2025年中考数学一轮复习精品讲义第23讲 特殊四边形-矩形（2份，原卷版+解析版）

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TOC \ "1-3" \n \h \z \u \l "_Tc156858530" \l "_Tc156807534" 一、考情分析
二、知识建构
\l "_Tc156858531" 考点一 矩形的性质与判定
\l "_Tc156858532" 题型01 利用矩形的性质求角度
\l "_Tc156858533" 题型02 利用矩形的性质求线段长
\l "_Tc156858534" 题型03 利用矩形的性质求面积
\l "_Tc156858535" 题型04 求矩形在坐标系中的坐标
\l "_Tc156858536" 题型05 根据矩形的性质证明
\l "_Tc156858537" 题型06 矩形的判定定理的理解
\l "_Tc156858538" 题型07 添加一个条件使四边形是矩形
\l "_Tc156858539" 题型08 证明四边形是矩形
\l "_Tc156858540" 题型09 根据矩形的性质与判定求角度
\l "_Tc156858541" 题型10 根据矩形的性质与判定求线段长
\l "_Tc156858542" 题型11 根据矩形的性质与判定求面积
\l "_Tc156858543" 题型12 根据矩形的性质与判定解决多结论问题
\l "_Tc156858544" 题型13 与矩形有关的新定义问题
\l "_Tc156858545" 题型14 与矩形有关的规律探究问题
\l "_Tc156858546" 题型15 与矩形有关的动点问题
\l "_Tc156858547" 题型16 矩形与一次函数综合
\l "_Tc156858548" 题型17 矩形与反比例函数综合
\l "_Tc156858549" 题型18 矩形与二次函数综合
\l "_Tc156858550" 考点二 矩形的折叠问题
\l "_Tc156858551" 题型01 与矩形有关的折叠问题
\l "_Tc156858552" 类型一 沿对角线翻折（模型一）
\l "_Tc156858553" 类型二 将矩形短边顶点翻折到对角线上（模型二）
\l "_Tc156858554" 类型三 将矩形短边顶点翻折到长边上（模型三）
\l "_Tc156858555" 类型四 矩形短边沿折痕翻折（模型四）
\l "_Tc156858556" 类型五 通过翻折将矩形两个顶点重合（模型五）
\l "_Tc156858557" 类型六 将矩形短边顶点翻折到对称轴上（模型六）
\l "_Tc156858558" 类型七 将矩形翻折使其一个顶点落在一边上（模型七）
\l "_Tc156858559" 类型八 其它
考点一 矩形的性质与判定
矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.
矩形的性质：1）矩形具有平行四边形的所有性质；
2）矩形的四个角都是直角；
3）对角线互相平分且相等；
4）矩形既是中心对称图形，也是轴对称图形.矩形的对称中心是矩形对角线的交点；矩形有两条对称轴，矩形的对称轴是过矩形对边中点的直线；矩形的对称轴过矩形的对称中心.
【推论】1）在直角三角形中斜边的中线，等于斜边的一半.
2）直角三角形中，30度角所对应的直角边等于斜边的一半.
矩形的判定：1) 有一个角是直角的平行四边形是矩形；
2）对角线相等的平行四边形是矩形；
3）有三个角是直角的四边形是矩形.
【解题思路】要证明一个四边形是矩形，首先要判断四边形是否为平行四边形，若是，则需要再证明对角线相等或有一个角是直角；若不易判断，则可通过证明有三个角是直角来直接证明．
1. 对于矩形的定义要注意两点:a.是平行四边形;b.有一个角是直角.
2. 定义说有一个角是直角的平行四边形才是矩形,不要错误地理解为有一个角是直角的四边形是矩形.
题型01 利用矩形的性质求角度
【例1】（2023·广东江门·统考二模）如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，已知∠BAC=35°，则∠BOC的度数是（ ）
A．65°B．70°C．75°D．80°
【变式1-1】（2022·安徽安庆·安庆市第二中学校考三模）如图，O是矩形ABCD的对角线交点，AE平分∠BAD，∠AOD=120°，∠AEO的度数为（ ）

A．10°B．15°C．25°D．30°
【变式1-2】（2023·山西大同·统考模拟预测）翻花绳是中国民间流传的儿童游戏，在中国不同的地域，有不同的称法，如线翻花、翻花鼓、挑绷绷、解股等等，如图1是翻花绳的一种图案，可以抽象成如右图，在矩形ABCD中，IJ∥KL,EF∥GH，∠1=∠2=30°，∠3的度数为（ ）．

A．30°B．45°C．50°D．60°
【变式1-3】（2023·重庆渝中·重庆巴蜀中学校考三模）如图，矩形ABCD中，点E为CD边的中点，连接AE，过E作EF⊥AE交BC于点F，连接AF，若∠BAF=α，则∠EFC的度数为（ ）

A．αB．45°+α2C．45°-α2D．90°-α
【变式1-4】（2023·安徽合肥·校考三模）如图，a∥b，矩形ABCD的顶点B在直线a上，若∠1=34°，则∠2的度数为（ ）

A．34°B．46°C．56°D．66°
题型02 利用矩形的性质求线段长
【例2】（2022·安徽·合肥38中校考模拟预测）如图，矩形ABCD的对角线交于点O，EF经过点O且EF⊥BD，EF分别与AD，BC交于点E，F，若AB=2，BC=4，则AE等于（ ）

A．32B．2C．52D．3
【变式2-1】（2023·广西南宁·校考二模）在矩形ABCD中，AB=3，将AB绕点B顺时针旋转α（0°＜α＜90°）得到BE，连接DE，若DE的最小值为2，则BC的长为 ．

【变式2-2】（2023·海南儋州·海南华侨中学校联考模拟预测）如图，在矩形ABCD中，AB=3，AD=4，点E为对角线BD上一点，连接AE，过点E作EF⊥AE交BC于点F．连接AF交BE于点O，若AB=AE，则线段AF与BD的位置关系为 ；BF的长为 ．

【变式2-3】（2023·浙江宁波·校考一模）如图，矩形ABCD的两条对角线AC，BD相交于点O，OE⊥AB，垂足为E，F是OC的中点，连接EF交OB于点P，那么OPPB= ．

【变式2-4】（2022·陕西西安·高新一中校考模拟预测）如图，在矩形ABCD中，AB=5，BC=4，E、F分别是AD、BC的中点，点P、Q在EF上．且满足PQ=2，则四边形APQB周长的最小值为 ．

题型03 利用矩形的性质求面积
【例3】（2023·福建泉州·统考模拟预测）如图，矩形ABCD中，E，F，G，H分别在AB，BC，CD，DA上，且AE=13AB，BF=13BC，CG=13CD，DH=13DA，若矩形ABCD面积为9，则四边形EFGH的面积为( )

A．3B．4C．5D．6
【变式3-1】（2023·陕西渭南·统考二模）如图，AC是矩形ABCD的对角线，延长AB至E，使得ABBE=56，连接CE，若矩形ABCD的面积为20，则△BCE的面积为（ ）

A．16B．14C．12D．10
【变式3-2】（2023·山西太原·统考二模）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A和C分别落在y轴与x轴的正半轴上，OA=6，OC=8．若直线y=2x+b把矩形面积两等分，则b的值等于（ ）

A．5B．2C．-2D．-5
【变式3-3】（2023·江苏常州·校考一模）如图，现将四根木条钉成的矩形框ABCD变形为平行四边形木框A'B'C'D'，且A'D'与CD相交于CD边的中点E，若AB=4，BC=5，则原矩形ABCD和平行四边形A'B'C'D'重叠部分的面积是 ．
【变式3-4】（2023·湖南湘西·模拟预测）如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，P是对角线AC上一点，AP=2，连接BD，则图中阴影部分的面积为 ．

题型04 求矩形在坐标系中的坐标
【例4】（2023·河南驻马店·驻马店市第二初级中学校考二模）如图，矩形ABCD的顶点A，B分别在x轴、y轴上，OB=4，OA=3，AD=10，将矩形ABCD绕点O顺时针旋转，每次旋转90°，则第2023次旋转结束时，点D的坐标为（ ）
A．(6,5)B．(5,6)C．(-6,-5)D．(-5,-6)
【变式4-1】（2023·天津河东·统考二模）如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点A在第一象限，B，D分别在y轴上，O是BD的中点.若AB=OB=23，则点C的坐标是（ ）

A．（3，3）B．-3,-3C．(3，3）D．(-3,-3)
【变式4-2】（2022·山东聊城·校联考一模）如图，已知矩形AOBC的顶点O在坐标原点，点A的坐标是（－2，1），点B的纵坐标是3，则点C的坐标是（ ）
A．-12,4B．-23,4C．-12,25D．-23,25
【变式4-3】（2021·湖南株洲·统考一模）如图，在平面直角坐标系中，将矩形AOCD沿直线AE折叠，折叠后顶点D恰好落在边OC上的点F处．若点D的坐标为10,8，则点E的坐标为（ ）
A．10,3B．10,5C．6,3D．4,3
【变式4-4】（2023·江西萍乡·统考模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，直线y=-12x+2分别与x轴、y轴交于点A、B，点M在坐标轴上，点N在坐标平面内，若以A、B、M、N为顶点的四边形为矩形，则点N的坐标为 ．

题型05 根据矩形的性质证明
【例5】（2023·湖南娄底·统考一模）如图，已知四边形ABCD是矩形，BE⊥AC于E，DF⊥AC于F，连接DE，BF．
(1)求证：四边形BEDF是平行四边形；
(2)若AB=3，BC=4，求BE的长；
(3)求证：BE2=AE⋅EC．
【变式5-1】（2023·江西吉安·校考模拟预测）如图，在矩形ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，E是OA上一点，连接BE并延长至点F，使得∠ADF=∠ADB．

(1)求证：DF∥AC；
(2)若OE=1，求DF的长．
【变式5-2】（2023·黑龙江哈尔滨·统考模拟预测）已知，矩形ABCD中，E、F为对角线AC上两点，连接BE、DF，且BE⊥AC于E，DF⊥AC于F．

(1)如图1，求证：AE=CF；
(2)如图2，连接DE、BF，当∠ACD=2∠ABE时，请直接写出图中面积为△ABE面积3倍的所有三角形．
【变式5-3】（2023·安徽·统考模拟预测）如图，在矩形ABCD中，点E是AD的中点，连接EC，EB，过点B作EC的垂线交CD，CE于点F，G．设ADDC=m．

(1)求证：△BGC∽△BAE；
(2)如图1，连接AG，若∠GAB=30°，求m的值；
(3)如图2，若AG平分∠DAB，过点D作AG的垂线交EC，EB及CB的延长线分别于点P，H，M．若DH⋅CB=32，求EH的长．
题型06 矩形的判定定理的理解
【例6】（2023·河北沧州·模拟预测）如图为小亮在家找到的一块木板，他想检验这块木板的表面是不是矩形，但仅有一根足够长的细绳，现提供了如下两种检验方法：
下列说法正确的是（ ）
A．方法一可行，方法二不可行B．方法一不可行，方法二可行
C．方法一、二都可行D．方法一、二都不可行
【变式6-1】（2023·河北保定·统考一模）下列图形一定为矩形的是（ ）
A．B．C．D．
【变式6-2】（2022·江苏南京·统考一模）要判断一个四边形的窗框是否为矩形，可行的测量方案是（ ）
A．测量两组对边是否相等
B．测量对角线是否相等
C．测量对角线是否互相平分
D．测量对角线交点到四个顶点的距离是否都相等
【变式6-3】（2023·河北邯郸·统考一模）如图，在四边形ABCD中，给出部分数据，若添加一个数据后，四边形ABCD是矩形，则添加的数据是（ ）
A．CD=4B．CD=2C．OD=2D．OD=4
题型07 添加一个条件使四边形是矩形
【例7】（2023·湖南常德·统考模拟预测）如图，在▱ABCD中，M、N是BD上的两点，BM=DN，连接AM、MC、CN、NA．请你添加一个条件 ，使得四边形AMCN是矩形．

【变式7-1】（2022·黑龙江佳木斯·统考一模）如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，请你添加一个条件使▱ABCD成为矩形，这个条件可以是 ．

【变式7-2】（2023·山西晋城·统考一模）如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F在AC上，且AE=CF，连接BE，ED，DF，FB．若添加一个条件使四边形BEDF是矩形，则该条件可以是 ．（填写一个即可）

题型08 证明四边形是矩形
【例8】（2023·广东梅州·统考一模）如图，四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AO=OC，BO=OD，且∠AOB=2∠OAD．

(1)求证：四边形ABCD是矩形；
(2)若∠AOB:∠ODC=6:7，求∠ADO的度数．
【变式8-1】（2022·山东滨州·校考一模）如图，点C是BE的中点，四边形ABCD是平行四边形．
（1）求证：四边形ACED是平行四边形；
（2）如果AB=AE，求证：四边形ACED是矩形．
【变式8-2】（2022·广东深圳·统考一模）如图，等腰△ABC中，AB=AC，AD⊥BC交BC于D点，E点是AB的中点，分别过D，E两点作线段AC的垂线，垂足分别为G，F两点．
(1)求证：四边形DEFG为矩形；
(2)若AB=10，EF=4，求CG的长．
题型09 根据矩形的性质与判定求角度
【例9】（2021·河北唐山·统考二模）将矩形ABCD绕点A顺时针旋转α0°<α<360°，得到矩形AEFG．当GC=GB时，下列针对α值的说法正确的是（ ）
A．60°或300°B．60°或330°C．30°D．60°
【变式9-1】（2020·福建龙岩·统考模拟预测）如图，∠MON＝90°，动点A、B分别位于射线OM、ON上，矩形ABCD的边AB＝6，BC＝4，则线段OC长的最大值是（ ）
A．10B．8C．6D．5
【变式9-2】（2022·河北·一模）如图，四边形ABCD为矩形，依据尺规作图的痕迹，∠α与∠β的度数之间的关系为( )
A．β= 180-αB．β=180°-12αC．β=90°-αD．β=90°-12α
【变式9-3】（2023·河南新乡·统考一模）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=2，∠B=30°，点D、E分别在边BC、AB上，BD=2，DE∥AC，将△BDE绕点B旋转，点D、E旋转后的对应点分别是D'、E'，当A、D'、E'三点共线时，∠EBE'的度数为 ．
题型10 根据矩形的性质与判定求线段长
【例10】（2023·山东枣庄·统考三模）如图，矩形ABCD中，AB=4，BC=2，G是AD的中点，线段EF在边AB上左右滑动；若EF=1，则GE+CF的最小值为 ．
【变式10-1】（2021·广东中山·校联考一模）九年级融融陪同父母选购家装木地板，她感觉某品牌木地板拼接图（如实物图）比较美观，通过手绘（如图）、测量、计算发现点E是AD的黄金分割点，即DE≈0.618AD．延长HF与AD相交于点G，则EG≈ DE.（精确到0.001）

【变式10-2】（2022·广东广州·统考一模）如图，在矩形ABCD中，AB = 6，AD = 8，点E是CD边上的一个动点（点E不与点C重合），延长DC到点F，使EC = 2CF，且AF与BE交于点G.
(1)当EC = 4时，求线段BG的长:
(2)设CF = x，△GEF的面积为y，求y与x的关系式，并求出y的最大值:
(3)连接DG，求线段DG的最小值.
题型11 根据矩形的性质与判定求面积
【例11】（2023·甘肃白银·统考一模）在矩形ABCD中，AC、BD相交于点O，若△AOB的面积为2，则矩形ABCD的面积为（ ）
A．4B．6C．8D．10
【变式11-1】（2022·内蒙古赤峰·统考模拟预测）如图，在Rt△ABC中，点D，E，F分别是边AB，AC，BC的中点，AC＝8，BC＝6，则四边形CEDF的面积是（ ）
A．6B．12C．24D．48
【变式11-2】（2020·山东济宁·统考模拟预测）矩形ABCD的边BC上有一动点E，连接AE、DE，以AE、DE为边作平行四边形AEDF．在点E从点B移动到点C的过程中，平行四边形AEDF的面积（ ）
A．先变大后变小B．先变小后变大C．一直变大D．保持不变
【变式11-3】（2020·河北石家庄·统考模拟预测）如图，有一块四边形的铁板余料ABCD．经测量，AB＝50cm，BC=108cm，CD＝60cm，tanB＝tanC＝43，M、N边BC上，顶点P在CD上，顶点Q在AB上，且面积最大的矩形PQMN面积为 cm2．
【变式11-4】（2022·江苏无锡·统考二模）矩形ABCD中，AB=m，AD=n，连接BD，点P在线段BD上，连接AP过点P作PE⊥AP，交直线BC于点E，连接AE、PC．
(1)若m=6，n=63；
①当点E与点B重合时，求线段DP的长；
②当EB=EP时，求线段BP的长；
(2)若m=6，n=8，△PEC面积的最大值为 (直接写出答案)．
题型12 根据矩形的性质与判定解决多结论问题
【例12】（2023·河北·统考二模）如图，在四边形ABCD中，∠A=∠B=90°，AD=8cm，BC=6cm，点P从点D出发，以1cm/s的速度向点A运动，点M从点B同时出发，以相同的速度向点C运动，当其中一个动点到达端点时，两个动点同时停止运动.设点P的运动时间为t（单位：s），下列结论正确的是（ ）

A．当t=3s时，四边形ABMP为矩形B．当t=4s时，四边形CDPM为平行四边形
C．当CD=PM时，t=3sD．当CD=PM时，t=3s或5s
【变式12-1】（2022·湖南娄底·统考模拟预测）如图，在矩形ABCD中，DE平分∠ADC交BC于点E，点F是CD边上一点（不与点D重合）．点P为DE上一动点，PEA．①②B．②③C．①④D．③④
【变式12-2】（2023·山东临沂·统考二模）如图，在矩形ABCD中，AB=32,AD=6，点E，F分别是边AB，BC上的动点，点E不与A，B重合，且EF=AB，G是五边形AEFCD内满足GE=GF且∠EGF=90°的点，现给出以下结论：①∠AEG与∠GFB一定相等；②点G到边AB，BC的距离一定相等；③点G到边AD，DC的距离可能相等；④点G到边DC的距离的最小值为3，其中正确的是 （写出所有正确结论的序号）．

【变式12-3】（2022·内蒙古赤峰·模拟预测）如图，在矩形ABCD中，AB=4cm，AD=12cm，P点在AD边上以每秒1cm的速度从A向D运动，点Q在BC边上，以每秒4cm的速度从C点出发，在C、B间往返运动，两点同时出发，P点到达D点时同时停止，在这段时间内，有如下说法：
①该过程中，会出现4次PQ∥AB的时刻；
②该过程中，会出现3次四边形ABQP和四边形PQCD同时为矩形的时刻；
③该过程中，当：t=5时，四边形ABQP和四边形PQCD的面积比为6∶5；
④该过程中，矩形ABQP和PQCD面积比的最大值为4∶3．
上述说法正确的是 （填序号）．
【变式12-4】（2022·山东泰安·统考二模）如图，矩形ABCD中，O为AC中点，过点O的直线分别与AB、CD交于点E、F，连结BF交AC于点M，连结DE、BO．若∠COB＝60°，FO＝FC，则下列结论：①FB垂直平分OC；②△EOB≌△CMB；③DE＝EF；④S△AOE:S△BCM=2:3．其中正确结论的个数是（填写序号） ．

题型13 与矩形有关的新定义问题
【例13】（2023·浙江宁波·统考一模）定义：若一个矩形中，一组对边的两个三等分点在同一个反比例函数y=kx的图像上，则称这个矩形为“奇特矩形”．如图，在直角坐标系中，矩形ABCD是第一象限内的一个“奇特矩形”．且点A4,1，B7,1，则矩形ABCD的面积为 ．
【变式13-1】（2023·广西南宁·广西大学附属中学校联考一模）我们给出如下定义：在平面内，点到图形的距离是指这个点到图形上所有点的距离的最小值．在平面内有一个矩形ABCD,AB=4,AD=2，中心为O，在矩形外有一点P，OP=3，当矩形绕着点O旋转时，则点P到矩形的距离d的取值范围为 ．
【变式13-2】（2021·江西·校联考模拟预测）定义：有一组邻边相等，并且它们的夹角是直角的凸四边形叫做等腰直角四边形．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝9，P是对角线AC上一点，且AP：PC＝2：3，过点P作直线分别交边AD，BC于点E，F，使四边形ABFP是等腰直角四边形，则AE的长是 ．
题型14 与矩形有关的规律探究问题
【例14】（2022·广东中山·统考三模）如图，在矩形ABCD中，AB=1，BC=2，连接AC，以对角线AC为边，按逆时针方向作矩形ACC1B1，使矩形ACC1B1∽矩形ADCB；再连接AC1，以对角线AC1为边，按逆时针方向作矩形AC1C2B2，使矩形AC1C2B2∽矩形ACC1B1，…，按照此规律作下去，则边AC2022的长为（ ）
A．5×522022B．2×522021C．5×22022D．5×522021
【变式14-1】（2023·黑龙江鸡西·校考三模）如图，△ABC中，∠B=90°，BC=3，BC边上的高AB=1，点P1、Q1、H1分别在边AB、AC、BC上，且四边形P1Q1H1B为矩形，P1Q1:P1B=2:3，点P2、Q2、H2分别在边Q1H1、CQ1、CH1上，且四边形P2Q2H2H1为矩形，P2Q2:P2H1=2:3，……按此规律操作下去，则线段CQ2023的长度为 ．

【变式14-2】（2019·辽宁·一模）在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点B3,4，A在x轴上，C在y轴上，对角线AC、OB交于C1，以OA、OC1为邻边作▱OAB1C1，对角线AC1、OB1交于C2，以OA、OC2为邻边作▱OAB2C2，对角线AC2、OB2交于C3，以OA、OC3为邻边作▱OAB3C3，对角线AC3、OB3交于C4，…，按上述规律作下去，Bn的坐标为 .

题型15 与矩形有关的动点问题
【例15】（2023·新疆乌鲁木齐·统考模拟预测）如图，矩形ABCD中，AB=3，BC=5，点P是BC边上的一个动点（点P与点B,C都不重合），现将△PCD沿直线PD折叠，使点C落到点F处；过点P作∠BPF的角平分线交AB于点E．设BP=x，BE=y，则下列图象中，能表示y与x的函数关系的图象大致是（ ）
A．B．C．D．
【变式15-1】（2023·广东潮州·二模）如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°,∠A=30°，AB的长为a，动点D在AB边上从点A向点B运动，过点D作DE⊥AC,DF⊥BC，垂足分别为E，F，设AD的长为x，矩形CEDF的面积为y，y随x变化的关系图象如图2所示，其中点P为图象的最高点，且纵坐标为3，则a的值为（ ）
A．2B．4C．6D．8
【变式15-2】（2023·广东清远·统考二模）如图，已知四边形ABCD为矩形，AB=8,AD=6,F是BC边上一动点，O是AC的中点，OE⊥OF交AB于E，连接EF、OB．若OB将△OEF的面积分成1:2的两部分，则BF的长为 ．
【变式15-3】（2023·广东茂名·统考二模）如图，在矩形ABCD中，已知AB=122，BC=162，点P是边BC上一动点（点P不与点B，C重合），连接AP，作点B关于直线AP的对称点M，连接MP，作∠MPC的角平分线交边CD于点N，则线段MN的最小值为 ．
【变式15-4】（2024·上海普陀·统考一模）如图，在矩形ABCD中，AB=2，BC=4，E是边BC延长线上一点，过点B作BM⊥DE，垂足为点M，联结CM，设CE=a(0(1)求证∶△DCE∽△BME；
(2)∠CME的大小是否是一个确定的值？如果是，求出．∠CME的正切值；如果不是，那么用含字母a的代数式表示∠CME的正切值；
(3)P是边AD上一动点(不与点A、D重合)，联结PB、PM．随着点P位置的变化，在△PBM中除∠BPM外的两个内角是否会有与∠CME相等的角，如果有，请用含字母a的代数式表示此时线段AP的长；如果没有，请说明理由．
题型16 矩形与一次函数综合
【例16】（2022·陕西西安·校考模拟预测）如图，一次函数y=-2x+6的图象交x轴于点A，交y轴于点B，点P在线段AB上(不与点A，B重合)，过点P分别作OA和OB的垂线，垂足为C，D．当矩形OCPD的面积为4时，点P的坐标为( )

A．(2，2)B．12，5C．(1，4)或12，5D．(1，4)或(2，2)
【变式16-1】（2018·江苏盐城·校联考二模）已知平面上四点A（0，0）、B（10，0）、C（10，6）、D（0，6），一次函数y＝kx﹣1的图象将四边形ABCD分成面积相等的两部分，则k的值为 ．
【变式16-2】（2022·广东深圳·模拟预测）如图，ABCD是一矩形纸片，E是AB上的一点，且BE:EA=5:3，EC=155，把ΔBCE沿折痕EC向上翻折，若点B恰好落在AD边上，设这个点是F，以点A为原点，以直线AD为x轴，以直线BA为y轴，则过点F、点C的一次函数解析式为： ．
题型17 矩形与反比例函数综合
【例17】（2023·江苏泰州·校考三模）如图，已知矩形ABCD的对角线BD中点E与点B、F都在反比例函数y=kx的图象上，则DFFC的值为（ ）

A．14B．13C．12D．23
【变式17-1】（2023·辽宁锦州·统考一模）如图，矩形OABC的顶点A，C分别在x轴，y轴的正半轴上，点B在第一象限，反比例函数y=kx(x>0)的图象交矩形的对角线OB于点D，分别交BC，AB于点E，F，连接DE，DF．若OD=2BD，S四边形EDFB=2，则k= ．

【变式17-2】（2021·广东深圳·深圳市宝安中学（集团）校考二模）如图，在平面直角坐标系中，C，A分别为x轴、y轴正半轴上的点，以OA，OC为边，在第一象限内作矩形OABC，且S矩形OABC=82，将矩形OABC翻折，使点B与原点重合，折痕为MN，点C的对应点C'落在第四象限，过M点的反比例函数y=kx k≠0，其图象恰好过MN的中点，则点M的坐标为 ．

【变式17-3】（2023·河南安阳·统考模拟预测）如图，矩形AOBC中，OB=3，点D，E分别在AC，BC上，且CD=CE=2，反比例函数y=kxx>0的图象经过D，E两点

(1)请用含k的式子表示点D，C，E的坐标：点D________，点C________，点E________；
(2)利用（1）的结论，求反比例函数的解析式；
(3)连接OD，OE，DE，求△ODE的面积
【变式17-4】（2023·山东济南·统考二模）如图，一次函数y=12x+a的图象与反比例函数y=kxx>0的图象交于点A(4，3)，与y轴交于点B．

(1)求a，k的值；
(2)点C在反比例函数图象上，直线CA与x轴交于点D，AC=AD，连接CB，求△ABC的面积；
(3)点E在x轴上，点F是坐标系内一点，当四边形AEBF为矩形时，求点E的坐标．
【变式17-5】（2023·河南南阳·校考三模）如图，平面直角坐标系中，某图形W由线段AB，BC，DE，EF，AF和反比例函数图象的一段CD构成，其中，A-4,0，B4,0，∠FAB=∠CBA=90°，DE=3，AF=BC=1，DE∥x轴且点E的纵坐标为4，设直线EF的解析式为y=ax+b，双曲线CD的解析式为y=kx．点P为双曲线CD上一个动点，过点P作PG⊥y，垂足为G，交EF于点Q，以PQ为边在图形W内部作矩形PQNM，MN在x轴上．
(1)求直线EF和双曲线CD的解析式；
(2)若GO分矩形PQNM的面积比为2：1，求出点P的坐标．
题型18 矩形与二次函数综合
【例18】（2023·江苏无锡·统考一模）如图，已知二次函数y=x2+mx+8的图像交y轴于点A，作AB平行于x轴，交函数图像于另一点B（点B在第一象限）．作BC垂直于x轴，垂足为C，点D在BC上，且CD=13BD．点E是线段AB上的动点（B点除外），将△DBE沿DE翻折得到△DB'E．
(1)当∠BED=60°时，若点B'到y轴的距离为3，求此时二次函数的表达式；
(2)若点E在AB上有且只有一个位置，使得点B'到x轴的距离为3，求m的取值范围．
【变式18-1】（2023·安徽黄山·校考模拟预测）如图，若二次函数y=ax2+bx+4的图象与x轴交于点A-1，0、B4，0，与y轴交于点C，连接BC．
(1)求该二次函数的解析式；
(2)若点Q是抛物线上一动点，在平面内是否存在点K，使以点B、C、Q、K为顶点，BC为边的四边形是矩形？若存在请求出点K的坐标；若不存在，请说明理由．
【变式18-2】（2021·吉林延边·校考一模）如图，二次函数y=-x2 +2x+m的图象与x轴的一个交点为A(3，0)，另一个交点为B．且与y轴交于点C．
（1）求m的值；
（2）求点B的坐标；
（3）该二次函数图象上有一点D(x，y)(其中x>0，y>0)，且S△ABD=S△ABC，求点D的坐标；
（4）若点P在直线AC上，点Q是平面内一点，是否存在点Q，使以点A、B、P、Q为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【变式18-3】（2021·江苏苏州·统考一模）对于二次函数y=x2-3x+2和一次函数y=-2x+4，把y=tx2-3x+2+(1-t)(-2x+4)称为这两个函数的“再生二次函数”，其中t是不为零的实数，其图像记作抛物线E，现有点A(2,0)和抛物线E上的点B-1,n，请完成下列任务；
【尝试】判断点A是否在抛物线E上．
【发现】对于t取任何不为零的实数，抛物线E总过定点，坐标为_______．
【应用】以AB为边作矩形ABCD，使得其中一个顶点落在y轴上：若抛物线E经过A，B，C，D其中的三点，求出所有符合条件的t的值．
考点二 矩形的折叠问题
矩形的折叠问题的常用解题思路：
1）对折叠前后的图形进行细致分析，折叠后的图形与原图形全等，对应边、对应角分别相等，找出各相等的边或角；
2）折痕可看作角平分线（对称线段所在的直线与折痕的夹角相等）．
3) 折痕可看作垂直平分线（互相重合的两点之间的连线被折痕垂直平分）.
4）选择一个直角三角形(不找以折痕为边长的直角三角形)，利用未知数表示其它直角三角形三边，通过勾股定理/相似三角形知识求解.
模型一： 思路：

模型二： 思路：

模型三： 思路：


尝试借助一线三垂直知识利用相似的方法求解
模型四： 思路：
模型五： 思路：
模型六：点M,点N分别为DC，AB中点 思路：

模型七：点A’为BC中点 思路： 过点F作FH⊥AE，垂足为点H
设AE=A’E=x，则BE=8-x
由勾股定理解得x=174 ∴BE=154
由于△EBA’∽△A’CG∽△FD’G
∴A’G=3415 CG=1615 GD’=2615
DF=D’F=AH=134 HE=1 EF=17
题型01 与矩形有关的折叠问题
类型一 沿对角线翻折（模型一）
【例1】（2023·陕西·模拟预测）如图，在矩形纸片ABCD中，AB=5，BC=3，将△BCD沿BD折叠到△BED位置，DE交AB于点F，则cs∠ADF的值为（ ）
A．817B．715C．1517D．815
【变式1-1】（2023·山东淄博·统考一模）如图，将矩形ABCD沿对角线AC折叠，点B的对应点为E，AE与CD交于点F．
(1)求证：△DAF≌△ECF；
(2)若∠FCE=40°，求∠CAB的度数．
【变式1-2】（2018·广东河源·校考一模）如图，将矩形ABCD沿对角线AC翻折，点B落在点E处，FC交AD于F．
（1）求证：△AFE≌△CDF；
（2）若AB=4，BC=8，求图中阴影部分的面积．

类型二 将矩形短边顶点翻折到对角线上（模型二）
【例2】（2023·山东青岛·青岛大学附属中学校考二模）如图，已知BD是矩形ABCD的对角线，AB＝6，BC＝8，点E，F分别在边AD，BC上，连结BE，DF．将△ABE沿BE翻折，将△DCF沿DF翻折，若翻折后，点A，C分别落在对角线BD上的点G，H处，连结GF．则下列结论不正确的是（ ）
A．BD＝10B．HG＝2C．EG∥FHD．GF⊥BC
【变式2-1】（2021·浙江衢州·校考一模）如图是一张矩形纸片，点E在AB边上，把△BCE沿直线CE对折，使点B落在对角线AC上的点F处，连接DF．若点E，F，D在同一条直线上，AE＝2，则DF＝ ，BE＝ ．
【变式2-2】（2018·湖南娄底·统考一模）如图，在矩形纸片ABCD中，AB=12，BC=5，点E在AB上，将△DAE沿DE折叠，使点A落在对角线BD上的点A'处，则AE的长为 ．

【变式2-3】（2019·湖南株洲·统考一模）如图，矩形纸片ABCD中，已知AD=8，折叠纸片使AB边与对角线AC重合，点B落在点F处，折痕为AE，且EF=3，则AB的长为 ．
类型三 将矩形短边顶点翻折到长边上（模型三）
【例3】（2023·河北石家庄·校联考一模）如图，在矩形ABCD中，点M在AB边上，把△BCM沿直线CM折叠，使点B落在AD边上的点E处，连接EC，过点B作BF⊥EC，垂足为F，若CD=1,CF=2，则线段AE的长为（ ）
A．5-2B．3-1C．13D．12
【变式3-1】（2020·河南·模拟预测）如图，在矩形ABCD中，点E在DC上，将矩形沿AE折叠，使点D落在BC边上的点F处．若AB＝3，BC＝5，则tan∠DAE的值为（ ）
A．12B．920C．25D．13
【变式3-2】（2022·四川达州·统考一模）如图，在矩形ABCD中，AB＝5，AD＝3，点E为BC上一点，把△CDE沿DE翻折，点C 恰好落在AB边上的F处，则CE的长是（ ）
A．1B．43C．32D．53
【变式3-3】（2021·四川广安·校考二模）在矩形ABCD的CD边上取一点E，将ΔBCE沿BE翻折，使点C恰好落在AD边上点F处．
（1）如图1，若BC=2BA，求∠CBE的度数；
（2）如图2，当AB=5，且AF⋅FD=10时，求BC的长；
（3）如图3，延长EF，与∠ABF的角平分线交于点M，BM交AD于点N，当NF=AN+FD时，求ABBC出的值．
类型四 矩形短边沿折痕翻折（模型四）
【例4】（2021·山东聊城·统考一模）如图，在矩形ABCD中，AB＝5，BC＝6，点M，N分别在AD，BC上，且AM＝BN，AD＝3AM，E为BC边上一动点，连接DE，将△DCE沿DE所在直线折叠得到△DC′E，当C′点恰好落在线段MN上时，CE的长为（ ）
A．52或2B．52C．32或2D．32
【变式4-1】（2023·广西·模拟预测）如图，在矩形纸片ABCD中，点E在BC边上，将△CDE沿DE翻折得到△FDE，点F落在AE上．若CE=3cm，AF=2EF，则AB= cm．
【变式4-2】（2019·黑龙江大庆·中考模拟）如图，在矩形ABCD中， AB=3，BC=2，点E为线段AB上的动点，将△CBE沿 CE折叠，使点B落在矩形内点F处，则AF的最小值为 ．
【变式4-3】（2021·黑龙江佳木斯·统考二模）矩形纸片ABCD，长AD=8cm，宽AB=4cm，折叠纸片，使折痕经过点B，交AD边于点E，点A落在点A'处，展平后得到折痕BE，同时得到线段BA'，EA'，不再添加其它线段，当图中存在30∘角时，AE的长为 厘米．
类型五 通过翻折将矩形两个顶点重合（模型五）
【例5】（2022·江苏无锡·校联考一模）如图，在平面直角坐标系中，C，A分别为x轴、y轴正半轴上的点，以OA，OC为边，在第一象限内作矩形OABC，且S矩形OABC＝22，将矩形OABC翻折，使点B与原点O重合，折痕为MN，点C的对应点C'落在第四象限，过M点的反比例函数y＝kx（k≠0）的图象恰好过MN的中点，则k的值为 ，点C'的坐标为 ．
【变式5-1】（2023·江苏徐州·统考一模）如图，将矩形纸片ABCD折叠，使点B与点D重合，点A落在点P处，折痕为EF．
(1)求证：△PDE≌△CDF；
(2)若CD=4cm,EF=5cm，求BC的长．
【变式5-2】（2022·江苏徐州·模拟预测）如图，将一张长方形纸片ABCD沿E折叠，使C,A两点重合．点D落在点G处．已知AB=4，BC=8．
（1）求证：ΔAEF是等腰三角形；
（2）求线段FD的长．
类型六 将矩形短边顶点翻折到对称轴上（模型六）
【例6】（2023·河南信阳·校考三模）如图，在矩形ABCD中，AB=6，BC=10，将矩形翻折，使边AD与边BC重合，展开后得到折痕MN，E是AD的中点，动点F从点D出发，沿D→C→B的方向在DC和CB上运动，将矩形沿EF翻折，点D的对应点为G，点C的对应点为C'，当点G恰好落在MN上时，点F运动的距离为 ．

【变式6-1】（2022·福建福州·福建省福州屏东中学校考一模）如图，在矩形ABCD中，E、F分别为AD、BC的中点，将△ADM沿AM所在直线折叠，使点D落到EF上点G处，已知BC＝4，则线段EG的长度为 ．
【变式6-2】（2023·河南南阳·校联考一模）【初步探究】
（1）把矩形纸片ABCD如图①折叠，当点B的对应点B'在MN的中点时，填空： △EB'M △B'AN（“≌”或“∽”）．
【类比探究】
（2）如图②，当点B的对应点B'为MN上的任意一点时，请判断（1）中结论是否成立？如果成立，请写出证明过程；如果不成立，请说明理由．
【问题解决】
（3）在矩形ABCD中，AB=4,BC=6，点E为BC中点，点P为线段AB上一个动点，连接EP，将△BPE沿PE折叠得到△B'PE，连接DE,DB'，当△EB'D为直角三角形时，BP的长为 ．
【变式6-3】（2021·甘肃兰州·统考模拟预测）[问题解决]
（1）如图①，在矩形纸片ABCD中，E是BC边的中点，将△ABE沿AE折叠得到△AFE，点B的对应点F恰好落在AD边上，请你判断四边形ABEF的形状，并说明理由；
[问题探索]
（2）如图②，在矩形纸片ABCD中，E是BC边的中点，将△ABE沿AE折叠得到△AFE，点B的对应点F在矩形纸片ABCD的内部，延长AF交CD于点G，求证：FG＝CG；
[拓展应用]
（3）如图③，在正方形纸片ABCD中，E是BC边的中点，将△ABE沿AE折叠得到△AFE，点B的对应点F落在正方形纸片ABCD内，延长AF交CD于点G，若AB＝4，求线段FG的长．
类型七 将矩形翻折使其一个顶点落在一边上（模型七）
【例7】（2022·辽宁沈阳·沈阳市第七中学校考模拟预测）如图，在矩形纸片ABCD中，AB=7，BC=9，M是BC上的点，且CM=2．将矩形纸片ABCD沿过点M的直线折叠，使点D落在AB上的点P处，点C落在点C'处，折痕为MN，则线段PA的长是（ ）
A．4B．5C．6D．25
【变式7-1】（2023·四川巴中·校考一模）如图，在矩形ABCD中ABBC=23．动点M从点A出发，沿边AD向点D匀速运动，动点N从点B出发，沿边BC向点C匀速运动，连接MN．动点M，N同时出发，点M运动的速度为v1，点N运动的速度为v2，且v1【变式7-2】（2022·内蒙古包头·二模）如图，在矩形纸片ABCD中，AB=7，BC=9，M是BC上的点，且CM=2，将矩形纸片ABCD沿过点M的直线折叠，使点D落在AB上的点P处，点C落在点C'处，折痕为MN，则线段PA的长是 ．
【变式7-3】（2022·云南·云大附中校考一模）如图，四边形ABCD是矩形．
(1)如图1，E、F分别是AD、CD上的点，BF⊥CE，垂足为G，连接AG．
①求证：CEBF=CDBC．
②若G为CE的中点，∠DAG＝∠CBG，求证：sin∠AGB=CEBF；
(2)如图2，将矩形ABCD沿MN折叠，点A落在点R处，点B落在CD边的点S处，连接BS交MN于点P，Q是RS的中点，若AB＝2，BC＝3，求PS+PQ的最小值．
类型八 其它
【例8】（2023·辽宁沈阳·沈阳市南昌初级中学（沈阳市第二十三中学）校考三模）如图，四边形ABCD为矩形，AB=2,AD=3，点E为边BC上一点，将△DCE沿DE翻折，点C的对应点为点F，过点F作DE的平行线交AD于点G，交直线BC于点H．若点G是边AD的三等分点，则FG的长是 ．
【变式8-1】（2022·广东佛山·统考一模）如图是一张矩形纸片ABCD，点M是对角线AC的中点，点E在BC边上，把△DCE沿直线DE折叠，使点C落在对角线AC上的点F处，连接DF，EF．若MF=AB，则∠DAF= 度．
【变式8-2】（2021·广东·统考一模）如图，在矩形ABCD中，AD＜2AB，点E是AD的中点，连接BE，将△ABE沿BE折叠后得到△GBE，延长BG交DC于点F，连接EF．
(1)求证：△EGF≌△EDF；
(2)若点F是CD的中点，BC＝8，求CD的长．
【变式8-3】（2022·广东广州·统考一模）如图，矩形ABCD中AB=10，AD=6，点E为AB边上的动点（不与A，B重合），把△ADE沿DE翻折，点A的对应点为G，延长EG交直线DC于点F，再把△BEH沿EH翻折，使点B的对应点T落在EF上，折痕EH交直线BC于点H．
(1)求证：△GDE∽△TEH；
(2)若点G落在矩形ABCD的对称轴上，求AE的长；
(3)是否存在点T落在DC边上？若存在，求出此时AE的长度，若不存在，请说明理由．
【变式8-4】（2023·陕西西安·高新一中校考模拟预测）【教材呈现】下图是华师版八年级下册数学教材第121页的部分内容．
【问题解决】（1）如图①，已知矩形纸片ABCDAB>AD，将矩形纸片沿过点D的直线折叠，使点A落在边DC上，点A的对应点为A'，折痕为DE，点E在AB上．求证：四边形AEA'D是正方形．
【规律探索】（2）由【问题解决】可知，图①中的ΔA'DE为等腰三角形．现将图①中的点A'沿DC向右平移至点Q处（点Q在点C的左侧），如图②，折痕为PF，点F在DC上，点P在AB上，那么ΔPQF还是等腰三角形吗？请说明理由．
【结论应用】（3）在图②中，当QC=QP时，将矩形纸片继续折叠如图③，使点C与点P重合，折痕为QG，点G在AB上．要使四边形PGQF为菱形，则ADAB=___________．考点要求
新课标要求
命题预测
矩形的性质与判定
探索并证明矩形的性质定理.
探索并证明矩形的判定定理.
矩形是特殊平行四边形中比较重要的图形，也是几何图形中难度比较大的几个图形之一，年年都会考查，预计2024年各地中考还将出现. 其中，矩形还经常成为综合压轴题的问题背景来考察，而矩形其他出题类型还有选择、填空题的压轴题，难度都比较大，需要加以重视.解答题中考查特殊四边形的性质和判定，一般和三角形全等、解直角三角形、二次函数、动态问题综合应用的可能性比较大．
矩形的折叠问题