广东省揭阳市2025届高三上学期9月段考2数学试卷(含答案)

这是一份广东省揭阳市2025届高三上学期9月段考2数学试卷(含答案)，共15页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．已知集合,,则( )
A.B.C.D.
2．若复数（i为虚数单位），则在复平面内对应的点位于( )
A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限
3．双曲线的两条渐近线的夹角的大小等于（ ）
A．B．C．D．
4．在中,D是BC上一点,满足,M是AD的中点,若,则( )
A.B.1C.D.
5．若两个等比数列,的公比相等,且,,则的前6项和为( )
A.B.C.124D.252
6．若函数在区间上是减函数,且,,,则( )
A.B.C.1D.2
7．已知点,,点P是圆上任意一点,则面积的最小值为( )
A.6B.C.D.
8．已知函数的定义域为R,且,若函数的图象与函数的图象有交点,且交点个数为奇数,则( )
A.B.0C.1D.2
二、多项选择题
9．设A,B为随机事件,且,是A,B发生的概率.,,则下列说法正确的是( )
A.若A,B互斥,则
B.若,则A,B相互独立
C.若A,B互斥,则A,B相互独立
D.若A,B独立,则
10．在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若，内角A的平分线交BC于点D，，，以下结论正确的是( )
A.B.
C.D.的面积为
11．设函数，则( )
A.是的极小值点
B.
C.不等式的解集为
D.当时，
三、填空题
12．在中,若,,,则_________________
13．如果一个直角三角形的斜边长等于,则当这个直角三角形周长取最大值时,其面积为________.
14．已知函数,点P为曲线在点处的切线l上的一点,点Q在曲线上,则的最小值为____________．
四、解答题
15．在中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,,.
（1）若,求的值;
（2）求面积的最大值.
16．某商场举行有奖促销活动，凡5月1日当天消费不低于1000元，均可抽奖一次，抽奖箱里有6个形状、大小、质地完全相同的小球，其中红球有4个，白球有2个，抽奖方案设置两种，顾客自行选择其中的一种方案.
方案一：从抽奖箱中，一次性摸出3个球，每有1个红球，可立减80元；
方案二：从抽奖箱中，有放回地每次摸出1个球，连摸3次，每摸到1次红球，立减80元.
（1）设方案一摸出的红球个数为随机变量X，求X的分布列、数学期望和方差；
（2）设方案二摸出的红球个数为随机变量Y，求Y的分布列、数学期望和方差；
（3）如果你是顾客，如何在上述两种抽奖方式中进行选择？请写出你的选择及简要理由.
17．如图,三棱柱中,侧面底面ABC,,,,点D是棱的中点.
（1）证明:;
（2）求面ABC与面夹角的正切值.
18．已知椭圆的右焦点为,离心率为,直线l经过点F,且与C相交于A,B两点,记l的倾斜角为.
（1）求C的方程;
（2）求弦AB的长（用表示）;
（3）若直线MN也经过点F,且倾斜角比l的倾斜角大,求四边形AMBN面积的最小值.
19．如果n项有穷数列满足,,…,,即,则称有穷数列为“对称数列”.
（1）设数列是项数为7的“对称数列”,其中,,,成等差数列,且,,依次写出数列的每一项;
（2）设数列是项数为(且)的“对称数列”,且满足,记为数列的前项和.
①若,,…,构成单调递增数列,且.当为何值时,取得最大值?
②若,且,求k的最小值.
参考答案
1．答案：D
解析：由,得到,所以,
又,所以,故,
故选:D.
2．答案：D
解析：由题得，
，.
故选：D.
3．答案：B
解析：双曲线的两条新近线的方程为，由直线的斜率为，可得倾斜角为，的解率为，可得倾斜角为，所以两条渐近线的夹角的大小为，故选：B.
4．答案：C
解析：由题可知,,
,
所以有,所以,得.
故选:C
5．答案：B
解析：由,得的公比,所以的公比为,
则的前6项和为.
故选：B.
6．答案：A
解析：由题知,
因为,,
所以,
又因为在区间上是减函数,
所以,
两式相减,得,
因为,所以.
故选:A.
7．答案：D
解析：两点,,则,直线AB方程为,
圆的圆心,半径,
点C到直线的距离,
因此点P到直线AB距离的最小值为,
所以面积的最小值是.
故选:D
8．答案：C
解析：令,其定义域为R,
因为,所以为偶函数,
由题易知也为偶函数,
因为两个函数图象的交点个数为奇数,
所以两个函数的交点,必有一个是原点,
故.
故选:C.
9．答案：ABD
解析：对于选项A,若A,B互斥,根据互斥事件的概率公式,则,所以选项A正确,
对于选项B,由相互独立事件的概念知,若,则事件A,B是相互独立事件,所以选项B正确,
对于选项C,若A,B互斥,则A,B不一定相互独立,例:抛掷一枚硬币的试验中,事件A:“正面朝上”,事件B:“反面朝上”,事件A与事件B互斥,但,,不满足相互独立事件的定义,所以选项C错误,
对于选项D,由相互独立事件的定义知,若A,B独立,则,所以选项D正确,
故选:ABD.
10．答案：ACD
解析：在中，，则，整理得，所以，由二倍角公式得，解得，在中，则，故选项A正确；
在中，则，故选项B错误；
由题意可知，即，由，解得，故选项C正确；
在中，，则，，故选项D正确.故选ACD.
11．答案：BD
解析：对于选项A：因为的定义域为R，
且，
当时，；当或时，；
可知在上单调递增，在上单调递减，
所以是函数的极大值点，故A错误；
对于选项B：因为，故B正确；
对于选项C：对于不等式，
因为，即为不等式的解，但，
所以不等式的解集不为，故C错误；
对于选项D：因为，则，
且，可得，
因为函数在上单调递增，所以，故D正确；
故选：BD.
12．答案：4
解析：在中,利用余弦定理,
,化简得:,与题目条件联立,
可解得,,.
13．答案：2
解析：如图所示:
在中,,,
而直角三角形周长,
由勾股定理可知,
若要使l最大,只需最大即可,
即最大即可,
又,当且仅当时等号成立,
所以,所以,,
当且仅当等号成立,
此时,其面积为.
故答案为:2.
14．答案：
解析：,
,解得：,
,则,
切线L的方程为：,即;
若最小,则Q为与平行且与曲线相切的切点,所求最小距离为Q到直线的距离,
设所求切点,由,可得,
所以,即,又单调递增,而时,
所以,即,
.
故答案为：.
15．答案：（1）
（2）
解析：（1）由正弦定理,可得,
（2）,,
由余弦定理可得,
,,
,,
当且仅当时,等号成立,此时面积取得最大值
16．答案：（1）分布列见解析；，；
（2），；
（3）应选择方案一的抽奖方式
解析：（1）设方案一摸出的红球个数为X，则X的所有可能取值为1，2，3.
，，.
X的分布列为：
所以，
（2）设方案二摸出的红球个数为Y，则Y的所有可能取值为0，1，2，3.则.
所以，.
（3）因为，，即两种方案抽取的红球个数的数学期望一样，但方案一更稳定，所以应选择方案一的抽奖方式
17．答案：（1）证明见解析
（2）
解析：（1）因为三棱柱中,
故四边形为菱形,又因,点D是棱的中点,
故,
又侧面底面ABC,侧面底面,侧面,
所以底面ABC,又底面ABC,故.
（2）因,,故为直角三角形,
故,
如图分别以AB,AC,AD为x,y,z轴建立空间直角坐标系,
则,,,
由（1）可知,,,故,,
则,
由题意平面ABC的一个法向量为
设平面的一个法向量为,
则即,令,则,,
则,
设面ABC与面夹角为,则,
故,
面ABC与面夹角的正切值为.
18．答案：（1）
（2）答案见解析
（3）
解析：（1）由题知,又,得到,所以,
故椭圆C的方程为.
（2）设,,因为直线l经过点F,且倾斜角为,
当时,直线,由,解得,,此时,
当,设直线l的方程为,其中,
由,消y得到,
又,所以,即,
综上,当时,;当时,.
（3）直线MN也经过点F,且倾斜角比l的倾斜角大,所以,
当时,易知,,
此时四边形AMBN面积为,
当时,可设,其中,
同理可得,
当时,,,此时四边形AMBN面积为,
当且时,
四边形AMBN面积为①,
又,
代入①化简得到,
即,
令,
令,则,
所以,对称轴,又,则
当,即时,,此时,
所以四边形AMBN面积的最小值为,
又,所以四边形AMBN面积的最小值.
19．答案：（1）1,3,5,7,5,3,1
（2）①1012;
②2025
解析：（1）因为数列是项数为7的“对称数列”,所以,
又因为,,,成等差数列,其公差,…
所以数列的7项依次为1,3,5,7,5,3,1;
（2）①由,,…,是单调递增数列,数列是项数为的“对称数列”且满足,
可知,,…,构成公差为2的等差数列,,,…,构成公差为的等差数列,
故
,
所以当时,取得最大值;
②因为即,
所以即,
于是,
因为数列是“对称数列”,
所以
,
因为,故,
解得或,所以,
当,,…,构成公差为的等差数列时,满足,
且,此时,所以的最小值为2025.
X
1
2
3
P