中考数学总复习举一反三系列(通用版)专题22与圆有关的位置关系(10个高频考点)(强化训练)(全国通用)(原卷版+解析)

这是一份中考数学总复习举一反三系列(通用版)专题22与圆有关的位置关系(10个高频考点)(强化训练)(全国通用)(原卷版+解析)，共77页。


【考点1 点与圆的位置关系】
1.（2022·广东广州·一模）A，B两个点的坐标分别为（3，4），（﹣5，1），以原点O为圆心，5为半径作⊙O，则下列说法正确的是（ ）
A．点A，点B都在⊙O上B．点A在⊙O上，点B在⊙O外
C．点A在⊙O内，点B在⊙O上D．点A，点B都在⊙O外
2．（2022·广西崇左·统考一模）已知⊙O的半径为3，点P到圆心O的距离为4，则点P（ ）
A．在⊙O内B．在⊙O上C．在⊙O外D．无法确定
3．（2022·山东枣庄·校考一模）点P是非圆上一点，若点P到⊙O上的点的最小距离是4cm，最大距离是9cm，则⊙O的半径是______．
4．（2022春·上海·九年级专题练习）已知在△ABC中，AB＝AC，BC＝10，ctB=512，如果顶点C在⊙B内，顶点A在⊙B外，那么⊙B的半径r的取值范围是________．
5．（2022·上海静安·统考二模）如图，已知矩形ABCD的边AB=6，BC=8，现以点A为圆心作圆，如果B、C、D至少有一点在圆内，且至少有一点在圆外，那么⊙A半径r的取值范围是_________．
【考点2 直线与圆的位置关系】
6．（2022·辽宁抚顺·统考一模）已知⊙O的半径为3cm，圆心O到直线l的距离是2cm，则直线l与⊙O的位置关系是______．
7．（2022·上海青浦·统考二模）如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC,∠A=90°，E是AD上一定点，AB=3,BC=6,AD=8,AE=2．点P是BC上一个动点，以P为圆心，PC为半径作⊙P．若⊙P与以E为圆心，1为半径的⊙E有公共点，且⊙P与线段AD只有一个交点，则PC长度的取值范围是 __．

8．（2022·湖北襄阳·统考一模）在平面直角坐标系中，已知点A的坐标为3,1，若⊙A与坐标轴有三个公共点，则⊙A的半径为______．
9.（2022·北京密云·统考二模）对于平面直角坐标系xOy中的点P2,3与图形T，给出如下定义：在点P与图形T上各点连接的所有线段中，线段长度的最大值与最小值的差，称为图形T关于点P的“宽距”．
(1)如图，⊙O的半径为2，且与x轴分别交于A，B两点．
①线段AB关于点P的“宽距”为______；⊙O关于点P的“宽距”为______．
②点Mm,0为x轴正半轴上的一点，当线段AM关于点P的“宽距”为2时，求m的取值范围．
(2)已知一次函数y=x+1的图象分别与x轴、y轴交于D、E两点，⊙C的圆心在x轴上，且⊙C的半径为1．若线段DE上的任意一点K都能使得⊙C关于点K的“宽距”为2，直接写出圆心C的横坐标xC的取值范围．
10.（2022·浙江丽水·一模）在平面直角坐标系中，点P的坐标为3,m，若圆P与y轴相切，那么⊙P与直线x=5的位置关系是（ ）
A．相交B．相切C．相离D．不能确定
【考点3 圆与圆的位置关系】
11．（2022·内蒙古鄂尔多斯·统考中考真题）实验学校的花坛形状如图所示，其中，等圆⊙O1与⊙O2的半径为3米，且⊙O1经过⊙O2的圆心O2．已知实线部分为此花坛的周长，则花坛的周长为（ ）
A．4π米B．6π米C．8π米D．12π米
12．（2022·江苏镇江·统考中考真题）如图，在等腰△ABC中，∠BAC=120°，BC= 63，⊙O同时与边BA的延长线、射线AC相切，⊙O的半径为3．将△ABC绕点A按顺时针方向旋转α0°<α≤360°，B、C的对应点分别为B′、C′，在旋转的过程中边B′C′所在直线与⊙O相切的次数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
13．（2022·上海普陀·统考二模）知⊙O1和⊙O2，⊙O1的半径长为10厘米，当两圆外切时，两圆的圆心距为25厘米，如果两圆的圆心距为15厘米时，那么此时这两圆的位置关系是（ ）
A．内含B．内切C．相交D．外离
14．（2022·山东济南·济南育英中学校考模拟预测）如图，在一个边长为3的正方形内有两个互相外切的圆，且两圆都与正方形的两邻边相切，两圆心距为（ ）
A．6−32B．6+322C．32D．1.5
15．（2022·湖北武汉·统考一模）如图，在平面内⊙O1，⊙O2，⊙O3两两外切，其中⊙O1的半径为8，⊙O2，⊙O3的半径都为5．用一张半径为R的圆形纸片把这三个圆完全覆盖，则R的最小值为（ ）
A．403B．10C．13D．15
【考点4 切线的判定的综合运用】
16．（2022·山东菏泽·统考中考真题）如图，在△ABC中，以AB为直径作⊙O交AC、BC于点D、E，且D是AC的中点，过点D作DG⊥BC于点G，交BA的延长线于点H．
(1)求证：直线HG是⊙O的切线；
(2)若HA=3,csB=25，求CG的长．
17．（2022·山东枣庄·统考中考真题）如图，在半径为10cm的⊙O中，AB是⊙O的直径，CD是过⊙O上一点C的直线，且AD⊥DC于点D，AC平分∠BAD，点E是BC的中点，OE＝6cm．
(1)求证：CD是⊙O的切线；
(2)求AD的长．
18．（2022·湖北荆门·统考中考真题）如图，AB为⊙O的直径，点C在直径AB上（点C与A，B两点不重合），OC＝3，点D在⊙O上且满足AC＝AD，连接DC并延长到E点，使BE＝BD．
(1)求证：BE是⊙O的切线；
(2)若BE＝6，试求cs∠CDA的值．
19．（2022·湖南湘西·统考中考真题）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AE平分∠BAC交BC于点E，O为AC上一点，经过点A、E的⊙O分别交AB、AC于点D、F，连接OD交AE于点M．
(1)求证：BC是⊙O的切线．
(2)若CF＝2，sinC＝35，求AE的长．
20．（2022·山东济宁·统考中考真题）如图，在矩形ABCD中，以AB的中点O为圆心，以OA为半径作半圆，连接OD交半圆于点E，在BE上取点F，使AE=EF，连接BF，DF．
(1)求证：DF与半圆相切；
(2)如果AB＝10，BF＝6，求矩形ABCD的面积．
【考点5 切线的性质的综合运用】
21．（2022·内蒙古·中考真题）如图，⊙O是△ABC的外接圆，EF与⊙O相切于点D，EF∥BC分别交AB，AC的延长线于点E和F，连接AD交BC于点N，∠ABC的平分线BM交AD于点M．
(1)求证：AD平分∠BAC；
(2)若AB:BE=5:2，AD=14，求线段DM的长．
22．（2022·四川巴中·统考中考真题）四边形ABCD内接于⊙O，直径AC与弦BD交于点E，直线PB与⊙O相切于点B．
(1)如图1，若∠PBA=30°，且EO=EA，求证：BA平分∠PBD；
(2)如图2，连接OB，若∠DBA=2∠PBA，求证：△OAB∽△CDE．
23．（2022·山东济南·统考中考真题）已知：如图，AB为⊙O的直径，CD与⊙O相切于点C，交AB延长线于点D，连接AC，BC，∠D＝30°，CE平分∠ACB交⊙O于点E，过点B作BF⊥CE，垂足为F．
(1)求证：CA＝CD；
(2)若AB＝12，求线段BF的长．
24．（2022·青海西宁·统考中考真题）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，点D在AB上，以BD为直径的⊙O与AC相切于点E，交BC于点F，连接DF，OE交于点M．
(1)求证：四边形EMFC是矩形；
(2)若AE=5，⊙O的半径为2，求FM的长．
25．（2022·辽宁大连·统考中考真题）AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，OD⊥BC，垂足为D，过点A作⊙O的切线，与DO的延长线相交于点E．
(1)如图1，求证∠B=∠E；
(2)如图2，连接AD，若⊙O的半径为2，OE=3，求AD的长．
【考点6 切线长定理】
26．（2022·浙江杭州·模拟预测）如图，直线AB，BC，CD分别与⊙O相切于E，F，G，且AB∥CD，若OB=6cm，OC=8cm，则BE+CG的长等于______．
27．（2022·浙江宁波·统考一模）如图，矩形ABCD中，AB=11，AD=4，⊙O分别与边AD，AB，CD相切，点M，N分别在AB，CD上，CN=1，将四边形BCNM沿着MN翻折，使点B、C分别落在B′、C′处，若射线MB′恰好与⊙O相切，切点为G，则线段MB的长为 __．
28．（2022·安徽蚌埠·统考二模）如图，△ABC中，∠BAC=90°，M是BC的中点，△ABM的内切圆与AB，BM分别相切于点D，E，连接DE．若DE∥AM，则∠C的大小为______．
29．（2022·北京西城·校考模拟预测）如图，AD是⊙O的直径，点P是⊙O外一点，连接PO交⊙O于点C，作PB，PD分别切⊙O于点B，D，连接AB，AC．
(1)求证：AB∥OP；
(2)连接PA，若PA=42，tan∠BAD=2，求线段AB的长．
30．（2022·河北邯郸·校考三模）如图1，菱形ABCD的边长为12cm，∠B＝60°，M，N分别在边AB，CD．上，AM＝3cm，DN＝4cm，点P从点M出发，沿折线MB﹣BC以1cm/s的速度向点C匀速运动（不与点C重合）；△APC的外接圆⊙O与CD相交于点E，连接PE交AC于点F．设点P的运动时间为ts．
(1)∠APE＝ °；
(2)若⊙O与AD相切，
①判断⊙O与CD的位置关系；
②求APC的长；
(3)如图3，当点P在BC上运动时，求CF的最大值，并判断此时PE与AC的位置关系；
(4)若点N在⊙O的内部，直接写出t的取值范围．
【考点7 三角形的内切圆】
31．（2022·四川泸州·校考模拟预测）如图，△ABC的内切圆⊙O与AB，BC，CA分别相切于点D，E，F，AB=14，BC=13，CA=9，则AD的长是（ ）
A．3.5B．4C．4.5D．5
32．（2022·四川泸州·二模）如图，△ABC的内切圆⊙O与AB，BC，AC相切于点D，E，F，已知AB＝6，AC＝5，BC＝7，则DE的长是（ ）
A．1277B．1077C．977D．877
33．（2022·湖北武汉·统考模拟预测）如图，⊙I是Rt△ABC中的内切圆，∠ACB=90∘，过点I作EF∥AB分别交CA，CB于E，F，若EA＝4，BF＝3，则⊙I的半径是（ ）
A．72B．52C．125D．3
34．（2022·山东聊城·统考二模）如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，则△ABC的内切圆半径r长为（ ）
A．1.5B．1C．2D．1.2
35．（2022·湖北·校联考一模）扇形OAB中，圆心角∠AOB=α，BD⊥OA，垂足为D，⊙I是△BOD的内切圆，则∠OIA的大小为（ ）
A．135°B．120°C．180°-αD．90°+α
【考点8 直线和圆的位置关系（一次函数）】
36．（2022·九年级单元测试）如图，一次函数y=﹣12x+a（a＞0）的图像与坐标轴交于A，B两点，以坐标原点O为圆心，半径为2的⊙O与直线AB相离，则a的取值范围是______．
37．（2022·北京·一模）对于平面直角坐标系xOy中的任意一点P，给出如下定义：经过点P且平行于两坐标轴夹角平分线的直线，叫做点P的“特征线”．例如：点M(1,3)的特征线是y=x+2和y=−x+4．
（1）若点D的其中一条特征线是y=x+1，则在D1(2,2)、D2(−1,0)、D3(−3,4)三个点中，可能是点D的点有_______；
（2）已知点P(−1,2)的平行于第二、四象限夹角平分线的特征线与x轴相交于点A，直线y=kx+b(k≠0)经过点P，且与x轴交于点B．使△BPA的面积不小于6，求k的取值范围；
（3）已知点C(2,0)，T(t,0)，且⊙T的半径为1．当⊙T与点C的特征线存在交点时，直接写出t的取值范围．
38．（2022春·全国·九年级专题练习）已知：直线y=kxk≠0经过点3,−4.
（1）求k的值；
（2）将该直线向上平移mm>0个单位，若平移后得到的直线与半径为6的⊙O相离（点O为坐标原点），试求m的取值范围.
39．（2022春·九年级单元测试）在平面直角坐标系xOy中，点A在直线l上，以A为圆心，OA为半径的圆与y轴的另一个交点为E．给出如下定义：若线段OE，⊙A和直线l上分别存在点B，点C和点D，使得四边形ABCD是矩形（点A，B，C，D顺时针排列），则称矩形ABCD为直线l的“位置矩形”．
例如，图中的矩形ABCD为直线l的“位置矩形”．
（1）若点A（-1，2），四边形ABCD为直线x=-1的“位置矩形”，则点D的坐标为 ；
（2）若点A（1，2），求直线y=kx+1（k≠0）的“位置矩形”的面积；
（3）若点A（1，-3），直线l的“位置矩形”面积的最大值为 ，此时点D的坐标为 ．
40．（2022秋·江苏无锡·九年级校联考期中）如图，直线y=34x+b（b>0）与x轴、y轴交于点A、B，在直线AB上取一点C，过点C作x轴的垂线，垂足为E，若点E（4，0）．
（1）若EC=BC，求b的值；
（2）在（1）的条件下，有一动点P从点B出发，延着射线BC方向以每秒1个单位的速度运动，以点P为圆心，作半径为12的圆，动点Q从点O出发，在线段OE上以每秒1个单位的速度作来回运动，过点Q作直线l垂直x轴，点P与点Q同时从点B、点O开始运动，问经过多少秒后，直线l和⊙P相切．
【考点9 圆的切线的运用（尺规作圆）】
41．（2022秋·广东广州·九年级统考期末）如图，在△ABC中，AB=AC，BC=6cm．完成以下两个小题的解答：
(1)用尺规作BC的中点D，并以AD为半径作⊙A（不写作法，保留作图痕迹），求证：⊙A与边BC相切；
(2)若⊙A恰好交于边AB的中点，求⊙A的半径长．
42．（2022·安徽亳州·统考二模）已知，线段BC与⊙A相切于点B，BC=6，CD=3．
(1)求⊙A的半径；
(2)用尺规作BE∥AC交⊙A于点E，求BE的长．
43．（2022·福建厦门·福建省同安第一中学校考二模）如图，已知△ABC，∠B=40°．
（1）在图中，用尺规作出△ABC的内切圆的圆心O（保留痕迹，不必写作法；三角形的内切圆：与三角形三边都相切的圆）；
（2）画出⊙O与边AB，BC，AC的切点D、E、F，连接EF，DF，求∠EFD的度数．
44．（2022·江苏泰州·统考二模）知⊙O及⊙O上一点P，过点P作⊙O的切线.
小明设计了如下尺规作法：
①连接OP，以点P为圆心，OP长为半径画弧交⊙O于点A；
②连接OA，延长OA到B，使AB=OA，作直线PB．则直线即为所求作.
（1）请证明小明作法的正确性；
（2）请你自己再设计一种尺规作图方法（保留痕迹，不要证明）.
45．（2022·陕西西安·统考一模）如图，已知⊙O及圆外一点P，请你利用尺规作⊙的切线PA．（不写作法，保留作图痕迹）
【考点10 动圆问题】
46．（2022秋·广东惠州·九年级校考阶段练习）如图，A(8，0)、B(0，6)分别是平面直解坐标系xOy坐标轴上的点，经过点O且与AB相切的动圆与x轴、y轴分别相交于点P、Q，则线段PQ长度的最小值是（）
A．42B．5C．4.8D．4.75
47．（2022·山东东营·校考一模）如图，在△ABC中，AB=10，AC=8，BC=6，经过点C且与边AB相切的动圆与CA、CB分别相交于点P、Q，则线段PQ长度的最小值是（ ）
A．4.75B．4.8C．5D．42
48．（2022春·九年级课时练习）如图，在矩形ABCD中，BC=8，AB=6，经过点B和点D的两个动圆均与AC相切，且与AB、BC、AD、DC分别交于点G、H、E、F，则EF+GH的最小值是________．
49．（2022·江苏南京·九年级专题练习）如图，在直角坐标系中，以5为半径的动圆的圆心A沿x轴移动，当⊙A与直线l:y=512x只有一个公共点时，点A的坐标为________________．
50．（2022秋·全国·九年级专题练习）如图，过点O和点M(2,2)的动圆⊙O1分别与x轴，y轴相交于点A，B．
(1)求OA+OB的值；
(2)设ΔBOA的内切圆⊙I的直径为d，求证：d+AB为定值．
专题22 与圆有关的位置关系（10个高频考点）（强化训练）
【考点1 点与圆的位置关系】
1.（2022·广东广州·一模）A，B两个点的坐标分别为（3，4），（﹣5，1），以原点O为圆心，5为半径作⊙O，则下列说法正确的是（ ）
A．点A，点B都在⊙O上B．点A在⊙O上，点B在⊙O外
C．点A在⊙O内，点B在⊙O上D．点A，点B都在⊙O外
【答案】B
【分析】根据勾股定理，可得OA、OB的长，根据点与圆心的距离d，则d＞r时，点在圆外；当d=r时，点在圆上；当d＜r时，点在圆内．
【详解】解：∵OA＝32+42＝5，
OB＝52+12＝26＞5，
∴点A在⊙O上，点B在⊙O外．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了对点与圆的位置关系的判断．关键要记住若半径为r，点到圆心的距离为d，则有：当d＞r时，点在圆外；当d=r时，点在圆上，当d＜r时，点在圆内．
2．（2022·广西崇左·统考一模）已知⊙O的半径为3，点P到圆心O的距离为4，则点P（ ）
A．在⊙O内B．在⊙O上C．在⊙O外D．无法确定
【答案】C
【分析】根据点与圆心的距离与半径的大小关系即可确定点P与⊙O的位置关系．
【详解】解：∵⊙O的半径分别是3，点P到圆心O的距离为4，
∴d＞r，
∴点P与⊙O的位置关系是：点在圆外．
故选：C．
【点睛】本题考查了点与圆的位置关系．注意若半径为r，点到圆心的距离为d，则有：当d＞r时，点在圆外；当d=r时，点在圆上，当d＜r时，点在圆内．
3．（2022·山东枣庄·校考一模）点P是非圆上一点，若点P到⊙O上的点的最小距离是4cm，最大距离是9cm，则⊙O的半径是______．
【答案】6.5cm或2.5cm
【分析】分点P在⊙O外和⊙O内两种情况分析；设⊙O的半径为xcm，根据圆的性质列一元一次方程并求解，即可得到答案．
【详解】设⊙O的半径为xcm
当点P在⊙O外时，根据题意得：4+2x=9
∴x=2.5cm
当点P在⊙O内时，根据题意得：2x=9+4
∴x=6.5cm
故答案为：6.5cm或2.5cm．
【点睛】本题考查了圆、一元一次方程的知识；解题的关键是熟练掌握圆的性质，从而完成求解．
4．（2022春·上海·九年级专题练习）已知在△ABC中，AB＝AC，BC＝10，ctB=512，如果顶点C在⊙B内，顶点A在⊙B外，那么⊙B的半径r的取值范围是________．
【答案】10r>10
【分析】过点A作AD⊥BC于D，则BD=12BC=12×10=5，解Rt△ABD，求出AD长，从而求出AB长，再根据点与圆的位置关系求解即可．
【详解】解：如图，过点A作AD⊥BC于D，
∵AB=AC，AD⊥BC，
∴BD=12BC=12×10=5，∠ADB=90°，
∵ct B=BDAD=512，即5AD=512
∴AD=12，
由勾股定理，得AB=AD2+BD2=122+52=13，
∵顶点C在⊙B内，顶点A在⊙B外，
∴10故答案为：10【点睛】本题考查等腰三角形的性质，解直角三角形，点与圆的位置关系，过点A作AD⊥BC于D，构造直角三角形是解题的关键．
5．（2022·上海静安·统考二模）如图，已知矩形ABCD的边AB=6，BC=8，现以点A为圆心作圆，如果B、C、D至少有一点在圆内，且至少有一点在圆外，那么⊙A半径r的取值范围是_________．
【答案】6【分析】先求出矩形对角线的长，然后由B、C、D至少有一点在圆内，且至少有一点在圆外，即可确定⊙A半径r的取值范围．
【详解】解：连接AC，如图，
∵AB=6，BC=8，
由勾股定理可得：AC=AB2+BC2=62+82=10，
∵AB=6，BC=8，AC=10，
又∵B、C、D至少有一点在圆内，且至少有一点在圆外，
∴点B在⊙A内，点C在⊙A外，
∴6故答案为：6【点睛】本题主要考查的是勾股定理、点与圆的位置关系．
【考点2 直线与圆的位置关系】
6．（2022·辽宁抚顺·统考一模）已知⊙O的半径为3cm，圆心O到直线l的距离是2cm，则直线l与⊙O的位置关系是______．
【答案】相交
【分析】根据圆心O到直线l的距离小于半径即可判定直线l与⊙O的位置关系为相交．
【详解】解：∵圆心O到直线l的距离是2cm，小于⊙O的半径为3cm，
∴直线l与⊙O相交．
故答案为：相交．
【点睛】此题考查的是直线与圆的位置关系，根据圆心到直线的距离d与半径r的大小关系解答．若dr，则直线与圆相离．
7．（2022·上海青浦·统考二模）如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC,∠A=90°，E是AD上一定点，AB=3,BC=6,AD=8,AE=2．点P是BC上一个动点，以P为圆心，PC为半径作⊙P．若⊙P与以E为圆心，1为半径的⊙E有公共点，且⊙P与线段AD只有一个交点，则PC长度的取值范围是 __．

【答案】154【分析】根据题意可得PC的最小值为圆P与AD相切，切点为M；PC最大值为圆P′与圆E内切，切点为Q，由直线与圆的位置关系，圆与圆的位置关系即可解决问题．
【详解】解：根据题意可知：PC的最小值为圆P与AD相切，切点为M，如图所示：

∴PM⊥AD，
在直角梯形ABCD中，
∵AD∥BC，
∴∠ABC=∠A=90°，
∴四边形ABPM是矩形，
∴PM=AB=PC=3，
PC最大值为圆P′与圆E内切，切点为Q，
∴P′C=P′Q=P′E+EQ=3+1=4，
当PC=PA时，此时圆P与线段AD开始有2个交点，不符合题意，
设PC=PA=x，则BP=BC−PC=6−x,AB=3，
∴6−x2+9=x2，
∴x=154，
则PC长度的取值范围是154故答案为：154【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，圆与圆的位置关系，直角梯形，解决本题的关键是掌握直线与圆的位置关系，圆与圆的位置关系．
8．（2022·湖北襄阳·统考一模）在平面直角坐标系中，已知点A的坐标为3,1，若⊙A与坐标轴有三个公共点，则⊙A的半径为______．
【答案】10或3
【分析】利用圆与坐标轴的位置关系，画出符合要求的图形进行求解即可．
【详解】
∵点A的坐标为3,1
∴如图1，当⊙A经过原点时，半径为OA=32+12=10
如图2，当⊙A与y轴相切时，半径为点A到y轴的距离为3
故答案为：10或3
【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系及坐标与图形性质，直线和圆的位置关系的确定一般是利用圆心到直线的距离与半径比较来判断，若圆心到直线的距离是d，半径是r，则①d>r，直线和圆相离，没有交点；②d=r，直线和圆相切，有一个交点；③d9.（2022·北京密云·统考二模）对于平面直角坐标系xOy中的点P2,3与图形T，给出如下定义：在点P与图形T上各点连接的所有线段中，线段长度的最大值与最小值的差，称为图形T关于点P的“宽距”．
(1)如图，⊙O的半径为2，且与x轴分别交于A，B两点．
①线段AB关于点P的“宽距”为______；⊙O关于点P的“宽距”为______．
②点Mm,0为x轴正半轴上的一点，当线段AM关于点P的“宽距”为2时，求m的取值范围．
(2)已知一次函数y=x+1的图象分别与x轴、y轴交于D、E两点，⊙C的圆心在x轴上，且⊙C的半径为1．若线段DE上的任意一点K都能使得⊙C关于点K的“宽距”为2，直接写出圆心C的横坐标xC的取值范围．
【答案】(1)①2；4
②2≤m≤6
(2)xC≤-2或xC≥2-1
【分析】（1）①连接PA，PB，求出PA=5，PB=4，证PB⊥x轴，则PA是最大值，PB是最小值，即可由“宽距”定义求解第一空；作直线OP交 ⊙O于G、H，线段PH长度最大，PG长度最小，即可由“宽距”定义求解第二空；
②当0（2）分两种情况：当点C(xC，0）在点D的左侧，且⊙C经过点D时，当点C(xC，0）在点D的右侧，且⊙C与直线y=x+1相切于点N时，分别求解即可．
（1）
解：①如图1，连接PA，PB，
由图可知：A（-2，0），B（2，0），
∴AB=4，
∵P（2，3），
∴PB⊥x轴，
∴PB=3，PA=2+22+32=5，
∴线段AB关于点P的“宽距”为5-3=2；
作直线OP交 ⊙O于G、H，
则点这与⊙O上各点连接的所有线段中，线段PH长度最大，PG长度最小，
∴⊙O关于点P的“宽距”为PH-PG=GH=4；
故答案为：2，4；
②∵点Mm,0为x轴正半轴上的一点，
∴m>0，
当0当m≥2时，
∵P（2，3），
∴点P到x轴的最短距离为3,即点P到AM的最短距离为3，
又∵线段AM关于点P的“宽距”为2，
∴当PM长度是最大时，最大值为2+3=5，
∴PM最大=m−22+32=5，
解得m=6或m=-2，
∴2≤m≤6．
（2）
解：如图2，在直线y=x+1中，令x=0，则y=1，令y=0，则x=-1，
∴D（-1，0），E（0，1），
∴OD=OE=1，
∴∠ODE=45°，
当点C(xC，0）在点D的左侧，且⊙C经过点D时，
∵⊙C半径为1，
∴xC=-2，
由（1）①第二空可知，当xC≤-2时，线段DE上任意一点K都能使得⊙C关于K的“宽距”为2；
当点C(xC，0）在点D的右侧，且⊙C与直线y=x+1相切于点N时，则CN⊥DE，
∴CN=1，
∵∠ODE=45°，
∴∠DCN=90°-∠ODE=45°，
∴DN=CN=1，
∴CD=DN2+CN2=12+12=2，
∴OC=CD-OD=2-1，
由（1）①第二空可知，当xC≥2-1时，线段DE上任意一点K都能使得⊙C关于K的“宽距”为2；
综上，圆心C的横坐标xC的取值范围为xC≤-2或xC≥2-1．
【点睛】本题考查新定义，点与圆的位置关系，直线与圆的位置关系，属圆的综合题目，新定义的理解和正确运用是解题的关键．
10.（2022·浙江丽水·一模）在平面直角坐标系中，点P的坐标为3,m，若圆P与y轴相切，那么⊙P与直线x=5的位置关系是（ ）
A．相交B．相切C．相离D．不能确定
【答案】A
【分析】由题意可知⊙P的圆心在直线x=3上，从而根据切线的性质由⊙P与y轴相切推出圆的半径r=3，进而利用直线与圆的位置关系进行求解即可．
【详解】解：由题意可知⊙P的圆心在直线x=3上，
∵⊙P与y轴相切，
∴圆的半径r=3，
∵r>5-3，
∴⊙P与直线x=5相交，
故选：A．
【点睛】本题考查切线的性质、坐标与图形的性质及直线与圆的位置关系，解题的关键是结合题意根据切线的性质推出⊙P的半径r=3，也可以作出图形进行求解．
【考点3 圆与圆的位置关系】
11．（2022·内蒙古鄂尔多斯·统考中考真题）实验学校的花坛形状如图所示，其中，等圆⊙O1与⊙O2的半径为3米，且⊙O1经过⊙O2的圆心O2．已知实线部分为此花坛的周长，则花坛的周长为（ ）
A．4π米B．6π米C．8π米D．12π米
【答案】C
【分析】连接AO1，AO2，BO1，BO2，O1O2，根据等边三角形的判定得出△AO1O2和△BO1O2是等边三角形，根据等边三角形的性质得出∠AO1O2＝∠AO2O1＝∠BO1O2＝∠BO2O1＝60°，求出优弧AB所对的圆心角的度数，再根据弧长公式求出即可．
【详解】解：连接AO1，AO2，BO1，BO2，O1O2，
∵等圆⊙O1与⊙O2的半径为3米，⊙O1经过⊙O2的圆心O2，
∴AO1＝AO2＝BO1＝BO2＝O1O2＝3米，
∴△AO1O2和△BO1O2是等边三角形，
∴∠AO1O2＝∠AO2O1＝∠BO1O2＝∠BO2O1＝60°，
∴优弧AB所对的圆心角的度数是360°﹣60°﹣60°＝240°，
∴花坛的周长为2×240π×3180＝8π（米），
故选：C．
【点睛】本题考查了相交两圆的性质，弧长公式，等边三角形的性质和判定等知识点，能求出圆心角的度数是解此题的关键．
12．（2022·江苏镇江·统考中考真题）如图，在等腰△ABC中，∠BAC=120°，BC= 63，⊙O同时与边BA的延长线、射线AC相切，⊙O的半径为3．将△ABC绕点A按顺时针方向旋转α0°<α≤360°，B、C的对应点分别为B′、C′，在旋转的过程中边B′C′所在直线与⊙O相切的次数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【分析】首先以A为圆心，以BC边的中线为半径画圆，可得⊙A的半径为3，计算出OA的长度，可知⊙O与⊙A相切，根据两个相切圆的性质，即可得到答案．
【详解】解：如图：
作AD⊥BC，以A为圆心，以AD为半径画圆
∵AC、AB所在的直线与⊙O相切，令切点分别为P、Q，连接OP、OQ
∴AO平分∠PAQ
∵∠CAB=120°
∴∠PAO=30°
∵OP=3
∴AO= OPsin30°=6
∵∠BAC=120°，AB=AC
∴∠ACB=30°，CD= 12BC= 33
∴AD= CD·tan30°=3
∴⊙A的半径为3,
∴⊙O与⊙A的半径和为6
∵AO=6
∴⊙O与⊙A相切
∵AD⊥BC
∴BC所在的直线是⊙A的切线
∴BC所在的直线与⊙O相切
∴当α=360°时，BC所在的直线与⊙O相切
同理可证明当α=180°时，B″C″所在的直线与⊙O相切．
当B′C′⊥AO时，即α=90°时，B′C′所在的直线与⊙O相切．
∴当α为90°、180°、360°时，BC所在的直线与⊙O相切
故答案选C．
【点睛】本题主要考查了圆的切线，涉及到等腰三角形的性质、两圆的位置关系和特殊角的三角函数等知识，熟练掌握相关知识，精准识图并准确推断图形的运动轨迹，进行合理论证是本题的解题关键．
13．（2022·上海普陀·统考二模）知⊙O1和⊙O2，⊙O1的半径长为10厘米，当两圆外切时，两圆的圆心距为25厘米，如果两圆的圆心距为15厘米时，那么此时这两圆的位置关系是（ ）
A．内含B．内切C．相交D．外离
【答案】C
【分析】根据圆心距在两圆半径差和两圆半径和之间，故判断出两圆相交．
【详解】解：∵⊙O1的半径长为10厘米，当两圆外切时，两圆的圆心距为25厘米，
∴⊙O2的半径为15厘米，
∵15−10<15<15+10，
∴两圆的位置关系是相交.
故选：C．
【点睛】本题主要考查圆与圆的位置关系，熟练掌握两圆的圆心距大小和两圆的位置之间的关系是解题的关键．
14．（2022·山东济南·济南育英中学校考模拟预测）如图，在一个边长为3的正方形内有两个互相外切的圆，且两圆都与正方形的两邻边相切，两圆心距为（ ）
A．6−32B．6+322C．32D．1.5
【答案】A
【分析】作OE⊥AB于E，O′F⊥BC于F，如图，设⊙O的半径为R，⊙O′的半径为r，利用切线的性质得到OE=R，O′F=r，再根据正方形的性质得到∠BAC=∠BCA=45°，AC=32，所以OA=2R，O′C=2r，利用两圆外切性质得到OO′=R+r，从而得到2R+R+r+2r=32，然后求出R+r即可．
【详解】解：如图，作OE⊥AB于E，O′F⊥BC于F，如图，设⊙O的半径为R，⊙O′的半径为r，则OE=R，O′F=r，
∵四边形ABCD为正方形，
∴∠BAC=∠BCA=45°，AC=2AB=32，
∴OA=2R，O′C=2r，
∵⊙O与⊙O′外切，
∴OO′=R+r，
∴2R+R+r+2r=32，
∴R+r=322+1=6-32，
即两圆心距为6-32．
故选：A．
【点睛】本题考查了圆与圆的位置关系：两圆外切⇔d=R+r（其中d为两圆的圆心距，R、r为两圆的半径）．也考查了正方形的性质、勾股定理等知识．
15．（2022·湖北武汉·统考一模）如图，在平面内⊙O1，⊙O2，⊙O3两两外切，其中⊙O1的半径为8，⊙O2，⊙O3的半径都为5．用一张半径为R的圆形纸片把这三个圆完全覆盖，则R的最小值为（ ）
A．403B．10C．13D．15
【答案】A
【分析】当半径为R的圆形纸片与三个圆相切时，R的值最小，根据两圆相切的性质求解即可．
【详解】解：如图，当⊙O与三个已知圆相切时，R的值最小，
∵四个圆相切，⊙O1的半径为8，⊙O2，⊙O3的半径都为5，⊙O的半径为R．
∴O1O2= O1O3=5+8=13，OO2= OO3=R-5，O1O=R-8，O2O3=5+5=10，
∴O1O⊥O2O3，设垂足为I，
∴IO2=5，
∴IO1=132−52=12，
∴IO=12−(R−8)=20−R，
∴IO22+OI2=OO22，即52+(20−R)2=(R−5)2，
解得，R=403，
故选： A．
【点睛】本题考查了相切圆的性质和勾股定理，解题关键是明确两圆相切时，圆心距与半径的关系，根据勾股定理列出方程．
【考点4 切线的判定的综合运用】
16．（2022·山东菏泽·统考中考真题）如图，在△ABC中，以AB为直径作⊙O交AC、BC于点D、E，且D是AC的中点，过点D作DG⊥BC于点G，交BA的延长线于点H．
(1)求证：直线HG是⊙O的切线；
(2)若HA=3,csB=25，求CG的长．
【答案】(1)见解析
(2)65
【分析】（1）连接OD，利用三角形中位线的定义和性质可得OD∥BC，再利用平行线的性质即可证明；
（2）先通过平行线的性质得出∠HBG=∠HOD，设OD=OA=OB=r，再通过解直角三角形求出半径长度，再利用三角形中位线定理和相似三角形的判定和性质分别求出BC，BG的长度，即可求解．
【详解】（1）连接OD，
∵DG⊥BC，
∴∠BGH=90°，
∵D是AC的中点，AB为直径，
∴OD∥BC，
∴∠BGH=∠ODH=90°，
∴直线HG是⊙O的切线；
（2）由（1）得OD∥BC，
∴∠HBG=∠HOD，
∵cs∠HBG=25，
∴cs∠HOD=25，
设OD=OA=OB=r，
∵HA=3，
∴OH=3+r，
在Rt△HOD中，∠HDO=90°，
∴cs∠HOD=ODOH=r3+r=25，
解得r=2，
∴OD=OA=OB=2,OH=5,BH=7，
∵D是AC的中点，AB为直径，
∴BC=2OD=4，
∵∠BGH=∠ODH=90°，
∴△ODH∼△BGH，
∴OHBH=ODBG，即57=2BG，
∴BG=145，
∴CG=BC−BG=4−145=65．
【点睛】本题考查了切线的判定，三角形中位线的性质，平行线的判定和性质，相似三角形的判定和性质及解直角三角形，熟练掌握知识点是解题的关键．
17．（2022·山东枣庄·统考中考真题）如图，在半径为10cm的⊙O中，AB是⊙O的直径，CD是过⊙O上一点C的直线，且AD⊥DC于点D，AC平分∠BAD，点E是BC的中点，OE＝6cm．
(1)求证：CD是⊙O的切线；
(2)求AD的长．
【答案】(1)见解析
(2)AD=365
【分析】（1）连接OC，由AC平分∠BAD，OA＝OC，可得∠DAC＝∠OCA，AD∥OC，根据AD⊥DC，即可证明CD是⊙O的切线；
（2）由OE是△ABC的中位线，得AC＝12，再证明△DAC∽△CAB，ADAC=ACAB，即AD12=1220，从而得到AD=365．
【详解】（1）证明：连接OC，如图：
∵AC平分∠BAD，
∴∠DAC＝∠CAO，
∵OA＝OC，
∴∠CAO＝∠OCA，
∴∠DAC＝∠OCA，
∴AD∥OC，
∵AD⊥DC，
∴CO⊥DC，
∵OC是⊙O的半径，
∴CD是⊙O的切线；
（2）解：∵E是BC的中点，且OA＝OB，
∴OE是△ABC的中位线，AC＝2OE，
∵OE＝6，
∴AC＝12，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°＝∠ADC，
又∠DAC＝∠CAB，
∴△DAC∽△CAB，
∴ADAC=ACAB，即AD12=1220，
∴AD=365．
【点睛】本题考查圆的切线的判定定理，相似三角形的判定及性质等知识，解题的关键是熟练应用圆的相关性质，转化圆中的角和线段．
18．（2022·湖北荆门·统考中考真题）如图，AB为⊙O的直径，点C在直径AB上（点C与A，B两点不重合），OC＝3，点D在⊙O上且满足AC＝AD，连接DC并延长到E点，使BE＝BD．
(1)求证：BE是⊙O的切线；
(2)若BE＝6，试求cs∠CDA的值．
【答案】(1)证明见解析
(2)1010
【分析】（1）根据直径所对的圆周角是直角可得∠ADB＝90°，从而可得∠BDE+∠ADC＝90°，根据等腰三角形的性质以及对顶角相等可得∠ECB＝∠ADC，然后根据等腰三角形的性质可得∠E＝∠BDE，从而可得∠E+∠BCE＝90°，最后利用三角形内角和定理可得∠EBC＝90°，即可解答；
（2）设⊙O的半径为r，则AC＝AD＝3+r，在Rt△ABD中，利用勾股定理可求出r＝5，从而求出BC＝2，然后在Rt△EBC中，根据勾股定理可求出EC的长，从而利用锐角三角函数的定义进行计算即可解答．
【详解】（1）证明：∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∴∠BDE+∠ADC＝90°，
∵AC＝AD，
∴∠ACD＝∠ADC，
∵∠ACD＝∠ECB，
∴∠ECB＝∠ADC，
∵EB＝DB，
∴∠E＝∠BDE，
∴∠E+∠BCE＝90°，
∴∠EBC＝180°﹣（∠E+∠ECB）＝90°，
∵OB是⊙O的半径，
∴BE是⊙O的切线；
（2）解：设⊙O的半径为r，
∵OC＝3，
∴AC＝AD＝AO+OC＝3+r，
∵BE＝6，
∴BD＝BE＝6，
在Rt△ABD中，BD2+AD2＝AB2，
∴36+（r+3）2＝（2r）2，
∴r1＝5，r2＝﹣3（舍去），
∴BC＝OB﹣OC＝5﹣3＝2，
在Rt△EBC中，EC＝EB2+BC2＝62+22＝210，
∴cs∠ECB＝BCEC＝2210＝1010，
∴cs∠CDA＝cs∠ECB＝1010，
∴cs∠CDA的值为1010．
【点睛】本题考查了切线的判定与性质，解直角三角形，熟练掌握切线的判定与性质，以及锐角三角函数的定义是解题的关键．
19．（2022·湖南湘西·统考中考真题）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AE平分∠BAC交BC于点E，O为AC上一点，经过点A、E的⊙O分别交AB、AC于点D、F，连接OD交AE于点M．
(1)求证：BC是⊙O的切线．
(2)若CF＝2，sinC＝35，求AE的长．
【答案】(1)见解析
(2)1255
【分析】（1）连接OE，方法一：根据角平分线的性质及同弧所对的圆周角是圆心角的一半得出∠OEC＝90°即可；
方法二：根据角平分线的性质和等腰三角形的性质得出∠OEC＝90°即可；
（2）连接EF，根据三角函数求出AB和半径的长度，再利用三角函数求出AE的长即可．
【详解】（1）连接OE，
方法一：∵AE平分∠BAC交BC于点E，
∴∠BAC＝2∠OAE，
∵∠FOE＝2∠OAE，
∴∠FOE＝∠BAC，
∴OE∥AB，
∵∠B＝90°，
∴OE⊥BC，
又∵OE是⊙O的半径，
∴BC是⊙O的切线；
方法二：∵AE平分∠BAC交BC于点E，
∴∠OAE＝∠BAE，
∵OA＝OE，
∴∠OAE＝∠OEA，
∴∠BAE＝∠OEA，
∴OE∥AB，
∵∠B＝90°，
∴OE⊥BC，
又∵OE是⊙O的半径，
∴BC是⊙O的切线；
（2）连接EF，
∵CF＝2，sinC＝35，
∴OEOF+CF=35，
∵OE＝OF，
∴OE＝OF＝3，
∵OA＝OF＝3，
∴AC＝OA+OF+CF＝8，
∴AB＝AC•sinC＝8×35＝245，
∵∠OAE＝∠BAE，
∴cs∠OAE＝cs∠BAE，
即ABAE=AEAF，
∴245AE=AE3+3，
解得AE＝1255（舍去负数），
∴AE的长为1255．
【点睛】本题主要考查切线的判定和三角函数的应用，熟练掌握切线的判定定理和三角函数是解题的关键．
20．（2022·山东济宁·统考中考真题）如图，在矩形ABCD中，以AB的中点O为圆心，以OA为半径作半圆，连接OD交半圆于点E，在BE上取点F，使AE=EF，连接BF，DF．
(1)求证：DF与半圆相切；
(2)如果AB＝10，BF＝6，求矩形ABCD的面积．
【答案】(1)见解析
(2)2003
【分析】（1）连接OF，证明△DAO≅△DFO(SAS)，可得∠DAO=∠DFO，根据矩形的性质可得∠DAO=90∘，进而即可得证；
（2）连接AF，根据题意证明△AOD∽△FBA，根据相似三角形的性质求得DO，进而勾股定理AD，根据矩形的面积公式即可求解．
【详解】（1）证明：连接OF．
∵AE=EF，
∴∠DOA=∠FOD.
∵AO=FO,DO=DO，
∴△DAO≅△DFO(SAS)
∴∠DAO=∠DFO.
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠DAO=90∘
∴∠DFO=90∘.
∴DF与半圆相切.
（2）解：连接AF，
∵AO=FO，∠DOA=∠DOF，
∴DO⊥AF，
∵AB为半圆的直径，
∴∠AFB=90∘，
∴BF⊥AF，
∴DO∥BF.∴∠AOD=∠ABF.
∵∠OAD=∠AFB=90∘，
∴△AOD∽△FBA
∴AOBF=DOAB，
∴56=DO10，
∴DO=253，
在RtΔAOD中，AD=DO2−AO2=2532−52=203.
∴矩形ABCD的面积为203×10=2003.
【点睛】本题考查了切线的性质，相似三角形的性质与判定，勾股定理，矩形的性质，掌握以上知识是解题的关键．
【考点5 切线的性质的综合运用】
21．（2022·内蒙古·中考真题）如图，⊙O是△ABC的外接圆，EF与⊙O相切于点D，EF∥BC分别交AB，AC的延长线于点E和F，连接AD交BC于点N，∠ABC的平分线BM交AD于点M．
(1)求证：AD平分∠BAC；
(2)若AB:BE=5:2，AD=14，求线段DM的长．
【答案】(1)见解析
(2)DM=2
【分析】（1）连接OD，根据切线的性质得OD⊥EF，由EF∥BC 得OD⊥BC，由垂径定理得BD=CD，进而即可得出结论；
（2）由平行线分线段定理得DN=2147，再证明△BDN∽△ADB，可得BD=2 ，最后证明∠BMD=∠DBM,进而即可求解．
【详解】（1）证明：连接OD交BC于点H.
∵EF与⊙O相切于点D
∴OD⊥EF，
∴∠ODF=90°，
∵BC∥EF，
∴∠OHC=∠ODF=90°，
∴OD⊥BC，
∴BD=CD，
∴∠BAD=∠CAD 即AD平分∠BAC；
（2）解：∵BC∥EF，
∴BEAE=NDAD，
∵AB:BE=5:2，AD=14，
∴DN=2147，
∵∠BAD=∠CAD，∠CAD=∠CBD，
∴∠BAD=∠CBD，
∵BM平分∠ABC，
∴∠ABM=∠CBM，
∴∠BAD+∠ABM=∠CBD+∠CBM，
∴∠BMD=∠MBD，
∴BD=DM，
∵∠NBD=∠BAD，∠BDM=∠ADB，
∴△BDN∽△ADB，
∴NDBD=DBAD
∴BD2=ND⋅AD=2147×14=4 ，
∴BD=2（负值舍去），
∴DM=BD=2
【点睛】本题主要考查圆的基本性质，切线的性质、相似三角形的判定和性质，平行线分线段成比例定理，等腰三角形的判定和性质；找出相似三角形，列相似比求解是解决本题的关键．
22．（2022·四川巴中·统考中考真题）四边形ABCD内接于⊙O，直径AC与弦BD交于点E，直线PB与⊙O相切于点B．
(1)如图1，若∠PBA=30°，且EO=EA，求证：BA平分∠PBD；
(2)如图2，连接OB，若∠DBA=2∠PBA，求证：△OAB∽△CDE．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）连接OB，根据切线的性质可得∠PBA+∠ABO=90°，再由∠PBA=30°，可得∠ABO=60°，从而得到△AOB为等边三角形，再跟等边三角形的性质可得BE平分∠ABO，即可求证；
（2）根据切线的性质和直径所对的圆周角是直角可得∠PBA=∠OBC=∠OCB，从而得到∠AOB=2∠OCB=2∠PBA，进而得到∠AOB=∠ACD，再由∠BAO=∠BDC，即可求证．
【详解】（1）证明：连接OB，
∵直线PB与⊙O相切于点B，
∴∠PBO=90°，
∴∠PBA+∠ABO=90°，
∵∠PBA=30°，
∴∠ABO=60°，
又∵OA=OB，
∴△AOB为等边三角形，
又∵OE=AE，
∴BE平分∠ABO，
∴∠ABE=12∠ABO=30°，
∴BA平分∠PBD；
（2）证明：∵直线PB与⊙O相切于点B，
∴∠PBO=90°，
∴∠PBA+∠ABO=90°，
∵AC为直径，
∴∠ABC=90°，
∴∠OBC+∠ABO=90°，
∴∠OBC=∠PBA，
∵OB=OC，
∴∠PBA=∠OBC=∠OCB，
∴∠AOB=2∠OCB=2∠PBA，
∵∠ACD=∠ABD=2∠PBA，
∴∠AOB=∠ACD，
又∵∠BAO=∠BDC，
∴△OAB∽△CDE．
【点睛】本题主要考查了切线的性质，圆周角定理，相似三角形的判定和性质等知识，熟练掌握切线的性质，圆周角定理，相似三角形的判定和性质是解题的关键．
23．（2022·山东济南·统考中考真题）已知：如图，AB为⊙O的直径，CD与⊙O相切于点C，交AB延长线于点D，连接AC，BC，∠D＝30°，CE平分∠ACB交⊙O于点E，过点B作BF⊥CE，垂足为F．
(1)求证：CA＝CD；
(2)若AB＝12，求线段BF的长．
【答案】(1)见解析
(2)32
【分析】（1）连接OC，欲证明CA＝CD，只要证明∠CAD=∠CDA即可．
（2）因为AB为直径，所以∠ACB=90°，可得出三角形CBF为等腰直角三角形，即可求出BF，由此即可解决问题．
【详解】（1）证明：连接OC
∵CD与⊙O相切于点C，
∴OC⊥CD，
∴∠OCD=90°，
∵∠CDA=30°，
∴∠COB=90°−∠CDA=60°，
∵BC所对的圆周角为∠CAB，圆心角为∠COB，
∴∠CAB=12∠COB=30°，
∴∠CAD=∠CDA，
∴CA=CD．
（2）∵AB为直径，
∴∠ACB=90°，
在Rt△ABC中，∠CAB=30°，AB=12，
∴BC=12AB=6，
∵CE平分∠ACB，
∴∠ECB=12∠ACB=45°，
∵BF⊥CE，
∴∠CFB=90°，
∴BF=BC⋅sin45°=6×22=32．
【点睛】本题考查切线的性质，圆周角定理、解直角三角形等知识，解题的关键是灵活运用这些知识解决问题，学会条件常用辅助线，属于中考常考题型．
24．（2022·青海西宁·统考中考真题）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，点D在AB上，以BD为直径的⊙O与AC相切于点E，交BC于点F，连接DF，OE交于点M．
(1)求证：四边形EMFC是矩形；
(2)若AE=5，⊙O的半径为2，求FM的长．
【答案】(1)详见解析
(2)253
【分析】（1）利用直径所对的圆周角是直角及邻补角互补，可求出∠CFD=90°，由⊙O与AC相切于点E，利用圆的切线垂直于过切点的半径可得出 OE⊥AC ，进而可得出 ∠OEC=∠AEO=90°，结合再利用三个角都是直角的四边形是矩形，即可证出四边形 EMFC 是矩形．
（2）在Rt△AOE 中，利用勾股定理可求出 OA 的长，进而可得出 AB 的长，由∠AEO=∠C=90°，利用“同位角相等，两直线平行”可得出OE//BC，进而可得出△AEO∼△ACB利用相似三角形的性质可求出 AC 的长，结合 CE=AC−AE， 可求出 CE 的长，再利用矩形的对边相等，即可求出 FM 的长．
（1）
∵BD是⊙O的直径，
∴∠BFD=90°，
∴∠CFD=90°，
∴⊙O与AC相切于点E，
∴OE⊥AC，
∴∠OEC=∠AEO=90°，
又∴∠C=90°，
∴∠C=∠CFD=∠OEC=90°，
∴四边形EMFC是矩形．
（2）
解：在Rt△AOE中∠AEO=90° AE=5 OE=OB=2，
∴OA2=AE2+OE2，
∴OA=AE2+OE2=52+22=3，
∴AB=OA+OB=3+2=5，
∴∠AEO=∠C=90°，
∴OE//BC，
∴△AEO∼△ACB，
∴AEAC=AOAB，即5AC=35，
∴AC=553，
∴CE=AC−AE=553−5=253，
∴四边形EMFC是矩形，
∴FM=CE=253．
【点睛】本题考查了矩形的判定，相切，勾股定理，平行线的判定与性质以及相似三角形的判定与性质，解题的关键是：(1）根据各角之间的关系，找出四边形EMFC 的三个角均为直角．（2）利用勾股定理及相似三角形的性质，求出AC的长度．
25．（2022·辽宁大连·统考中考真题）AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，OD⊥BC，垂足为D，过点A作⊙O的切线，与DO的延长线相交于点E．
(1)如图1，求证∠B=∠E；
(2)如图2，连接AD，若⊙O的半径为2，OE=3，求AD的长．
【答案】(1)见解析
(2)2213
【分析】（1）证明∠ODB=∠OAE=90°，∠DOB=∠AOE，即可得出∠B=∠E；
（2）证明ΔODB ∼ΔOAE，求出OD，由勾股定理求出DB，由垂径定理求出BC，进而利用勾股定理求出AC，AD．
【详解】（1）解：∵ OD⊥BC，
∴∠ODB=90°，
∵ AE是⊙O的切线，
∴∠OAE=90°，
在ΔODB和ΔOAE中，∠ODB=∠OAE=90°，∠DOB=∠AOE，
∴∠B=∠E；
（2）解：如图，连接AC．
∵ ⊙O的半径为2，
∴OA=OB=2，AB=4，
∵ 在ΔODB和ΔOAE中，
∠ODB=∠OAE=90°，∠DOB=∠AOE，
∴ΔODB ∼ΔOAE，
∴ODOA=OBOE，即OD2=23，
∴OD=43，
在RtΔODB中，由勾股定理得：OD2+DB2=OB2，
∴DB=OB2−OD2=22−432=253．
∵ OD⊥BC，OD经过⊙O的圆心，
∴CD=DB=253，
∴BC=2DB=453．
∵AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，
∴∠ACB=90°，
在RtΔACB中，由勾股定理得：AC2+BC2=AB2，
∴AC=AB2−BC2=42−4532=83．
在RtΔACD中，由勾股定理得：AC2+CD2=AD2，
∴AD=AC2+CD2=832+2532=2213．
【点睛】本题考查切线的定义、圆周角定理、垂径定理、勾股定理、相似三角形的判定与性质等，综合性较强，熟练掌握上述知识点，通过证明ΔODB ∼ΔOAE求出OD的长度是解题的关键．
【考点6 切线长定理】
26．（2022·浙江杭州·模拟预测）如图，直线AB，BC，CD分别与⊙O相切于E，F，G，且AB∥CD，若OB=6cm，OC=8cm，则BE+CG的长等于______．
【答案】10cm
【分析】根据平行线的性质以及切线长定理，即可证明∠BOC=90°，再根据勾股定理即可求得BC的长，再结合切线长定理即可求解．
【详解】解： ∵AB∥CD，
∴∠ABC+∠BCD=180°，
∵CD、BC，AB分别与⊙O相切于G、F、E，
∴∠OBC=12∠ABC，∠OCB=12∠BCD，BE=BF，CG=CF，
∴∠OBC+∠OCB=90°，
∴∠BOC=90°，
∴BC=OB2+OC2=10，
∴BE+CG=10cm．
故答案为：10cm．
【点睛】此题主要是考查了切线长定理．从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，且圆心和这点的连线平分两条切线的夹角．
27．（2022·浙江宁波·统考一模）如图，矩形ABCD中，AB=11，AD=4，⊙O分别与边AD，AB，CD相切，点M，N分别在AB，CD上，CN=1，将四边形BCNM沿着MN翻折，使点B、C分别落在B′、C′处，若射线MB′恰好与⊙O相切，切点为G，则线段MB的长为 __．
【答案】5−22##−22+5
【分析】设AB与⊙O相切于点E，AD与⊙O相切于点H，连接OE，OM，OG，OH，过点N作NF⊥B′M于点F，利用切线的性质与切线长定理求得圆的半径，∠OME=∠OMG，利用折叠的性质可得∠BMN=∠B′MN，设BM=B′M=x，则MF=B′M−B′F=x−1，EM=AB−AE−BM=11−2−x=9−x，通过证明△OEM∽△MFN，利用相似三角形的性质列出方程，解方程即可得出结论．
【详解】解：设AB与⊙O相切于点E，AD与⊙O相切于点H，
连接OE，OM，OG，OH，过点N作NF⊥B′M于点F，如图，
∵⊙O分别与边AD，AB，CD相切，AD=4，
∴⊙O的直径为4，
∴OE=OG=2．
∵AD，AB为⊙O的切线，
∴OH⊥AD，OE⊥AB，
∵∠A=90°，
∴四边形OHAE为矩形，
∵OH=OE，
∴四边形OHAE为正方形．
∴AE=AH=OE=2．
∵ME，MB为⊙O的切线，
∴OE⊥AM，OG⊥MG，ME=MG，∠OME=∠OMG．
∵四边形BCNM沿着MN翻折，使点B、C分别落在B′、C′处，
∴CN=CN′=1，MB=MB′，B′C′=BC=4，∠BMN=∠B′MN．
∵∠AMO+∠GMO+∠B′MN+∠BMN=180°，
∴∠OME+∠B′MN=90°，
∵NF⊥MG，
∴∠FNM+∠GMN=90°，
∴∠OME=∠FNM，
∵∠OEM=∠MFN=90°，
∴△OEM∽△MFN．
∴OEME=FMFN．
∵四边形C′B′MN为直角梯形，NF⊥B′M，
∴NF=B′C′=4，B′F=C′N=1，
设BM=B′M=x，则MF=B′M−B′F=x−1，EM=AB−AE−BM=11−2−x=9−x，
∴29−x=x−14，
解得：x=5−22或5+22（不合题意，舍去）．
∴BM=5−22．
故答案为：5−22．
【点睛】本题主要考查了圆的切线的性质，矩形的性质，正方形的判定与性质，折叠的性质，相似三角形的判定与性质，梯形的性质，切线长定理，条件适当的辅助线是解题的关键．
28．（2022·安徽蚌埠·统考二模）如图，△ABC中，∠BAC=90°，M是BC的中点，△ABM的内切圆与AB，BM分别相切于点D，E，连接DE．若DE∥AM，则∠C的大小为______．
【答案】30°##30度
【分析】利用直角三角形斜边上的中线的性质证明△ABM是等腰三角形，得到∠B＝∠BAM，△ABM的内切圆与AB，BM分别相切于点D，E，利用切线长定理证明△BDE是等腰三角形，得到∠BED＝∠BDE，利用DE∥AM得到∠BED＝∠BMA，∠BDE＝∠BAM，进一步证得△ABM是等边三角形，∠B＝60°，即可求出∠C的大小．
【详解】解：∵∠BAC=90°，
∴△ABC是直角三角形
∵M是BC的中点，
∴AM＝BM＝12BC，
∴△ABM是等腰三角形，
∴∠B＝∠BAM，
∵△ABM的内切圆与AB，BM分别相切于点D，E，
∴BD＝BE，
∴△BDE是等腰三角形，
∴∠BED＝∠BDE，
∵DE∥AM，
∴∠BED＝∠BMA，∠BDE＝∠BAM，
∴∠BMA＝∠BAM
∴∠B＝∠BMA＝∠BAM，
∴△ABM是等边三角形，
∴∠B＝60°，
∴∠C＝90°－∠B＝30°，
故答案为：30°．
【点睛】此题考查了直角三角形的性质、圆的切线长定理、等腰三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质、平行线的性质等知识，熟练掌握相关性质定理是解题的关键．
29．（2022·北京西城·校考模拟预测）如图，AD是⊙O的直径，点P是⊙O外一点，连接PO交⊙O于点C，作PB，PD分别切⊙O于点B，D，连接AB，AC．
(1)求证：AB∥OP；
(2)连接PA，若PA=42，tan∠BAD=2，求线段AB的长．
【答案】(1)见解析
(2)455
【分析】（1）连接OB，根据切线的性质可得∠OBP=∠ODP=90°，从而证明Rt△OBP≌Rt△ODP，进而可得∠BOP=∠DOP=12∠BOD，然后根据圆周角定理可得∠BAD=12∠BOD，从而可得∠BAD=∠DOP，最后利用平行线的判定即可解答；
（2）连接BD，利用（1）的结论可得tan∠BAD=tan∠DOP=2，然后在Rt△DOP中，利用锐角三角函数的定义可得DP=2OD，从而可得DP=AD，进而在等腰直角三角形ADP中求出DP，AD的长，最后在Rt△ABD中，利用锐角三角函数的定义可得BD=2AB，再利用勾股定理进行计算即可解答．
（1）
证明：连接OB，

∵PB，PD分别切⊙O于点B，D，
∴∠OBP=∠ODP=90°，
∵OB=OP，OP=OP，
∴Rt△OBP≌Rt△ODP(HL)，
∴∠BOP=∠DOP=12∠BOD，
∵∠BAD=12∠BOD，
∴∠BAD=∠DOP，
∴AB//OP；
（2）
解：连接BD，

∵∠BAD=∠DOP，
∴tan∠BAD=tan∠DOP=2，
在Rt△DOP中，tan∠DOP=DPOD=2，
∴DP=2OD，
∵AD=2OD，
∴DP=AD，
∵PA=42，
∴AD=DP=AP2=4，
∵AD是⊙O的直径，
∴∠ABD=90°，
∵tan∠BAD=BDAB=2，
∴BD=2AB，
∵AB2+BD2=AD2，
∴AB2+4AB2=16，
∴AB=455或AB=−455（舍去），
∴线段AB的长为455．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，切线的性质，解直角三角形，圆周角定理，熟练掌握切线的性质，以及解直角三角形是解题的关键．
30．（2022·河北邯郸·校考三模）如图1，菱形ABCD的边长为12cm，∠B＝60°，M，N分别在边AB，CD．上，AM＝3cm，DN＝4cm，点P从点M出发，沿折线MB﹣BC以1cm/s的速度向点C匀速运动（不与点C重合）；△APC的外接圆⊙O与CD相交于点E，连接PE交AC于点F．设点P的运动时间为ts．
(1)∠APE＝ °；
(2)若⊙O与AD相切，
①判断⊙O与CD的位置关系；
②求APC的长；
(3)如图3，当点P在BC上运动时，求CF的最大值，并判断此时PE与AC的位置关系；
(4)若点N在⊙O的内部，直接写出t的取值范围．
【答案】(1)60°
(2)①⊙O与CD相切；②APC=1633π
(3)CF的最大值为3cm，此时AC⊥PE
(4)当0【分析】（1）根据菱形的性质易证△ACD为等边三角形，根据同弧所对的圆周角相等即可得到∠APE的度数；
（2）①先找出⊙O与AD相切时的情况，根据切线长定理即可证明⊙O与CD相切；②根据切线长定理和菱形的性质，可求得圆的半径，根据弧长公式即可求解；
（3）要使CF取得最大值，则AF应该取最小值，当AC⊥PE时，AF最小，此时CF取得最大值，求出即可；
（4）分两种情况进行讨论，当P在AB上时和当点P在BC上时．
（1）
解：∵四边形ABCD为菱形，∠B＝60°，
∴∠D=∠B＝60°，AD=CD，
∴△ACD为等边三角形，
∴∠ACE=60°，
∴∠APE=∠ACE=60°，
故答案为：60°．
（2）
如图，当点P运动到点B时，⊙O与AD相切，
①∵四边形ABCD为菱形，
∴AD=CD，
∵⊙O与AD相切，
∴⊙O与CD相切；
②连接OD，
由（1）可知，∠ADC=60°，
∵AD、CD分别与⊙O相切，
∴∠ADO=12∠ADC=30°，
∴AO=AD×tan30°=12×33=43，
∴APC=23×(2π×43)=1633π；
（3）
由图可知：CF=AC-AF，
∵AB=BC，∠B=60°，
∴△ABC为等边三角形，则AC=12cm，∠ACB=60°，
∴要使CF取得最大值，则AF应该取最小值，
当AC⊥PE时，AF最小，此时CF取得最大值，
∵点O为△APC外接圆圆心，
∴OA=OC=OP=12AC=6cm，
∵∠ACB=60°，
∴CF=CP·cs60°=3cm，
综上：CF的最大值为3cm，此时AC⊥PE．
（4）
①当点P在AB上时，
∵四边形APCE为圆的内接四边形，
∴∠APC+∠AEC=180°，
∵∠AED++∠AEC=180°，
∴∠APC=∠AED，
在△APC和△DEA中，
AC=AD，∠PAC=∠D，∠APC=∠AED，
∴△APC≌△DEA，
∴AP=DE，
当点E与点N重合时，DE=DN=AP=4，
∴MP=4-3=1cm，
∴t=1s，
当0②当点P在BC上运动时，
∵∠AEP=∠ACP=60°，
∴△APE为等边三角形，
∴AP=AE，∠PAE=60°，
∵∠BAC=60°，
∴∠BAP=∠CAE，
在△BAP和△CAE中，
AB=AC， ∠BAP=∠CAE， AP=AE，
∴△BAP≌△CAE，
∴BP=CE，
当点E与带你N重合时，CE=CN=BP=12-4=8cm，
此时t=MP+BP1=9+8=17s，
当点P到达点C时，t=21s，
当17综上：当0【点睛】本题主要考查了菱形的性质，切线长定理，以及和圆相关的内容，熟练掌握相关知识点是解题的关键．注意在解题过程中灵活运用“同弧所对的圆周角相等”这一定理．
【考点7 三角形的内切圆】
31．（2022·四川泸州·校考模拟预测）如图，△ABC的内切圆⊙O与AB，BC，CA分别相切于点D，E，F，AB=14，BC=13，CA=9，则AD的长是（ ）
A．3.5B．4C．4.5D．5
【答案】D
【分析】设AD=x，根据切线长定理得出AF=AD，CE=CF，BD=BD，求出BD=BE=14−x，CF=CE=9−x，根据CE+BE=BC，代入求出x即可．
【详解】设AD=x，
∵△ABC的内切圆⊙O与AB，BC，CA分别相切于点D，E，F，
∴AF=AD，CE=CF，BD=BD，
∵AB=14，BC=13，CA=9，
∴BD=BE=14−x，CF=CE=9−x，
∵CE+BE=BC=13
∴9−x+14−x=13，
∴x=5，
∴AD=5．
故选：D．
【点睛】本题考查了三角形的内切圆与内心和切线长定理，解决本题的关键是掌握切线的性质．
32．（2022·四川泸州·二模）如图，△ABC的内切圆⊙O与AB，BC，AC相切于点D，E，F，已知AB＝6，AC＝5，BC＝7，则DE的长是（ ）
A．1277B．1077C．977D．877
【答案】D
【分析】连接OD、OE、OB，OB交DE于H，作AG⊥BC交BC于点G，利用 AB2−BG2=AC2−CG2，求出BG=307，进一步可得AG=1267，求出S△ABC=12AG·BC=66，设⊙O的半径为r，利用S△ABC=126+7+5·r=66，求出r=263，求出BD=4，进一求出OB=2423，再证明OB垂直平分DE，利用面积法可得12HE⋅OB=12OE⋅BE，求得HE长即可求得答案．
【详解】解：连接OD、OE、OB，OB交DE于H，作AG⊥BC交BC于点G，如图，
∵AB＝6，AC＝5，BC＝7，
∴AB2−BG2=AC2−CG2，即62−BG2=52−7−BG2，解得：BG=307，
∴AG=AB2−BG2=1267，
∴S△ABC=12AG·BC=66，
设内切圆的半径为r，
则S△ABC=126+7+5·r=66，解得：r=263，
∵ △ABC的内切圆⊙O与AB，BC，CA分别相切于点D，E，F，
∴∠ODB=∠OEB=90°，
又∵OD=OE， OB=OB，
∴Rt△ODB≌△Rt△OEB，
∴BD=BE，
同理， CE=CF，AD=AF，
∵BE+CE=BC=7，
∴BD+BE+CE+CF=14，
∴2AD=(6+5+7)-14=4，即AD=2，
∴BD=4，
∴OB=BD2+OD2=2423，
∵BE=BD，OE=OD，
∴OB垂直平分DE，
∴DH=EH，OB⊥DE，
∵12HE·OB=12OE·BE，
∴HE=OE⋅BEOB=263×424232=477，
∴DE=2EH=877，
故选：D．
【点睛】本题考查了三角形的内切圆性质，全等三角形的性质与判定，勾股定理，面积法等，正确添加辅助线，灵活运用相关知识是解题的关键．
33．（2022·湖北武汉·统考模拟预测）如图，⊙I是Rt△ABC中的内切圆，∠ACB=90∘，过点I作EF∥AB分别交CA，CB于E，F，若EA＝4，BF＝3，则⊙I的半径是（ ）
A．72B．52C．125D．3
【答案】C
【分析】设⊙I与三角形ABC的各边的切点分别为M、N、P，连接IM、IN、IP，过E、F分别作AB的垂线段，先证明△AEG≌△EIM，得到EI的长度，再设半径为r，利用三角函数求出EM的长度为4r3，代入勾股定理即可求解．
【详解】解：设⊙I与三角形ABC的各边的切点分别为M、N、P，连接IM、IN、IP，过E、F分别作AB的垂线段，垂足为G、H，如图所示，
设半径为r，
由题意知，EG=FH=IP=r，∠IME=∠AGE=90°，
∵EF∥AB，
∴∠A=∠MEI，
∴△AEG≌△EIM，
∴AE=IE=4，
由∠A+∠B=90°，∠MEI+∠MIE=90°，得：∠B=∠MIE，
∴sin∠B=sin∠MIE，
即FHBF=EMEI，
∴r3=EM4，
解得：EM=4r3，
在Rt△EIM中，由勾股定理得：4r32+r2=42，
解得：r=125或r=−125（舍），
故选：C．
【点睛】本题考查了三角形内切圆的性质、三角函数及勾股定理的应用．解题关键是利用三角形内切圆的性质作出辅助线．
34．（2022·山东聊城·统考二模）如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，则△ABC的内切圆半径r长为（ ）
A．1.5B．1C．2D．1.2
【答案】B
【分析】先由勾股定理求出AB的长，再根据切线性质和正方形的判定证得四边形OECF是正方形，然后利用切线长定理求得半径r即可．
【详解】解：如图，
∵在RtΔABC，∠C=90°，AC=3，BC=4
∴由勾股定理得：AB=AC2+BC2=5，
∵⊙O为ΔABC的内切圆，
∴OE=OF，∠OEC=∠OFC=∠C=90°；
∴四边形OECF是正方形；
由切线长定理，得：AD=AF，BD=BE，CE=CF；
∴CE=CF=12(AC+BC−AB)，
即：r=12(3+4−5)=1，
故选：B．
【点睛】本题考查了切线的性质、正方形的判定与性质、切线长定理、勾股定理，熟练掌握切线性质和切线长定理是解答的关键．
35．（2022·湖北·校联考一模）扇形OAB中，圆心角∠AOB=α，BD⊥OA，垂足为D，⊙I是△BOD的内切圆，则∠OIA的大小为（ ）
A．135°B．120°C．180°-αD．90°+α
【答案】A
【分析】
连接BI，根据∠AOB=α，BD⊥OA，可得∠OBD=90°-α，再由⊙I是△BOD的内切圆，可得OI，BI分别平分∠AOB，∠OBD，从而得到∠BOI=12α,∠OBI=45°−12α，继而得到∠OIB=135°，再证得△BOI≌△AOI，即可求解．
【详解】
解：如图，连接BI，
∵∠AOB=α，BD⊥OA，
∴∠OBD=90°-α，
∵⊙I是△BOD的内切圆，
∴OI，BI分别平分∠AOB，∠OBD，
∴∠BOI=12α,∠OBI=1290°−α=45°−12α，
∴∠OIB=135°，
∵OA=OB，∠BOI=∠AOI，OI=OI，
∴△BOI≌△AOI，
∴∠OIA=∠BIO=135°．
故选：A
【点睛】本题主要考查了内切圆的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握内切圆的性质，全等三角形的判定和性质是解题的关键．
【考点8 直线和圆的位置关系（一次函数）】
36．（2022·九年级单元测试）如图，一次函数y=﹣12x+a（a＞0）的图像与坐标轴交于A，B两点，以坐标原点O为圆心，半径为2的⊙O与直线AB相离，则a的取值范围是______．
【答案】a﹥5
【分析】先求出一次函数与坐标轴的交点A，B的坐标，再利用勾股定理计算出AB=5a，接着利用面积法计算出OH=255a，然后根据直线与圆的位置关系得到OH>2，即255a>2，于是解不等式即可得到a的范围．
【详解】解：当y=0时，﹣12x+a=0，解得x=2a，则A(2a，0)，
当x=0时，y=−12x+a=a，则B(0，a)，
在Rt△ABO中，AB=a2+(2a)2=5a，
过O点作OH⊥AB于H，如图，
∵12⋅OH⋅AB=12⋅OB⋅OA，
∴OH=a⋅2a5a=255a，
∵半径为2的O与直线AB相离，
所以OH>2，即255a>2，
所以a>5
故答案为a>5．
【点睛】本题考查了判断直线和圆的位置关系：设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，若直线l和⊙O相交⇔dr．也考查了一次函数与系数的关系．
37．（2022·北京·一模）对于平面直角坐标系xOy中的任意一点P，给出如下定义：经过点P且平行于两坐标轴夹角平分线的直线，叫做点P的“特征线”．例如：点M(1,3)的特征线是y=x+2和y=−x+4．
（1）若点D的其中一条特征线是y=x+1，则在D1(2,2)、D2(−1,0)、D3(−3,4)三个点中，可能是点D的点有_______；
（2）已知点P(−1,2)的平行于第二、四象限夹角平分线的特征线与x轴相交于点A，直线y=kx+b(k≠0)经过点P，且与x轴交于点B．使△BPA的面积不小于6，求k的取值范围；
（3）已知点C(2,0)，T(t,0)，且⊙T的半径为1．当⊙T与点C的特征线存在交点时，直接写出t的取值范围．
【答案】（1）D2；（2）0【分析】（1）画出图形，根据点的特征线的定义解决问题即可．
（2）过点P平行于第二四象限角平分线的特征线的解析式为y=-x+b，求出△PAB的面积为6时点B的坐标，再利用待定系数法求直线PB的解析式，结合图形即可解决问题．
（3）如图3中，由题意点C的特征线的解析式为y=x-2或y=-x+2，设当⊙T与直线y=-x+2相切于点M时，当⊙T′与直线y=x-2相切于点N时，分别求出OT，OT′结合图象即可解决问题．
【详解】（1）如图1中，观察图象可知，点D2的特征线是y=x+1．
故答案为D2．
（2）如图2中，
设过点P平行于第二四象限角平分线的特征线的解析式为y=-x+b，
∴1+b=2，
∴b=1，
∴过点P平行于第二四象限角平分线的特征线的解析式为y=-x+1，
∴A（1，0），
当△BPA的面积=6时，12•AB×2=6，
∴AB=6，
∴B（-5，0）或（7，0），
当y=kx+b′经过P（-1，2），B（-5，0）时，
{−k+b′=2−5k+b′=0解得k=12，
当直线y=kx+b′经过P（-1，2），B（7，0）时，
{−k+b′＝27k+b′＝0，解得k=-14，
观察图形可知满足条件的k的值为-14≤k≤12且k≠0．
（3）如图3中，由题意点C的特征线的解析式为y=x-2或y=-x+2，
当⊙T与直线y=-x+2相切于点M时，连接TM，
在Rt△TCM中，∵∠TMC=90°，∠MCT=45°，
∴MT=MC=1，
∴TC=2TM=2，
∴OT=2-2，此时t=2-2．
当⊙T′与直线y=x-2相切于点N时，推出法可得OT′=2+2，此时t=2+2，
结合图象可知满足条件的t的值为：2-2≤≤2+2．
【点睛】本题属于圆综合题，考查了直线与圆的位置关系，一次函数的性质，三角形的面积，点P的“特征线”的定义，解直角三角形等知识，解题的关键是理解题意，学会利用特殊位置解决问题．
38．（2022春·全国·九年级专题练习）已知：直线y=kxk≠0经过点3,−4.
（1）求k的值；
（2）将该直线向上平移mm>0个单位，若平移后得到的直线与半径为6的⊙O相离（点O为坐标原点），试求m的取值范围.
【答案】（1）−43；（2）m>10
【分析】（1）利用待定系数法解答；
（2）得出平移后得到的直线，求出A、B点的坐标，转化为直角三角形中的问题，再由直线与圆的位置关系的判定解答．
【详解】（1）因为直线y=kxk≠0经过点3,−4，
所以−4=3k，
即k=−43，
故答案为−43
（2）由（1）及题意知，平移后得到的直线l所对应的函数关系式为y=−43x+mm>0，设直线l与x轴、y轴分别交于点A、B（如图所示），
当x=0时，y=m；当y=0时，x=34m.
所以A34m,0，B0,m，即OA=34m，OB=m.
在RtΔOAB中，AB=OA2+OB2=916m2+m2=54m.
过点O作OD⊥AB于D，
因为SΔABO=12OD⋅AB=12OA⋅OB，
所以12OD⋅54m=12⋅34m⋅m，
因为m>0，解得OD=35m.
依题意得：35m>6，
解得m>10，
即m的取值范围为m>10.
【点睛】此题主要考查待定系数法、勾股定理、直线与圆的位置关系等知识．
39．（2022春·九年级单元测试）在平面直角坐标系xOy中，点A在直线l上，以A为圆心，OA为半径的圆与y轴的另一个交点为E．给出如下定义：若线段OE，⊙A和直线l上分别存在点B，点C和点D，使得四边形ABCD是矩形（点A，B，C，D顺时针排列），则称矩形ABCD为直线l的“位置矩形”．
例如，图中的矩形ABCD为直线l的“位置矩形”．
（1）若点A（-1，2），四边形ABCD为直线x=-1的“位置矩形”，则点D的坐标为 ；
（2）若点A（1，2），求直线y=kx+1（k≠0）的“位置矩形”的面积；
（3）若点A（1，-3），直线l的“位置矩形”面积的最大值为 ，此时点D的坐标为 ．
【答案】（1）（-1，0）；（2）6；（3）5、（3，-2）或（-1，-2）．
【分析】（1）只需根据新定义画出图形就可解决问题；
（2）过点A作AF⊥y轴于点F，连接AO、AC，如图2，根据点A（1，2）在直线y=kx+1上可求出k，设直线y=x+1与y轴相交于点G，易求出OG=1，∠FGA=45°，根据勾股定理可求出AG、AB、BC的值，从而可求出“位置矩形”ABCD面积；
（3）设“位置矩形”的一组邻边长分别为x、y，则有x2+y2=10．由（x-y）2=x2+y2-2xy=10-2xy≥0可得xy≤5，当且仅当x=y时，xy取最大值是5，此时“位置矩形”是正方形，然后分点D在第四象限（如图3）和第三象限（如图4）两种情况讨论，就可解决问题
【详解】（1）如图1，
点D的坐标为（-1，0）．
故答案为（-1，0）；
（2）过点A作AF⊥y轴于点F，连接AO、AC，如图2．
∵点A的坐标为（1，2），
∴AC=AO=5，AF=1，OF=2．
∵点A（1，2）在直线y=kx+1上，
∴k+1=2，
解得k=1．
设直线y=x+1与y轴相交于点G，
当x=0时，y=1，点G（0，1），OG=1，
∴FG=OF-OG=2-1=1=AF，
∴∠FGA=45°，AG=2．
在Rt△GAB中，AB=AG•tan45°=2．
在Rt△ABC中，BC=AC2−AB2=3．
∴所求“位置矩形”ABCD面积为AB•BC=6；
（3）设“位置矩形”的一组邻边长分别为x、y，
则有x2+y2=AC2=AO2=12+32=10．
∵（x-y）2=x2+y2-2xy=10-2xy≥0，
∴xy≤5．
当且仅当x=y时，xy取最大值是5，此时“位置矩形”是正方形．
①当点D在第四象限时，如图3，
过点A作x轴的平行线，交y轴于点M，交过点D平行于y轴的直线于点N，
∵∠BAM+∠DAN=90°，∠BAM+∠ABM=90°，
∴∠ABM=∠DAN，
在RtAMB和Rt△DNA中，
∠AMB＝∠DNA∠ABM＝∠DANAB＝AD，
∴RtAMB≌Rt△DNA，
则有AN=BM=2，DN=AM=1，
∴点D的坐标为（1+2，-3+1）即（3，-2）．
②当点D在第三象限时，如图4，
过点A作x轴的平行线，交y轴于点N，交过点D平行于y轴的直线于点M，
同①的方法得：RtANB≌Rt△DMA，
则有DM=AN=1，AM=BN=2，
∴点D的坐标为（1-2，-3+1）即（-1，-2）．
故答案为5、（3，-2）或（-1，-2）．
【点睛】此题是圆的综合题，主要考查了用待定系数法求直线的解析式、圆的定义、矩形的性质、等腰三角形的性质、勾股定理、完全平方公式、特殊角的三角函数值等知识，还考查了分类讨论的思想，运用公式（x-y）2=x2+y2-2xy推出当“位置矩形”是正方形时面积最大是解决第3小题的关键．
40．（2022秋·江苏无锡·九年级校联考期中）如图，直线y=34x+b（b>0）与x轴、y轴交于点A、B，在直线AB上取一点C，过点C作x轴的垂线，垂足为E，若点E（4，0）．
（1）若EC=BC，求b的值；
（2）在（1）的条件下，有一动点P从点B出发，延着射线BC方向以每秒1个单位的速度运动，以点P为圆心，作半径为12的圆，动点Q从点O出发，在线段OE上以每秒1个单位的速度作来回运动，过点Q作直线l垂直x轴，点P与点Q同时从点B、点O开始运动，问经过多少秒后，直线l和⊙P相切．
【答案】（1）b=2；（2）t=52或256或8518.
【分析】（1）作出辅助线,求出点B、C坐标代入解析式即可求解,
（2）分类讨论,利用圆心到切线的距离等于半径即可解题.
【详解】作BH⊥CE.∵E（4,0）,
∴OE=BH=4,把x=4代入y=34x+b=3+b,∴CE=3+b.∵B(0,b),∴EH=OB=b,CH=3.在Rt△BCH中,BC=5=CE,∴C（4,5）代入y=34x+b,得b=2
（2）设点P到直线l的距离为d.作PH⊥y轴于点H,则PH=45t.
①当0②当4③当812,舍去.（第3种情况酌情给分,舍去的理由合情描述即可）
综上所述,t=52或256或8518.
【点睛】本题考查求解一次函数参数,直线与圆的位置关系,分类讨论是解题关键.
【考点9 圆的切线的运用（尺规作圆）】
41．（2022秋·广东广州·九年级统考期末）如图，在△ABC中，AB=AC，BC=6cm．完成以下两个小题的解答：
(1)用尺规作BC的中点D，并以AD为半径作⊙A（不写作法，保留作图痕迹），求证：⊙A与边BC相切；
(2)若⊙A恰好交于边AB的中点，求⊙A的半径长．
【答案】(1)图见解析，证明见解析
(2)3
【分析】（1）作∠BAC的平分线交BC于点D，再以AD为半径作⊙A，再根据等腰三角形 的性质可得AD⊥BC，即可；
（2）设边AB的中点为点E，⊙A的半径为r，可得AD=AE=BE=r，在Rt△ABD中，根据勾股定理求出r，即可求解．
【详解】（1）解：如图，点D和⊙A即为所求；
证明：∵AB=AC，D为BC的中点，
∴AD⊥BC，
∵AD为⊙A的半径，
∴⊙A与边BC相切；
（2）解：设边AB的中点为点E，⊙A的半径为r，
∴AD=AE=BE=r，
∵BC=6cm，
∴BD=3cm，
在Rt△ABD中，AB2=BD2+AD2，
∴r+r2=32+r2，
解得：r=3，
即⊙A的半径为3．
【点睛】本题主要考查了切线的判定，等腰三角形的性质，尺规作图，勾股定理，熟练掌握切线的判定，等腰三角形的性质，作已知角的平分线，灵活运用勾股定理是解题的关键．
42．（2022·安徽亳州·统考二模）已知，线段BC与⊙A相切于点B，BC=6，CD=3．
(1)求⊙A的半径；
(2)用尺规作BE∥AC交⊙A于点E，求BE的长．
【答案】(1)92
(2)图见解析，BE＝275
【分析】（1）设⊙A的半径为r，则AB=r，AC=r+3，根据切线的性质可得AB⊥BC，运用勾股定理即可求得答案；
（2）运用SSS构造全等三角形的方法作图，再运用垂径定理和相似三角形的判定和性质即可求出BE．
（1）
解：设⊙A的半径为r，则AB=r，AC=r+3，
∵BC与⊙A相切于点B，
∴AB⊥BC，
在Rt△ABC中，AB2+BC2=AC2，
∴r2+62=（r+3）2，
解得：r=92；
（2）
解：如图所示，BE即为所求，
作法：①以B为圆心，AB长为半径画弧，
②以A为圆心，BD长为半径画弧，两弧交于点P，
③连接BP交⊙A于点E，
线段BE即为所求；
连接AE，过点A作AH⊥BE于点H，
则∠AHB=90°，BE=2BH，
∵BE∥AC，
∴∠ABE=∠BAC，
∵∠AHB=∠ABC=90°，
∴△ABH∽△CAB，
∴BHAB=ABAC，
∵AB=92，AC=92+3=152，
∴BH=AB2AC=(92)2152=2710，
∴BE=2BH=275．
【点睛】本题考查了圆的切线性质，勾股定理，垂径定理，尺规作图，相似三角形的判定和性质，难度适中，是一道基础性的试题．
43．（2022·福建厦门·福建省同安第一中学校考二模）如图，已知△ABC，∠B=40°．
（1）在图中，用尺规作出△ABC的内切圆的圆心O（保留痕迹，不必写作法；三角形的内切圆：与三角形三边都相切的圆）；
（2）画出⊙O与边AB，BC，AC的切点D、E、F，连接EF，DF，求∠EFD的度数．
【答案】（1）见解析；（2）70°
【分析】（1）根据角平分线上的点到角两边的距离相等，即可得到O即为三角形ABC的三个角平分线的交点；
（2）连接OD，利用内切圆的性质得到∠ODB=∠OEB=90°，从而得到∠DBE+∠DOE=180°，再根据圆周角定理求解即可得到答案.
【详解】解：（1）如图所示，以B为圆心，以任意长为半径画弧，分别于AB，BC交于MN，再分别以M、N为圆心，以大于MN长的一半为半径画弧，两弧交于点P，连接BP并延长，BP即为∠ABC的角平分线，同理作出∠ACB的角平分线，与AP延长线交于O，以O为圆心，以OC的长为半径画弧，与BC交于点Q，再分别以Q、C为圆心，以大于QC长的一半为半径画弧，两者交于T，连接OT交BC于E，再以O为圆心，以OE的长为半径画圆，分别于AB，AC交于D、F，即为所求；
（2）如图，连接OD，
∵圆O是三角形ABC的内切圆，且与边AB，BC，AC的切点D、E、F，
∴∠ODB=∠OEB=90°，
∴∠DBE+∠DOE=180°，
∵∠DBE=40°，
∴∠DOE=140°，
∴∠EFD=12∠DOE=70°
【点睛】本题主要考查了三角形内切圆的作图，内切圆的性质，圆周角定理，解题的关键在于能够熟练掌握内切圆圆心是角平分线的交点.
44．（2022·江苏泰州·统考二模）知⊙O及⊙O上一点P，过点P作⊙O的切线.
小明设计了如下尺规作法：
①连接OP，以点P为圆心，OP长为半径画弧交⊙O于点A；
②连接OA，延长OA到B，使AB=OA，作直线PB．则直线即为所求作.
（1）请证明小明作法的正确性；
（2）请你自己再设计一种尺规作图方法（保留痕迹，不要证明）.
【答案】（1）见解析；（2）见解析；
【分析】（1）连接PA，证出∠OPB=90°即可；
（2）先作一条射线OP，然后在OP外取一点A, 再以点A为圆心，AP为半径作圆，与射线OP交于另一点B，连接并延长BA与⊙A交于点C，连接PC即可．
【详解】证明：（1）连接PA，由题意可知：PA=OP=OA=AB，
∴ΔOPA是等边三角形，
∴∠OPA=∠POA=∠OAP=60°，
∵PA=AB，
∴∠APB=∠ABP，且∠APB+∠ABP=60°，
∴∠APB=∠ABP=30°
∴∠OPA+∠APB=90°，即：∠OPB=90°,
∴OP⊥PB，
即：PB为⊙O的切线；
（2）解：作法：
①作射线OP；
②在射线OP外任取一点A, 以点A为圆心，AP为半径作⊙A，与射线OP交于另一点B；
③连接并延长BA与⊙A交于点C；
④作直线PC；
则直线PC即为所求．如下图所示：
证明：∵BC是⊙A的直径，
∴∠BPC=90° (圆周角定理 ) ，
即OP⊥PC，
又∵OP是⊙O的半径，
∴PC是⊙O的切线(切线的判定) ．
【点睛】本题考查了切线的判定，圆周角定理，正确的做出图形是解题的关键．
45．（2022·陕西西安·统考一模）如图，已知⊙O及圆外一点P，请你利用尺规作⊙的切线PA．（不写作法，保留作图痕迹）
【答案】见解析
【分析】作OP的垂直平分线，交OP于O′，以O′为圆心，O′P为半径画圆，交⊙O于A、A′，根据直径所对的圆周角等于90°可得OA⊥PA，OA′⊥PA′，根据切线的判定定理可得PA、PA′是⊙O的切线.
【详解】如图，作OP的垂直平分线，交OP于O′，以O′为圆心，O′P为半径画圆，交⊙O于A、A′，
∴∠OAP=90°，∠OA′P=90°，
∴PA、PA′是⊙O的切线，
∴PA和PA′即为所作，
【点睛】此题综合考查切线的性质及圆周角定理，能够结合切线的性质定理和圆周角定理的推论分析出切点的位置是解题关键.
【考点10 动圆问题】
46．（2022秋·广东惠州·九年级校考阶段练习）如图，A(8，0)、B(0，6)分别是平面直解坐标系xOy坐标轴上的点，经过点O且与AB相切的动圆与x轴、y轴分别相交于点P、Q，则线段PQ长度的最小值是（）
A．42B．5C．4.8D．4.75
【答案】C
【分析】设PQ中点为F，圆与AB交点为D，连接FE、FO、OD，则易得圆直径最小值为OD的最小值，只需求出OD的最小值即可.
【详解】解：如图所示
∵圆心为F，且P、Q、O、D在圆上
∴FD=FO，且PQ=FO+FD
∵在△FOD中，FO+FD>OD，当O、F、D三点共线时FO+FD=OD
∴PQ≥OD
由图易知当OD⊥AB即OD为△OAB边AB上的高时，OD最小
此时OD=6×810=4.8
∴PQ的最小值为4.8
故答案是：C.
【点睛】本题主要考查圆中的最小值问题，合理的图形分析是解题的关键.
47．（2022·山东东营·校考一模）如图，在△ABC中，AB=10，AC=8，BC=6，经过点C且与边AB相切的动圆与CA、CB分别相交于点P、Q，则线段PQ长度的最小值是（ ）
A．4.75B．4.8C．5D．42
【答案】B
【分析】设QP的中点为F，圆F与AB的切点为D，连接FD，连接CF，CD，则有FD⊥AB；由勾股定理的逆定理知，△ABC是直角三角形，FC+FD=PQ，由三角形的三边关系知，FC+FD＞CD；只有当点F在CD上时，FC+FD=PQ有最小值，最小值为CD的长，即当点F在直角三角形ABC的斜边AB的高CD上时，PQ=CD有最小值，由直角三角形的面积公式知，此时CD=BC•AC÷AB=4.8．
【详解】如图，设QP的中点为F，圆F与AB的切点为D，连接FD、CF、CD，则FD⊥AB．
∵AB=10，AC=8，BC=6，
∴∠ACB=90°，FC+FD=PQ，
∴FC+FD＞CD，
∵当点F在直角三角形ABC的斜边AB的高CD上时，PQ=CD有最小值，
∴CD=BC•AC÷AB=4.8．
故选B．
【点睛】本题利用了切线的性质，勾股定理的逆定理，三角形的三边关系，直角三角形的面积公式求解．
48．（2022春·九年级课时练习）如图，在矩形ABCD中，BC=8，AB=6，经过点B和点D的两个动圆均与AC相切，且与AB、BC、AD、DC分别交于点G、H、E、F，则EF+GH的最小值是________．
【答案】9.6
【分析】设GH的中点为O，过O点作OM⊥AC，过B点作BN⊥AC，垂足分别为M、N，根据∠B=90°可知，点O为过B点的圆的圆心，OM为⊙O的半径，BO+OM为直径，可知BO+OM≥BN，故当BN为直径时，直径的值最小，即直径GH也最小，同理可得EF的最小值．
【详解】如图，设GH的中点为O，过O点作OM⊥AC，过B点作BN⊥AC，垂足分别为M、N，
∵在Rt△ABC中，BC=8，AB=6，
∴AC=AB2+BC2=10，
由面积法可知，BN•AC=AB•BC，
解得BN=4.8，
∵∠ABC=90°，
∴点O为过B点的圆的圆心，OM为⊙O的半径，BO+OM为直径的长，
又∵BO+OM≥BN，
∴当BN为直径时，直径的值最小，
此时，直径GH=BN=4.8，
同理可得：EF的最小值为4.8，
故EF+GH的最小值是9.6．
故答案为：9.6
【点睛】本题考查了切线的性质，垂线的性质及勾股定理的运用．关键是明确EF、GH为两圆的直径，根据题意确定直径的最小值．
49．（2022·江苏南京·九年级专题练习）如图，在直角坐标系中，以5为半径的动圆的圆心A沿x轴移动，当⊙A与直线l:y=512x只有一个公共点时，点A的坐标为________________．
【答案】(±13,0)
【分析】当⊙A与直线l:y=512x只有一个公共点时，则此时⊙A与直线l:y=512x相切，（需考虑左右两侧相切的情况）．设切点为B，此时B点同时在⊙A与直线l:y=512x上，故可以表示出B点的坐标，过B点作BC//OA，则此时△AOB∽△OBC，利用相似三角形的性质算出OA长度，最终得出结论．
【详解】如下图所示，连接AB，过B点作BC//OA，
此时B点坐标可表示为x,512x，
∴OC=512x，BC=x．
在Rt△OBC中，OB=BC2+OC2=x2+512x2=1312x，
又∵⊙A的半径为5，
∴AB=5．
∵BC//OA，
∴△AOB∽△OBC，
则OABO=ABOC=OBBC，
∴OA1312x=5512x，
∴OA=13．
∵左右两侧都有相切的可能，
∴A点的坐标为(±13,0)．
【点睛】本题考查的是直线与圆的位置关系，熟知相似三角形的判定与性质是解答此题的关键．
50．（2022秋·全国·九年级专题练习）如图，过点O和点M(2,2)的动圆⊙O1分别与x轴，y轴相交于点A，B．
(1)求OA+OB的值；
(2)设ΔBOA的内切圆⊙I的直径为d，求证：d+AB为定值．
【答案】(1)4
(2)见解析
【分析】（1）如图：作MD⊥x轴于D，ME⊥y轴于E，连接MA、MB，先证明四边形MDOE为正方形，再证明 △AMD≅△BME得到AD=BE，从而得到OA+OB=OD+OE=4；
（2）利用直角三角形△BOA内切圆半径与三边的关系得到的内切圆⊙I的半径为OA+OB−AB2，则d=OA+OB−AB，然后可计算出d+AB=OA+OB=4．
【详解】（1）解：作MD⊥x轴于D，ME⊥y轴于E，连接MA、MB，如图，
∵M点坐标为(2,2)，
∴MD=ME=2，
∴四边形MDOE为正方形，
∴OD=OE=MD=2，∠EMD=90°，
∵AB为直径，
∴∠AMB=90°，即∠AME+∠BME=90°，
而∠AME+∠AMD=90°，
∴∠AMD=∠BME，
在ΔAMD和ΔBME中
∠AMD=∠BMEMD=ME∠ADM=∠BEM，
∴ΔAMD≅ΔBME(ASA)，
∴AD=BE．
∴OA+OB=OD−AD+OE+BE=OD+OE=2OD=4．
（2）证明：∵ΔBOA的内切圆⊙I的半径=OA+OB−AB2，
∴ΔBOA的内切圆⊙I的直径=OA+OB−AB，
∴d+AB=OA+OB−AB+AB=4，
即d+AB为定值．
【点睛】本题主要考查了三角形的内切圆与内心、全等三角形的判定与性质、正方形的性质等知识点，掌握三角形的内心到三角形三边的距离相等；三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角是解答本题的关键．