江苏省南通市崇川区2023-2024学年高一上学期期中质量监测数学试题

这是一份江苏省南通市崇川区2023-2024学年高一上学期期中质量监测数学试题，共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．满足的集合的个数为（ ）
A．2B．3C．4D．5
2．命题“，”的否定为（ ）
A．，B．，
C．，D．，
3．已知幂函数的图象如图所示，则的解析式可能为（ ）
A．B．C．D．
4．若，则（ ）
A．B．C．D．
5．设函数，若，则（ ）
A．B．C．3D．5
6．设函数在区间上单调递增，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
7．已知函数是定义在上的奇函数，若在区间上单调递增，且，则满足的的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
8．火箭是能使物体达到宇宙速度，克服或摆脱地球引力，进入宇宙空间的运载工具．1903年齐奥尔科夫斯基就推导出单级火箭的理想速度公式：．表示气体相对于火箭的喷射速度，表示火箭的初始质量（火箭壳与推进剂的总质量），表示推进剂用完后火箭的质量，目前液氢液氧推进剂能达到的发动机的喷射速度约为．理想情况下，对于初始质量为24吨的单级火箭，速度要达到，则需装载的推进剂的吨数约为（ ）
（参考数据，）
A．22.1B．22.3C．22.5D．22.7
二、多选题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．下列不等关系正确的是（ ）
A．B．
C．D．
10．已知函数，则（ ）
A．为偶函数B．恰有4个单调区间
C．的最小值为D．的图象与轴有4个公共点
11．下列说法正确的是（ ）
A．方程的解集为
B．不等式的解集为
C．已知正数，满足，则的最小值为9
D．
12．存在函数满足：对任意都有（ ）
A．B．
C．D．
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13．已知函数，则______．
14．已知函数是偶函数，当时，，则当时，______．
15．已知函数，的值域为，则的取值范围是______．
16．写出一个同时具有下列性质①②的函数：______．
①；②
四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10分）
记函数的定义域为集合，函数的值域为集合．
（1）求
（2）设集合，若“”是“”的充分且不必要条件，求的取值范围．
18．（12分）
（1）计算；
（2）计算；
（3）已知，求子的值．
19．（12分）
如图，某小区有一个直角梯形休闲广场，其中，，百米，百米．规划修建两条直道，将广场分割为3个区域：Ⅰ、Ⅱ为绿化区域（图中阴影部分），面积分别记为、：Ⅲ为休闲区域，面积记为．其中，区域Ⅲ是以为底的梯形，点，分别在，上．（道路宽度忽略不计）
（1）试确定道路修建方案，使得；
（2）记休闲区域面积与绿化区域面积的比值为“效能比”，求此规划下该广场效能比的最大值．
20．（12分）
已知函数
（1）解关于的不等式；
（2）当时，恒成立，求的取值范围．
21．（12分）
设为实数，已知函数是奇函数．
（1）求的值；
（2）判断并证明的单调性；
（3）若关于的方程在上有解，求的取值范围．
22．（12分）
已知函数，，其中．
（1）当时，求函数的定义域与值域：
（2）设集合，证明：；
（3）已知矩形的顶点，在的图象上，顶点，在的图象上轴，若，且该矩形的中心为点，求的值．
2023—2024学年（上）高一期中质量监测
参考答案
一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有项是符合题目要求的．
1．答案：C
解析：用列举法可得：集合可以为，，，，共4个．
2．答案：B
解析：任意量词命题的否定：条件不变，任意“”改为存在“”，结论否定．
3．答案：C
解析：由图可知：幂函数图像关于轴对称，幂函数为偶函数，选项A的定义域为，为既不奇也不偶函数，排除A；图像中函数在时，，排除B，选项B定义域为；在第一象限中，幂函数图像的增长速度平缓，可判断幂函数中，选择C．
4．答案：D
解析：选项A两边同乘，可化简为，当时，可得，A错误；
选项B两边同乘，可化简为，B错误；
选项C两边同时取对数可得：，化简得，两边同除，
可得，由题意无法判断对错，C错误；
另法：取特殊值，可以取，，，，C错误；
选项D中，左边可化简为，即为，成立，右边可化简为，，成立，D选项正确．
5．答案：B
解析：整体思想：代入解析式可得，，
则，选择B．
6．答案：A
解析：函数分为外函数：，内函数：；
根据复合函数同增异减法则，在区间上单调递增，且外函数单调递减，
则内函数在也单调递减；
为二次函数，开口向下，对称轴为，所以，所以，选择A．
7．答案：C
解析：为奇函数，且函数在轴两侧单调性相反
在区间上单调递增
在区间上单调递减
则对于求解集，使用分类讨论思想：
（1）当，，且在区间上单调递增
（2）当，，且在区间上单调递减，
综上所述：，选择C．
8．答案：C
解析：由题意可得，
代入题目公式，可得：，
，，
代入值可得：，
需装载的推进剂的吨数约为
结合选项，选择C．
二、多选题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．答案：ABD
解析：选项A：为单调递增函数，，所以，A正确；
选项B：为单调递增函数，，所以，B正确；
选项C：为单调递减函数，，所以，C错误；
选项D：，，所以，D正确．
10．答案：AB
解析：，，为偶函数，A正确；
中含有绝对值，分类讨论去绝对值，得分段函数：
画出对应图像：
由图可知：恰有4个单调区间，B正确；
由图可知：分别在，时取得最小值，C错误；
由图可知：的图象与轴有3个公共点，D错误；
11．答案：BC
解析：选项A：
且（真数大于0），A错误；
选项B：，换元，设，
，，，
，解集为，B正确；
选项C：
当且仅当时取“＝”，所以C正确；
选项D：
，，
时取“＝”，或者，
时取“＝”，D错误．
12．答案：BC
解析：选项A：设，，，
则取，，
一个自变量对应两个函数值，不符合函数定义，A错误；
选项B：设，，
，，符合函数定义，B正确；
选项C：，由复合函数可知；
外函数：，内函数：
为单调函数，一个对应一个
又（）（飘带函数）为单调函数，一个对应一个
与一一对应，符合函数定义，C正确；
选项D：设，，，
一个自变量对应两个函数值，不符合函数定义，D错误．
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13．答案：
解析：
14．答案：
解析：函数是偶函数，，
当时，，，
当时，，
15．答案：
解析：，函数中含有绝对值，去绝对值，
可得分段函数，
画出对应函数图像：
由图可知在，
的值域为，所以的值能使得取得；
由图可知：
16．答案：（答案不唯一，形如，）
解析：由性质①，可得单调递增函数；
由性质②，可联想到指数运算性：，
自变量相加时对应函数值相乘，可以设，
代入性质②可得：，
，，
单调递增函数
，，的形式均可．
四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10分）
解析：（1）由，得
，
又，，，
，
（2）由于（1）可得
“”是“”的充分且不必要条件
，或
所以的取值范围为．
18．（12分）
解析：（1）
（2）
又
（3），，
且
，
19．（12分）
解析：（1）延长，相交于点．
，，
，
又
，设，
，
由图可知，
，，
所以当道路米时，
（2）
广场效能比为：
设，二次函数，开口向上，当时取得
此规划下该广场效能比的最大值为3．
20．（12分）
解析：（1）
要求，对于进行分类讨论
①当时，，可得：；
②当时，为二次函数，开口向下，可得：；
③当时，为二次函数，开口向上，
可得：，此时的两根为，，
针对两根大小关系再次分类讨论，
ⅰ）时，，此时．
ⅱ）时，，此时或
ⅲ）时，，此时或
综上所述：当时，解集为；
当时，解集为；
当时，解集为；
当时，解集为；
当时，解集为
（2）当时，恒成立
①当时，，当时，不恒成立
不符合题意，舍去；
②当时，为二次函数，二次函数开口必须向上
所以
由（1）可得：，解得：
21．（12分）
解析：（1）由题意可得：定义域为
是奇函数，，代入得；
代入特殊值时，需要检验：
当时，；
为奇函数，
（2）函数是上的减函数．
由定义法证明单调性：
在上任取，，不妨设，作差得：
经化简可得
因为，所以，
，，即为
函数是上的减函数．
（3）在上有解，
由（1）、（2）可知为奇函数且在上单调递减，
，
为奇函数，，
，又是上的单调函数，
在上有解，
在上有解，
根据一元二次方程根的分布：
①当时，，即为，
若此时方程的解为，不符合题意，舍去；
若此时方程的解为，符合题意；
②当时，，即为，
或者；
ⅰ）当时，在上有解，
可转化为在与轴有交点，
二次函数，对称轴，，所以，
对称轴在区间左侧，此时
此时在与轴没有交点，不合题意，舍去；
ⅱ）当时，，
对称轴在区间上，此时
此时在与轴有2个交点；
综上所述：
22．（12分）
解析：（1）由题意可得：，得，
定义域为．
当时，，
，，
值域为．
（2）
又因为，所以可得
要证明：即证明在上有解
存在，使得成立
，即为
当时，不等式两边同除，
，设
对于，，当且仅当时取“＝”
当时，，
，
由题意可得：，所以当时满足题意；
在上有解
即可证明：
（3）与关于轴对称
由题意可知，矩形关于轴对称，所以，．
所以设点坐标（）
因为矩形且轴，轴
点坐标
又矩形关于轴对称
点横坐标为，同理可得点坐标
，且该矩形的中心为点
所以可得：，消去
得：
所以，展开可得：
因式分解可得：
所以．