极值点偏移问题课件-2025届高三数学二轮专题复习

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1.极值点偏移是指函数在极值点x0左边和右边的增减速度不一样,导致函数图象不关于直线x=x0对称,如图所示.(1)左右对称,无偏移,如二次函数.若f(x1)=f(x2),则x1+x2=2x0,如图(1).(2)左陡右缓,极值点向左偏移.若f(x1)=f(x2),则x1+x2>2x0,如图(2).(3)左缓右陡,极值点向右偏移.若f(x1)=f(x2),则x1+x2<2x0,如图(3).
2.极值点偏移问题的结论不一定总是x1+x2>2x0(或<2x0),也可能是x1x2>常用的解法有对称化构造函数法和比值代换法.
角度一 对称化构造函数
例1(2024广东湛江一模)已知函数(1)讨论f(x)的单调性;(2)若方程f(x)=1有两个根x1,x2,求实数a的取值范围,并证明:x1x2>1.
当00,则f(x)在(0,1)内单调递增,当x>1时,f'(x)<0,则f(x)在(1,+∞)内单调递减.
角度二 比(差)值换元
例2(2024天津一模)设函数f(x)=x2+ln x.(1)求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程;(2)设函数g(x)=f(x)-ax(a∈R).①若x=1时,g(x)取得极值,求g(x)的单调区间;
(1)解 f'(x)=2x+ ,则f'(1)=3,f(1)=1,∴曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y-1=3(x-1),即y=3x-2.
针对训练1.(2024山西太原模拟)已知函数f(x)=ln x+ +mx.(1)讨论函数f(x)的单调性;(2)若f(x1)-mx1=f(x2)-mx2(02.
当- 0时,x1<0∴函数h(x)在(0,1)内单调递增,∴h(x1)=g(2-x1)-g(x1)1,x2>1,g(x)在(1,+∞)内单调递增,∴2-x12.
2.(2024江西南昌高三期末)已知函数f(x)=x-ln x-2.(1)求f(x)的最小值;(2)若方程f(x)=a有两个不相等的实数根x1,x2(x13.
所以f'(x)>0⇔x>1,f'(x)<0⇔0(2)证明 由(1)可得0两式作差得x1-x2-ln x1+ln x2=0,