河南省部分名校天一大联考2024-2025学年高三上学期10月阶段测试二数学试卷（Word版附解析）

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1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一、单项选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】首先求解集合，再根据交，并，补的运算，即可求解.
【详解】，即，得，
即,，所以.
故选：A
2. 已知角的顶点与坐标原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边过点，则（ ）
A. -1B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】结合三角函数的定义求和，再代入两角和的余弦公式，即可求解.
【详解】由终边点可知，，，
所以
故选：C
3. 已知函数，则（ ）
A. B. 1C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据自变量取值所属区间代入对应函数解析式，由内而外逐层求解即可，注意对数恒等式的应用.
【详解】由题意，.
故选：D.
4. 已知，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
分析】代入二倍角公式，以及诱导公式，即可求解.
【详解】由条件可知，，
而.
故选：C
5. 函数的大致图象为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】首先判断函数的奇偶性，再集合函数值的正负，以及取向，即可判断选项.
【详解】函数的定义域为，且，
所以函数是奇函数，故排除A，
且当时，，故排除C，
，当时，，故排除D，满足条件的只有B.
故选：B
6. 若命题“”是假命题，则实数的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】将命题是假命题转化为其否定是真命题进行分析，通过换元转化为一元二次不等式在给定区间上的恒成立问题，通过分离参数求最值得到最终结果.
【详解】由题意，命题“”假命题，
等价于其否定“”是真命题，
令，则对恒成立，
即，需满足，
而，，当且仅当，即时取等号.
所以，即.
故选：A.
7. 将函数的图象向右平移个单位长度得到函数的图象，若是奇函数，则在区间内的极值点个数为（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】D
【解析】
【分析】由平移关系与奇函数性质可得的对称性，求得的解析式，然后根据余弦函数的性质求解即可.
【详解】若是奇函数，则图象关于对称，
由题意得的图象向左移个单位长度得到函数的图象，
故的图象关于对称，，
则，则，
解得，又因为，
则当时，.
，，
令，
则在极值点的个数与在区间内的极值点个数相同.
而函数在内的所有极值点为，共4个.
故在区间内的极值点个数也为4个.
故选：D.
8. 已知函数的定义域为为奇函数，为偶函数，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由为奇函数得对称中心为0,1，结合为偶函数，求周期为，从而求出，即可得到的值.
【详解】因为为奇函数，则，且函数的图象关于0,1中心对称，即，
因为为偶函数，所以，则，
所以，，所以，故的周期为，
因为，
所以，
故选：B.
【点睛】关键点点睛：
由为奇函数，为偶函数，求对称中心和对称轴，推函数的周期，关于抽象函数考查对称性和周期性的综合题，一般都是借助题中的条件找到对称中心和对称轴再推周期.
二、多项选择题:本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BCD
【解析】
【分析】首先判断，再结合不等式的性质，函数的单调性，以及作差法，即可判断选项.
【详解】由，可知，，所以，故A错误；
，对数函数单调递增，所以，故B正确；
，即，故C正确；
，由，可知，即，故D正确.
故选：BCD
10. 已知函数，则（ ）
A. 为奇函数
B. 的值域为
C. 的图象关于直线对称
D. 以为周期
【答案】ACD
【解析】
【分析】首先化简函数，再根据奇函数的定义，判断A，通过换元分析函数的单调性，即可求函数的值域，判断B，证明，判断C，根据，即可判断D.
【详解】，
，则，，则函数的定义域为，函数的定义域关于原点对称，且满足，所以函数是奇函数，故A正确；
设，在区间单调递减，，因为函数是奇函数，所以函数的值域是，故B错误；
，所以函数关于对称，故C正确；
，所以函数的周期为，故D正确.
故选：ACD
11. 已知对任意，不等式恒成立，则实数的可能取值为（ ）
A. 1B. C. eD.
【答案】ABC
【解析】
【分析】将不等式运算转化为指对同构形式，整体换元转化不等式，分离参数后再构造函数求最值可得的范围.
【详解】由，可化为，
则又可化为，
令，则，令，得，
当时，，则在单调递减；
当时，，则在单调递增；
故，且当，.
再令，则，
则关于的不等式在恒成立，
即在恒成立，
令，，
则，由解得，
当时，，则在单调递减；
当时，，则在单调递增；
所以，
要使在恒成立，则.
故选：ABC.
【点睛】方法点睛：解决指对混合不等式时，通常需要利用指对运算挖掘同构特点（指对同构）进行整体代换，从而构造新函数解决问题，其运算实质还是指对互化与指数、对数恒等式的变换.常见变形方式有：.
三、填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知集合，若是的必要不充分条件，则实数的取值范围为______.
【答案】
【解析】
【分析】化简集合，再结合是的必要不充分条件列不等式族求解.
【详解】由，，则，
所以，
由，即，解得，
所以，
因为是的必要不充分条件，
所以，且，也符合题意，
解得.
所以实数的取值范围为0,2.
故答案为：0,2.
13. 已知均为正实数，且，则的最小值为_____________.
【答案】
【解析】
【分析】由已知条件等式配凑积为定值的形式，再利用基本不等式求解可得最小值.
【详解】由，得，
则，
由已知，则，所以，
且，所以.
所以，
故，
当且仅当，即时等号成立，
所以的最小值为
故答案为：.
14. 已知曲线上有不同的两点和，若点关于直线的对称点在曲线上，则实数的取值范围为_____________.
【答案】
【解析】
【分析】由曲线与关于直线对称，将问题转化为曲线与有个交点，即方程有个不同的实根，进而转化为和有两个交点，利用导数求函数的大致图象，结合图象即可求解.
【详解】曲线与关于直线对称，
又点关于直线的对称点在曲线上，
曲线与有个交点，即有个不同的实根，即方程有个不同的实根，
设函数，则，
当时，ℎ′x>0，ℎx在上单调递增，当时，ℎ′x<0，ℎx在上单调递增，
，再根据当时，，当时，，
作出ℎx的大致图象，如图，
由于直线过定点，当直线与ℎx的图象相切时，设切点为，此时，
即，可得，此时切线的斜率为，
由图可知，时，直线与ℎx的图象有个交点，
实数取值范围为0,1，
故答案为：0,1.
【点睛】方法点睛：已知函数有零点（方程有根）求参数值（取值范围）常用的方法：
（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；
（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；
（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.
四、解答题:本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知函数的图象在点处的切线与直线垂直.
（1）求的值;
（2）已知在区间上的最小值为，求在区间上的最大值.
【答案】（1）
（2）1.
【解析】
【分析】（1）根据导数的几何意义求解；
（2）利用导数判断的单调性，结合的最小值为，求出，并求出最大值.
【小问1详解】
由已知，得，
由题知，解得.
【小问2详解】
由（1）可知，，，
的变化情况如表所示：
，，，
即在区间上的最大值为1.
16. 已知向量，函数.
（1）求的最小正周期;
（2）若函数在区间上恰有两个零点，求实数的取值范围.
【答案】（1）
（2）.
【解析】
【分析】（1）首先利用数量积公式和二倍角公式，辅助角公式，化简函数，再求周期；
（2）由题意转化为与函数在区间上的图象恰有两个交点，利用整体代入的方法，结合正弦函数的图象，即可求解.
【小问1详解】
，
的最小正周期；
【小问2详解】
由题知在区间上恰有两个不同的实数根，
即函数在区间上的图象与直线恰有两个交点，
令，
作出的图象与直线，如图.
由图知，当时，的图象与直线有两个交点，
实数的取值范围为.
17. 在中，内角，，所对的边分别为，，，已知，，且的面积为.
（1）求；
（2）延长CB至点，使得是等腰三角形，求.
【答案】（1）2 （2）
【解析】
【分析】（1）首先根据同角三角函数的平方关系求出，然后根据三角形的面积公式求出的值，再利用余弦定理求解即可；
（2）首先利用余弦定理的推论求出，进而得到，根据是等腰三角形得到是边长为2的等边三角形，再利用求解即可.
【小问1详解】
，，
，
，，
由余弦定理得，
；
【小问2详解】
如图，由（1）及余弦定理可得，，
，，
是等腰三角形，是边长为2的等边三角形，，
，
又，
.
18. 已知函数的定义域为，对任意且，都满足.
（1）求;
（2）判断的奇偶性;
（3）若当时，，且，求不等式的解集.
【答案】（1）0；0 （2）偶函数
（3）.
【解析】
【分析】（1）利用赋值法计算可得；
（2）对任意非零实数，，令，即可得到，再令，即可得解；
（3）首先说明在区间上单调递增，再得到，则不等式转化为，再结合单调性与奇偶性转化为自变量的不等式，解得即可.
【小问1详解】
因为对任意且，都满足，
令，得，，
令，得，
.
【小问2详解】
对任意非零实数，，令，
可得.
在上式中，令，得，
即对任意非零实数，都有，
是偶函数.
【小问3详解】
对任意且，有，
由（2）知，
在区间上单调递增.
，
，
是定义域为的偶函数，且在区间上单调递增，
原不等式转化为，
解得或或，
原不等式的解集为.
19. 已知函数.
（1）若仅有一个极值点且恒成立，求实数的取值范围;
（2）当变化时，求的图象经过的所有定点的坐标，并请写出一个函数，使其图象经过上述所有定点;
（3）证明：.
【答案】（1）
（2）
（3）证明见解析
【解析】
【分析】（1）由分类讨论函数极值并求函数最小值满足条件即可；
（2）令的系数为求定点，结合特殊角的正切值写出满足题意的一个函数即可；
（3）化简函数解析式求导函数，利用隐零点回代的方法求证函数最小值大于0可得.
【小问1详解】
由题知，
①当时，恒成立，
当时，在单调递减，
当时，在单调递增，
则仅有一个极值点，且.
要使恒成立，得，解得.
所以；
②当时，由，得或.
当，即时，恒成立，则在上单调递增，
即函数无极值点，不满足题意；
当时，即时，
当时，，在单调递增；
当时，，在单调递减；
当时，，在单调递增；
则在与处都取极值，即有两个极值点，故不满足题意；
同理，当时，即时，也有两个极值点，故不满足题意；
综上所述，实数取值范围是.
【小问2详解】
令，可得或，
，
的图象经过的所有定点的坐标为和.
函数图象过和，
则，且.
当时，函数，
则，且满足题意.
图象经过点和的函数可以是.(函数解析式不唯一)
【小问3详解】
要证，
即证.
设，
则
设，则在区间上单调递增，
故存在唯一的，使得，
即，即.
当时，，即；
当时，，即，
在区间上单调递减，在区间上单调递增，
设，则在区间上单调递增，
当时，，
.
【点睛】方法点睛：在导函数应用题型中，有些题目零点不会解，可以采用设出零点，利用导数为0条件代回函数解析式求解最值的方法，一般步骤如下：
（1）用零点存在性定理判定导函数零点的存在性，列出零点方程，并结合的单调性得到零点的取值范围．
（2）以零点为分界点，说明导函数的正负，进而得到的最值表达式．
（3）将零点方程适当变形，整体代入最值式子进行化简证明，有时（1）中的零点范围还可以适当缩小．
1
2
+
0
-
0
+
极大值
极小值