第三章　培优点3　洛必达法则-【北师大版】2025年高考数学大一轮复习（课件+讲义+练习）

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若函数f(x)和g(x)满足下列条件：
(2)在点a的去心邻域内，f(x)与g(x)可导且g′(x)≠0；
注意：1.将上面公式中的x→a，x→∞换成x→＋∞，x→－∞，x→a＋，x→a－，洛必达法则也成立.
4.若条件符合，洛必达法则可连续多次使用，直到求出极限为止.
题型一　用洛必达法则处理 型函数
若x＝0，则a∈R；若x>0，
令h(x)＝2xcs x－2sin x－sin xcs x＋x，h′(x)＝2cs x－2xsin x－2cs x－cs 2x＋1＝－2xsin x－cs 2x＋1＝2sin2x－2xsin x＝2sin x(sin x－x)，因此，当x∈(0，π)时，h′(x)1，则n′(x)＝2x－4xln x－2x＝－4xln xx3－a恒成立，即2ax3＋x>x3－a恒成立，即a(2x3＋1)>x3－x恒成立，
∴φ(x)在(1，＋∞)上单调递增，
1.已知函数f(x)＝x(ex－1)－ax2，当x≥0时，f(x)≥0，求a的取值范围.
当x≥0时，f(x)≥0，即x(ex－1)≥ax2.当x＝0时，a∈R；
记h(x)＝(x－1)ex＋1，x∈(0，＋∞)，则h′(x)＝xex>0，因此h(x)＝(x－1)ex＋1在(0，＋∞)上单调递增，
即当x→0时，g(x)→1，所以g(x)>1，即有a≤1.综上所述，当a≤1，x≥0时，f(x)≥0成立.
2.若∀x∈[0，＋∞)，x－ln(x＋1)≤ax2恒成立，求a的取值范围.
所以h(x)在(0，＋∞)上单调递减，所以h(x)