备战2025年高考二轮复习数学专题突破练19 统计与概率解答题（提升篇）（Word版附解析）

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主干知识达标练
1.(17分)(2024山东济宁一模)袋中装有大小相同的4个红球,2个白球.某人进行摸球游戏,游戏规则如下:①每次从袋中摸取一个小球,若摸到红球则放回袋中,充分搅拌后再进行下一次摸取;②若摸到白球或摸球次数达到4次时本轮摸球游戏结束.
(1)求摸球游戏结束时摸球次数不超过3的概率;
(2)若摸出1次红球计1分,摸出1次白球记2分,求游戏结束时,此人总得分X的分布列和数学期望.
解(1)设Bi=“第i次摸球时摸到红球”(i=1,2,3,4),则由题可知P(Bi)=C41C61=23,则P(Bi)=1-P(Bi)=1-23=13.
设A=“摸球游戏结束时,摸球次数不超过3”,则A=B1∪B1B2∪B1B2B3,事件B1、事件B1B2与事件B1B2B3互斥,
由概率的加法公式及乘法公式,得P(A)=P(B1)+P(B1B2)+P(B1B2B3)=P(B1)+P(B1)·P(B2)+P(B1)P(B2)P(B3)=13+23×13+23×23×13=1927.因此,摸球游戏结束时,摸球次数不超过3的概率为1927.
(2)由题可知,X的可能取值为2,3,4,5,则P(X=2)=P(B1)=13,P(X=3)=P(B1B2)=P(B1)P(B2)=23×13=29,P(X=4)=P(B1B2B3)+P(B1B2B3B4)=P(B1)P(B2)·P(B3)+P(B1)P(B2)P(B3)P(B4)=23×23×13+23×23×23×23=2881,P(X=5)=P(B1B2B3B4)=P(B1)P(B2)P(B3)P(B4)=23×23×23×13=881,
所以X的分布列为
所以E(X)=2×13+3×29+4×2881+5×881=26081.
2.(17分)(2024陕西西安一模)某市为提升中学生的环境保护意识,举办了一次“环境保护知识竞赛”,分预赛和复赛两个环节,预赛成绩排名前三百名的学生参加复赛.已知共有12 000名学生参加了预赛,现从参加预赛的全体学生中随机地抽取100人的预赛成绩作为样本,得到如图所示的频率分布直方图.
(1)规定预赛成绩不低于80分为优良,若从上述样本中预赛成绩不低于60分的学生中随机地抽取2人,用X表示其中预赛成绩优良的人数,求至少有1人预赛成绩优良的概率,并求X的分布列及数学期望;
(2)由频率分布直方图可认为该市参加预赛的学生的预赛成绩Z服从正态分布N(μ,σ2),其中μ可近似为样本中的100名学生预赛成绩的平均值(同一组数据用该组区间的中点值代替),且σ2=362,已知小明的预赛成绩为91分,利用该正态分布,估计小明是否有资格参加复赛?
附:若Z~N(μ,σ2),则P(μ-σ≤Z≤μ+σ)≈0.682 7,P(μ-2σ≤Z≤μ+2σ)≈0.954 5,P(μ-3σ≤Z≤μ+3σ)≈0.997 3;362≈19.
解(1)根据频率分布直方图可得,抽取的100人中,成绩位于区间[60,80)内的有0.012 5×20×100=25(人),成绩优良(位于区间[80,100)内)的有0.007 5×20×100=15(人),则X服从超几何分布,且N=40,M=15,n=2.
X的分布列为P(X=k)=C15kC252-kC402,k=0,1,2.
至少有1人预赛成绩优良的概率为P(X≥1)=P(X=1)+P(X=2)=C151C251C402+C152C250C402=813.
E(X)=nMN=2×1540=34.
(2)由频率分布直方图可知,样本数据的平均数的估计值为(10×0.005+30×0.01+50×0.015+70×0.012 5+90×0.007 5)×20=53,所以μ=53.
又σ2=362,所以σ=362≈19,所以Z~N(53,192),所以P(Z>91)=P(Z>μ+2σ)=12[1-P(μ-2σ≤Z≤μ+2σ)]≈12×(1-0.954 5)=0.022 75,
故全市参加预赛的学生中,成绩高于91分的约有12 000×0.022 75=273(人).
因为273<300,所以小明有资格参加复赛.
关键能力提升练
3.(17分)(2024广西南宁模拟)为降低工厂废气排放量,某厂生产甲、乙两种不同型号的减排器,现分别从甲、乙两种减排器中各抽取100件进行性能质量评估检测,综合得分k的频率分布直方图如图所示.
甲型号减排器 乙型号减排器
减排器等级及利润率如下表,其中17(1)若从这100件甲型号减排器中按等级用比例分配的分层随机抽样方法抽取10件,再从这10件产品中随机抽取5件,求抽取的5件中至少有3件一级品的概率.
(2)将频率分布直方图中的频率近似地看作概率,用样本估计总体,则
①若从乙型号减排器中随机抽取4件,记X为其中二级品的个数,求X的分布列及数学期望;
②从数学期望来看,投资哪种型号减排器的利润更大?
解(1)根据频率分布直方图可得,抽取的100件甲型号减排器中,综合得分位于区间[85,95]内的频率为0.08×5+0.04×5=0.6,即一级品的频率为0.6,所以从中按等级用比例分配的分层随机抽样方法抽取10件,需要从一级品中抽取10×0.6=6(件).
用Y表示从抽到的10件产品中随机抽取5件,其中一级品的数量,则Y服从超几何分布,且N=10,M=6,n=5.
因此至少有3件一级品的概率为P(Y≥3)=P(Y=3)+P(Y=4)+P(Y=5)=C63C42C105+C64C41C105+C65C40C105=3142.
(2)①根据频率分布直方图可得,抽取的100件乙型号减排器中,综合得分位于区间[75,85)内的频率为0.02×5+0.03×5=0.25,
即二级品的频率为0.25,所以可以估计该厂生产的乙型号减排器中,二级品的概率为0.25.
由题可知,X服从二项分布,即X~B(4,0.25),
所以X的分布列为P(X=k)=C4k(0.25)k(0.75)4-k,k=0,1,2,3,4.
X的数学期望为E(X)=4×0.25=1.
②由题可知,甲型号减排器无三级品.
由(1)知,抽取的100件甲型号减排器中,一级品的频率为0.6,二级品的频率为1-0.6=0.4,所以可以估计该厂生产的甲型号减排器中,一级品的概率为0.6,二级品的频率为0.4,所以甲型号减排器的利润率的平均值为E甲=0.6×2a+0.4×3a2=1.2a2+1.2a.根据频率分布直方图可得,抽取的100件乙型号减排器中,综合得分位于区间[70,75)内的频率为0.01×5=0.05,即三级品的频率为0.05,所以可以估计该厂生产的乙型号减排器中,三级品的概率为0.05.
由(2)①知,该厂生产的乙型号减排器中,二级品的概率为0.25,所以一级品的概率为1-0.05-0.25=0.7,所以乙型号减排器的利润率的平均值为E乙=0.7×2a+0.25×3a2+0.05×a2=0.8a2+1.4a.
E甲-E乙=1.2a2+1.2a-(0.8a2+1.4a)=0.4a2-0.2a=0.2a(2a-1).
因为174.(17分)(2024浙江金丽衢十二校二模)某工厂生产某种元件,其质量按测试指标划分为:指标大于或等于82为合格品,小于82为次品,现抽取100件该元件进行检测,检测结果如下表所示.
(1)现从这100件样品中随机抽取2件,若其中一件为合格品,求另一件也为合格品的概率;
(2)关于随机变量,俄罗斯数学家切比雪夫提出切比雪夫不等式:
若随机变量X具有数学期望E(X)=μ,方差D(X)=σ2,则对任意正数ε,均有P(|X-μ|≥ε)≤σ2ε2成立.
(ⅰ)若X~B100,12,证明:P(0≤X≤25)≤150;
(ⅱ)由切比雪夫不等式可知,即使分布未知,随机变量的取值范围落在期望左右的一定范围内的概率是有界的.若该工厂声称本厂元件合格率为90%,那么根据所给样本数据,请结合切比雪夫不等式说明该工厂所提供的合格率是否可信?(注:当随机事件发生的概率小于0.05时,可称其为小概率事件,小概率事件基本不会发生)
(1)解由题可知,样品中合格品有36+30+4=70(件),从这100件样品中随机抽取2件.
设A=“至少抽到1件合格品”,B=“抽到2件合格品”,则P(A)=1-P(A)=1-C302C1002=301330,P(AB)=C702C1002=161330,
由题可知,“若其中一件为合格品,另一件也为合格品的概率”即为P(B|A),所以P(B|A)=P(AB)P(A)=161301=2343.
(2)(ⅰ)证明因为X~B100,12,所以E(X)=100×12=50,D(X)=100×12×1-12=25,且P(X=k)=P(X=100-k)=C100k12100,k=0,1,…,100,所以P(0≤X≤25)=12P(0≤X≤25或75≤X≤100)=12P(|X-50|≥25).
由切比雪夫不等式可知,P(|X-50|≥25)≤25252=125,所以P(0≤X≤25)≤150.
(ⅱ)解用Y表示随机抽取100件产品中合格品的件数,假设产品合格率为90%的说法成立,则Y~B(100,0.9),
所以E(X)=100×0.9=90,D(X)=100×0.9×(1-0.9)=9.
由切比雪夫不等式知,P(X=70)≤P(|X-90|≥20)≤9400=0.022 5,
即在假设下随机抽取100个元件中合格品为70个的概率不超过0.022 5,所以该事件为小概率事件,基本不会发生,据此我们有理由推断该工厂所提供的合格率不可信.
核心素养创新练
5.(多选题)(2024浙江温州模拟)某企业协会规定:企业员工一周7天要有一天休息,另有一天的工作时间不超过4 h,且其余5天的工作时间均不超过8 h(每天的工作时间以整数计),则认为该企业“达标”.请根据以下企业上报的一周7天的工作时间的数值特征,判断其中无法确保“达标”的企业有( )
A.甲企业:均值为5,中位数为8
B.乙企业:众数为6,中位数为6
C.丙企业:众数和均值均为5,下四分位数为4,上四分位数为8
D.丁企业:均值为5,方差为6
答案ABD
解析甲企业一周7天的工作时间可以为9,8,8,8,2,0,0,满足均值为5,中位数为8,故不达标,故A正确;
乙企业一周7天工作时间可以为6,6,6,6,6,6,6,满足众数为6,中位数为6,故不达标,故B正确;
丙企业一周7天的工作时间的众数和均值均为5,下四分位数为4,上四分位数为8,设其一周7天的工作时间为4,5,5,8,a,b,c(0≤a≤4≤b≤8≤c≤24),b+c+a=13,为满足众数为5,则b≠4,则b≥5.若a=4,则b=5,则c=4,不满足题意;
若c=8,则b=5,则a=0,满足题意,所以0≤a<4<5≤b≤8≤c,所以a+b≥5,所以c≤8,所以c=8,所以a=0,b=5,故丙企业一定达标,故C错误;
丁企业一周7天的工作时间可以为0,5,5,5,5,6,9,满足均值为5,方差为6,故不达标,故D正确.
故选ABD.
6.(17分)(2024浙江台州二模)台州是全国三大电动车生产基地之一,拥有完整的产业链和突出的设计优势.某电动车公司为了抢占更多的市场份额,计划加大广告投入,该公司近5年的年广告费xi(单位:百万元)和年销售量yi(单位:百万辆)关系如图所示.
令vi=ln xi(i=1,2,…,5),数据经计算可知:
现有①y=bx+a和②y=nln x+m两种模型作为年销售量y关于年广告费x的回归模型,其中a,b,m,n均为常数.
(1)请从相关系数的角度,分析哪一个模型拟合程度更好;
(2)根据拟合程度更好的回归模型及表中数据,求出y关于x的经验回归方程,并预测年广告费为6百万元时产品的年销售量;
(3)该公司生产的电动车毛利润为每辆200元(不含广告费、研发经费).该公司在加大广告投入的同时也加大研发经费的投入,年研发经费为年广告费的199倍.电动车的年净利润受年广告费和年研发经费影响外还受随机变量ξ(单位:百万元)影响,设随机变量ξ服从正态分布N(600,σ2),且满足P(ξ>800)=0.3.在(2)的条件下,求该公司年净利润的最大值大于1 000(百万元)的概率.(年净利润=毛利润×年销售量-年广告费-年研发经费-随机变量)
附:相关系数r=∑i=1n(xi-x)(yi-y)∑i=1n(xi-x)2∑i=1n(yi-y)2;
经验回归方程y^=a^+b^x的斜率参数和截距参数的最小二乘估计分别为b^=∑i=1n(xi-x)(yi-y)∑i=1n(xi-x)2,a^=y-b^x;
参考数据:40.4×1.615≈8.08,404≈20.1,ln 5≈1.6,ln 6≈1.8.
解(1)设模型①和②的相关系数分别为r1,r2.由题意可得r1=∑i=15(xi-x)(yi-y)∑i=15(xi-x)2∑i=15(yi-y)2=19.6404≈19.620.1≈0.98,
r2=∑i=15(yi-y)(vi-v)∑i=15(yi-y)2∑i=15(vi-v)2=8.0840.4×1.615≈,
所以|r2|更接近1,所以模型②的拟合程度更好.
(2)由(1)可知选择模型y=nv+m,由题可知y=15∑i=15yi=8.8,v=15∑i=15vi=0.96,n^=∑i=15(vi-v)(yi-y)∑i=15(vi-v)2=≈5,所以m^=y-5v=8.8-0.96×5=4,
所以y关于v的经验回归方程为y^=5v+4,所以y关于x的经验回归方程为y^=5ln x+4.
当x=6时,y^=5ln 6+4≈1.8×5+4=13,因此可以预测当年广告费为6百万元时,产品的年销售量大概是13百万辆.
(3)由(2)可知年销售量为5ln x+4(百万辆),所以年净利润为200×(5ln x+4)-200x-ξ(百万元).
令g(x)=200×(5ln x+4)-200x-ξ,所以g'(x)=1 000x-200.
当x∈(0,5)时,g'(x)>0,g(x)单调递增;
当x∈(5,+∞)时,g'(x)<0,g(x)单调递减.
所以当x=5时,g(x)取最大值,最大值为g(5)=200×(5ln 5+4-5)-ξ≈200×(5×1.6+4-5)-ξ=1 400-ξ,即年净利润的最大值为1 400-ξ(百万元).
令1 400-ξ>1 000,得ξ<400.
因为随机变量ξ服从正态分布N(600,σ2),且P(ξ>800)=0.3,所以P(ξ<400)=P(ξ>800)=0.3,所以该公司年净利润的最大值大于1 000(百万元)的概率为0.3.
X
2
3
4
5
P
13
29
2881
881
综合得分k的范围
减排器等级
减排器利润率
k≥85
一级品
2a
75≤k<85
二级品
3a2
70≤k<75
三级品
a2
测试指标
[20,76)
[76,82)
[82,88)
[88,94)
[94,100]
元件数/件
12
18
36
30
4
∑i=15yi
∑i=15vi
∑i=15(xi-x)2
∑i=15(yi-y)2
∑i=15(vi-v)2
∑i=15(xi-x)(yi-y)
∑i=15(yi-y)(vi-v)
44
4.8
10
40.4
1.615
19.6
8.08