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2024-2025学年江西省多校高一（上）月考数学试卷（10月份）（含答案）
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这是一份2024-2025学年江西省多校高一（上）月考数学试卷（10月份）（含答案），共7页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.下列关系式正确的是( )
A. 3∈QB. −1∈NC. Z⊆ND. Q⊆R
2.关于命题q：∀aA. q是存在量词命题，是真命题B. q是存在量词命题，是假命题
C. q是全称量词命题，是真命题D. q是全称量词命题，是假命题
3.已知集合A={x∈Z|3x−1∈Z}，则用列举法表示A=( )
A. {−2,0,1,2,4}B. {−2,0,2,4}C. {0,2,4}D. {2,4}
4.已知a>0，b>0，c>0，则“a+b>c”是“a，b，c可以构成三角形的三条边”的( )
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
5.已知正数a，b满足1a+2b=1，则a+2b的最小值为( )
A. 9B. 6C. 4D. 3
6.已知集合A={(x,y)|y=x2+ax+1}，B={(x,y)|y=2x−3}，C=A∩B，若C恰有1个真子集，则实数a=( )
A. 2B. 6C. −2或6D. 2或6
7.某花卉店售卖一种多肉植物，若每株多肉植物的售价为30元，则每天可卖出25株；若每株肉植物的售价每降低1元，则日销售量增加5株.为了使这种多肉植物每天的总销售额不低于1250元，则每株这种多肉植物的最低售价为( )
A. 25元B. 20元C. 15元D. 10元
8.学校统计某班45名学生参加音乐、科学、体育3个兴趣小组的情况，其中有20名学生参加了音乐小组，有21名学生参加了科学小组，有22名学生参加了体育小组，有24名学生只参加了1个兴趣小组，有12名学生只参加了2个兴趣小组，则3个兴趣小组都没参加的学生有( )
A. 5名B. 4名C. 3名D. 2名
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列各组对象能构成集合的有( )
A. 南昌大学2024级大一新生B. 我国第一位获得奥运会金牌的运动员
C. 体型庞大的海洋生物D. 唐宋八大家
10.已知a>b>0，则使得a+ca>b+cb成立的充分条件可以是( )
A. c=−2B. c=−1C. c=1D. c=2
11.已知二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c为常数，且a≠0)的部分图象如图所示，则( )
A. a+b>0
B. abc>0
C. 13a+b+2c>0
D. 不等式bx2−ax−c>0的解集为{x|−2三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知a= 10− 6，b= 6− 2，则a ______b.(填“>”或“<”)
13.已知a∈R，b∈R，集合{a+b,a,2}={a2,2,0}，则(a−b)3= ______．
14.已知m四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知全集U=R，集合A={x|−2(1)若a=2，求A∪B，∁UB；
(2)若B⊆A，求a的取值范围．
16.(本小题15分)
给出下列两个结论：①关于x的方程x2+mx−m+3=0无实数根；②存在0≤x≤2，使(m+1)x−3=0．
(1)若结论①正确，求m的取值范围；
(2)若结论①，②中恰有一个正确，求m的取值范围．
17.(本小题15分)
已知正数a，b，c满足abc=1．
(1)若c=1，求2a+3b的最小值；
(2)求a2+b2+2c2+8ac+bc的最小值．
18.(本小题17分)
已知a∈R，函数y=ax2+(3a+2)x+2a+3．
(1)当a=1时，函数y=ax2+(3a+2)x+2a+3的图象与x轴交于A(x1,0)，B(x2,0)两点，求x13+x23；
(2)求关于x的不等式y≥1的解集．
19.(本小题17分)
设A是由若干个正整数组成的集合，且存在3个不同的元素a，b，c∈A，使得a−b=b−c，则称A为“等差集”．
(1)若集合A={1,3,5,9}，B⊆A，且B是“等差集”，用列举法表示所有满足条件的B；
(2)若集合A={1,m,m2−1}是“等差集”，求m的值；
(3)已知正整数n≥3，证明：{x,x2,x2,…,xn}不是“等差集”．
参考答案
1.D
2.D
3.B
4.B
5.A
6.C
7.D
8.B
9.ABD
10.AB
11.BCD
12.<
13.8
14.−1
15.解：(1)当a=2时，B={x|1则∁UB={x|x≤1或x≥4}，
因为A={x|−2所以A∪B={x|−2(2)当B=⌀时，a−1≥2a，
解得a≤−1，
当B≠⌀时，由B⊆A，得a−1<2aa−1≥−22a≤3，
解得−1综上所述，a的取值范围为{a|a≤32}.
16.解：(1)若关于x的方程x2+mx−m+3=0无实数根，
则有Δ=m2−4(−m+3)<0，
即m2+4m−12=(m−2)(m+6)<0，
解得−6所以m的取值范围为(−6,2)；
(2)若存在0≤x≤2，使(m+1)x−3=0，
由x=0时，(m+1)x−3=−3≠0，
故m+1=3x在0即有m+1≥32，即m≥12，
由(1)知，若结论①正确，则−6故结论①，②中恰有一个正确时，−6解得−6即m的取值范围(−6,12)∪[2，+∞)．
17.解：(1)因为a，b，c都是正数，且abc=1，
当c=1，则ab=1，
则2a+3b≥2 2a⋅3b=2 6ab=2 6，
当且仅当2a=3b，即a= 63,b= 62时等号成立，
所以2a+3b的最小值为2 6；
(2)a2+b2+2c2+8ac+bc=a2+c2+b2+c2+8ac+bc
≥2 a2c2+2 b2c2+8ac+bc=2ab+2bc+8ac+bc
=2(ab+bc)+8ac+bc≥2 2(ab+bc)⋅8ac+bc=8，
当且仅当a=c、b=c、2(ab+bc)=8ac+bc、abc=1时，
即a=b=c=1时，等号成立，
故a2+b2+2c2+8ac+bc的最小值为8．
18.解：(1)函数y=ax2+(3a+2)x+2a+3，
当a=1时，y=x2+5x+5，
因为y=x2+5x+5的图象与x轴交于A(x1,0)，B(x2,0)两点，
即x2+5x+5=0的两个根为x1，x2，
由根与系数的关系可得：x1+x2=−5，x1x2=5，
所以x12+x22=(x1+x2)2−2x1x2=25−10=15，
所以x13+x23=(x1+x2)(x12+x22−x1x2)=−5×(15−5)=−50；
(2)由y≥1，得ax2+(3a+2)x+2a+3≥1，
即ax2+(3a+2)x+2a+2≥0，即(ax+2a+2)(x+1)≥0，
当a=0时，2x+2≥0，解得x≥−1，
当a≠0时，方程ax2+(3a+2)x+2a+2=0即为(x+1)(ax+2a+2)=0，
解得x=−1或x=−2−2a，令−1=−2−2a，即a=−2，
当a>0时，−2−2a<−1，不等式ax2+(3a+2)x+2a+2≥0即为(x+2a+2a)(x+1)≥0，
解得x≤−2−2a或x≥−1；
当a<0时，当−2−2a<−1，即a<−2时，
不等式ax2+(3a+2)x+2a+2≥0，即为(x+2a+2a)(x+1)≤0，
解得−2−2a≤x≤−1；
当−2−2a=−1，即a=−2，
不等式ax2+(3a+2)x+2a+2≥0即为−2x2−4x−2≥0，解得x=−1，
当−2−2a>−1，即−2解得−1≤x≤−2−2a，
综上所述：当a=0时，解集为{x|x≥−1}；
当a>0时，解集为{x|x≤−2−2a或x≥−1}；
当a<−2时，解集为{x|−2−2a≤x≤−1}；
当a=−2时，解集为{x|x=−1}；
当−219.解：(1)因为集合A={1,3,5,9}，B⊆A，存在3个不同的元素a，b，c∈B，使得a−b=b−c，
则B={1,3,5,9}或B={1,3,5}或B={1,5,9}．
(2)因为集合A={1,m,m2−1}是“等差集”，
所以2=m+m2−1或2m=1+m2−1或2+m=2(m2−1)，
计算可得m=−1± 132或m=0或m=2或m=1± 334，
又因为m正整数，所以m=2．
(3)假设{x,x2,x2,⋯,xn}是“等差集”，
则存在m，n，q∈{1,2,3,…,n}，m化简可得2=xm+n+xq−n，xm−n>0，
因为x∈N∗，q−n≥1，所以2>xq−n≥x≥1，
所以x=1与{x,x2,x2,⋯,xn}集合的互异性矛盾，
所以{x,x2,x2,⋯,xn}不是“等差集”．
1.下列关系式正确的是( )
A. 3∈QB. −1∈NC. Z⊆ND. Q⊆R
2.关于命题q：∀a
C. q是全称量词命题，是真命题D. q是全称量词命题，是假命题
3.已知集合A={x∈Z|3x−1∈Z}，则用列举法表示A=( )
A. {−2,0,1,2,4}B. {−2,0,2,4}C. {0,2,4}D. {2,4}
4.已知a>0，b>0，c>0，则“a+b>c”是“a，b，c可以构成三角形的三条边”的( )
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
5.已知正数a，b满足1a+2b=1，则a+2b的最小值为( )
A. 9B. 6C. 4D. 3
6.已知集合A={(x,y)|y=x2+ax+1}，B={(x,y)|y=2x−3}，C=A∩B，若C恰有1个真子集，则实数a=( )
A. 2B. 6C. −2或6D. 2或6
7.某花卉店售卖一种多肉植物，若每株多肉植物的售价为30元，则每天可卖出25株；若每株肉植物的售价每降低1元，则日销售量增加5株.为了使这种多肉植物每天的总销售额不低于1250元，则每株这种多肉植物的最低售价为( )
A. 25元B. 20元C. 15元D. 10元
8.学校统计某班45名学生参加音乐、科学、体育3个兴趣小组的情况，其中有20名学生参加了音乐小组，有21名学生参加了科学小组，有22名学生参加了体育小组，有24名学生只参加了1个兴趣小组，有12名学生只参加了2个兴趣小组，则3个兴趣小组都没参加的学生有( )
A. 5名B. 4名C. 3名D. 2名
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列各组对象能构成集合的有( )
A. 南昌大学2024级大一新生B. 我国第一位获得奥运会金牌的运动员
C. 体型庞大的海洋生物D. 唐宋八大家
10.已知a>b>0，则使得a+ca>b+cb成立的充分条件可以是( )
A. c=−2B. c=−1C. c=1D. c=2
11.已知二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c为常数，且a≠0)的部分图象如图所示，则( )
A. a+b>0
B. abc>0
C. 13a+b+2c>0
D. 不等式bx2−ax−c>0的解集为{x|−2
12.已知a= 10− 6，b= 6− 2，则a ______b.(填“>”或“<”)
13.已知a∈R，b∈R，集合{a+b,a,2}={a2,2,0}，则(a−b)3= ______．
14.已知m
15.(本小题13分)
已知全集U=R，集合A={x|−2
(2)若B⊆A，求a的取值范围．
16.(本小题15分)
给出下列两个结论：①关于x的方程x2+mx−m+3=0无实数根；②存在0≤x≤2，使(m+1)x−3=0．
(1)若结论①正确，求m的取值范围；
(2)若结论①，②中恰有一个正确，求m的取值范围．
17.(本小题15分)
已知正数a，b，c满足abc=1．
(1)若c=1，求2a+3b的最小值；
(2)求a2+b2+2c2+8ac+bc的最小值．
18.(本小题17分)
已知a∈R，函数y=ax2+(3a+2)x+2a+3．
(1)当a=1时，函数y=ax2+(3a+2)x+2a+3的图象与x轴交于A(x1,0)，B(x2,0)两点，求x13+x23；
(2)求关于x的不等式y≥1的解集．
19.(本小题17分)
设A是由若干个正整数组成的集合，且存在3个不同的元素a，b，c∈A，使得a−b=b−c，则称A为“等差集”．
(1)若集合A={1,3,5,9}，B⊆A，且B是“等差集”，用列举法表示所有满足条件的B；
(2)若集合A={1,m,m2−1}是“等差集”，求m的值；
(3)已知正整数n≥3，证明：{x,x2,x2,…,xn}不是“等差集”．
参考答案
1.D
2.D
3.B
4.B
5.A
6.C
7.D
8.B
9.ABD
10.AB
11.BCD
12.<
13.8
14.−1
15.解：(1)当a=2时，B={x|1
因为A={x|−2
解得a≤−1，
当B≠⌀时，由B⊆A，得a−1<2aa−1≥−22a≤3，
解得−1
16.解：(1)若关于x的方程x2+mx−m+3=0无实数根，
则有Δ=m2−4(−m+3)<0，
即m2+4m−12=(m−2)(m+6)<0，
解得−6
(2)若存在0≤x≤2，使(m+1)x−3=0，
由x=0时，(m+1)x−3=−3≠0，
故m+1=3x在0
由(1)知，若结论①正确，则−6
17.解：(1)因为a，b，c都是正数，且abc=1，
当c=1，则ab=1，
则2a+3b≥2 2a⋅3b=2 6ab=2 6，
当且仅当2a=3b，即a= 63,b= 62时等号成立，
所以2a+3b的最小值为2 6；
(2)a2+b2+2c2+8ac+bc=a2+c2+b2+c2+8ac+bc
≥2 a2c2+2 b2c2+8ac+bc=2ab+2bc+8ac+bc
=2(ab+bc)+8ac+bc≥2 2(ab+bc)⋅8ac+bc=8，
当且仅当a=c、b=c、2(ab+bc)=8ac+bc、abc=1时，
即a=b=c=1时，等号成立，
故a2+b2+2c2+8ac+bc的最小值为8．
18.解：(1)函数y=ax2+(3a+2)x+2a+3，
当a=1时，y=x2+5x+5，
因为y=x2+5x+5的图象与x轴交于A(x1,0)，B(x2,0)两点，
即x2+5x+5=0的两个根为x1，x2，
由根与系数的关系可得：x1+x2=−5，x1x2=5，
所以x12+x22=(x1+x2)2−2x1x2=25−10=15，
所以x13+x23=(x1+x2)(x12+x22−x1x2)=−5×(15−5)=−50；
(2)由y≥1，得ax2+(3a+2)x+2a+3≥1，
即ax2+(3a+2)x+2a+2≥0，即(ax+2a+2)(x+1)≥0，
当a=0时，2x+2≥0，解得x≥−1，
当a≠0时，方程ax2+(3a+2)x+2a+2=0即为(x+1)(ax+2a+2)=0，
解得x=−1或x=−2−2a，令−1=−2−2a，即a=−2，
当a>0时，−2−2a<−1，不等式ax2+(3a+2)x+2a+2≥0即为(x+2a+2a)(x+1)≥0，
解得x≤−2−2a或x≥−1；
当a<0时，当−2−2a<−1，即a<−2时，
不等式ax2+(3a+2)x+2a+2≥0，即为(x+2a+2a)(x+1)≤0，
解得−2−2a≤x≤−1；
当−2−2a=−1，即a=−2，
不等式ax2+(3a+2)x+2a+2≥0即为−2x2−4x−2≥0，解得x=−1，
当−2−2a>−1，即−2
综上所述：当a=0时，解集为{x|x≥−1}；
当a>0时，解集为{x|x≤−2−2a或x≥−1}；
当a<−2时，解集为{x|−2−2a≤x≤−1}；
当a=−2时，解集为{x|x=−1}；
当−2
则B={1,3,5,9}或B={1,3,5}或B={1,5,9}．
(2)因为集合A={1,m,m2−1}是“等差集”，
所以2=m+m2−1或2m=1+m2−1或2+m=2(m2−1)，
计算可得m=−1± 132或m=0或m=2或m=1± 334，
又因为m正整数，所以m=2．
(3)假设{x,x2,x2,⋯,xn}是“等差集”，
则存在m，n，q∈{1,2,3,…,n}，m
因为x∈N∗，q−n≥1，所以2>xq−n≥x≥1，
所以x=1与{x,x2,x2,⋯,xn}集合的互异性矛盾，
所以{x,x2,x2,⋯,xn}不是“等差集”．
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