备战2025年高考二轮复习数学题型专项练8 中低档大题规范练（B）（Word版附解析）

这是一份备战2025年高考二轮复习数学题型专项练8 中低档大题规范练（B）（Word版附解析），共3页。试卷主要包含了已知向量m=,n=,x∈R等内容，欢迎下载使用。

1.(13分)已知向量m=(cs x,-sin x),n=(cs x,sin x-23cs x),x∈R.设f(x)=m·n.
(1)求函数f(x)的单调递增区间;
(2)在△ABC中,若f(∠BAC)=1,AB=2,BC=6,∠BAC的平分线交BC于点D,求AD的长.
解(1)f(x)=m·n=cs2x-sin x(sin x-23cs x)=cs2x-sin2x+23sin xcs x=
3sin 2x+cs 2x=232sin 2x+12cs 2x=2sin2x+π6,令2kπ-π2<2x+π6<2kπ+π2,k∈Z,则kπ-π3(2)由(1)得,f(x)=2sin2x+π6,
故f(∠BAC)=2sin2∠BAC+π6=1,
得sin2∠BAC+π6=12.
因为0<∠BAC<π,所以π6<2∠BAC+π6<13π6,所以2∠BAC+π6=5π6,所以∠BAC=π3,在△ABC中,由余弦定理得BC2=AB2+AC2-2AB·AC·cs∠BAC,即6=4+AC2-2AC,解得AC=3+1,因为∠BAC的平分线交BC于点D,所以S△BAD+S△CAD=S△ABC,即12AB·AD·sinπ6+12AC·AD·sinπ6=12AC·AB·sinπ3,所以12+3+14AD=3(3+1)2,解得AD=2.
2.(15分)(2024四川广安模拟)已知函数f(x)=ln x-2ax.
(1)讨论函数f(x)的单调性;
(2)若f(x)≤0恒成立,求实数a的取值范围.
解(1)函数f(x)的定义域为(0,+∞),且f'(x)=1x-2a=1-2axx.
当a≤0时,f'(x)=1-2axx>0,所以f(x)在(0,+∞)上单调递增.
当a>0时,令f'(x)=1-2axx=0,解得x=12a,当x∈0,12a时,f'(x)>0;
当x∈12a,+∞时,f'(x)<0.
所以f(x)在0,12a内单调递增,在12a,+∞上单调递减.
综上,当a≤0时,f(x)在(0,+∞)上单调递增;
当a>0时,f(x)在0,12a内单调递增,在12a,+∞上单调递减.
(2)若f(x)≤0恒成立,则ln x-2ax≤0恒成立,又x>0,所以2a≥lnxx恒成立.令g(x)=lnxx,只需2a≥g(x)max.又g'(x)=1-lnxx2,令g'(x)=0,得x=e.
当x∈(0,e)时,g'(x)>0,g(x)单调递增,当x∈(e,+∞)时,g'(x)<0,g(x)单调递减,所以g(x)max=g(e)=1e,所以2a≥1e,解得a≥12e,即实数a的取值范围是12e,+∞.
3.(15分)(2024河北石家庄模拟)如图,在五棱锥S-ABCDE中,平面SAE⊥平面AED,AE⊥ED,SE⊥AD.
(1)证明:SE⊥平面AED;
(2)若四边形ABCD为矩形,且SE=AB=1,AD=3,BN=2NC.当直线DN与平面SAD所成的角最小时,求三棱锥D-SAE的体积.
(1)证明∵平面SAE⊥平面AED,平面SAE∩平面AED=AE,DE⊂平面AED,DE⊥EA,∴DE⊥平面SAE.
又SE⊂平面SAE,∴DE⊥SE,
又∵SE⊥AD,ED∩AD=D,AD,DE⊂平面AED,
∴SE⊥平面AED.
(2)解以E为原点,EA,ED,ES所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立如图所示的空间直角坐标系,
设∠EAD=θ,θ∈0,π2,则A(3cs θ,0,0),D(0,3sin θ,0),S(0,0,1),DA=(3cs θ,-3sin θ,0),SA=(3cs θ,0,-1),SD=(0,3sin θ,-1),
设平面SAD的法向量为n=(x,y,z),
则n·SA=0,n·SD=0,即3xcsθ-z=0,3ysinθ-z=0,
取z=3sin θcs θ,得n=(sin θ,cs θ,3sin θcs θ).
∵∠ADC=π2,∠EDA+θ=π2,
∴CD与y轴夹角也为θ,则DC=(sin θ,cs θ,0),又CN=13CB=13DA=(cs θ,-sin θ,0),
∴DN=DC+CN=(sin θ+cs θ,cs θ-sin θ,0).
∴cs=DN·n|DN||n|=sin2θ+sinθcsθ+cs2θ-sinθcsθ2·1+9sin2θcs2θ=12·1+94sin22θ≥12·134=2613,
当θ=π4时,等号成立,直线DN与平面SAD所成的角取得最小值,
此时△AED为等腰直角三角形,又AD=3,
∴S△ADE=12×32×3=94,
∴VD-SAE=13S△ADE·SE=13×94×1=34.