗？
仿照上面的方法，计算：
变式3．（2022·四川内江七年级期中）观察下面算式的演算过程：


……
（1）根据上面的规律，直接写出下面结果：
___________． _________．__________．（为正整数）
（2）根据规律计算：
．
题型14 乘方的应用
解题技巧：（1）末尾数字问题：此类题型通常乘方运算种的幂比较大，且无简单计算方法，直接计算几乎无法进行。但此类题型也并非需要求解出最终的结果，往往只需要求解这组数的末尾数字。因此，在解这类时，我们只需要关注末位数字，通过多计算几组末尾数字，找出末尾数字的变化规律。最后依旧变化规律，分析出最终结果。
（2）此类题型的难点在于分析问题，建立乘方的数学模型。基本步骤为：首先从特殊情形入手，逐步分析、归纳，找出变化规律；然后根据规律写出乘方数学模型；最后根据题干要求计算结果。
例1．（2022·贵州）观察下列算式: 用你所发现规律写出的末位数字是( )
A．3B．9C．7D．1
变式1．（2022·浙江杭州市·七年级期末）我们常用的数是十进制数，计算机程序使用的是二进制数（只有数码0和1），它们两者之间可以互相换算，例如将，换算成十进制数应为：
；
．
按此方式，将二进制换算成十进制数和将十进制数13转化为二进制的结果分别为（ ）
A．17，B．9，C．9，D．17，
题型15 新定义运算（乘方）
【解题技巧】正确地理解新定义的算式含义，然后严格按照新定义的计算程序，将数值代入，转化为常规
的有理数混合运算算式进行计算.
例1．（2022·江苏初一期中）已知 m≥2，n≥2，且 m、n 均为正整数，如果将 mn 进行如图所示的“分解”，那么下列四个叙述中正确的有（ ）
①在 25 的“分解”结果是 15和17两个数．②在 42 的“分解”结果中最大的数是9．
③若 m3 的“分解”结果中最小的数是 23，则 m＝5．④若 3n 的“分解”结果中最小的数是 79，则 n＝5．
A．1 个B．2 个C．3 个D．4 个
变式1．（2022·涟水初一期中）规定两数之间的一种运算，记作：如果， 那么．例如：因为， 所以．
（1）根据上述规定，填空：__________，__________ ， =__________；
（2）小明在研究这种运算时发现一个现象：，小明给出了如下的证明：
设，则，即，所以，即，所以，
请你尝试运用这种方法证明下面这个等式：
题型16 科学记数法与近似数
【解题技巧】（1）科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看
把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．
（2）近似数和有效数字：从一个数的左边第一个不是0的数字起到末位数字止，所有的数字都是这个数的有效数字．近似数与精确数的接近程度，可以用精确度表示．一般有，精确到哪一位，保留几个有效数字等说法．
例1．（2021·江苏南京·九年级二模）2021年5月15日，中国首次火星探测任务天问一号探测器成功在火星乌托邦平原南部预选着陆区着陆．为了探测数据安全有效传回地球，我国台测控站联网组阵，测控能力更强，能够实现火星距地球最远 公里时的测控通信．用科学记数法表示是_________．
变式1．（2021·广东广州市·九年级二模）2021年5月11日，第七次全国人口普查结果公布，全国人口共1411778724人．用科学记数法表示1411778724精确到亿位的近似值为（ ）．
A．B．C．D．
变式2．（2022·四川广安·二模）2022年北京冬奥会取得圆满成功，中国代表团以9金4银2铜的骄人成绩位居世界第三！它不仅为各国体育健儿提供了展示自我的竞技场所，而且也为促进世界和平、增进相互了解、实现文化交融、传递文明友谊搭建了最好的学习交流平台．它将“带动3亿人参与冰雪运动”成为北京冬奥会最大遗产成果．数字3亿用科学记数法表示正确的是（ ）
A．3×1010B．3×109C．3×108D．30×107
1．（2022·湖南七年级期中）据《人民日报》“9组数据看懂新中国成立70周年的沧桑巨变”一文报道，我国国民生产总值从1952年679亿元到2018年900309亿元，从一穷二白到世界第二大经济体．用科学记数法表示数字900309（精确到万位）是（ ）
A．9×105B．9.0×105C．9.00×105D．9.003×104
2.（2022•渝中区校级月考）纽约与北京的时差为﹣13小时（正数表示同一时刻比北京时间早的时数，负数表示同一时刻比北京时间晚的时数），当北京9月12日8时，纽约的时间是（ ）
A．9月11日5时 B．9月11日19时C．9月12日19时 D．9月12日21时
3. （2022·广东·七年级期中）下列说法中不正确的是（ ）
A．0既不是正数也不是负数 B．整数包括正整数和负整数
C．非负数包括正数和0 D．整数和分数统称为有理数
4．（2021·四川达州市·中考真题）生活中常用的十进制是用0~9这十个数字来表示数，满十进一，例：，；计算机也常用十六进制来表示字符代码，它是用0~来表示0~15，满十六进一，它与十进制对应的数如下表：
例：十六进制对应十进制的数为，对应十进制的数为，那么十六进制中对应十进制的数为（ ）
A．28B．62C．238D．334
5．（2021·四川广元市·九年级一模）在数轴上，点，在原点的两侧，分别表示数，2，将点向右平移3个单位长度得到点．若，则的值为（ ）
A．B．C．或D．
6．（2021·广东汕头市·九年级一模）实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，下列判断正确的是（ ）
A．|a|＜1B．ab＞0C．a-b＞0D．1﹣a＞1
7．（2021·陕西西安市·九年级一模）实数a在数轴上对应点的位置如图所示，若实数b满足﹣a＜b＜a，则b的值可以是___（任填一个即可）．
8.（2022•合江县月考）﹣m的相反数是 ，﹣m+1的相反数是 ，a-b+c的相反数是 ．
9.（2022•达孜区期末）已知|x﹣4|+|5﹣y|＝0，则（x+y）的值为 ．
10．（2022成都市·七年级月考）在学习了有理数的混合运算后，小明和小刚玩算“24点”游戏游戏规则：从一副扑克牌（去掉大，小王）中任意抽取4张，根据牌面上的数字进行混合运算（每张牌必须用一次且只能用一次，可以加括号），使得运算结果为24或－24．其中红色扑克牌代表负数，黑色扑克代表正数，J，Q，K分别代表11，12，13．小明抽到的四张牌分别是黑桃1，黑桃3，梅花4，梅花6（都是黑色扑克牌），小明凑成的等式为，小亮抽到的四张牌分别是红桃5、黑桃5、方块5、梅花1，请写出小亮凑成的“24点”等式_______．
11．（2021·北京平谷区·九年级二模）母亲节来临之际，小凡同学打算用自己平时节省出来的50元钱给母亲买束鲜花，已知花店里鲜花价格如表：
小凡想用妈妈喜欢的百合、玫瑰、康乃馨这三种花组成一个花束，若三种花都要购买且50元全部花净，请给出一种你喜欢的组成方式，百合、玫瑰、康乃馨的支数分别为_______．
12．（2022·河南南阳市·七年级期中）幻方是一种将数字填在正方形格子中，使每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等的方法．幻方历史悠久，是中国传统游戏．如图是一个3×3的幻方的一部分，则a+b＝_____．
13. （2022绵阳市七年级期中）把下列各数填在相应的集合内：
100，﹣99%，π，0，﹣2008，﹣2，5.2，，6，，﹣0.3，1.020020002…
14．（2022·四川·石室中学七年级期中）居民生活中使用天然气实行阶梯式计价，用户每月用气量在20立方米及以内的为第一级基数，按一级用气价格收取；超过20立方米且不超过30立方米的部分为第二级气量基数，按一级用气价格的1.5倍收取：超过30立方米的部分为第三级气量基数，按一级用气价格的1.8倍收取．为节约用气量，小明记录了1－7月份他家每月1号的气表读数．
（1）直接写出小明家1月份的用气量____________立方米及1－6月平均每月用气量为_______立方米．
（2）已知小明家2月份的气费为36元，试求他家6月份需交气费多少元？
（3）7月份放暑假后，小明的爷爷、奶奶及表哥来到家里和小明一起生活，并多次请客，用气量明显增加，比6月份多用气12立方米，试求小明家7月份需交纳气费多少元？
15.（2022·贵州黔东南·七年级期末）先阅读下列解题过程，然后解答后面两个问题．
解方程：．
解：当时，原方程可化为，解得；
当时，原方程可化为，解得．
所以原方程的解是或．
(1)利用上述方法解方程：．
(2)当满足什么条件时，关于的方程，①无解；②只有一个解；③有两个解．
16．（2022·广东初一课时练习）阅读下列材料：计算
解法一：原式=．
解法二：原式=．
解法三：原式的倒数为
故原式=300．
上述得出的结果不同，肯定有错误的解法，你认为解法 是错误的．
请你选择合适的解法解答下列问题：计算：
17．（2022·重庆市大坪中学校七年级月考）阅读材料，解决问题：由，，，，，，，，．．．．．．不难发现3的正整数幂的个位数字以3、9、7、1为一个周期循环出现，由此可以得到：因为，所以个位数字与的个位数字相同，应为1；因为，所以的个位数字与的个位数字相同，应为3．
（1）请你仿照材料，分析求出的个位数字及的个位数字；
（2）请探索出的个位数字；（3）请直接写出的个位数字．
18．（2022·浙江七年级）请认真阅读下面材料，并解答下列问题．
如果a（a＞0，a≠1）的b次幂等于N，即指数式ab＝N，那么数b叫做以a为底N的对数，对数式记作：lgaN＝b．例如：①因为指数式22＝4，所以以2为底4的对数是2，对数式记作：lg24＝2；
②因为指数式42＝16，所以以4为底16的对数是2，对数式记作：lg416＝2.
（1）请根据上面阅读材料将下列指数式改为对数式：①62＝36；②43＝64；
（2）将下列对数式改为指数式：①lg525＝2；②lg327＝3；（3）计算：lg232
十进制
0
1
2
…
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
…
十六进制
0
1
2
…
8
9
10
11
…
百合
薰衣草
玫瑰
蔷薇
向日葵
康乃馨
12元/支
2元/支
5元/支
4元/支
15元/支
3元/支
母亲节期间包装免费
﹣6
a
﹣8
﹣5
b
﹣9
1月
2月
3月
4月
5月
6月
7月
气表读数（立方米）
433
450
468
485
500
514
535