福建省厦门市湖里实验中学2024-2025学年九年级上学期期中质量检测数学试卷

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(试卷满分150分,考试时间120分钟)
班级姓名准考证号
一、选择题(本大题有10小题,每小题4分,共40分.每小题有且只有一个选项正确)
1. -3的绝对值是 ( )
A. - 3 B. 3 C. 13 D.−13
2. 下列图形中,既是轴对称图形又是中心对称图形的是 ( )
3.将抛物线 y=3x²向上平移1个单位长度,平移后抛物线的表达式为 ( )
A.y=3x+1² B.y=3x−1² C.y=3x²+1 D.y=3x²−1
4. 若关于x的方程： 2x²−x+m=0有一个根是1,则m的值为 ( )
A. 3 B. 1 C. - 1 D. - 3
5.方程 x−1²=0的根是 ( )
A. x=-1 B.x₁=x₂=1 C.x₁=x₂=−1 D. x₁=1, x₂=-1
6. 如图, 已知圆心角∠BOC=78°, 则圆周角∠BAC 的度数是 ( )
A. 156° B. 78° C. 39° D. 24°
7. 如图, 将△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△EDC. 若点A, D, E在同一条直线上, AB=2, AC=5, 则AD的长为 ( )
A. 5 B.52 C.25 D.52−2
8. 如图,在 Rt△ABC中, ∠C=90°, ∠B=30°, BC=4cm, 以点C为圆心, 以3cm的长为半径作圆,则⊙C 与AB的位置关系是 ( )
相交 B. 相切 C. 相离 D. 相切或相离
9.二次函数 y=ax²+bx+c的部分对应值如右表所示,利用二次函数的图象可知,当函数值y>0时,x的取值范围是 ( )
A.02 C.-13
10. 已知函数 y₁=mx²+n,y₂=mx+nm0),当pA. 0二. 填空题(本大题有6小题,每小题4分,共24分)
11. 在平面直角坐标系中,点A(-2,3)关于原点对称的点的坐标是 .
12. 如图, 已知⊙O的半径为1, 点P是⊙O外一点, 且OP=2. 若PT 是⊙O的切线, T为切点, 连接OT, 则PT=
13. 新春佳节,某班同学两两之间全部互发祝福短信,共发2450条,设全班共有x名学生,可列方程 .
14. 如图, ∠AOB=90°,∠B=25°, △A'OB'可以看做是由△AOB绕点O顺时针旋转α角度得到的,若点A'在AB上,则旋转角α的大小是 .
15. 设AB、CD是⊙O 的两条弦, AB∥CD. 若⊙O的半径为13, AB=24,CD=10, 则AB与CD之间的距离为
16. 如图,以G(0,3)为圆心, 半径为6的圆与x轴交于A, B两点, 与y轴交于C, D两点, 点E为⊙G上一动点,
CF⊥AE于F, 点E在⊙G的运动过程中,线段 FG的长度的最小值为 .
三、解答题(本大题有9小题,共86分.解答应写出文字说明、证明过程).
17.(本题满分8分) 解方程 x²−2x−15=0
18.(本题满分8分) 化简并求值： 1−2x+1÷x2−12x+2,其中 x=2−1
19.(本题满分8分) 如图,C是⊙O上一点,点P在直径AB的延长线上,⊙O的半径为6, PB=4, PC=8.
求证: PC是⊙O的切线;
20.(本题满分8分) 某市交警部门提醒市民,骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定,某头盔经销商统计了某品牌头盔7月份到9月份的销售量,该品牌头盔7月份销售500个,9月份销售720个,且从7月份到9月份销售量的月增长率相同,求该品牌头盔销售量的月增长率.
21. (本题满分8分) 如图, 点D 为等边 △ABC的边BC的中点,AB=2. 将 △ABD绕A 点逆时针旋转60°.
(1)尺规作图：作出 △ABD旋转后的图形(不写作法,保留作图痕迹)；
(2)在题1所作图形中,连接D点与它的对应点,并求出它的长度.
22.(本题满分10分) 如图, 在 Rt△ABC中, ∠BAC=90°, 以点A为圆心,AC长为半径作圆,交BC于点 D, 交AB于点 E, 连接AD.
(1)若 ∠ABC=20°,则 ∠ADC的度数为；
(2)若 AC=3,AB=4,求CD的长.
23.(本题满分10分) 某小组准备合作制作出一个水流装置. 下面是制作装置的活动过程：
请根据活动过程完成任务一和任务二.
24 (本题满分12分) 如图, 点 C为△ABD外接圆上的一动点 (点 C不在弧BAD上,且不与点 B,D重合),
∠ACB=∠ABD=45°
(1) 求证：BD是该外接圆的直径；
(2) 连结 CD, 试探究AC, BC, CD三者之间满足的等量关系,并证明你的结论；
(3) 若△ABC关于直线 AB的对称图形为△ABM,连接DM, 直接写出 DM², AM², BM²三者之间满足的等量关系.
25.(本题满分14分)在平面直角坐标系中,点A(1,0),已知抛物线. y=x²+mx−2m(m是常数) 的顶点为 P.
(1) 当抛物线经过点A时,
① 求顶点 P的坐标；
② 设直线l：y=3x+1与抛物线交于B、C两点,抛物线上的点M的横坐标为n (-1≤n≤3),过点 M作x轴的垂线,与直线l交于点Q,若MQ=d,当d随n的增大而减少时,求n的取值范围.
(2) 无论m取何值, 该抛物线都经过定点 H, 当∠AHP=45°时, 求m的值.
x
-3
-2
-1
0
1
2
y
-12
-5
0
3
4
3
活动目的
制作简易水流装置
设计方案
如图, CD是进水通道, AB是出水通道, OE是圆柱形容器的底面直径. 从CD将圆柱形容器注满水, 内部安装调节器, 水流从B 处流出且呈抛物线型. 以点O为坐标原点, EO所在直线为x轴, OA所在直线为y轴建立平面直角坐标系, 水流最终落到x轴上的点 M处.
示意图
已知
AB∥x轴, AB=5cm,OM=15cm,点B为水流抛物线的顶点, 点A、B、O、E、M在同一平面内, 水流所在抛物线的函数表达式为.y=ax²+ bx+15(a≠0).
任务一
求水流抛物线的函数表达式；
任务二
现有一个底面半径为4cm,高为10cm的圆柱形水杯, 将该水杯底面圆的圆心恰好放在M处, 水流是否能流到圆柱形水杯内? 请通过计算说明理由. (圆柱形水杯的厚度忽略不计)