江苏省南通市2023-2024学年高一下学期5月质量监测数学试卷(解析版)

这是一份江苏省南通市2023-2024学年高一下学期5月质量监测数学试卷(解析版)，共16页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 如果两条直线与没有公共点，那么与（ ）
A. 共面B. 平行
C. 是异面直线D. 可能平行，也可能是异面直线
【答案】D
【解析】根据空间中两条直线的位置关系，可得如果两条直线与没有公共点，
那么与可能平行，也可能是异面直线.
故选：D.
2. 若，是两个单位向量，则下列结论中正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】，是两个单位向量，则，但，方向不能确定，故选项AB错误；
，只有，同向共线时，才有，
故选项C错误；
，，，选项D正确.
故选：D.
3. 已知空间3条不同的直线m，n，l和平面，则下列说法正确的是（ ）
A. 若，，则B. 若，，则
C. 若，，则D. 若，，则
【答案】C
【解析】A选项，若，，则或相交或异面，A错误；
B选项，若，，则或，B错误；
C选项，若，不妨设，则，
又，，则，所以，C正确；
D选项，若，，则，或相交，D错误.
故选：C.
4. 一艘船以32 n mile/h的速度向正北方向航行．从A处看灯塔S位于船北偏东的方向上，30分钟后船航行到B处，从B处看灯塔S位于船北偏东的方向上，则灯塔S与B之间的距离为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由题意知，，，
由正弦定理得，，解得.
故选：B.
5. 若用斜二测画法画出某△ABC水平放置直观图，得到边长为2的等边三角形，则原的面积为（ ）
A. B. C. 4D.
【答案】B
【解析】直观图是边长为2的等边三角形，
且的面积为，
所以原的面积为.
故选：B.
6. 在矩形ABCD中，已知，，点P在CD边上，满足，则（ ）
A. B. 0C. D.
【答案】C
【解析】如图建立平面直角坐标系，，设，
则，
所以，得，
所以，
所以.
故选：C.
7. 已知，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】依题意，
，
则，所以.
故选：A.
8. 在圆锥PO中，轴截面PAB为等腰直角三角形，M为底面圆O上一点，，则异面直线OM与AP所成角的余弦值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】如图，过点A作，交圆O于点N，连接ON，PN，
则即异面直线OM与AP所成角或其补角，
设，可知，
则，
因为轴截面PAB为等腰直角三角形，所以，
在中，由余弦定理得，
，
所以异面直线OM与AP所成角的余弦值为.
故选：A.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知向量，，则下列说法中正确的是（ ）
A. 若，则
B. 若，则
C. 若，则，的夹角为钝角
D. 若，则在上的投影向量的坐标为
【答案】ABD
【解析】向量，，
对于A，由，得，解得，A正确；
对于B，由，得，则，B正确；
对于C，当时，，反向共线，夹角为，
此时，的夹角不为钝角，C错误；
对于D，当时，，因此在上的投影向量为
，
在上的投影向量的坐标为，D正确.
故选：ABD.
10. 下列条件中能推导出一定是锐角三角形的有（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BCD
【解析】对于A，因为，即，
又，故角为锐角，
但无法确定另两个角的范围，故不一定是锐角三角形，故A错误；
对于B：因为，
若，则或，
又，则除了角为钝角外，还有一角为钝角，矛盾；
同理都不可能，
故，，，即三个角均为锐角，故B正确：
对于C，因为，由正弦定理得，
令，则，
显然最大角为，且，
所以最大角为锐角，所以一定是锐角三角形，故C正确；
对于D，因为，又且不能同时为钝角，
所以，，即均为锐角，
又，所以也为锐角，
所以一定为锐角三角形，故D正确．
故选：BCD．
11. 在棱长为2的正方体中，分别是，，的中点，则下列正确的是（ ）
A. 平面
B. 平面
C. 多面体是棱台
D. 平面截正方体所得截面的面积为
【答案】AC
【解析】对于A，取中点，连接，
由正方体得四边形为平行四边形，所以，
因为点为的中点，所以，又，
所以四边形为平行四边形，所以，所以，
因为平面，平面，所以平面，故A正确；
对于B，取中点，连接，则，所以，
所以，所以，
由正方体得，平面，又平面，
所以，
因为，，平面，，
所以平面，又，所以与平面不垂直，故B错误；
对于C，由正方体得，平面平面，
即平面平面，由棱台的定义可知，多面体是棱台，故C正确；
对于D，设直线与直线交于点，连接与交于点，
与直线交于点，连接交于点，连接，
则五边形即为平面截正方体所得截面，
因为，所以，，
因为，所以，所以，
因为，所以，
因为，所以，
所以，，
所以，所以，
所以，
因为，，
所以，故D错误.
故选：AC．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 一个圆台的母线长为5，上、下底面圆直径长分别为2，8，则圆台的高为________．
【答案】4
【解析】由题意得，圆台的轴截面为等腰梯形，
其中上底长为2，下底长为8，腰长为5，如图所示：
作CD⊥AB与E，则CE为圆台的高h，
∴高h＝.
故答案：4.
13. 若，则________．
【答案】1
【解析】由题意可知，
.
故答案为：1.
14. 在△ABC中，，P是MC的中点，延长AP交BC于点D．若，则________；若，，则△ABC面积的最大值为________．
【答案】
【解析】第一空：因为P是MC的中点，所以，
又因为，所以，
所以，
即，所以；
第二空：设，则，
因为点D在BC上，所以，即，
所以，所以，
因为，即，
设分别为所对边，所以，
即，
因为，当且仅当时取等号，
所以，即，
所以，
因此△ABC面积的最大值为为.
故答案为： .
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知向量，满足，，求：
（1）；
（2）向量与的夹角的余弦值．
解：（1）由已知有，
故，所以.
（2）由已知有，
及，
故.
16. 已知四棱锥中，底面ABCD是梯形，，，，，，M，N分别是PD，BC的中点．求证：
（1）平面PBC；
（2）．
解：（1）如图，取的中点，连接，
因为M是PD的中点，所以，，
又，，所以，，
所以四边形是平行四边形，所以，
因为平面PBC，平面PBC，
所以平面PBC.
（2）连接，
因为，N是BC的中点，所以，
在中，，，，所以，
由条件，所以，
又N是BC的中点，所以，
因为DN，平面PDN，，
所以平面PDN，
因为平面PDN，所以．
17. 已知，，且，，求：
（1）的值；
（2）的值．
解：（1）由，
解得，
所以.
（2），
由，，得，
所以
，
因为，，
所以，所以，
又，，
所以，所以，
所以，
所以．
18. 在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下列问题中，并完成解答．
记的内角，，的对边分别为，，，面积为，外接圆的半径为，且满足________，点在边上．
（1）求的值；
（2）若，，求当取最小值时的值；
（3）若，，求．
解：（1）若选①：在中，由正弦定理，
得，，，
因为，
所以，
即（*），
因为，
所以，
所以（*）式可化为．
因为，所以，所以，
若选②：由，
可得，
所以，
又，所以，则，
所以，所以，
所以，
若选③：在中，由余弦定理，
面积，
又，所以，
所以，
又，，则，
所以（正值已舍去）.
（2）由，得，
由条件，，
所以面积，
所以，
又由余弦定理，
得，当且仅当时取等号，
所以或（舍去），
所以当且仅当时取最小值，
此时取得最小值且，
由，即，所以.
（3）由条件，所以，，
又，
分别在和中，有，
所以，
即，
化简得，又，
所以，，
所以.
19. 费马点是在三角形中到三个顶点距离之和最小的点．具体位置取决于三角形的形状，如果三角形的三个内角均小于，费马点是三角形内部对三边张角均为的点；如果三角形有一个内角大于或等于，费马点就是该内角所在的顶点．
已知△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，O为费马点．
（1）若，，，求的值；
（2）若，，求的最大值．
解：（1）在△ABC中，，，，所以C是最大角．
由．
因为，所以，
所以△ABC的费马点O是三角形内部对三边张角均为的点．
设△ABC的面积为S，
则
，
又由，得，
所以．
所以，
即，
所以
.
（2）在△ABC中，因为，，
所以△ABC的费马点O是三角形内部对三边张角均为的点，
设，则，，
所以，
设，，，
在△AOB与△AOC中，由正弦定理可得，，
所以，
在△BOC中，由余弦定理可得，，
所以，即．
当且仅当时，mn取得最大值，所以取得最大值.