第十章　§10.5　离散型随机变量及其分布列、数字特征-【北师大版】2025年高考数学大一轮复习（课件+讲义+练习）

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1.理解取有限个值的离散型随机变量及其分布列的概念.2.理解并会求离散型随机变量的数字特征.
第一部分 落实主干知识
第二部分 探究核心题型
1.离散型随机变量在随机试验中，我们确定了一个对应关系，使得样本空间的每一个样本点都用一个确定的 表示.在这个对应关系下， 随着试验结果的变化而变化.像这种取值随着试验结果的变化而变化的量称为 变量，随机变量常用字母X，Y，ξ，η等表示.取值能够一一列举出来的随机变量称为离散型随机变量.
2.离散型随机变量的分布列若离散型随机变量X的取值为x1，x2，…，xn，…，随机变量X取xi的概率为 ，记作P(X＝xi)＝pi(i＝1,2，…，n，…).①①式也可以列成表，如表：
pi(i＝1,2，…，n，…)
表或①式称为离散型随机变量X的分布列，简称为X的分布列.
3.离散型随机变量分布列的性质(1)pi 0(i＝1,2，…，n，…)；(2)p1＋p2＋…＋pn＋…＝ .
4.离散型随机变量的均值与方差一般地，若离散型随机变量X的分布列为
(1)均值则称EX＝ 为随机变量X的均值或数学期望(简称期望).它反映了离散型随机变量X取值的 .
x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn
(2)方差称DX＝E(X－EX)2＝_______________为随机变量X的方差，其算术平方根　　为随机变量X的 ，记作σX，它们都反映了随机变量的取值偏离于均值的平均程度.5.均值与方差的性质(1)E(aX＋b)＝ .(2)D(aX＋b)＝ (a，b为常数).
1.Ek＝k，Dk＝0，其中k为常数.2.E(X1＋X2)＝EX1＋＝EX2－(EX)2.4.若X1，X2相互独立，则E(X1X2)＝EX1·EX2.
1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”)(1)在离散型随机变量的分布列中，随机变量取各个值的概率之和可以小于1.(　　)(2)离散型随机变量的各个可能值表示的事件是彼此互斥的.(　　)(3)随机试验的结果与随机变量是对应关系，即每一个试验结果都有唯一的随机变量的值与之对应.(　　)(4)方差或标准差越小，则随机变量的偏离程度越小.(　　)
2.已知随机变量X的分布列为
设Y＝2X＋3，则EY的值为
3.(2023·辽阳模拟)已知随机变量X满足P(X＝1)＝P(X＝2)＝0.4，P(X＝4)＝0.2，则EX＝_____，DX＝______.
EX＝(1＋2)×0.4＋4×0.2＝2，DX＝(1－2)2×0.4＋(2－2)2×0.4＋(4－2)2×0.2＝1.2.
4.甲、乙两工人在一天生产中出现的废品数分别是两个随机变量X，Y，其分布列分别为
若甲、乙两人的日产量相等，则甲、乙两人中技术较好的是_____.
EX＝0×0.4＋1×0.3＋2×0.2＋3×0.1＝1，EY＝0×0.3＋1×0.5＋2×0.2＝0.9，∵EY例1　(1)(多选)已知随机变量X的分布列如表(其中a为常数)：
则下列计算结果正确的是A.a＝0.1 B.P(X≤2)＝0.7C.P(X≥3)＝0.4 D.P(X≤1)＝0.3
因为0.1＋0.2＋0.4＋0.2＋a＝1，解得a＝0.1，故A正确；由分布列知P(X≤2)＝P(X＝0)＋P(X＝1)＋P(X＝2)＝0.1＋0.2＋0.4＝0.7，故B正确；P(X≥3)＝P(X＝3)＋P(X＝4)＝0.2＋0.1＝0.3，故C错误；P(X≤1)＝P(X＝0)＋P(X＝1)＝0.1＋0.2＝0.3，故D正确.
离散型随机变量分布列的性质的应用(1)利用“概率之和为1”可以求相关参数的值.(2)利用“在某个范围内的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和”求某些特定事件的概率.(3)可以根据性质判断所得分布列结果是否正确.
跟踪训练1　(1)若随机变量X的分布列为
则P(|X|＝1)等于
由随机变量X的分布列得P(|X|＝1)＝P(X＝－1)＋P(X＝1)
(2)设随机变量X满足P(X＝i)＝ (i＝1,2,3)，则k＝____；P(X≥2)＝____.
由已知得随机变量X的分布列为
∴随机变量X的分布列为
题型二　离散型随机变量的分布列及数字特征
命题点1　求离散型随机变量的分布列及数字特征例2　(1)(2024·杭州模拟)已知甲、乙两名员工分别从家中赶往工作单位的时间互不影响，经统计，甲、乙一个月内从家中到工作单位所用时间在各个时间段内的频率如下：
某日工作单位接到一项任务，需要甲在30分钟内到达，乙在40分钟内到达，用X表示甲、乙两人在要求时间内从家中到达单位的人数，用频率估计概率，则X的均值和方差分别是A.EX＝1.5，DX＝0.36B.EX＝1.4，DX＝＝1.5，DX＝0.34D.EX＝1.4，DX＝0.34
设事件A表示甲在规定的时间内到达，B表示乙在规定的时间内到达，P(A)＝0.5，P(B)＝0.9，A，B相互独立，
＝(1－0.5)×0.9＋0.5×(1－0.9)＝0.5，P(X＝2)＝P(AB)＝P(A)P(B)＝0.5×0.9＝0.45，
∴EX＝0×0.05＋1×0.5＋2×0.45＝1.4，DX＝(0－1.4)2×0.05＋(1－1.4)2×0.5＋(2－1.4)2×0.45＝0.34.
(2)(2023·沈阳模拟)已知某离散型随机变量X的分布列如表：
均值、方差的大小比较、最值(范围)问题关于随机变量的均值与方差，近几年均以选择题的形式考查，除考查均值、方差的直接计算，还经常从下列几个角度进行考查：(1)均值、方差及概率的大小比较；(2)均值、方差的增减性分析；(3)均值、方差的最值；(4)解均值、方差的不等式求字母的范围.
典例　(1)设随机变量X的分布列如下(其中0A.DX增大 B.DX减小C.DX先减后增 D.DX先增后减
(2)(多选)已知某商场销售一种商品的单件销售利润为X＝0，a，2，根据以往销售经验可得0命题点2　均值(数学期望)与方差的性质应用例3　设随机变量X的分布列为P(X＝k)＝ (k＝1,2,5)，a∈R，EX，DX分别为随机变量X的均值与方差，则下列结论正确的是A.P(0所以E(3X＋2)＝3EX＋2＝3×2＋2＝8，故B不正确；
因为DX＝2，所以D(3X＋1)＝9DX＝18，故D不正确.
求离散型随机变量ξ的均值与方差的步骤(1)理解ξ的意义，写出ξ的所有可能取值.(2)求ξ取每个值的概率.(3)写出ξ的分布列.(4)由均值、方差的定义求Eξ，Dξ.
跟踪训练2　(1)(多选)已知随机变量X的分布列为
(2)学习强国新开通一项“争上游答题”栏目，其规则是比赛两局，首局胜利积3分，第二局胜利积2分，失败均积1分，某人每局比赛胜利的概率为 ，设他参加一次答题活动得分为ξ，则Dξ＝______.
由题意知，ξ的所有可能取值为5,4,3,2，
题型三　均值与方差中的决策问题
例4　(2023·上海七宝中学模拟)随着五一黄金周的到来，各大旅游景点热闹非凡，为了解A，B两个旅游景点游客的满意度，某研究性学习小组采用随机抽样的方法，获得关于A旅游景点的问卷100份，关于B旅游景点的问卷80份.问卷中，对景点的满意度等级划分为：非常满意、满意、一般、不满意，对应分数分别为：4分、3分、2分、1分，数据统计如下：
假设用频率估计概率，且游客对A，B两个旅游景点的满意度评价相互独立.(1)从所有(人数足够多)在A旅游景点的游客中随机抽取2人，从所有(人数足够多)在B旅游景点的游客中随机抽取2人，估计这4人中恰有2人给出“非常满意”的概率；
(2)根据上述数据，你若旅游，你会选择A，B哪个旅游景点？说明理由.
设一位游客对A景点的满意度评分为X，一位游客对B景点的满意度评分为Y，由数表中数据得X的分布列为
显然EX＝EY，DX>DY，所以选择B景点.
随机变量的均值和方差从整体和全局上刻画了随机变量，是生产实际中用于方案取舍的重要理论依据.一般先比较均值，若均值相同，再用方差来决定.
跟踪训练3　(2021·新高考全国Ⅰ)某学校组织“一带一路”知识竞赛，有A，B两类问题.每位参加比赛的同学先在两类问题中选择一类并从中随机抽取一个问题回答，若回答错误则该同学比赛结束；若回答正确则从另一类问题中再随机抽取一个问题回答，无论回答正确与否，该同学比赛结束.A类问题中的每个问题回答正确得20分，否则得0分；B类问题中的每个问题回答正确得80分，否则得0分.已知小明能正确回答A类问题的概率为0.8，能正确回答B类问题的概率为0.6，且能正确回答问题的概率与回答次序无关.(1)若小明先回答A类问题，记X为小明的累计得分，求X的分布列；
由题意得，X的所有可能取值为0,20,100，P(X＝0)＝1－0.8＝0.2，P(X＝20)＝0.8×(1－0.6)＝0.32，P(X＝100)＝0.8×0.6＝0.48，所以X的分布列为
(2)为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答哪类问题？并说明理由.
当小明先回答A类问题时，由(1)可得EX＝0×0.2＋20×0.32＋100×0.48＝54.4.当小明先回答B类问题时，记Y为小明的累计得分，则Y的所有可能取值为0,80,100，P(Y＝0)＝1－0.6＝0.4，P(Y＝80)＝0.6×(1－0.8)＝0.12，P(Y＝100)＝0.6×0.8＝0.48，
EY＝0×0.4＋80×0.12＋100×0.48＝57.6.因为57.6>54.4，即EY>EX，所以为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答B类问题.
一、单项选择题1.已知离散型随机变量X的分布列为
2.已知甲、乙两种产业收益的分布列分别为： 甲产业收益分布列 乙产业收益分布列
则下列说法正确的是A.甲产业收益的期望大，风险高B.甲产业收益的期望小，风险小C.乙产业收益的期望大，风险小D.乙产业收益的期望小，风险高
甲产业收益分布列 乙产业收益分布列
由题意可得EX＝－1×0.1＋0×0.3＋2×0.6＝1.1，DX＝(－1－1.1)2×0.1＋(0－1.1)2×0.3＋(2－1.1)2×0.6＝1.29；EY＝0×0.3＋1×0.4＋2×0.3＝1，DY＝(0－1)2×0.3＋(1－1)2×0.4＋(2－1)2×0.3＝0.6，故EX>EY，DX>DY，即甲产业收益的期望大，风险高.
3.(2023·南宁模拟)已知随机变量X的分布列为
A.1　　　B.2　　　C.3　　　D.4
由Y＝aX＋3得EY＝aEX＋3，
记李明这3道题的得分为随机变量X，则X的所有可能取值为0,5,10,15，
5.(2023·洛阳模拟)随机变量ξ的分布列为P(ξ＝k)＝ ，k＝1,2,3，其中c是常数，则D(9ξ－3)的值为A.10　　　B.117　　　C.38　　　D.35
∴D(9ξ－3)＝92Dξ＝81Dξ＝38.
6.(2024·桂林模拟)设0当a在(0,1)上增大时，则A.EX不变B.EX减小C.DX先增大后减小D.DX先减小后增大
∴当a在(0,1)上增大时，EX增大，
∴当a在(0,1)上增大时，DX先减小后增大.
二、多项选择题7.已知随机变量X和Y，其中Y＝12X＋7，且EY＝34，若X的分布列如表：
因为Y＝12X＋7，所以EY＝12EX＋7＝34，
8.某校欲举办运动会，为了组建一支朝气蓬勃、训练有素的赛会志愿者队伍，运动会组织委员会欲从4名男志愿者，3名女志愿者中随机抽取3人聘为志愿者队的队长.下列说法正确的有A.设事件A：“抽取的3人中既有男志愿者，也有女志愿者”，则P(A)＝B.设事件A：“抽取的3人中至少有一名男志愿者”，事件B：“抽取的 3人中全是男志愿者”，则P(B|A)＝C.用X表示抽取的3人中女志愿者的人数，则E(X)＝D.用Y表示抽取的3人中男志愿者的人数，则D(Y)＝
X的所有可能取值为0,1,2,3，
三、填空题9.已知离散型随机变量ξ的分布列如表所示.
所以D(2ξ＋1)＝22Dξ＝11.
10.根据以往的经验，某工程施工期间的降水量X(单位：mm)对工期的影响如表所示：
历年气象资料表明，该工程施工期间降水量X小于300,700,900的概率分别为0.3,0.7,0.9，则工期延误天数Y的均值为______.
由题意可知P(X<300)＝0.3，P(300≤X<700)＝P(X<700)－P(X<300)＝0.7－0.3＝0.4，P(700≤X<900)＝P(X<900)－P(X<700)＝0.9－0.7＝0.2，P(X≥900)＝1－P(X<900)＝1－0.9＝0.1.
所以随机变量Y的分布列为
所以EY＝0×0.3＋2×0.4＋6×0.2＋10×0.1＝3，所以工期延误天数Y的均值为3.
11.已知排球发球考试规则：每位考生最多可发球三次，若发球成功，则停止发球，否则一直发到3次结束为止.某考生一次发球成功的概率为p(01.75，则p的取值范围为________.
由题意知P(X＝1)＝p，P(X＝2)＝p(1－p)，P(X＝3)＝(1－p)2，所以EX＝p＋2p(1－p)＋3(1－p)2>1.75，
12.(2024·稽阳模拟)已知甲盒中有3个红球2个白球，乙盒中有4个红球1个白球，从甲盒中随机取1球放入乙盒，然后再从乙盒中随机取2球，记取到红球的个数为随机变量X，则X的均值为______.
则X的可能取值为1,2，
则X的可能取值为0,1,2，
四、解答题13.从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，设随机变量X表示所选3人中女生的人数，求：(1)“所选3人中女生人数X≤1”的概率；
“所选3人中女生人数X≤1”的概率
(2)X的均值与方差.
因为从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，随机变量X表示所选3人中女生的人数，所以X的可能取值为0,1,2，
14.(2023·泰安模拟)某公司为活跃气氛、提升士气，年终拟通过抓阄兑奖的方式对所有员工进行奖励.规定：每位员工从一个装有4个标有面值的阄的袋中一次性随机摸出2个阄，阄上所标的面值之和为该员工获得的奖励金额.(1)若袋中所装的4个阄中有1个所标的面值为800元，其余3个均为200元，求：①员工所获得的奖励金额为1 000元的概率；
设员工所获得的奖励金额为X，
②员工所获得的奖励金额的分布列及均值；
X所有可能的取值为400,1 000，
(2)公司对奖励金额的预算是人均1 000元，并规定袋中的4个阄只能由标有面值200元和800元的两种阄或标有面值400元和600元的两种阄组成.为了使员工得到的奖励金额尽可能符合公司的预算且每位员工所获得的奖励金额相对均衡，请对袋中的4个阄的面值给出一个合适的设计，并说明理由.
根据公司预算，每个员工的平均奖励金额为1 000元，∴先寻找均值为1 000元的可能方案，对于面值由800元和200元组成的情况，如果选择(200,200,200,800)的方案，∵1 000元是面值之和的最大值，∴均值不可能为1 000元，如果选择(800,800,800,200)的方案，∵1000元是面值之和的最小值，
∴均值不可能为1 000元，因此可能的方案是(800,800,200,200)，记为方案1；同理，对于面值由600元和400元组成的情况，排除(600,600,600,400)和(400,400,400,600)的方案，∴可能的方案是(400,400,600,600)，记为方案2.对于方案1，设员工所获得的奖励金额为X1，X1可取400,1 000,1600，
对于方案2，设员工所获得的奖励金额为X2，X2可取800,1 000,1 200，
由于两种方案的奖励金额都符合预算要求，但方案2的方差比方案1小，∴应选择方案2.
15.(多选)(2023·武汉模拟)已知随机变量X的取值为不大于n(n∈N+)的非负整数，它的分布列为
定义由X生成的函数f(x)＝p0＋p1x＋p2x2＋p3x3＋…＋pixi＋…＋pnxn，g(x)为函数f(x)的导函数，EX为随机变量X的均值.现有一枚质地均匀的正四面体型骰子，四个面分别标有1,2,3,4四个点数，这枚骰子连续抛掷两次，向下点数之和为X，此时由X生成的函数为f1(x)，则
因为f(x)＝p0＋p1x＋p2x2＋p3x3＋…＋pixi＋…＋pnxn，则g(x)＝f′(x)＝p1＋2p2x1＋3p3x2＋…＋ipixi－1＋…＋npnxn－1，EX＝p1＋2p2＋3p3＋…＋ipi＋…＋npn，当x＝1时，EX＝g(1)，故A错误，C正确；
连续抛掷两次骰子，向下点数之和为X，则X的分布列为
16.(多选)(2023·山东省实验中学模拟)随机变量ξ的分布列如表，其中xy≠0，下列说法正确的是
因为xy≠0，x＋y＝1，易得0

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