北京市大兴区2024-2025学年高一上学期期中考试数学试卷（解析版）

这是一份北京市大兴区2024-2025学年高一上学期期中考试数学试卷（解析版），共12页。试卷主要包含了单项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单项选择题：共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.
1. 设集合，则不正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】，显然A正确；B不正确；
因为是任何集合的子集；任何集合都是它本身的子集，故C、D正确.
故选：B.
2. 命题“”的否定是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】命题“”的否定为：.
故选：D.
3. 下列函数中，是奇函数且值域为的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】对于A，定义域为，定义域不关于原点对称，
所以该函数不是奇函数，该选项不符合题意；
对于B，定义域为，，
所以该函数不为奇函数，该选项不符合题意；
对于C，定义域为，，
则该函数为奇函数，又值域为，该选项符合题意；
对于D，定义域为，，
则该函数为奇函数，但值域为，该选项不符合题意.
故选：C.
4. 已知，且，则的最小值为（ ）
A. B. C. 1D. 2
【答案】C
【解析】因为，所以，，
所以，
当且仅当，即，时，等号成立，
所以的最小值为.
故选：C.
5. 设a，b，c，d为实数，则“a＞b，c＞d”是“a+c＞b+d”的（ ）
A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】根据不等式的可加性可得成立；
反之不成立，例如取，，a=2，，满足，但是不成立，
∴是的充分不必要条件.
故选：A．
6. 设函数在区间上单调递增，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】根据题意，.设，且，
，
，
时，，此时，在上单调递增；
时，，此时，在上单调递减，
根据题意，函数在区间上单调递增，所以，
解得，.
故选：B.
7. 下列四个条件中，使成立的充分而不必要的条件是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】对于A选项，a2>b2⇔a>b，故由不能得到，充分性不成立，故不正确；
对于B选项，，两者互为充要条件，故不成立；
对于C选项，，反之，不然，故满足条件；
对于D选项，，故是的必要不充分条件，不满足；
综上，只有C正确.
故选：C.
8. 若不等式对任意的恒成立，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】令，的对称轴为，
当，即时，，
所以，则，故；
当，即时，，
所以，则，故；
综上，，即实数的取值范围是.
故选：D.
9. 定义在上的偶函数满足：，且对任意的，都有，则不等式的解集是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】因为对任意的，都有，
所以在上单调递减，
因为为偶函数，所以在上单调递增，
又，所以，
当时，，可得0当时，，可得.
综上，不等式的解集为.
故选：C.
10. 已知函数，集合，则（ ）
A. B.
C D.
【答案】A
【解析】因为，
所以，
又，所以，
又，所以，所以，
因为，所以，所以的一个根为1，
由韦达定理可得，的另一个根为，
所以的解集为，所以，
由单调性可知恒成立.
故选：A.
二、填空题：共5小题，每小题5分，共25分.
11. 函数的定义域是___________.
【答案】
【解析】因为，所以，解得，即函数的定义域为.
12. 设，则与的大小关系是______．
【答案】
【解析】，
所以．
13. 函数则______；不等式的解集为______．
【答案】0
【解析】因为，所以，
即；
依题意，不等式等价于：或，
解，得：；解，得：；
综上可得：或，故原不等式的解集为.
14. 定义域相同，值域相同，但对应关系不同的两个函数可以是______，______．
【答案】（不唯一） （不唯一）
【解析】根据定义域、值域相同，可取，
两个函数的定义域、值域都为.
15. 已知函数定义域为，若满足：对任意的，当时，总有成立，则称为单函数．给出下列四个结论：
（1）不是单函数；
（2）是单函数；
（3）若为单函数，则在定义域上一定是单调函数；
（4）若为单函数，则对任意的，当时，总有成立．其中所有正确结论的序号是______．
【答案】（1）（2）（4）
【解析】对（1），因为，，不满足单函数定义，
所以不是单函数，故（1）正确；
对（2），，当时，可得，即，所以是单函数，故（2）正确；
对（3），为单函数，可取，但是在定义域上不单调，故（3）错误；
对（4），当时，假设，则由单函数定义，可得，矛盾，
故，故（4）正确.
三、解答题：共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.
16. 已知函数．
（1）求不等式的解集；
（2）求在区间上的最大值与最小值；
（3）设，求证：．
解：（1）由，可知，
即，解得或，
所以的解集为.
（2）因为的对称轴为，
所以函数在上单调递减，在上单调递增，又，
所以，
.
（3）因为，
，
所以，
即.
17. 已知集合．
（1）当时，求；
（2）再从条件（1）、条件（2）这两个条件中选择一个作为已知，求取值范围．
条件（1）：；
条件（2）：“”是“”的充分条件．
注：如果选择条件（1）和条件（2）分别解答，按第一个解答计分．
解：（1）当时，，
所以，
或，所以.
（2）选条件（1），或，，
因为，所以，即；
选条件（2），因为“”是“”的充分条件，所以，
所以，即.
18. 已知函数．
（1）判断的奇偶性，并说明理由；
（2）用单调性定义证明在区间上单调递减；
（3）若的图象与轴交于两点，且，求的取值范围．
解：（1）的定义域为R，，
是偶函数.
（2）且，
，
且，，，，
，
则，即，在区间上单调递减.
（3）的图象与轴交于两点，且，
则，解得：．
19. 已知经过年某汽车的总花费由购车费、维修费和其他费用组成，其中购车费用是22.5万元，使用年的维修费为万元，且每年的其他费用为0.8万元．
（1）求经过2年该车的总花费为多少万元；
（2）设经过年该车的年平均花费为万元，写出关于的函数解析式，并求的最小值．
解：（1）设总花费为万元，
则，
当，（万元），
答：经过2年该车总花费为万元.
（2）由题意得：
，，
当且仅当：，即，等号成立，
故的最小值为万元．
20. 已知函数．令函数
（1）若，求的值；
（2）若函数的图象关于点成中心对称图形，当时，．
（i）直接写出当时，的解析式；
（ii）对任意的恒成立，求的取值范围．
解：（1）当，即，解得或，
当，即，解得，
所以，
当或，若，即，解得，矛盾，
当，若，即，解得，（舍），
所以当时，.
（2）（i）设，则，因为函数的图象关于点成中心对称图形，
当时，，所以，
当，即时，，则，
当，即时，，
则，
所以.
（ii）根据以上条件可得当时，，
当时，，
所以该函数在和1,+∞上为增函数，在-1,1上为减函数，
又，
由（1）可知当时，时，求得，不存在的值，
当时，，令，求得，
因为对任意的恒成立，
即对任意的恒成立，
所以当时，，即，解得，
所以的取值范围为.
21. 若含有4个元素的数集能满足，则称数集具有性质．给定集合.
（1）写出一个具有性质的集合，并说明理由；
（2）若，证明：集合和不可能都具有性质；
（3）若集合有4个元素，，且，，证明：这个集合不可能同时都具有性质．
解：（1）取，满足，
所以是具有性质的集合.
（2）因为，所以和中一个为奇数，一个为偶数.
所以中至多有2个偶数.
若和都具有性质J，由中有4个奇数和4个偶数知，
中必有两个偶数.
若两个集合分别为和，
则或，不存在使得符合要求.
若两个集合分别为和，
则或，不存在使得符合要求.
若两个集合分别为和，
则或，不存在使得符合要求.
故若和不可能都具有性质J.
（3）假设集合同时都具有性质J，则每个集合中至多有两个偶数.
因为中恰有2n个偶数，
所以这n个集合中都只含2个偶数.
设,其中为偶数，为奇数.
所以，
且.
由题意知，，即.
因为.
所以
矛盾，
故假设不成立.
所以集合不可能同时都具有性质J.