吉林省通化市梅河口市第五中学2024-2025学年高二上学期10月期中考试数学试题

这是一份吉林省通化市梅河口市第五中学2024-2025学年高二上学期10月期中考试数学试题，共6页。试卷主要包含了单选题，选择题，填空题等内容，欢迎下载使用。

1. 已知过两点的直线的倾斜角是，则两点间的距离为（ ）
A. B. C. D.
2. 已知直线与平行，则a等于（ ）.
A. -7或-1B. 7或1C. -7D. -1
3. 在正方体中，是的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A. B. C. D.
4. 若点与的中点为，则直线必定经过点
A. B. C. D.
5. 设直线与圆相交于两点，且面积为8，则（ ）
A B. C. 1D.
6. 已知为直线上的动点，点满足，则点的轨迹方程为（ ）
A. B.
C. D.
7. 如图，两个相同的正四棱台密闭容器内装有纯净水，，图1中水面高度恰好为棱台高度的，图2中水面高度为棱台高度的，若图1和图2中纯净水的体积分别为，则（ ）
A. B. C. D.
8. 关于椭圆有如下结论：“过椭圆上一点作该椭圆切线，切线方程为.”设椭圆的左焦点为，右顶点为，过且垂直于轴的直线与的一个交点为，过作椭圆的切线，若切线的斜率与直线的斜率满足，则椭圆C的离心率为（ ）
A. B. C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，满分共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 已知曲线，则下列说法正确的是（ ）
A. 若，则曲线C是圆
B. 若，则曲线C是焦点在y轴上的椭圆
C. 若，则曲线C是焦点在x轴上的双曲线
D. 曲线C可以是抛物线
10. 已知圆：.直线：，下列选项正确的是（ ）
A 直线与圆一定相交
B. 当时，圆上有且仅有三个点到直线的距离为1
C. 若直线在两坐标轴上的截距相等，则实数或
D. 圆上一点到直线的距离的最大值为
11. 已知双曲线的左，右焦点分别为、，过的直线与双曲线的右支交于点、，与双曲线的渐近线交于点、（、在第一象限，、在第四象限），为坐标原点，则下列结论正确的是（ ）
A. 若轴，则的周长为
B. 若直线交双曲线左支于点，则
C. 面积最小值为
D. 的取值范围为
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 直线与轴交于点，将绕点顺时针旋转得到直线，则直线的一般式方程为______.
13. 在空间直角坐标系中，表示经过点，且法向量为的平面的方程，则点到平面的距离为______.
14. 已知点，，，直线将分割为面积相等的两部分，则b的取值范围是______.
四､解答题
15.已知平面内两点.
（1）求过点且与直线垂直的直线的方程.
（2）若是以为顶点的等腰直角三角形，求直线的方程.
（3）已知直线过点，且点到的距离为4，求直线的方程.
16.如图，在正四棱柱中，.点分别在棱上，.
（1）证明：；
（2）点在棱上，当二面角为时，求.
17. 已知数列满足，．
（1）求证：数列是等比数列；
（2）设求的前项和．
18. 已知直线过点，且与轴、轴的正半轴分别交于两点，为坐标原点.
（1）当时，求直线的方程；
（2）当的面积为时，求直线的方程.
19. 甲、乙、丙三名同学进行羽毛球比赛，每局比赛两人对战，另一人轮空，没有平局，每局胜者与此局轮空者进行下一局的比赛．约定先赢两局者获胜，比赛随即结束，各局比赛结果互不影响，已知每局比赛甲胜乙的概率为，乙胜丙的概率为，甲胜丙的概率为．
（1）若第一局由乙丙对战，求甲获胜的概率；
（2）若第一局由甲乙对战，求甲获胜的概率．
CCCA CCDC 9AC 10CD 11BD 12
13 14
15.（1）由题意得，则直线的斜率为，
所以过点且与直线垂直的直线的方程为：，
即.
（2）的中点坐标为，
由（1）可知线段垂线的斜率为，所以线段垂直平分线的方程为，即.
因为是以为顶点的等腰直角三角形，
所以点在直线上，
故设点为，
由可得：，
解得或，
所以点坐标为或，
则直线的方程为或.
（3）或
16.
以为坐标原点，所在直线为轴建立空间直角坐标系，如图，
则，
，
，
又不在同一条直线上，
.
【小问2详解】
设，
则，
设平面的法向量，
则，
令，得，
，
设平面的法向量，
则，
令，得，
，
，
化简可得，，
解得或，
或，
.
17（1）因为，
所以，即，
又因为，
所以，
所以，
故数列是以首项为，公比为的等比数列.

18（1）；
或
19（1）
（2）