浙江省强基联盟2024-2025学年高一上学期11月联考数学试题

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考生注意：
1．本试卷满分150分，考试时间120分钟．
2．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑：非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效．
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 设全集为，集合，集合，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】化简集合，根据交集的定义，即可求解.
【详解】，，所以，
故选：C.
【点睛】本题考查集合的运算，属于基础题.
2. 金钱豹是猫科豹属中的一种猫科动物.根据以上信息，可知“甲是猫科动物”是“甲是金钱豹”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】根据必要不充分条件的判定方法进行判断.
【详解】由“甲是金钱豹”可推出“甲是猫科动物”，由“甲是猫科动物”不能推出“甲是金钱豹”，
所以“甲是猫科动物”是“甲是金钱豹”的必要不充分条件.
故选：B
3. 函数的图象大致是（ ）
A B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先判断函数的奇偶性，再比较在处的函数值
【详解】的定义域为，且，所以为偶函数
故排除B、C
又，排除A
对于D
为偶函数，图象关于轴对称；当时，单调递减，当时，单调递增；均符合
所以D正确
故选：D
4. 若非负数满足，则的最小值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用乘“1”法及基本不等式计算可得.
【详解】因为为非负数，所以，，
所以
，
当且仅当，即，时取等号.
故选：B
5. 设为奇函数且在内是减函数，若，则的解集为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由奇偶性和单调性作出图像，再求解即可；
【详解】因为为奇函数且在0,+∞内是减函数，所以在上单调递减，
又f3=0，所以，
作出的大致图像
或，解得或，
所以的解集为，
故选：C.
6. 已知函数在上单调递增，则的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据分段函数的单调递增结合一次函数及二次函数单调性即可求参.
【详解】由函数在上单调递增,
则,
所以.
故选：B.
7. 如果且，则的值为（ ）
A. 1012B. 2024C. 1013D. 2026
【答案】D
【解析】
【分析】根据已知等式化简得出定值再计算求解即可.
【详解】因为，所以，
又因为，所以，
则.
故选：D.
8. 已知函数若实数满足且，则的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先分析分段函数每一段的性质，得到分段函数的图像，根据，得到的取值，即可求得结果.
【详解】如图所示：
因为且，
从图像可得，
因为，所以，即，
因，所以，
则，
所以的取值范围为，
故选：C.
二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 下列函数中，在区间上为增函数的是（ ）
A. B. C. fx=x2−2xD.
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据基本初等函数的单调性一一判断即可.
【详解】对于A：因为与在区间上为增函数，
所以在区间上为增函数，故A正确；
对于B：因为在区间上为增函数，在区间上为减函数，
所以在区间上为增函数，故B正确；
对于C：，所以在上单调递增，在上单调递减，故C错误；
对于D：在上单调递增，故D正确.
故选：ABD
10. 下列命题中正确的是（ ）
A. 若，则B. 若，则
C. 若，且，则D. 若，且，则
【答案】BD
【解析】
【分析】应用特殊值法判断AC，应用做差法判断B，应用不等式的性质判断D.
【详解】对于A：当时，，A选项错误；
对于B：，因为
，
所以，B选项正确；
对于C：若，则，C选项错误；
对于D：若，，则，即得，D选项正确.
故选：BD.
11. 已知函数，则（ ）
A. B. 函数的图象关于直线对称
C. 函数是奇函数D. 函数的图象关于点中心对称
【答案】AD
【解析】
【分析】计算函数值即可判断选项A；计算出与比较即可判断选项B与D；由奇偶性的定义即可判断选项C.
【详解】函数，所以，
所以，故A正确；
，
，故函数的图象关于直线不对称，故B错误；
，所以函数的图象关于点中心对称，故D正确；
且，
所以函数是奇函数是非奇非偶函数，故C错误；
故选：AD
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 已知幂函数是奇函数，则实数m的值为________.
【答案】2
【解析】
【分析】根据函数为幂函数可得，求得m，结合函数为奇函数确定m的取值，可得答案.
【详解】由是幂函数可得，
解得或 ，
当时，满足，为奇函数，符合题意；
当时，，此时，不满足，不合题意，
故，
故答案为：2
13. 若命题“成立”是假命题，则实数的取值范围是_________．
【答案】
【解析】
【分析】若成立是真命题，即恒成立，求出的取值范围，所以“成立”是假命题，求其补集即可.
【详解】若成立是真命题，
即恒成立，
所以，所以，
所以“成立”是假命题，则实数或，
故实数的取值范围是：.
故答案为：.
14. 定义在上的函数，满足，且当时，．若对任意，都有，则的最大值是_________．
【答案】
【解析】
【分析】先根据函数之间的关系得到函数在其他区间上的表达式，结合函数图像可得到的最大值.
【详解】因为，且当时，，此时最大值小于1；
当时，，
所以，
此时最大值小于1；
当时，，
，
此时最大值小于1；
当时，，
；
将展开得，
当时，此时取得最大值为，
由图可得，令，解得，
因为对任意，都有，
所以的最大值是，
故答案为：.
四、解答题：本大题共6小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤．
15. 化简求值（需要写出计算过程）．
（1）已知，求的值；
（2）．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）两边同时平方即求解即可；
（2）由指数幂的运算性质求解即可.
【小问1详解】
由题意，得 则．
所以
小问2详解】
原式．
16. 已知集合，且．
（1）若是的充分条件，求实数的取值范围；
（2）若，求实数的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）先得到集合的取值，再根据题意得到，可得到一个不等式，即可求得结果；
（2）根据交集的运算结果为空集可求得结果.
【小问1详解】
∵，∴，
因为是的充分条件，所以，
又∵，∴，∴，
解得，
∴实数的取值范围为；
【小问2详解】
∵，又∵，∴或，
得或，
∴实数的取值范围为.
17. 已知函数为奇函数．
（1）求的值；
（2）判断在上的单调性，并用定义证明；
（3）已知，求实数的取值范围．
【答案】（1）
（2）在上单调递减，证明见解析
（3）
【解析】
【分析】（1）根据函数的奇偶性求出参数即可；
（2）根据定义法证明函数的单调性即可；
（3）由奇偶性及单调性脱去“”建立不等式求解即可.
【小问1详解】
函数的定义域为，
为奇函数，，即，经检验符合题意；
【小问2详解】
由（1）得，
设任意，且，
则，
，，，
，，
，，
在上单调递减；
【小问3详解】
，，
是奇函数，，
由（2）知在上单调递减，
，，
故的取值范围为.
18. 为了预防流感，某学校对教室用药熏消毒法进行消毒.已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量（毫克）与时间（小时）成正比；药物释放完毕后，与的函数关系式为（为常数），根据如图提供的信息，
（1）求从药物释放开始，每立方米空气中的含药量（毫克）与时间（小时）之间的函数关系式；
（2）为保证学生的身体健康，规定当空气中每立方米的含药量降低到0.25毫克及以下时，学生方可进教室.请计算从药物释放开始，至少需要经过多少小时，学生才能回到教室.
【答案】（1）
（2）0.5小时
【解析】
【分析】（1）由图可知在上是一条直线且过点，所以可知方程为；又因为点在曲线上，求得，曲线方程可得，最后综合可得答案.
（2）分析可知只有当药物释放完毕，室内药量减少到0.25毫克以下时学生方可进入教室，可出，解此不等式即可得解.
【小问1详解】
因为图中直线过点，所以图象中线段的方程为，
又点在曲线上，所以，所以，
所以从药物释放开始，每立方米空气中的含药量（毫克）与时间（小时）之间的
函数关系式为.
【小问2详解】
因为药物释放过程中室内药量一直在增加，即使药量小于0.25毫克，学生也不能进入教室，
所以只能当药物释放完毕，室内药量减少到025毫克及以下时学生方可进入教室，
即，所以，所以，解得，
所以从药物释放开始，至少需要经过0.5小时，学生才能回到教室.
19. 已知函数．
（1）若，求的值域；
（2）若对恒成立，求实数的取值范围．
【答案】（1）
（2）2,+∞
【解析】
【分析】（1）先求出分段函数的解析式，然后分类讨论求解函数的值域即可；
（2）若对恒成立，即对恒成立，分类讨论分离参数求解函数的最值即可求解.
【小问1详解】
若，则
当时，；
当时，；
所以的值域为．
【小问2详解】
若对恒成立，即对恒成立；
当时，成立，；
当时，恒成立，则恒成立，
所以恒成立，所以；
当时，恒成立，则恒成立，
所以恒成立，所以；
综上可得．故的取值范围为2,+∞．
20. 已知有个连续正整数元素的有限集合（，），记有序数对，若对任意，，，且，A同时满足下列条件，则称为元完备数对.
条件①：；
条件②：.
（1）试判断是否存在3元完备数对和4元完备数对，并说明理由；
（2）试证明不存在8元完备数对.
【答案】（1）答案见解析；
（2）证明见解析.
【解析】
【分析】（1）利用元完备数对的定义推理判断即得.
（2）令，根据元完备数对的定义确定的所有可能情况，再导出矛盾即可.
【小问1详解】
当时，由，得，不符合题意，
所以不存在3元完备数对；
当时，当，，，时，
满足且，符合题意，
所以为4元完备数对.
【小问2详解】
假设存在8元完备数对，
当时，令，则，且，
则有以下三种可能：①；②；③
当时，于是，即，
由，得或，
而，则有，
因此，，…，，分别为1，2，…，7，8或2，3，…，8，1或7，6，…，1，8或8，7，…，2，1，
由得或，与已知矛盾，则当时，不存在8元完备数对；
当或时，同理不存在8元完备数对，
所以不存在8元完备数对.
【点睛】关键点睛：涉及集合新定义问题，关键是正确理解给出的定义，然后合理利用定义，结合相关的其它知识，分类讨论，进行推理判断解决.