精品解析：重庆市忠县花桥镇初级中学2023-2024学年八年级下学期第一次月考数学试题

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一、选择题（本题共12个小题，每小题4分，共48分）
1. 下列式子中，不属于二次根式的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】考查了二次根式的定义，解此类题目的关键是理解被开方数是非负数．
根据被开方数为非负数，再列不等式，逐一分析即可．
【详解】解：A、是二次根式，故本选项不符合题意．
B、因，则是二次根式，故本选项不符合题意．
C、由于被开方数是负数，所以在实数范围内没有意义，不属于二次根式，故本选项符合题意．
D、由于被开方数是正数，是二次根式，故本选项不符合题意．
故选：C．
2. 下列运算正确的是( )
A. B.
C. 3D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】由题意根据二次根式的加减乘除运算法则，依次对选项进行判断即可.
[详解】解：A．与不能合并，所以A选项错误；
B．2，所以B选项正确；
C．，所以C选项错误；
D．2，所以D选项错误．
故选：B．
【点睛】本题考查二次根式的混合运算，注意掌握先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．
3. 由下列条件不能判定为直角三角形的是（ ）
A. B. ，，
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据三角形内角和及即可判断A，根据勾股定理逆定理即可判断B，根据平方差公式及勾股定理逆定理即可判断C，根据三角形内角和及即可得到答案．
【详解】解：∵，，
∴，
∴为直角三角形，故A不符合题意；
∵，
∴不能判定三角形为直角三角形，故B符合题意；
∵，
∴为直角三角形，故C符合题意；
∵，，
∴，
∴为直角三角形，故D符合题意，
故选B．
【点睛】本题考查三角形内角和定理及勾股定理逆定理，解题的关键是熟练掌握直角三角形边角关系．
4. 实数在数轴上的位置如图，化简得（ ）
A. B. C. 1D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了数轴、绝对值的意义、二次根式的性质，由数轴得出，从而得出，，再根据绝对值的意义以及二次根式的性质化简即可．
【详解】解：由数轴可得：，
，，
，
故选：C．
5. 如图，在平行四边形中，，，且，相交于点O，则图中的平行四边形有（ ）
A. 4个B. 5个C. 8个D. 9个
【答案】D
【解析】
【分析】此题考查了平行四边形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键．
根据平行四边形的判定和性质定理即可得到结论．
【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴，，
∵，，
∴，，，，
∴四边形，四边形，四边形，四边形，四边形，四边形，四边形，四边形均为平行四边形．
∴图中共有个平行四边形9个．
故选：D．
6. 如图，在中，则（ ）
A. B. C. D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了直角三角形的特征量，勾股定理，根据题意，，得到，根据勾股定理，得，选择即可．
【详解】∵，
∴，
∴，
故选B．
7. 如图，在□ABCD中，ABAC，若AB=4，AC=6，则BD的长是（ ）
A. 11B. 10C. 9D. 8
【答案】B
【解析】
【分析】利用平行四边形的性质可知AO=3，在Rt△ABO中利用勾股定理可得BO=5，则BD=2BO=10．
【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BD=2BO，AO=OC=3．
在Rt△ABO中，利用勾股定理可得：BO=
∴BD=2BO=10．
故选B．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质、勾股定理．解题的技巧是平行四边形转化为三角形问题解决．
8. 如图，在中，对角线交于点，点是的中点．若，则的长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】此题主要考查了平行四边形的性质以及三角形中位线定理，直接利用平行四边形的性质结合三角形中位线定理得出的长．
【详解】在中，对角线相交于点
点是的中点
又点是的中点
是的中位线
故选：A．
9. 如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为20dm、3dm、2dm，A和B是这个台阶两个相对的端点，A点有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬到B点的最短路程是（ ）
A 20B. 25C. 20D. 25
【答案】D
【解析】
【详解】根据题意，得出如下图形，最短路径为AB的长，
∵AC=20，BC=3（2+3）=15，
∴AB==25，
故选D.
【点睛】本题考查的是利用勾股定理求线段的长度，关键是变曲为直，画出矩形，利用勾股定理得出对角线的长度.
10. 若a满足，则的值为（ ）
A. 0B. 1C. 2023D. 2024
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，去绝对值的法则，掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键．
根据被开方数大于等于0列式求出的取值范围，再去绝对值，整理后两边同时平方求解即可．
【详解】解：由题意，得，
解得：，
∴，
∴，
即，
两边同时平方，得，
即．
故选：D．
11. 如图，在四边形中，已知，，，则的最小值是（ ）

A. 3B. 6C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】如图，过作，使，连接，，则，四边形是平行四边形，，，由勾股定理得，，根据，求解作答即可．
【详解】解：如图，过作，使，连接，，

∴，四边形是平行四边形，
∴，，
由勾股定理得，，
∵，
∴的最小值为，
故选：D．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质，勾股定理，三角形三边关系，两点之间线段最短等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．
12. 如图是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案，已知大正方形面积为49，小正方形面积为4，若用，表示直角三角形的两直角边（），下列四个说法：

①，②，③，④.
其中说法正确的是( )
A. ①②B. ①②③C. ①②④D. ①②③④
【答案】B
【解析】
【详解】可设大正方形边长为a，小正方形边长为b，所以据题意可得a2=49,b2=4；
根据直角三角形勾股定理得a2=x2+y2，所以x2+y2=49，式①正确；
因为是四个全等三角形，所以有x=y+2，所以x-y=2，式②正确；
根据三角形面积公式可得 ，而大正方形的面积也等于四个三角形面积加上小正方形的面积，所以，化简得2xy+4=49，式③正确；
因为x2+y2=49，2xy+4=49，
所以
所以，因而式④不正确．
故答案为B．
二、填空题（共6个小题，每小题4分，共24分）请将答案直接填写在相应的横线上．
13. 使二次根式有意义的条件是_______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查的知识点为：二次根式有意义的条件是被开方数是非负数．熟练掌握二次根式有意义的条件是解题的关键．根据被开方数大于等于0列式计算即可得解．
【详解】解：由题意得，，
解得．
故答案为：．
14. 当______时，最简二次根式与能够合并.
【答案】8
【解析】
【分析】本题考查了同类二次根式的定义，根据，解答即可.
【详解】根据题意，得，
解得，
故答案为：8.
15. 已知x－＝，则x2＋＝________．
【答案】8
【解析】
【分析】根据完全平方公式即可解答．
【详解】，
，
，
．
故答案为：．
【点睛】本题考查了完全平方公式，解决本题的关键是熟记完全平方公式．
16. 如图，数轴上点A所表示的数是________．
【答案】##
【解析】
【分析】根据题意，,，勾股定理计算，结合数轴的意义计算数即可．本题考查了勾股定理，数轴上表示数，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
【详解】∵，，
∴；
∵点A在原点右侧，表示正数，
∴；
故点A表示的数是，
故答案为：．
17. 如图，在中，，，分别以的边为直径画半圆，则阴影部分的面积是_____________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了弓形面积计算，阴影面积计算，勾股定理，设大阴影的面积为，小阴影的面积为，大弓形的面积为，小弓形的面积为，的面积为，得到；正确分割表示阴影的面积是解题的关键．
【详解】设大阴影的面积为，小阴影的面积为，大弓形的面积为，小弓形的面积为，的面积为，
根据题意，得，，
∴，
∵，
∴
，
∵中，，，
∴，
．
故答案为：24．
18. 如图，在平行四边形中，，于点E，F为的中点，连接，，下列结论：①；②；③；④，其中正确的结论有 ___________．
【答案】①②③
【解析】
【分析】本题考查平行四边形的性质和判定、菱形的判定和性质、直角三角形斜边中线的性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．如图延长交的延长线于G，取的中点H，连接，交于点M．证明四边形，四边形都是菱形，可判断①；证明可判断②；根据可判断③；根据可判断④ ．
【详解】解：如图延长交延长线于G，取的中点H，连接，交于点M．
∵平行四边形中，，，，
∴，，
∴四边形，四边形都是菱形，
∴，
∴．
故①正确，
∵，
∴，
∵
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
故②正确，
∵
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故③正确，
∵，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵
故④错误，
故答案为：①②③．
三、解答题（本大题共6小题，共78分）
19. 计算：
（1）
（2）
（3）
（4）已知m是的小数部分，求代数式的值．
【答案】（1）
（2）
（3）4 （4）3
【解析】
【分析】（1）利用二次根式的加减混合运算法则求解即可；
（2）首先将括号内根据二次根式的性质化简，然后合并同类项，然后计算除法求解即可；
（3）先根据二次根式的乘除法则运算，然后化简后合并即可；
（4）首先根无理数的估算求出，然后代入根据二次根式的混合运算法则求解即可．
【小问1详解】
（1）
；
【小问2详解】
；
【小问3详解】
；
【小问4详解】
∵
∴
∵m是的小数部分
∴
∴
．
【点睛】本题主要考查了二次根式的混合运算、平方差公式以及完全平方公式，无理数的估算，解题的关键是明确二次根式的混合运算的计算方法．
20. 在中，，，边上的高，求的长．
【答案】5或1
【解析】
【分析】本题考查了勾股定理，把三角形斜边转化到直角三角形中用勾股定理解答，注意分类讨论，不要漏解，难度一般．
分两种情况讨论：锐角三角形和钝角三角形，根据勾股定理求得，，再由图形求出，在锐角三角形中，，在钝角三角形中，．
【详解】解：（1）如图，锐角中，，，边上高，
在中，，，
由勾股定理得：，
中，，，
由勾股定理得：
∴；
（2）钝角中，，，边上高，
在中，，，
由勾股定理得：，
在中，，，
由勾股定理得：
∴．
综上可得长为5或1．
21. （1）已知：x=+1，y=﹣1，求的值；
（2）如图，D是BC上一点，若AB=10，AD=8，AC=17，BD=6，求BC的长．
【答案】（1） （2）21
【解析】
【详解】分析：（1）根据已知条件得到x+y=2，x-y=2，于是得到结论；
（2）根据AB=10，BD=6，AD=8，利用勾股定理的逆定理求证△ABD是直角三角形，再利用勾股定理求出CD的长，即可得出答案．
详解：（1）∵x=+1，y=﹣1，
∴x+y=2，x﹣y=2，
∴原式===；
（2）∵BD2+AD2=62+82=102=AB2，
∴△ABD是直角三角形，
∴AD⊥BC，
在Rt△ACD中，CD=15，
∴BC=BD+CD=6+15=21，
答：BC的长是21．
点睛：此题主要考查学生对勾股定理和勾股定理的逆定理的理解和掌握，解答此题的关键是利用勾股定理的逆定理求证△ABD是直角三角形.
22. 阅读下面问题：
，根据以上解法试求：
（1）直接填空：______；
（2）______；
（3）利用上述规律，求下列式子的值：
．
【答案】（1）﹣；（2）﹣；（3）7
【解析】
【分析】（1）根据题目给出的方法，利用平方差公式计算即可；
（2）根据题目给出的方法，利用平方差公式计算即可；
（3）根据题目给出的方法和规律，化简每个式子，再相加即可求解．
【详解】解：（1）＝＝﹣；
故答案为：﹣；
（2）＝＝﹣；
故答案为：﹣；
（3）
＝﹣+﹣+…+﹣﹣
＝﹣3+10
＝7．
【点睛】本题考查了分母有理化，解题关键是熟练运用题目给出的方法进行分母有理化，通过计算得出规律，利用规律解题．
．
23. 如图，的对角线相交于点，是上的两点，且．求证：四边形是平行四边形．
【答案】见解析
【解析】
【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，由四边形是平行四边形得出，，证明即可得出四边形是平行四边形，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解此题的关键．
【详解】证明：四边形是平行四边形，
，，
，
，即，
，即，
四边形是平行四边形．
24. 如图，已知，、相交于点O，延长到点E，使，连接．
（1）求证：四边形是平行四边形：
（2）连接，交于点F，连接，判断与的数量关系，并说明理由．
【答案】（1）证明见解析；
（2），理由见解析．
【解析】
【分析】本题考查平行四边形的判定和性质；
（1）根据平行四边形的性质得到，再根据等量代换得到，即可得到结论；
（2）根据平行四边形的性质得到，，然后根据三角形的中位线的性质解题即可．
【小问1详解】
证明：四边形是平行四边形，
，
又
，
四边形是平行四边形；
【小问2详解】
．
四边形是平行四边形，
，
又中，，
是的中位线，
，
．
25. 如图：和都等腰直角三角形，，，，的顶点A在的斜边DE上，
（1）求证：；
（2）试探究线段AC、AD、AE三条线段之间的数量关系，证明你的结论．
【答案】（1）见解析 （2）线段AC，AD，AE三条线段的数量关系是，证明见解析
【解析】
【分析】（1）由两个等腰三角形的条件，可证明△ACE≌△BCD，从而问题解决；
（2）由（1）的结论及已知可得，则由勾股定理可得，再由勾股定理得，则可得结论．
【小问1详解】
∵，
∴
∴
∴
∴
【小问2详解】
线段AC，AD，AE三条线段的数量关系是
∵△ECD是等腰直角三角形，
∴∠E=∠EDC=45°
由（1）知：
∴
即，
又为等腰直角三角形，且，
∴，
即．
【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，其中证明全等三角形是解决问题的关键．
26. 在中，，，，分别是斜边和直角边上的点．把沿着直线折叠，顶点的对应点是点．
（1）如图1，若点和顶点重合，求的长；
（2）如图2，若点落在直角边的中点上，求的长．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查了折叠的性质、勾股定理，熟练掌握折叠的性质和勾股定理是解此题的关键．
（1）由折叠可得，设，则，再由勾股定理进行计算即可得出答案；
（2）由题意得，由折叠的性质可得：，设，则，再由勾股定理计算即可得解．
【小问1详解】
解：若点和顶点重合，由折叠的性质可得：，
设，则，
由勾股定理得：，
，
解得：，
；
【小问2详解】
解：点落在直角边的中点上，
，
由折叠的性质可得：，
设，则，
由勾股定理可得：，
，
解得：，
．