2024-2025学年甘肃省兰州市教育局第四片区高一（上）期中数学试卷（含答案）

这是一份2024-2025学年甘肃省兰州市教育局第四片区高一（上）期中数学试卷（含答案），共6页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.给出下列6个关系：① 22∈R，② 3∈Z，③0∉N∗，④ 4∉N，⑤π∉Q，⑥|−2|∉Z.其中正确命题的个数为( )
A. 4B. 2C. 3D. 5
2.若A=−x2+2x，B=6x+4，则A与B的关系是( )
A. A≤BB. B≤AC. B=AD. 与x的值有关
3.若a，b，c∈R，且a>b，则下列不等式中一定成立的是( )
A. ac2>bc2B. 1a<1bC. c2a−b>0D. (a−b)c2≥0
4.不等式x−12x+1≥0解集为( )
A. (−∞,−12)∪[1,+∞)B. (−∞,−12)∪(1,+∞)
C. (−12,1)D. (−12,1]
5.命题∀x，y∈R，xy≠0的否定应该是( )
A. ∃x，y∈R，xy≠0B. ∀x，y∉R，xy=0
C. ∃x，y∈R，xy=0D. ∀x，y∈R，xy=0
6.已知集合A={x|1≤x<2}，B={x|x>a}，若A∪B=B，则实数a的取值范围是( )
A. a≥2B. a>2C. a≤1D. a<1
7.已知函数f(x)=ax2+bx+c，若aA. B. C. D.
8.已知x>0，y>0，且x+3y−xy=0，若x+3y>m2+m恒成立，则实数m的取值范围为( )
A. (−∞,−3]∪[4,+∞)B. (−4,3)
C. (−3,4)D. (−∞,−4]∪[3,+∞)
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列四个命题中，真命题的有( )
A. 若a=b，则a2=ab
B. 若ac2>bc2，则a>b
C. ∃x∈R，x2+4≤4x
D. 若∀x∈[2,3]，都有x2−a≤0恒成立，则实数a≥4
10.命题p：∃x∈R，x2+bx+1≤0的否定是真命题，则实数b的值可能是( )
A. −74B. −32C. 2D. 52
11.设a∈R，则a>4的一个必要不充分条件是( )
A. a>1B. a≥1C. a>5D. a≥4
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.命题“若x>0，则x+1x+1≥1”是______命题．(填“真”或“假”)
13.已知集合M={x|−3≤x≤2,x∈R}，N={x|x∈N}，那么集合M∩N的真子集的个数为______．
14.不等式kx2−kx+1>0的解集为R，则实数k的取值范围为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
解关于x的不等式．
(1)x2+x−6<0；
(2)−2x2−x≤−6；
(3)(x−a)(x−2)>0．
16.(本小题15分)
如图，某人计划用篱笆围成一个一边靠墙(墙足够长)的矩形菜园．设菜园的长为x米，宽为y米．
(1)若菜园面积为36平方米，则x，y为何值时，所用篱笆总长最小？
(2)若使用的篱笆总长为30米，求2x+yxy的最小值．
17.(本小题15分)
设全集U=R，集合A={x|2−2xx−5>0}．
(1)当命题p：∃x∈R，x2−3x+a2=0为真命题时，实数a的取值集合为B，求A∩B；
(2)已知集合C=(2−a,1+2a)，若“x∈A”是“x∈C”的充分不必要条件，求实数a的取值范围．
18.(本小题17分)
设全集为R，集合A={x|x≤3或x≥6}，B={−2(1)求A∪B，(∁RA)∩B；
(2)已知C={x|3−a19.(本小题17分)
已知集合A={x1,x2,⋯,xn},n∈N∗,n≥3，若对任意x∈A，y∈A，都有x+y∈A或x−y∈A，则称集合A具有“包容”性．
(1)判断集合{−1,1,2,3}和集合{−1,0,1,2}是否具有“包容”性；
(2)若集合B={1,a,b}具有“包容”性，求a2+b2的值；
(3)若集合C具有“包容”性，且集合C中的元素共有6个，1∈C，试确定集合C．
参考答案
1.C
2.A
3.D
4.A
5.C
6.D
7.A
8.B
9.ABC
10.AB
11.ABD
12.真
13.7
14.[0,4)
15.解：(1)不等式x2+x−6<0，即(x+3)(x−2)<0，解得−3所以不等式的解集为{x|−3(2)不等式−2x2−x≤−6，即2x2+x−6=(2x−3)(x+2)≥0，解得x≤−2或x≥32，
所以不等式的解集为{x|x≤−2或x≥32}；
(3)不等式(x−a)(x−2)>0，
当a>2时，解集为{x|x<2或x>a}，
当a<2时，解集为{x|x2}，
当a=2时，解集为{x|x≠2}．
16.解：(1)由题意可得，xy=36，所用篱笆的总长为x+2y，
因为x+2y≥2 2xy=2× 2×36=12 2，当且仅当x=2y，即x=6 2,y=3 2时取等号，所以当菜园的长x=6 2m，宽y=3 2m时，所用篱笆的总长最小；
(2)由题意可得，x+2y=30，
所以2x+yxy=1x+2y=130(1x+2y)(x+2y)=130(2yx+2xy+5)≥130(2 2yx⋅2xy+5)=310，
当且仅当2yx=2xy，即x=y=10时，取等号，所以2x+yxy的最小值为310．
17.解：(1)依题意，方程x2−3x+a2=0有解，
则Δ=(−3)2−4⋅a2≥0恒成立，解得：−32≤a≤32，
所以集合B={a|−32≤a≤32}．
又因为A={x|2−2xx−5>0}={x|(2x−2)(x−5)<0}，
所以A={x|1所以A⋂B=(1,32]．
(2)因为“x∈A”是“x∈C”的充分不必要条件，
所以A真包含于C，
由(1)知A={x|1又C=(2−a,1+2a)，
则2−a≤11+2a≥52−a<1+2a，解得：a≥2，
所以实数a的取值范围为：[2,+∞)．
18.解：(1)A={x|x≤3或x≥6}，B={−2∁RA={x|3(2)当C=⌀时，3−a≥2a−1，解得a≤43，满足C⊆B；
当C≠⌀时，3−a<2a−1，且2a+1≤93−a≥−2，解得43综上所述：a∈(−∞,4]．
19.解：(1)对于集合{−1,1,2,3}，
因为3−3=0∉{−1,1,2,3}，3+3=6∉{−1,1,2,3}，
所以集合{−1,1,2,3}不具有“包容”性；
对于集合{−1,0,1,2}，
因为集合中任何两个相同或不同的元素相加或相减，得到的两数中至少有一个属于集合{−1,0,1,2}，
所以集合{−1,0,1,2}具有“包容”性．
(2)若集合B={1,a,b}具有“包容”性，令m=max{1,a,b}，则m≥1，
而2m∉{1,a,b}，所以0∈{1,a,b}，
不妨令a=0，则集合B={1,0,b}，b≠0且b≠1，
则{1+b,1−b}∩{1,0,b}≠⌀，且{1+b,b−1}∩{1,0,b}≠⌀，
①当1+b∈{1,0,b}时，若1+b=0，得b=−1，此时集合B={1,0,−1}具有包容性；
若1+b=1，得b=0，舍去；若1+b=b，无解，舍去；
②当1+b∉{1,0,b}时，则{1−b,b−1}⊆{1,0,b}，由b≠0且b≠1可知：b无解，
所以集合B={1,0,−1}．
故a2+b2=1．
(3)不妨设集合C={−bk,−bk−1,⋯,−b1,0,a1,a2,⋯,al}，
其中k+l=5，0根据题意{a1−al,⋯,al−1−al}⊆{−bk,−bk−1,⋯,−b1}，
且{bk−b1,bk−1−b1,⋯,b2−b1}⊆{a1,a2,⋯,al}，
所以k=2，l=3，或k=3，l=2．
①当k=3，l=2时，{b3−b1,b3−b2}={a2,a1}，
且由{−b3+b1,−b3+b2}={−b2,−b1}，得b3=b1+b2，
由a2−a1∈{a1,a2}得：a2=2a1，
所以b2=b3−b1=a2=2a1，b1=b3−b2=a1，且b3=b1+b2=3a1，
综上可得：集合C={−3a1,−2a1,−a1,0,a1,2a1}.
②当k=2，l=3时，同理可得集合C={−2a1,−a1,0,a1,2a1,3a1}.
综上可得，符合条件的集合C有5个，
分别是{−2,−1,0,1,2,3},{−1,−12,0,12,1,32},{−23,−13,0,13,23,1}，{−3,−2,−1,0,1,2}，{−32,−1,−12,0,12,1}．