重庆市2025届高三上学期9月第一次质量检测 数学试题（含解析）

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数学试题
命审单位：重庆南开中学
注意事项：
1.本试卷满分150分，考试时间120分钟.
2.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.
3.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用木皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.
4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.
1．若集合，，则（ ）
A．B．C．D．
2．“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
3．函数与的图象（ ）
A．关于轴对称B．关于直线对称
C．关于直线对称D．关于直线对称
4．若函数在上单调递减，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
5．已知，，则（ ）
A．B．C．D．
6．薯条作为一种油炸食品，风味是决定其接受程度的基础.米其林三星餐厅大厨Hestn Blumenthal对餐饮门店的不同油炸批次的薯条进行整体品质的感官评价并提出了“油炸质量曲线”（图1），将油炸过程划分为五个阶段：诱导、新鲜、最佳、降解和废弃阶段，以解释食物品质与油炸时间之间的关系.

在特定条件下，薯条品质得分与煎炸时间（单位：min）满足函数关系（a、b、c是常数），图2记录了三次实验的数据，根据上述函数模型和实验数据，可以得到最佳煎炸时间为（ ）
A．2.25minB．2.75minC．3.25minD．3.75min
7．已知定义在上的奇函数的导函数为，，当时，，则不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
8．已知，，，当时，恒成立，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．1
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分.
9．已知，且，则（ ）
A．B．
C．D．
10．关于函数，下列说法中正确的是（ ）
A．图象关于直线对称B．图象关于直线对称
C．最小正周期为D．最大值为
11．若函数有三个零点，，，则下列说法中正确的是（ ）
A．
B．
C．若，，成等差数列，则
D．若，，成等比数列，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12．若，，且，则 .
13．函数的值域为 .
14．若函数有两个零点，则实数的取值范围为 .
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．在中，角，，的对边分别为，，，.
(1)求；
(2)若的面积为，周长为8，求.
16．广阳岛，作为长江上游最大的江心岛，其面积在枯水期约为10平方公里.自2017年起，重庆市开始对广阳岛进行系统的生态修复，摒弃了曾经的商业开发计划，转而建设“长江风景眼，重庆生态岛”.经过数年的努力，广阳岛的生态得到了显著的改善，不仅植被丰富，生物多样性也得到了极大的提升.据监测，岛上的鸟类从生态修复前的124种增加到213种，其中包括中华秋沙鸭、游隼、白琵鹭等珍稀鸟类.为调查广阳岛某种鸟的数量，将其分成面积相近的50个地块，从这些地块中用简单随机抽样的方法抽取5个作为样区，调查得到样本数据，其中和分别表示第个样区的植被覆盖面积（单位：平方公里）和这种鸟的数量.
(1)求广阳岛这种鸟数量的估计值（这种鸟数量的估计值等于样区这种鸟数量的平均数乘以地块数）；
(2)求样本的相关系数（精确到0.01）；
(3)根据统计资料，各地块间植物覆盖面积差异较大.为提高样本的代表性以获得广阳岛这种鸟数量更准确的估计，请给出一种你认为更合理的抽样方法，并说明理由.
附：相关系数，，.
17．已知函数，.
(1)讨论的单调性；
(2)当时，恒成立，求的取值范围.
18．已知为椭圆：的左焦点，椭圆过点，且直线的斜率为.
(1)求椭圆的方程；
(2)若点，在椭圆上，且，过，分别作椭圆的切线，，与相交于点.
（i）求点的轨迹方程；
（ii）求周长的最小值.
19．已知为坐标原点，点，分别在曲线：（且）和曲线：（且）上，轴，直线与直线关于直线对称.
(1)若，求；
(2)证明：当时，的取值是唯一的.
1
2
3
4
5
0.171
0.152
0.192
0.189
0.196
12
10
16
14
18
1．D
【分析】由已知集合的交运算即可求它们的交集.
【详解】由题意，集合,
则，
所以.
故选：D.
2．C
【分析】由得，进而根据充分不必要条件求解即可.
【详解】若则，
若，只有当x>0时才可推出，则，
故是的充要条件.
故选：C.
3．B
【分析】结合函数对称性的定义，设，可得，即可得解.
【详解】设，，显然，
故与的图象关于直线对称.
故选：B.
4．C
【分析】根据题意，转化为在上恒成立，即在上恒成立，结合基本不等式，即可求解.
【详解】由函数，可得，
因为函数在上单调递减，可得在上恒成立，
即在上恒成立，
当时，；
当时，由，所以，
所以，所以实数的取值范围为.
故选：C.
5．C
【分析】利用余弦的和差公式求出，然后可得，再由余弦二倍角公式可得.
【详解】，
，
，
.
故选：C.
6．C
【分析】将三点坐标代入解析式求出参数，然后根据二次函数对称性可得.
【详解】由图2知，解得，，，
所以，
所以当时，取得最大值.
故选：C.
7．A
【分析】由复合函数和函数的奇偶性得到的单调性，再分的范围解不等式即可；
【详解】时，即，
在上单增，
又为奇函数，
为偶函数，
在0,+∞上单减，
，故，
所以或时gx0，
当时，，；
当时，，若则gx0，，
若则，，不符合题意；
综上，，
故选：A.
8．B
【分析】当时，不等式恒成立，设，，利用导数研究的零点，易知的零点也是的零点，由此利用韦达定理，经过变形，然后构造出函数，利用导数研究其最小值即可.
【详解】当时，不等式显然成立，
当时，不等式恒成立，
设，，则，
令f′x