广东省中山市华强学校2024—2025学年上学期九年级期中数学试卷

这是一份广东省中山市华强学校2024—2025学年上学期九年级期中数学试卷，共13页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.-2023的相反数是( )
A. -12023B. -2023C. 12023D. 2023
2.为了响应国家“发展低碳经济、走进低碳生活”的号召，到目前为止，某市共有60000户家庭建立了“低碳节能减排家庭档案”，则60000这个数用科学记数法表示为( )
A. 60×104B. 6×105C. 6×104D. 0.6×106
3.一元二次方程x2+2x-1=0中，下列说法错误的是( )
A. 二次项系数是1B. 一次项系数是2C. 一次项是2xD. 常数项是1
4.已知关于x的方程mx2+2x-3=0是一元二次方程，则m的取值范围是( )
A. m>1B. m≠0C. m≤1D. m≠1
5.下列关系式中，属于二次函数(x为自变量)的是( )
A. y=-2x2+3B. y=2xC. y=1xD. y=-x+1
6.二次函数y=(x+5)2-8的最小值为( )
A. 0B. 5C. 8D. -8
7.已知点(-3,y1)，(-2,y2)都在函数y=3x2-2的图象上，则( )
A. y1y2C. y1=y2D. 无法确定
8.某厂一月份的总产量为500吨，三月份的总产量达到为720吨．若平均每月增长率是x，则可以列方程( )
A. 500(1+2x)=720B. 500(1+x)2=720
C. 500(1+x2)=720D. 720(1+2x)2=500
9.将抛物线y=x2向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度所得的抛物线解析式为( )
A. y=(x-1)2+2B. y=(x+1)2+2C. y=(x-1)2-2D. y=(x+1)2-2
10.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，对称轴是直线x=-1，则下列四个结论错误的是( )
A. a-b+c<0
B. 2a+b=0
C. 4a-2b+c=0
D. am2+b(m+1)≥a
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
11.因式分解：2m-4=______.
12.把方程x(x-1)=-2化成一元二次方程的一般形式是______.
13.方程x2-9=0的解是______.
14.若抛物线y=ax2+2x经过点P(1,3)，则a的值为______.
15.二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，当y<0时，自变量x的取值范围是______.
三、计算题：本大题共1小题，共9分。
16.如图，以40m/s的速度将小球沿与地面成30∘角的方向击出时，小球的飞行路线是一条抛物线．如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度h(单位：m)与飞行时间t(单位：s)之间具有函数关系h=20t-5t2.
(1)求小球飞行3s时的高度；
(2)问：小球的飞行高度能否达到22m？请说明理由．
四、解答题：本题共7小题，共66分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题8分)
(1)计算：|-2|+30- 4；
(2)x2-6x+5=0.
18.(本小题8分)
已知二次函数y=2(x-4)2-1.
(1)二次函数图象的开口方向是______，对称轴是直线______，顶点坐标为______.
(2)当x=______时， y有最小值是______.
(3)当x=2时，y=______
(4)当x ______时， y随x的增大而减小.
19.(本小题8分)
已知抛物线y=x2+bx+c过点(0,-4)和(2,6).
(1)试确定抛物线的解析式；
(2)求出抛物线与x轴的交点坐标.
20.(本小题9分)
已知关于x的一元二次方程x2-4x+m=0.
(1)若方程有两个实数根，求m的范围；
(2)若方程的两个实数根为x1、x2，且x1+x2+x1x2=1，求m的值.
21.(本小题9分)
东门天虹商场购进一批“童乐”牌玩具，每件成本价30元，每件玩具销售单价x(元)与每天的销售量y(件)的关系如表：
若每天的销售量y(件)是销售单价x(元)的一次函数，
(1)求y与x的函数关系式；
(2)设东门天虹商场销售“童乐”牌儿童玩具每天获得的利润为w(元)，当销售单价x为何值时，每天可获得最大利润？此时最大利润是多少？
22.(本小题12分)
拓展探究
问题情境：“a2≥0”这个结论在数学中非常有用，有时我们需要将代数式配成完全平方式，然后利用平方的非负性解决问题，例如：x2+4x+5=x2+4x+4+1=(x+2)2+1，∵(x+2)2≥0，
∴(x+2)2+1≥1，∴x2+4x+5≥1.
(1)探究：x2-4x+5=(x______)2+______；
(2)应用：比较代数式：x2-1与2x-3的大小；
(3)拓展：求x2-4x+y2+2y+7的最小值．
23.(本小题12分)
如图所示，抛物线y=2x2-4x-6与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，点M为抛物线的顶点.在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使得PA+PC的值最小，若存在，清求出点P的坐标并求出最小值；若不存在，请说明理由.
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：-2023的相反数为2023.
故选：D.
只有符号不同的两个数叫做互为相反数，由此即可得到答案．
本题主要考查相反数，关键是掌握相反数的定义．
2.【答案】C
【解析】解：60 000这个数用科学记数法表示为6×104，
故选：C.
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值<1时，n是负数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
3.【答案】D
【解析】解：一元二次方程x2+2x-1=0中，二次项系数是1，一次项系数是2，一次项是2x，常数项是-1，
则说法错误的是D.
故选：D.
一般地，任何一个关于x的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式ax2+bx+c=0(a≠0).这种形式叫一元二次方程的一般形式．其中ax2叫做二次项，a叫做二次项系数；bx叫做一次项；c叫做常数项．
本题考查了一元二次方程的一般形式：ax2+bx+c=0(a≠0)，其中a叫二次项系数，b叫一次项系数，c叫常数项．
4.【答案】B
【解析】解：∵关于x的方程mx2+2x-3=0是一元二次方程，
∴m≠0.
故选：B.
根据一元二次方程的定义求解即可．
本题主要考查了一元二次方程的定义，只含有一个未知数，且未知数的最高次为2的整式方程叫做一元二次方程．
5.【答案】A
【解析】解：A.y=-2x2+3，是二次函数，故本选项符合题意；
B.y=2x，是一次函数，故本选项不符合题意；
C.y=1x，是反比例函数，故本选项不符合题意；
D.y=-x+1，是一次函数，故本选项不符合题意；
故选：A.
根据二次函数定义逐项判断即可．
本题主要考查二次函数的定义，一般地，把形如y=ax2+bx+c(a≠0)其中a，b，c 是常数的函数叫做二次函数．
6.【答案】D
【解析】解：∵y=(x+5)2-8，其中a=1>0
∴抛物线开口向上，顶点坐标为(-5,-8)，
∴当x=-5时，二次函数y=(x+5)2-8取最小值，最小值为-8.
故选：D.
根据二次函数解析式得出顶点坐标，即可得出答案．
本题主要考查二次函数的最值问题，熟知二次函数的顶点式是解答此题的关键．
7.【答案】B
【解析】解：∵函数解析式为y=3x2-2，
∴函数图象抛物线开口向上，对称轴为y轴，
∴当x<0时，y随x的增大而减小，
∵点(-3,y1)，(-2,y2)，
∴-2>-3，
∴y1>y2.
故选：B.
根据二次函数y=3x2-2的图象和性质，得出当x<0时，y随x的增大而减小，判断y1、y2的大小情况，选择答案即可．
本题主要考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．
8.【答案】B
【解析】解：设平均每月增率是x，
二月份的产量为：500×(1+x)；
三月份的产量为：500(1+x)2=720；
故选：B.
主要考查增长率问题，一般用增长后的量=增长前的量×(1+增长率)，如果设平均每月增率是x，那么根据三月份的产量可以列出方程．
考查了由实际问题抽象出一元二次方程的知识，找到关键描述语，找到等量关系是解决问题的关键；本题考查求平均变化率的方法．若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为a(1±x)2=b(当增长时中间的“±”号选“+”，当降低时中间的“±”号选“-”).
9.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知二次函数图象平移的法则是解答此题的关键．根据“左加右减，上加下减”的法则进行解答即可．
【解答】
解：将抛物线y=x2向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度所得的抛物线解析式为y=(x-1)2+2.
故选：A.
10.【答案】B
【解析】解：由抛物线可得当x=-1时，y<0，故a-b+c<0，故结论A正确；
抛物线可得对称轴为x=-b2a=-1，故2a-b=0，故结论B错误．
由抛物线经过原点，对称轴为直线x=-1可知，当x=-2时，y=0，故4a-2b+c=0，故结论C正确；
当x=-1时，该函数取得最小值，则am2+bm+c≥a-b+c，即am2+b(m+1)≥a，故结论D正确；
故选：B.
根据二次函数的图象与系数的关系即可求解．
本题考查二次函数图象上点的坐标特征、二次函数图象与系数的关系、二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质和数形结合的思想解答．
11.【答案】2(m-2)
【解析】解：2m-4=2(m-2).
故答案为：2(m-2).
利用提公因式进行因式分解即可．
本题主要考查利用提公因式进行因式分解，正确进行计算是解题关键．
12.【答案】x2-x+2=0
【解析】解：∵x(x-1)=-2，
∴x2-x=-2，
∴x2-x+2=0，
故答案为：x2-x+2=0.
首先去括号，然后移项，把等号右边化为0即可．
本题主要考查了一元二次方程的一般式，解题的关键在于熟知一元二次方程的一般式是形如ax2+bx+c=0(a≠0)的方程．
13.【答案】x1=3，x2=-3
【解析】【分析】
本题主要考查了因式分解法解一元二次方程．
这个式子左边是一个平方差公式，直接分解因式即可，然后求出x.
【解答】
解：∵x2-9=0，
∴(x+3)(x-3)=0，
∴x1=3，x2=-3.
14.【答案】1
【解析】解：将点P(1,3)代入y=ax2+2x，得：
a+2=3，
解得：a=1，
故答案为：1.
将点P(1,3)代入y=ax2+2x，即可求解．
本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
15.【答案】x<-2或x>6
【解析】解：∵二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的交点坐标为(-2,0)，(6,0)，
即x=-2或x=6时，y=0，
∴当x<-2或x>6时，y<0.
故答案为x<-2或x>6.
利用函数图象得到x=-2或x=6时，y=0，然后写出函数图象在x轴下方所对应的自变量的范围即可．
本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c是常数，a≠0)与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．
16.【答案】解：(1)当t=3时，即h=20×3-5×9=15m.
答：小球飞行3s时的高度是15m；
(2)小球的飞行高度不能达到22m，
理由：当h=22时，即22=20t-5t2.
∵△=(-20)2-4×5×22<0，
∴方程22=20t-5t2无实根，
∴小球的飞行高度不能达到22m.
【解析】(1)把t=3代入函数关系式解方程即可得到结论；
(2)把h=22代入函数关系式所得方程无实根，于是得到结论．
本题主要考查了二次函数与一元二次方程的关系，根据题意建立方程是解决问题的关键．
17.【答案】解：(1)|-2|+30- 4
=2+1-2
=1；
(2)x2-6x+5=0，
(x-5)(x-1)=0，
∴x-5=0或x-1=0.
∴x1=5，x2=1.
【解析】(1)利用绝对值的意义，零指数幂的意义和算术平方根的意义化简运算即可；
(2)利用因式分解法解答即可．
本题主要考查了实数的混合运算以及用因式分解法解一元二次方程，熟练掌握上述运算法则是解题的关键．
18.【答案】向上 x=4(4,-1)4-17<4
【解析】解：(1)由二次函数解析式可知，二次函数图象的开口方向是向上，
对称轴是直线x=4，顶点坐标为(4,-1)，
故答案为：向上，x=4，(4,-1)；
(2)∵抛物线开口向上，对称轴为直线x=4，
∴当x=4时，y有最小值是-1，
故答案为：4，-1；
(3)当x=2时，y=2(2-4)2-1=7，
故答案为：7；
(4)∵抛物线开口向上，对称轴为直线x=4，
∴当x<4时，y随x的增大而减小．
故答案为：<4.
(1)由二次函数的解析式得出结论；
(2)由函数的性质得出结论；
(3)把x=2代入解析式求出y的值；
(4)根据二次函数的性质得出结论．
本题考查二次函数的性质，关键是掌握二次函数的解析式顶点式．
19.【答案】解：(1)∵抛物线y=x2+bx+c过点(0,-4)和(2,6)，
∴4+2b+c=6c=-4，
∴b=3c=-4，
∴抛物线解析式为y=x2+3x-4；
(2)解：在y=x2+3x-4中，当y=x2+3x-4=0时，
解得x=-4或x=1，
∴抛物线与x轴的交点坐标为(-4,0)和(1,0).
【解析】(1)利用待定系数法求解即可；
(2)根据(1)所求，求出当y=0时，x的值即可得到答案．
本题主要考查了求二次函数解析式，求二次函数与x轴的交点坐标，正确利用待定系数法求出对应的函数解析式是解题的关键．
20.【答案】解：(1)∵关于x的一元二次方程x2-4x+m=0有两个实数根，
∴Δ=(-4)2-4m≥0，
∴m≤4；
(2)∵关于x的一元二次方程x2-4x+m=0的两个实数根为x1、x2，
∴x1+x2=4，x1x2=m，
∵x1+x2+x1x2=1，
∴4+m=1，
∴m=-3，
∵-3<4，
∴m=-3符合题意．
【解析】(1)根据题意可得Δ=(-4)2-4m≥0，据此求解即可；
(2)由根与系数的关系得到x1+x2=4，x1x2=m，再根据已知条件得到4+m=1，解之即可得到答案．
本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，根的判别式，正确记忆一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)，若Δ=b2-4ac>0，则方程有两个不相等的实数根，若Δ=b2-4ac=0，则方程有两个相等的实数根，若Δ=b2-4ac<0，则方程没有实数根，若x1，x2是该方程的两个实数根，则x1+x2=-ba,x1x2=ca是解题关键．
21.【答案】解：(1)设函数解析式为y=kx+b，
把(35,750)，(40,700)代入y=kx+b，
得：35k+b=75040k+b=700，
解得：k=-10b=1100，
所以函数解析式为：y=-10x+1100.
(2)根据题意可得：
w=y(x-30)=(-10x+1100)(x-30)
=-10x2+1400x-33000，
∵-10<0，
∴当x=-b2a=70时，w有最大值．
此时w=-10×702+1400×70-33000=16000.
故当销售单价为70元时，每天可获得最大利润，最大利润是16000元．
【解析】(1)设函数解析式为y=kx+b，将(35,750)和(40,700)代入解析式，利用待定系数法求出函数解析式；
(2)根据总利润等于单件利润乘销售量列出w和x的函数关系式；接下来利用二次函数的顶点坐标，求出此时x的值和w的最大值即可．
本题主要考查用待定系数法求一次函数解析式以及用二次函数顶点式求最大值问题，解题的关键是掌握一次函数和二次函数的性质．
22.【答案】-21
【解析】解：(1)x2-4x+5=(x-2)2+1，
故答案为：-2；1；
(2)x2-1-(2x-3)
=x2-2x+2
=x2-2x+1+1
=(x-1)2+1>0，
∴x2-1>2x-3；
(3)x2-4x+y2+2y+7
=x2-4x+4+y2+2y+1+2
=(x-2)2+(y+1)2+2≥2，
∴x2-4x+y2+2y+7的最小值是2.
(1)(2)(3)利用配方法把原式变形，根据偶次方的非负性解答即可．
本题考查的是配方法的应用，掌握完全平方公式、偶次方的非负性是解题的关键．
23.【答案】解：在抛物线的对称轴上存在一点P，使得PA+PC的值最小；理由如下：
假设存在点P，使得PA+PC的值最小．
∵点B与点A关于抛物线的对称轴对称，
∴抛物线的对称轴与BC的交点就是使得PA+PC的值最小的P点的位置，如图，
∵PA=PB，
∴PA+PC=PB+PC.
令y=0，则2x2-4x-6=0，
解得x1=3，x2=-1，
∴B(3,0)，A(-1,0)，
令x=0可得，C(0,-6)，
设直线BC的解析式为y=kx+b，
∴b=-63k+b=0，
解得b=-6k=2，
∴直线BC的解析式为：y=2x-6，
又∵点P在抛物线对称轴x=1上，将x=1代入直线BC的解析式，得：
y=-4，
∴P(1,-4)，
又∵PA+PC=PB+PC=BC，
∴BC= OC2+OB2=3 5，
即PA+PC的最小值为3 5.
【解析】本题中，点B与点A关于抛物线的对称轴对称，根据“两点之间，线段最短”可知，抛物线的对称轴与直线BC的交点就是PA+PC的值最小时点P的位置，先求出直线BC的解析式，再求出点P的坐标．
本题考查了二次函数的图象与性质、轴对称的性质、勾股定理等知识，解题的关键是利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来．x(元)
…
35
40
45
50
…
y(元)
…
750
700
650
600
…