重庆市第八中学2024-2025学年高二上学期期中考试数学试卷（Word版附解析）

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命题：肖江 张锐 审核：张秀梅 打印：肖江 校对：张锐
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，有且仅有一项符合题目要求.
1. 若直线的一个方向向量为，则直线的倾斜角是（ ）
A. B. C. D.
2. 若，则（ ）
A. -1B. 0C. 1D. 2
3. 已知圆经过点和点，且圆心在直线上，则圆的半径为（ ）
A. B. C. D.
4. 已知一个正四棱台的上、下底面边长分别是4和6，高是，则它的侧面积为（ ）
A. 10B. C. 40D. 44
5. 已知点是的重心，若，则（ ）
A. B. C. D.
6. 已知直线为空间中一条直线，平面，，为两两相互垂直的三个平面，则（ ）
A. 若，则与和相交B. 若，则或
C 若，则，且D. 若，则
7. 已知海面上有一监测站，其监测范围为以为圆心，半径为的圆形区域，在A正东方向处有一货船，该船正以的速度向北偏西方向行驶，则货船行驶在监测站监测范围内的总时长为（ ）
A B. C. D.
8. 椭圆的右顶点为A，上顶点为，，点为椭圆上一点且，则的值为（ ）
A. B. C. D. 2
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知圆，圆，则（ ）
A. 直线的方程为
B. 圆经过，两点，则圆的面积的最小值为
C. 与圆和圆都相切的直线共有四条
D. 若，分别为圆，圆上两动点，则的最大值为10
10. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，点为椭圆上一点，则（ ）
A. 的周长为
B. 存在点，使得
C. 若，则的面积为
D. 使得为等腰三角形的点共有4个
11. 在矩形中，，点是边的中点，将沿翻折，直至点落在边上.当翻折到的位置时，连结，，则（ ）

A. 四棱锥体积的最大值为
B. 存在某一翻折位置，使得
C. 为的中点，当时，二面角的余弦值为
D. 为的中点，则的长为定值
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知直线与圆相切，则实数值为______________.
13. 已知椭圆的左焦点为，过原点的直线与椭圆交于，两点，，，则椭圆的离心率为______________.
14. 已知正四面体的棱长为，在棱上，且，则此正四面体的外接球球心到平面的距离为______________.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知直线的方程为：.
（1）求证：不论为何值，直线必过定点；
（2）过（1）中点引直线交坐标轴正半轴于，两点，求面积的最小值.
16. 在锐角中，角所对边分别为，，，且.
（1）求证：；
（2）若的角平分线交于，且，求线段的长度的取值范围.
17. 在平面直角坐标系中，已知圆，不与轴垂直的直线过点且与圆相交于，两点.
（1）已知，求直线的方程；
（2）已知点且的面积为，求直线的方程.
18. 如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面平面，，，，点在棱上，且平面.
（1）求证：为中点；
（2）求平面与平面夹角的正弦值；
（3）若点为棱上一动点（含端点），求直线与平面所成角的正弦值的取值范围.
19. 在平面直角坐标系中，已知椭圆与轴和轴的交点分别为，，，（在左侧，在下侧），直线（且）与直线交于点，过点且平行于的直线交于点（异于点），交轴于点，直线交于点（异于点），直线交轴于点.
（1）当时，求出，两点的坐标；
（2）直线与直线是否相互平行？若是，请写出证明过程；若不是，请说明理由.