2024-2025学年天津五十四中高三（上）第一次月考数学试卷（10月份）（含答案）

这是一份2024-2025学年天津五十四中高三（上）第一次月考数学试卷（10月份）（含答案），共10页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.已知集合U={0,1,2,3,4,5,6}，A={x∈N|1≤x<3}，B={3,4,5,6}，则A∪(∁UB)=( )
A. [2,6)B. {1,2}C. {0,1,2}D. {0,1,2,3}
2.设x∈R，则“x<1”是“x|x|−2<0”的( )
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
3.函数f(x)=x−x2sinxx2+1在[−π2,π2]的图象大致为( )
A. B.
C. D.
4.已知奇函数f(x)，且g(x)=xf(x)在[0,+∞)上是增函数．若a=g(−lg25.1)，b=g(20.8)，c=g(3)，则a，b，c的大小关系为( )
A. a5.某校抽取100名学生做体能测试，其中百米测试中，成绩全部介于13秒到18秒之间，将测试结果分为五组：第一组[13,14)，第二组[14,15)，……，第五组[17,18).如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图，若成绩低于a即为优秀，如果优秀的人数为14人，则a的估计值是( )
A. 14B. 14.5C. 15D. 15.5
6.如图，在直三棱柱ABC−A1B1C1中，AB= 3AA1=2 3，△ABC是等边三角形，点O为该三棱柱外接球的球心，则三棱柱外接球表面积与四棱锥VB1−AA1C1C体积之比为是( )
A. 5 3π3
B. 2 3π3
C. 5 3π6
D. 5 3π2
7.(普通班做)已知ω>0，函数f(x)=sin(ωx+π4)在(π3,π2)内单调递减，则ω的取值范围是( )
A. [12,34]B. [34,52]C. [34,54]D. [12,54]
8.设函数f(x)=x2−4x+3,(x≥0)2x+3,(x<0)，若互不相等的实数x1，x2，x3，满足f(x1)=f(x2)=f(x3)，则x1+x2+x3的取值范围是( )
A. (52,6)B. (52,4]C. (2,4)D. (2,6)
9.已知f(x)=2sin2(ωx+π3)−1(ω>0)，给出下列结论：
①若f(x1)=1，f(x2)=−1，且|x1−x2|min=π，则ω=1；
②存在ω∈(0,2)，使得f(x)的图象向左平移π6个单位长度后得到的图象关于y轴对称；
③若ω=1，则f(x)在[−π6,π4]上单调递增；
④若f(x)在[0,π)上恰有5个零点，则ω的取值范围为(2912,3512]．
其中，所有正确结论的个数是( )
A. 1B. 2C. 3D. 4
二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分。
10.i是虚数单位，复数|3−4i|1+2i的虚部是______．
11.在(2 x−1x)5的展开式中，x的系数为______．
12.计算：(827)−23+10lg3+lg19 3−lg54⋅lg25=______．
13.设a>1，b>0，若a+b=2，则2a−1+1b的最小值为______．
14.甲、乙两名枪手进行射击比赛，每人各射击三次，甲三次射击命中率均为45；乙第一次射击的命中率为78，若第一次未射中，则乙进行第二次射击，射击的命中率为34，如果又未中，则乙进行第三次射击，射击的命中率为12.乙若射中，则不再继续射击．则甲三次射击恰好命中1次的概率为 ，乙射击次数的期望为 ．
15.在菱形ABCD中，AB=3，∠BAD=60∘，E，F分别为线段BC，CD上的点，CE=2EB，CF=2FD，点M在线段EF上，且满足AM=xAB+56AD(x∈R)，则x= ；若点N为线段BD上一动点，则AN⋅MN的取值范围为 ．
三、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题12分)
在△ABC中，a、b、c分别是三个内角A、B、C的对边，若b=3，c=4，C=2B，且a≠b．
(1)求csB及a的值；
(2)求cs (2B+π3)的值．
17.(本小题12分)
如图，在四棱锥P−ABCD中，PD=2AD，PD⊥DA，PD⊥DC，底面ABCD为正方形，M、N分别为AD，PD的中点．
(Ⅰ)求证：PA//平面MNC；
(Ⅱ)求直线PB与平面MNC所成角的正弦值．
18.(本小题12分)
在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且满足b2+c2−a2=4 23bc，3ca= 2sinBsinA，且△ABC的面积S△ABC=2 2．
(1)求sinA的值和边c的值；
(2)求sin(2C−π6)的值．
19.(本小题12分)
如图，在四棱锥P−ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是直角梯形，其中AD//BC，AB⊥AD，AB=AD=12BC=2，PA=4，E为棱BC上的点，且BE=14BC．
(1)求证：DE⊥平面PAC；
(2)求二面角A−PC−D的正弦值；
(3)设Q为棱CP上的点(不与C，P重合)，且直线QE与平面PAC所成角的正弦值为55，求CQCP的值．
20.(本小题12分)
已知函数f(x)=2elnxx−1．
(Ⅰ)求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程；
(Ⅱ)求函数f(x)的单调区间；
(Ⅲ)已如函数g(x)=3x3+2ax2+1，若∀x1，x2∈[1,e]，不等式f(x1)≤g(x2)恒成立，求实数a的取值范围．
参考答案
1.C
2.A
3.D
4.C
5.B
6.A
7.B
8.C
9.A
10.−2
11.−80
12.3
13.3+2 2
14.12125 ； ；；3732
15. ；12 ；；[−3716,34]
16.解：(1)在△ABC中，由正弦定理bsinB=csinC，
可得：3sinB=4sinC，
∵C=2B，
∴3sinB=4sin2B=42sinBcsB，
解得：csB=23，
在△ABC中，由余弦定理b2=a2+c2−2accsB，
可得：a2−163a+7=0，解得a=3，或a=73，
∵a≠b，∴a=73．
(2)∵csB=23，可得sinB= 53，
∴sin2B=2sinBcsB=4 59,cs2B=2cs2B−1=−19，
∴c(2B+π3)=12cs⁡2B− 32sin⁡2B=−1+4 1518．
17.解：(Ⅰ)证明：∵M，N分别为AD，PD的中点，
∴PA/​/MN，
又∵MN⊂平面MNC，PA⊄平面MNC，
∴PA/​/平面MNC；
(Ⅱ)已知PD⊥DA，PD⊥DC，又底面ABCD为正方形，
所以DA⊥DC，
故DA、DC、DP两两互相垂直，
以点D为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
设AD=2，
则B(2,2,0)，C(0,2,0)，P(0,0,4)，M(1,0,0)，N(0,0,2)，PB=(2,2,−4),NC=(0,2,−2),MN=(−1,0,2)，
设平面MNC的法向量为n=(x,y,z)，则n⋅MN=−x+2z=0n⋅NC=2y−2z=0，可取n=(2,1,1)，
设直线PB与平面MNC所成角为α，
则sinα=|cs|=n·PBn·PB=16．
18.解：(1)由余弦定理及b2+c2−a2=4 23bc，得csA=2 23，
由于A∈(0,π)，则sinA=13．
由正弦定理：sinBsinA=ba及3ca= 2sinBsinA，得3ca= 2ba，
即3c= 2b，又△ABC的面积为2 2，
故S△ABC=12bcsinA=12×3 22×c2×13=2 2，
于是c=2 2．
(2)由b=6，c=2 2及b2+c2−a2=4 23bc，解得a=2 3，
由于a=2 3,sinA=13，则sinC=csinAa= 69，
又b>c，则B>C，即C为锐角，
于是csC= 1−sin2C=5 39，从而sin2C=2sinCcsC=2× 69×5 39=10 227，cs2C=1−2sin2C=2327，
故sin(2C−π6)=sin2Ccsπ6−cs2Csinπ6=10 227× 32−2327×12=10 6−2354．
19.证明：(1)因为 PA⊥ 平面 ABCD ， AB⊂ 平面 ABCD ， AD⊂ 平面 ABCD ，
所以 PA⊥AB ， PA⊥AD ，又因为 AB⊥AD ，
则以 A 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
由已知可得 A(0,0,0) ， B(2,0,0) ， C(2,4,0) ， D(0,2,0) ， P(0,0,4) ， E(2,1,0) ，
所以 DE=(2,−1,0) ， AC=(2,4,0) ， AP=(0,0,4) ，
因为 DE⋅AC=2×2−1×4+0=0 ， DE⋅AP=0 ，所以 DE⊥AC ， DE⊥AP ，
又 AP∩AC=A ， AP⊂ 平面 PAC ， AC⊂ 平面 PAC ，
所以 DE⊥ 平面 PAC ．
解：(2)由(1)可知 DE⊥ 平面 PAC ，
DE=(2,−1,0) 可作为平面 PAC 的法向量，
设平面 PCD 的法向量 n=(x,y,z)
因为 PD=(0,2,−4) ， PC=(2,4,−4) ．
所以 n⋅PD=0n⋅PC=0 ，即 2y−4z=02x+4y−4z=0 ，
不妨设 z=1 ，得 n=(−2,2,1) ．
cs⟨DE,n⟩=DE⋅nDE⋅n=2×(−2)+(−1)×2+022+(−1)2×(−2)2+22+1=−255 ，
所以二面角 A−PC−D 的正弦值为 1−cs2DE,n= 55 ．
(3)设 CQCP=λ (0<λ<1) ，即 CQ=λCP=(−2λ,−4λ,4λ) ，
所以 AQ=AC+CQ=(2−2λ,4−4λ,4λ) ，即 QE=AE−AQ=(2λ,4λ−3,−4λ) ，
因为直线 QE 与平面 PAC 所成角的正弦值为 55 ，
所以 |cs⟨QE→,DE→⟩|=|QE→⋅DE→||QE→|⋅|DE→|=|2×2λ−(4λ−3)+0| 22+(−1)2× (2λ)2+(4λ−3)2+(−4λ)2= 55 ，
即 36λ2−24λ+9=3 ，解得 λ=23 ，即 CQCP=23 ．

20.解：(Ⅰ)∵f(x)=2elnxx−1，定义域是(0,+∞)，
∴f(1)=−1，f′(x)=2e(1−lnx)x2，f′(1)=2e，
故切线方程为y+1=2e(x−1)，即2ex−y−2e−1=0；
(Ⅱ)由(Ⅰ)f′(x)=2e(1−lnx)x2，
令f′(x)>0，解得0e，
故f(x)在(0,e)单调递增，在(e,+∞)单调递减；
(Ⅲ)由(Ⅱ)得f(x)的极大值是f(e)=2elnee−1=1，
即f(x)的最大值是f(e)=1，
∵g(x)=3x3+2ax2+1，∴g′(x)=9x2+4ax，
令g′(x)=0，解得x=0或x=−4a9，
若∀x1，x2∈[1,e]，不等式f(x1)≤g(x2)恒成立，
则x∈[1,e]时，f(x)max=1≤g(x)min恒成立，
①当−4a9<1即a>−94时，g(x)在[1,e]上单调递增，
此时g(x)min=g(1)=4+2a，令4+2a≥1，得a≥−32；
②当1≤−4a9≤e时，即−9e4≤a≤−94时，g(x)在[1,−4a9)单调递减，在(−4a9,e]单调递增，
此时g(x)min=g(−4a9)=32a3243+1，
令32a3243+1≥1，解得a≥0，不符合题意；
③当−4a9>e即a<−9e4时，g(x)在[1,e]单调递减，
故g(x)min=g(e)=3e3+2ae2+1，
令3e3+2ae2+1≥1，解得a≥−3e2，不符合题意
综上，实数a的取值范围是[−32,+∞)．