安徽省阜阳市2023-2024学年九年级上学期第二次联考数学试题

这是一份安徽省阜阳市2023-2024学年九年级上学期第二次联考数学试题，共20页。试卷主要包含了选择题，填空题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分，每小题都给出A，B，C，D四个选项，其中只有一个是符合题目要求的）
1．下列标志图中，既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
2． 将关于x的一元二次方程x2+x−1=2(x−3)化成一般形式后，一次项系数和常数项分别为（ ）
A．1，−4B．−1，5C．−1，−5D．1，−6
3．把抛物线y=(x−2)2+3先向左平移3个单位长度，再向下平移5个单位长度，则经过这两次平移后所得抛物线的顶点坐标是（ ）
A．(−1，2)B．(1，−2)C．(−1，−2)D．(1，2)
4．如图，已知点C为⊙O上一点，OC平分弦AB，连接OA，OB，BC．若∠A=40°，则∠C的度数是（ ）
A．65°B．60°C．55°D．50°
5．在一只不透明的口袋中放入除颜色外规格完全相同的白球x个，黑球8个，黄球4个，搅匀后随机从中摸取一个恰好是白球的概率为13，则x的值为（ ）
A．4B．5C．6D．7
6．如图，在△ABC中，已知∠ACB=90°，将△ABC绕点C顺时针旋转得到△EDC，使点B的对应点D恰好落在AB边上，AC，ED交于点F．若∠BCD=40°，则∠AFE的度数是（ ）
A．50°B．60°C．65°D．70°
7．如图，已知⊙O的半径为9，AB是直径，AC是弦，D是AC的中点，连接OD、AC分别与BD，OD交于点E，F，若点E是BD的中点，则DF的长是（ ）
A．7B．6C．4D．3
8．如图，在正方形ABCD中，AB=5，E为AB边上一点，点F在BC边上，且BF=1，将点E绕着点F顺时针旋转90°得到点G，连接DG，则DG的长的最小值为（ ）
A．2.5B．3C．10D．4
9．已知二次函数y=x2+2(a−2)x−a+2的图象与x轴最多有一个公共点，且二次函数y=a2−2ab−3的最小值为3，则b的值为（ ）
A．−12B．32或−32C．−52或−32D．−52
10．已知△ABC是边长为3的等边三角形，⊙A的半径为1，D是BC上一动点，DM，DN分别与⊙A相切于点M，N，⊙A的另一条切线EF交DM，DN于点E，F，切点为G，则△DEF周长l的取值范围是（ ）
A．42≤l≤6B．4≤l≤23C．23≤l≤42D．42≤l≤210
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11．如图，这是一个简单的数值运算程序，则输入x的较小值为 ．
12．已知点P(m−n，1)与点Q(5，m+n)关于原点对称，则nm的值为 ．
13．如图，在矩形ABCD中，AB=9，AD=8，点E，F分别是边AB，AD上的两点，连接EF，以EF为直径的半圆分别与矩形的另外两边相切，则图中阴影部分的周长为 （结果保留π）
14．已知二次函数y=−x2+2ax−a2+a−1的顶点M在第一象限．
⑴点M的坐标是 ．（用含a的式子表示）
⑵若抛物线与x轴交于A，B两点，连接AM，BM，∠AMB=90°，则a的值是 ．
三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
15．解方程：x2−32=4x．
16．如图，在8×8的网格中，点O及△ABC的顶点A，B，C均在网格的格点上．
（1）将△ABC绕点A逆时针旋转90°得到△AB1C1，请画出△AB1C1；
（2）若△ABC与△A2B2C2关于点O成中心对称，请画出△A2B2C2，
四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17．如图，在正方形ABCD中，AB=23，点F为CB延长线上一点，连接AF，且∠BAF=30°，把△ABF绕点A逆时针旋转90°至△ADE的位置，点E恰好落在边CD上，求线段EF的长．
18．小明将四张正面分别标有数字−3，−1，1，3的卡片（除数字外其他都相同）置于暗箱内摇匀，从中随机抽取两张，求所抽卡片上的数字至少有一个是方程x2−2x−3=0的解的概率．
五、（本大题共2小题，每小题10分，㴖分20分）
19．已知抛物线y=ax2+bx+c(a，b，c是常数，c<0)经过(1，1)，(m，0)，(n，0)三点，且n≥3．
（1）求证：b>0；
（2）若关于x的一元二次方程ax2+bx+c=x有两个相等的实数根，求m的取值范围．
20．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，以斜边AB上的一点O为圆心，以OA为半径作⊙O，与边BC交于点D，与边AC交于点E，连接AD，且AD平分∠BAC．
（1）求证：BC是⊙O的切线；
（2）若∠BAC=60°，OA=2，求阴影部分的面积．（结果保留π）
六、（本题满分12分）
21．2023年9月26日，第十四届中国（合肥）国际园林博览会正式开幕．吉祥物“小喜”，以合肥市鸟喜鹊为原型，活泼可爱、神情欢快，突出了地域特色，也体现了合肥开放包容、热情友好的城市气质．某商家新开发了一款“小喜”玩偶套装，每套成本为30元，规定销售单价不低于成本且不高于52元，且为整数．销售一段时间发现，每天的销售量y（套）与售价x（元/套）满足一次函数关系，部分数据如表所示．
（1）请求出y与x之间的函数关系式；
（2）若每天销售所得利润为1200元，那么售价应定为每套多少元？
（3）若要使每天销售所得利润不低于1200元，请写出所能确定的售价x的值．
七、（本题满分12分）
22．如图，在⊙O中，AB为直径，CD⊥AB于点E，点F为⊙O上一点，点D关于CF的对称点G恰好在直径AB上，连接CG，DG，AF，DB．
（1）求证：△CGD是等边三角形；
（2）若⊙O的半径为2，∠ABC=67.5°，求劣弧CD的长；
（3）若BD=6，AE：BE=5：1，求EG的长．
八、（本题满分14分）
23．如图，已知抛物线y=ax2+bx+3(a≠0)交x轴于A(−2，0)，B(3，0)两点，交y轴于点C，直线y=kx+m(k<0)与抛物线交于点M，N（点M在点N的右侧），交y轴于点P．
（1）求抛物线的解析式及顶点坐标；
（2）若m=5，点M，N均在第一象限，且△CMN的面积为3，求k的值；
（3）若m=−3k，且点M在第四象限，直线AN交y轴于点Q，求CPCQ的取值范围．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A、 是中心对称图形，但不是轴对称图形 ，故不符合题意；
B、既是中心对称图形，又是轴对称图形， 故符合题意；
C、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故不符合题意；
D、既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故不符合题意.
故答案为：B.
【分析】中心对称图形：把一个图形绕着某一点旋转180°后，旋转后的图形能够与原来的图形重合，轴对称图形：一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形；据此逐一判断即可.
2．【答案】B
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】解：x2+x−1=2(x−3)
x2+x−1=2x−6
x2+x−1−2x+6=0
x2−x+5=0，
∴将关于x的一元二次方程x2+x−1=2(x−3)化成一般形式后，一次项系数和常数项分别为−1,5，
故答案为：B．
【分析】根据一元二次方程的一般式求解。把原方程先去括号，然后移项，合并同类项，化为一般式即可得到答案．
3．【答案】C
【知识点】二次函数图象的几何变换
【解析】【解答】解：抛物线y=(x−2)2+3的顶点坐标为(2,3)，
将抛物线y=(x−2)2+3先向左平移3个单位长度，再向下平移5个单位长度，
所得抛物线的顶点坐标为(2−3,3−5)，即(−1,−2)，
故答案为：C．
【分析】根据二次函数图象的平移规律求解。先确定原抛物线的顶点坐标，根据平移得到平移后抛物线的顶点坐标．
4．【答案】A
【知识点】等腰三角形的性质；垂径定理
【解析】【解答】解：∵OC平分弦AB，
∴OC⊥AB，
∵OA=OB，
∴∠AOC=∠BOC=90°−∠A=50°，
∵OC=OB，
∴∠C=180°−50°2=65°，
故答案为：A．
【分析】根据垂径定理，等腰三角形的性质求解。由OC平分弦AB，得到OC⊥AB，结合OA=OB，得到∠AOC=∠BOC=50°，结合等腰三角形的性质计算．
5．【答案】C
【知识点】概率公式；概率的简单应用
【解析】【解答】解：由题意知：xx+8+4=13，
化为整式方程，得x+8+4=3x，
解得x=6，
经检验，x=6是分式方程的解，
故x的值为6，
故答案为：C．
【分析】根据概率求数量，利用概率公式列分式方程，解方程即可．
6．【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；旋转的性质
【解析】【解答】解：由旋转的性质可知，BC=CD，∠B=∠CDE，
∴∠B=∠BDC，
∵∠BCD=40°，
∴∠B=∠BDC=12(180°−∠BCD)=70°，
∴∠CDF=70°，
∵∠ACB=90°，
∴∠DCF=∠ACB−∠BCD=50°，
∴∠AFE=∠CFD=180°−70°−50°=60°．
故答案为：B．
【分析】利用旋转的性质可得BC=CD，∠B=∠CDE，根据三角形内角和定理可算出∠B=∠BDC=12(180°−∠BCD)=70°，由∠ACB=90°，∠BCD=40°可算出∠DCF=50°，由三角形内角和即可求解．
7．【答案】B
【知识点】三角形全等及其性质；垂径定理；三角形全等的判定-ASA；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：连接BC，
∵D是AC的中点，连接OD，
∴OD垂直平分AC，
∵点O和F分别是AB、AC的中点，
∴OF∥BC，OF=12BC，
∴∠D=∠CBE，
∵点E是BD的中点，
∴BE=DE，
又∵∠DEF=∠BEC，
∴△DEF≌△BEC(ASA)，
∴DF=BC，
∴OF=12DF，
∵⊙O的半径为9，
∴OF+DF=12DF+DF=32DF=9，
∴DF=6，
故答案为：B
【分析】根据垂径定理、三角形中位线定理、全等三角形的判定和性质求解。连接BC，由垂径定理证明OD垂直平分AC，由点O和F分别是AB、AC的中点得到OF∥BC，OF=12BC，再证明△DEF≌△BEC(ASA)，得到DF=BC，则OF=12DF，由OF+DF=12DF+DF=32DF=9即可得到DF的长．
8．【答案】D
【知识点】正方形的性质；旋转的性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：过点G作GH⊥BC，垂足为H，
∴∠GHF=90°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=CD=5，∠B=90°，
∴∠B=∠GHF=90°，
由旋转得：EF=FG，∠EFG=90°，
∴∠EFB+∠GFH=90°，
∵∠BEF+∠BFE=90°，
∴∠BEF=∠GFH
∴△EBF≌△FHG(AAS)，
∴BF=GH=1，
∴点G在与BC平行且与BC的距离为1的直线上，
∴当点G在CD边上时，DG最小且DG=5−1=4，
∴DG的最小值为4，
故答案为：D．
【分析】根据正方形的性质、全等三角形的判定和性质求解。过点G作GH⊥BC，垂足为H，可得∠GHF=90°，由正方形的性质可得AB=CD=5，∠B=90°，由旋转的性质可得EF=FG，∠EFG=90°，利用同角的余角相等可得∠BEF=∠GFH，从而可证△EBF≌△FHG，进而可得BF=GH=1，最后可得点G在与BC平行且与BC的距离为1的直线上，从而可得当点G在边CD上时，DG的值最小，计算即可。
9．【答案】D
【知识点】二次函数与一元二次方程的综合应用
【解析】【解答】解：∵二次函数y=x2+2(m−2)x−m+2的图象与x轴最多有一个公共点，
∴Δ=[2(m−2)]2−4(−m+2)≤0
化简得m2−3m+2≤0
解得：1≤m≤2，
∵y=m2−2tm−3=(m−t)2−t2−3，
∵a=1>0，抛物线开口向上，
当t<1时，∵1≤m≤2，y随m增大而增大，
∴m=1时y值最小，此时最小值为(1−t)2−t2−3=−2t−2
∵y=m2−2tm−3的最小值为3，
∴−2t−2=3
解得：t=−52；
当1≤t≤2时，
当m=t时，y有最小值−t2−3
∵y=m2−2tm−3的最小值为3，
∴−t2−3=3
此时t无解；
当t>2时，∵1≤m≤2，y随m增大而减小，
∴m=2 ，y值最小，此时最小值为(2−t)2−t2−3=−4t+1
∵y=m2−2tm−3的最小值为3，
∴−4t+1=3
解得t=−12（舍去）；
综上，若y=m2−2tm−3的最小值为3，则t=−52．
故答案为：D．
【分析】根据一次函数与x轴交点问题，二次函数图象性质，二次函数的最值求解．由二次函数y=x2+2(m−2)x−m+2的图象与x轴最多有一个公共点，得Δ=[2(m−2)]2−4(−m+2)≤0，求得1≤m≤2，再根据y=m2−2tm−3的最小值为3，分类讨论求出t值．
10．【答案】C
【知识点】垂线段最短及其应用；切线的性质；切线长定理
【解析】【解答】解：如图，连接AD，AN.∵DM，DN分别切⊙A于点M，N，∴DM=DN，AN⊥DN．
同理EM=EG，FN=FG，∴△DEF的周长l=DE+DF+EF=DE+ME+DF+FN=DM+DN=2DN．
在Rt△AND中，DN=AD2−AN2，∴点D与点B或点C重合时，DN取得最大值．∵AB=BC=AC=3，∴DN=AD2−AN2=32−12=22，∴2DN=42；
当点D是BC的中点时，DN取得最小值．∵△ABC是等边三角形，∴BD=CD=32．
在Rt△ABD中，AD=AB2−BD2=32−(32)2=332，∴DN=AD2−AN2=(332)2−12=232，
∴2DN=23，∴23≤l≤42．
故答案为：C．
【分析】根据切线长定理和切线的性质求解。连接AD，AM，由切线长定理和切线性质、勾股定理求得l=2AD2−1，根据垂线段最短可得，当AD⊥BC时，AD最小，求出AD最小值为332，当点D与点B（或C）重合时，AD最长，此时AD=3，即可得出332≤AD≤3，从而可求得l最大与是最小值，即可得出答案．
11．【答案】-1
【知识点】直接开平方法解一元二次方程；求代数式的值-程序框图
【解析】【解答】解：由题意，得(x−2)2×3=27
x−2=±3
即x=5或−1
∴输入x的较小值为−1
故答案为：−1
【分析】根据程序图、一元二次方程的解法求解。由程序图可列方程(x−2)2×3=27，解方程即可．
12．【答案】18
【知识点】关于原点对称的点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵点P(m−n,1)与点Q(5,m+n)关于原点对称，
∴m−n=−5m+n=−1，
解得m=−3n=2，
∴nm=(2)−3=18，
故答案为：18．
【分析】根据关于原点对称的点的坐标特点，解二元一次方程方程组，负整指数幂运算法则求解。先利用关于原点对称的点的坐标特征：两个点关于原点对称，它们的横坐标、纵坐标各互为相反数，得到方程组m−n=−5m+n=−1，解之求出m、n的值，代入算式计算即可求解．
13．【答案】20+5π
【知识点】矩形的性质；切线的性质；扇形面积的计算；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：如下图，设EF中点为O，半圆与BC相切于点G，与CD相切于点N，连接GO、NO并延长，交AD、AB于点H、M，连接OA，
即点O为半圆圆心，
设半圆的半径为r，即OE=OF=ON=OG=r，
∵四边形ABCD为矩形，
∴∠D=∠C=∠ABC=∠BAD=90°，AD∥BC，AB∥CD，
∵半圆与BC相切于点G，与CD相切于点N，
∴OG⊥BC，ON⊥CD，
∴OH⊥AD，OM⊥AB，
∴四边形AMOH、MBGO、OGCN、HOND均为矩形，
∴OH=AM，DH=ON=r，BM=OG=r，
∵AB=9，AD=8，
∴AH=AD−DH=8−r，OH=AM=AB−BM=9−r，
在Rt△AEF中，EF中点为O，
∴OA=12EF=r，
在Rt△AOH中，由勾股定理可得AH2+OH2=OA2，
即(8−r)2+(9−r)2=r2，
整理可得r2−34r+145=0，
解得r1=5，r2=29（不合题意，舍去），
∴OA=OF=OE=5，AM=OH=4，AH=OM=3，
∴HF=OF2−OH2=52−42=3，ME=OE2−OM2=52−32=4，
∴DF=8−3−3=2，BE=9−4−4=1，
∴C阴影=BE+BC+CD+DF+C半圆
=1+8+9+2+5π
=20+5π．
故答案为：20+5π．
【分析】根据矩形的性质、切线的性质、斜边中线的性质、扇形的面积公式求解。设EF中点为O，半圆与BC相切于点G，与CD相切于点N，连接GO、NO并延长，交AD、AB于点H、M，连接OA，设半圆的半径为r，即OE=OF=ON=OG=r，由切线的性质可得OG⊥BC，ON⊥CD，易得四边形AMOH，MBGO，OGCN，HOND均为矩形，AH=8−r，OH=AM=9−r，在Rt△AEF中，由斜边中线的性质可得OA=12EF=r，在Rt△AOH中，由勾股定理可列式并求解可得r=5，再进一步确定HF=3，ME=4，得答案．
14．【答案】(a，a−1)；2
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征；二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：（1）∵y=−x2+2ax−a2+a−1=−(x2−2ax+a2)+a−1=−(x−a)2+a−1，∴顶点M的坐标为(a，a−1)．
（2）当y=0时，−(x−a)2+a−1=0，解得x1=a+a−1，x2=a−a−1，∴点A，B的坐标为(a+a−1，0)，(a−a−1，0)，∴AB=a+a−1−(a−a−1)=2a−1．由抛物线的对称性可知，AM=BM.∵∠AMB=90°，∴△ABM是等腰直角三角形，∴a−1=12×2a−1，解得a1=1（舍去），a2=2，即a的值为2．
【分析】（1）根据配方法把一般式转化为顶点式求解；
（2）令y=0，求出点A,B的坐标，由抛物线的对称性可得△ABM是等腰直角三角形，即可求解．
15．【答案】解：移项，得x2−4x=32，
配方，得x2−4x+4=32+4，
即(x−2)2=36，
开平方，得x−2=±6，
∴x1=8，x2=−4.
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【分析】根据配方法解一元二次方程．配方法的基本步骤是：移项，化二次项系数为1，配方，写成标准形式，用直接开平方法求解。
16．【答案】（1）解：见解析，△AB1C1即为所求．
（2）解：见解析，△A2B2C2即为所求
【知识点】中心对称及中心对称图形；作图﹣旋转
【解析】【解答】解：（1）如图，△AB1C1即为所求；
（2）如图，△A2B2C2即为所求．
【分析】（1）根据旋转的性质找到点B、C的对应点B1、C1，连接A、B1、C1，则△AB1C1即为所求；
（2）根据中心对称图形的性质，分别找到点A、B、C的对应点A2、B2、C2，顺次连接A2、B2、C2，则△A2B2C2即为所求；
17．【答案】解：∵把△ABF绕点A逆时针旋转90°至△ADE的位置，
∴△ADE≌△ABF，∠EAF=90°，
∴AE=AF，即△AEF为等腰直角三角形．
又∵∠BAF=30°，∴AF=2BF，
∴AB=AF2−BF2=(2BF)2−BF2=3BF．
∵AB=23，∴3BF=23，即BF=2，
∴AF=AE=2BF=4，
∴EF=AF2+AE2=42．
【知识点】勾股定理；正方形的性质；旋转的性质
【解析】【分析】根据旋转的性质、正方形的性质、30度角的直角三角形的性质求解。由旋转的性质可得 △AEF为等腰直角三角形 ，利用30度直角三角形的性质和等腰直角三角形的性质计算．
18．【答案】解：x2−2x−3=0，得(x−3)(x+1)=0，
∴x−3=0或x+1=0，解得x1=3，x2=−1．
画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中所抽卡片上的数字至少有一个是方程x2−2x−3=0的解的结果有(−3，−1)，(−3，3)，(−1，−3)，(−1，1)，(−1，3)，(1，−1)，(1，3)，(3，−3)，(3，−1)，(3，1)，共10种，
∴所抽卡片上的数字至少有一个是方程x2−2x−3=0的解的概率为1012=56．
【知识点】因式分解法解一元二次方程；用列表法或树状图法求概率
【解析】【分析】根据概率的计算和一元二次方程解进行解答。利用因式分解法解x2−2x−3=0这个方程，找到满足条件的情况，再用树状图法计算总的情况数量，最后利用概率公式去计算求解．
19．【答案】（1）证明：∵抛物线经过(1，1)，c<0，∴抛物线与y轴的负半轴有交点．
假设抛物线的开口向上，则抛物线与x轴的交点都在(1，0)的左侧．
又∵n≥3，∴抛物线与x轴的一个交点一定在(3，0)或(3，0)的右侧，
∴抛物线的开口向上不成立，即抛物线的开口一定向下，∴a<0．
把(1，1)代入抛物线y=ax2+bx+c，得a+b+c=1，即b=1−a−c．
∵a<0，c<0，∴b>0．
（2）解：由方程ax2+bx+c=x变形，得ax2+(b−1)x+c=0．
∵方程有两个相等的实数根，∴Δ=(b−1)2−4ac=0．
把(1，1)代入抛物线y=ax2+bx+c，得a+b+c=1，
∴1−b=a+c，∴(a+c)2−4ac=0，即a2+2ac+c2−4ac=0，
∴(a−c)2=0，∴a−c=0，即a=c．
∵(m，0)，(n，0)在抛物线上，∴m，n为方程ax2+bx+c=0的两个根，
∴mn=ca=1，∴n=1m．
∵n≥3，∴1m≥3，∴0【知识点】二次函数与一元二次方程的综合应用
【解析】【分析】（1）由c<0判定抛物线与y轴的负半轴有交点，由抛物线与x轴的交点位置可判定抛物线开口向下，即a<0，把(1,1)代入抛物线y=ax2+bx+c，变形得b=1−a−c，根据a<0,c<0,可得b>0；
（2）由方程有两个相等的实数根，得到Δ=(b−1)2−4ac=0．把(1,1)代入抛物线y=ax2+bx+c，得1−b=a+c，从而(a+c)2−4ac=0，因此(a−c)2=0，即a=c．由(m,0),(n,0)在抛物线上，可得m,n为方程ax2+bx+c=0的两个根，根据根与系数的关系得到mn=ca=1,因此n=1m≥3，求得020．【答案】（1）证明：如图，连接OD．
∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠CAD．
∵AO=DO，∴∠BAD=∠ADO，
∴∠CAD=∠ADO，∴AC∥OD．
∵∠ACD=90°，∴∠ODB=90°，即OD⊥BC．
又∵OD为⊙O的半径，
∴BC是⊙O的切线．
（2）解：如图，连接OE，ED，设OE与AD交于点M．
∵∠BAC=60°，AD平分∠BAC，
∴∠DAE=12∠BAC=30°，∴∠DOE=2∠DAE=60°．
∵∠BAC=60°，OE=OA，∴△OAE为等边三角形，
∴∠AOE=60°，AE=AO=OE．
∵AD平分∠BAC，∴AD⊥OE，
∴AE=DE，∴AE=AO=OD=DE．
∴四边形OAED是菱形，
∴S△AED=S△DOE，
∴阴影部分的面积=S扇形ODE=60π×22360=23π．
【知识点】等边三角形的判定与性质；菱形的判定与性质；切线的判定；扇形面积的计算
【解析】【分析】（1）根据切线的判定、等腰三角形的性质求解。连接OD，利用角平分线和半径之间关系证出AC∥OD，结合∠ACD=90°得OD⊥BC，根据切线的判定推出即可；
（2）根据等边三角形的判定和性质、菱形的判定和性质、扇形的面积公式求解。连接DE、OE，由题干得△OAE为等边三角形，利用半径相等得四边形AEDO是菱形，得出阴影部分的面积=扇形EOD的面积，求出扇形的面积即可．
21．【答案】（1）解：设每天的销售量y（套）与售价x（元/套）之间的函数关系式为y=kx+b．
把(35，90)，(40，80)代入，得35k+b=90，40k+b=80，
解得k=−2，b=160，
∴y与x之间的函数关系式为y=−2x+160．
（2）解：根据题意，得(x−30)(−2x+160)=1200，
解得x1=50，x2=60．
∵规定销售单价不低于成本且不高于52元，
∴x=50．
答：售价应定为每套50元．
（3）解：设每天销售所得利润为w元．
根据题意，得w=(x−30)(−2x+160)=−2x2+220x−4800，
∴w是关于x的二次函数．
∵−2<0，∴抛物线开口向下．
由（2）知，当w=1200时，x=50或x=60，
∴当50≤x≤60时，w≥1200．
又∵销售单价不低于成本且不高于52元，且为整数，即30≤x≤52，
∴50≤x≤52，且为整数，
∴所能确定的售价x的值为50，51，52．
【知识点】二次函数的实际应用-销售问题；一次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）根据待定系数法求解。设每天的销售量y（套）与售价x（元/套）之间的函数关系式为y=kx+b，将表格数据代入即可求解；
（2）基本关系 式：每天的利润=每套利润乘以数量。据此列方程，解方程即可求解；
（3）设每天销售所得利润为w元，利用“每天的利润=每套利润乘以数量”，确定w与x之间的函数关系式，根据函数的性质即可求解．
22．【答案】（1）证明：∵AB为直径，CD⊥AB，
∴CE=DE，∴GC=GD．
∵点D关于CF的对称点G恰好在直径AB上，
∴GC=CD，∴GC=GD=CD，
∴△GCD是等边三角形．
（2）解：如图，连接CO，DO．
∵OB=OC，∠ABC=67.5°，
∴∠BCO=∠ABC=67.5°，
∴∠BOC=180°−67.5°−67.5°=45°．
∵AB为直径，CD⊥AB，
∴∠COD=2∠BOC=90°．
又∵⊙O的半径为2，∴劣弧CD的长为90π×2180=π．
（3）解：∵AB为直径，CD⊥AB，∴BC=BD，∴BC=BD=6．
∵AE：BE=5：1，∴设AE=5x，BE=x，∴AB=6x，
∴OB=OC=3x，OE=2x．
在Rt△OCE中，由勾股定理得CE2=OC2−OE2=(3x)2−(2x)2=5x2．
在Rt△BCE中，由勾股定理得CE2+BE2=BC2，∴5x2+x2=(6)2，
解得x=1（负值舍去），
∴CE2=5x2=5，即CE=5．
∵△GCD是等边三角形，GE⊥CD，∴∠CGE=30°，∴CG=2CE=25．
在Rt△CEG中，由勾股定理得EG=CG2−CE2=(25)2−(5)2=15．
【知识点】等边三角形的判定；勾股定理；垂径定理
【解析】【分析】（1）根据垂径定理、等边三角形的判定求证。由垂径定理可得BG垂直平分CD，可推出GC=GD；由轴对称可得CF垂直平分GD，可推出GC=CD．即可求证；
（2）根据垂径定理、等腰三角形的性质、弧长公式求解。连接CO，DO，根据OB=OC求出∠BOC，进而可得∠COD，据此即可求解；
（3）根据垂径定理、勾股定理求解。由垂径定理可得BC=BD=6，设AE=5x，BE=x，在Rt△OCE中可得CE2=5x2，在Rt△BCE中根据CE2+BE2=BC2可求出x；最后在Rt△CEG中即可求解.
23．【答案】（1）解：把A(−2，0)，B(3，0)代入y=ax2+bx+3中，得4a−2b+3=0，9a+3b+3=0，解得a=−12，b=12，
∴抛物线的解析式为y=−12x2+12x+3=−12(x−12)2+258，
即抛物线的解析式为y=−12x2+12x+3，顶点坐标为(12，258)．
（2）解：由抛物线的解析式为y=−12x2+12x+3可知，C(0，3)，CO=3．
∵m=5，∴直线y=kx+5，
∴P(0，5)，∴PC=2，
∴S△CMN=S△PCM−S△PCN=12×CP⋅(xM−xN)=12×2⋅(xM−xN)=3，
∴xM−xN=3．
联立，得y=−12x2+12x+3，y=kx+5，整理，得x2+(2k−1)x+4=0，
由根与系数的关系，得xM+xN=1−2k，xM⋅xN=4．
联立，得xM−xN=3，xM+xN=1−2k，xM⋅xN=4，解得k=−2或k=3（舍去），
∴k=−2．
（3）解：∵m=−3k，∴直线y=kx+m=kx−3k=k(x−3)，
∴直线y=kx+m过定点(3，0)．
∵B(3，0)，∴直线y=kx+m必过点B．
又∵点M在第四象限，∴点N与点B重合，点Q与原点O重合．
∵P(0，−3k)，C(0，3)，∴CP=−3k−3，CQ=CO=3，
∴CPCQ=−3k−33=−k−1．
联立，得y=−12x2+12x+3，y=kx−3k，整理，得x2+(2k−1)x−6k−6=0，
由根与系数的关系，得xM⋅xN=xM⋅3=−6k−6，解得xM=−2k−2．
∵点M在点N(点B)的右侧，∴−2k−2>3，
∴−k−1>32，即CPCQ的取值范围为CPCQ>32．
【知识点】二次函数与一次函数的综合应用；二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【分析】（1）先利用待定系数法求解二次函数的解析式，利用配方法转化为顶点式，利用顶点式直接写出顶点坐标即可；
（2）由抛物线解析式求出C点坐标，然后联立一次函数和二次函数解析式，利用根与系数关系列出方程组求解；
（3）先利用一次函数的性质求出CPCQ=−k−1，再联立一次函数和二次函数解析式，利用根与系数关系求出−k−1>32，即可求解．售价x（元/套）
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35
40
45
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每天销售量y（套）
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90
80
70
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