数学七年级上册第九章 整式第6节 整式的除法9.19 多项式除以单项式精品综合训练题

这是一份数学七年级上册第九章 整式第6节 整式的除法9.19 多项式除以单项式精品综合训练题，文件包含沪教版五四制数学七上919《多项式除以单项式》分层练习原卷版docx、沪教版五四制数学七上919《多项式除以单项式》分层练习解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共31页， 欢迎下载使用。

分层练习
基础题
题型一 多项式除以单项式
1．（2023秋·20x4+15x3−25x2÷5x2 ．
【答案】4x2+3x−5
【分析】根据多项式与单项式的除法法则计算即可．
【详解】20x4+15x3−25x2÷5x2
=20x4÷5x2+15x3÷5x2−25x2÷5x2
=4x2+3x−5．
故答案为：4x2+3x−5．
【点睛】本题考查了多项式与单项式的除法，多项式除以单项式用多形式的每一项分别与单项式相除即可．
2．（上海浦东新·七年级校考期末）计算：12ax3−27ax÷−3ax= ．
【答案】−4x2+9/9−4x2
【分析】用多项式的每一项除以单项式即可求解．
【详解】12ax3−27ax÷−3ax
=12ax3÷−3ax−27ax÷−3ax
=−4x2+9
【点睛】本题考查多项式除以单项式，解题的关键是掌握多项式除以单项式的运算法则．
3．（上海青浦·七年级校考期末）计算：(3a6x3−6ax5)÷(−3ax3)= ；
【答案】-a5+2x2
【分析】用多项式的每一项都除以单项式，并将结果相加，即可得出答案.
【详解】(3a6x3−6ax5)÷(−3ax3)
=3a6x3÷−3ax3−6ax5÷−3ax3
=-a5+2x2
故答案为：-a5+2x2
【点睛】本题考查整式的除法运算，熟练掌握多项式除以单项式的法则是解题关键.
4．（上海·七年级校联考期末）计算9x3−3x2÷−3x2= ．
【答案】−3x+1/1−3x
【分析】利用多项式除以单项式的法则，先用多项式的每一项除以单项式，再把所得的商相减计算即可．
【详解】解：9x3−3x2÷−3x2
=9x3÷−3x2−3x2÷−3x2
=−3x+1．
故答案为：−3x+1．
【点睛】本题考查了整式的除法，熟练掌握运算法则是解决本题的关键．
5．（上海宝山·七年级校考期中）计算：−18x3y2+12x2y3−6x2y2÷−34x2y2=
【答案】24x−16y+8
【分析】根据多项式除以单项式的运算法则计算即可．
【详解】−18x3y2+12x2y3−6x2y2÷−34x2y2
=−18x3y2÷−34x2y2+12x2y3÷−34x2y2+−6x2y2÷−34x2y2
=−18x3y2−34x2y2+12x2y3−34x2y2+−6x2y2−34x2y2
=24x−16y+8，
故答案为：24x−16y+8．
【点睛】本题主要考查了多项式除以单项式的知识，掌握多项式除以单项式的运算法则是解答本题的关键．
6．（上海浦东新·七年级统考期中）一个多项式M与xy的积为﹣2x3y4z+xy，则M= ．
【答案】−2x2y3z+1
【分析】利用多项式除以单项式法则进行计算便可．
【详解】解：由题意得M·xy=−2x3y4z+xy，
∴M=(−2x3y4z+xy）÷xy=−2x2y3z+1，
故答案为：−2x2y3z+1．
【点睛】本题主要考查了整式的除法，关键是熟记多项式除以单项式法则．
7.（上海静安·七年级新中初级中学校考期末）(6a3b2−14a2b2+8a2b)÷(−2a2b)= ．
【答案】−3ab+7b−4
【分析】根据整式乘除运算中，多项式除以单项式的运算法则：多项式除以单项式等于多项式中的每一项分别除以单项式，即可求出结果．
【详解】解：原式=6a3b2÷(−2a2b)−14a2b2÷(−2a2b)+8a2b÷(−2a2b)
=−3ab+7b−4
故答案为：−3ab+7b−4．
【点睛】此题主要考查的是整式的除法，正确掌握相关运算是解题的关键．
8．（上海青浦·七年级校考期末）计算：4x4−x3+23x2÷−2x2．
【答案】−2x2+12x−13
【分析】根据多项式除以单项式法则进行运算，即可求解．
【详解】解：4x4−x3+23x2÷−2x2
=−2x2+12x−13
【点睛】本题考查了多项式除以单项式法则，熟练掌握和运用多项式除以单项式法则是解决本题的关键．
9.．（上海·七年级校考期中）对于任何实数，我们规定符号abcd=ad2−c÷b3，例如：1234=1×42−3÷23=1558．
(1)按照这个规定请你计算−2431.2的值；
(2)按规定请写出a3+6a2a16a8−8a6−2a的结果；
(3)当a取−2的相反数时，请计算a3+6a2a16a8−8a6−2a的值．
【答案】(1)−214831600
(2)2a5+25a3
(3)264
【分析】（1）根据新定义的运算法则计算即可；
（2）根据新定义的运算法则及整式的混合运算法则计算即可；
（3）将a=2代入（2）中结论即可求解．
【详解】（1）解：−2431.2 =−2×1.22−3÷43=−214831600；
（2）解：a3+6a2a16a8−8a6−2a=a3+6a−2a2−16a8−8a62a3
=4a5+24a3−2a5−a3
=4a5+24a3−2a5+a3
=2a5+25a3；
（3）解：−2的相反数是2，
当a=2时，
a3+6a2a16a8−8a6−2a =2a5+25a3=2×25+25×23=264．
【点睛】本题考查新定义运算，整式的混合运算，含乘方的有理数的混合运算，掌握新定义的运算法则并正确计算是解题的关键．
10．（上海宝山·七年级校联考期末）计算：4x−12y2+yx−14y÷4x
【答案】4x−34y
【分析】先计算完全平方公式、单项式乘以多项式，再计算括号内的整式加减，然后计算多项式除以单项式即可得．
【详解】解：原式=16x2−4xy+14y2+xy−14y2÷4x
=16x2−3xy÷4x
=4x−34y．
【点睛】本题考查了完全平方公式、单项式乘以多项式、多项式除以单项式等知识点，熟练掌握整式的运算法则是解题关键．
11．（上海·七年级校考期中）先化简，再求值：ab+1ab−2−2a2b2+2÷−12ab，其中， a=32,b=−43．
【答案】2ab+2，−2
【分析】先根据整式的乘除运算法则进行化简，再代入a,b即可求解．
【详解】解：原式＝a2b2−2ab+ab−2−2a2b2+2÷−12ab
＝−a2b2−ab×−2ab
＝2ab+2，
当a=32，b=−43时，
原式＝2×32×−43+2
=−4+2
=−2．
【点睛】此题主要考是查整式的化简求值，解题的关键熟知整式的乘除运算法则．
题型二 整式四则混合运算
1．（上海奉贤·七年级统考期中）计算：(2a+b)(a−2b)−(2a−b)2.
【答案】−2a2+ab−3b2
【分析】先利用多项式乘多项式原则和完全平方公式计算，去括号后再合并同类项即可得到答案．
【详解】解：原式=2a2−3ab−2b2−(4a2−4ab+b2)
=2a2−3ab−2b2−4a2+4ab−b2
=−2a2+ab−3b2．
【点睛】本题考查了整式的混合运算，熟练掌握多项式乘多项式原则和完全平方公式是解题的关键．
2．（上海·七年级上海市西延安中学校考期中）计算：
(1)2a2b⋅(−3ab2)+(2ab)3；
(2)2a+b−52a−b+5﹒
【答案】(1)2a3b3
(2)4a2−b2+10b−25
【分析】（1）根据积的乘方和同底数幂的乘法计算，再合并；
（2）根据平方差公式展开，再化简．
【详解】（1）解：2a2b⋅(−3ab2)+(2ab)3
=−6a3b3+8a3b3
=2a3b3；
（2）2a+b−52a−b+5
=2a+b−52a−b−5
=2a2−b−52
=4a2−b2+25−10b
=4a2−b2+10b−25
【点睛】本题考查整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键，注意平方差公式的应用．
3．（上海静安·七年级新中初级中学校考期末）计算：
(1)(a2)3⋅(a2)4÷(a2)5；
(2)(3a+14b2)(14b2−3a)．
【答案】(1)a4
(2)116b4－9a2
【分析】（1）根据幂的乘方、同底数幂的除法、同底数幂的乘法求解即可；
（2）根据平方差公式求解即可；
【详解】（1）解：原式=a6⋅a8÷a10
=a4
（2）解：原式=(14b2+3a)(14b2−3a)
=14b22−3a2
=116b4−9a2
【点睛】本题主要考查整式的混合运算，掌握运算的相关法则是解题的关键．
4．（上海虹口·七年级校考期中）计算：3a2b2·−2ab4−−ab23
【答案】-5a3b6
【分析】根据整式的混合运算法则，先计算乘方、乘法，再计算减法．
【详解】解：3a2b2•（-2ab4）-（-ab2）3
=-6a3b6-（-a3b6）
=-6a3b6+a3b6
=-5a3b6．
【点睛】本题主要考查整式的混合运算、幂的乘方与积的乘方、单项式乘单项式，熟练掌握整式的混合运算法则、幂的乘方与积的乘方、单项式乘单项式是解决本题的关键．
5．（上海普陀·七年级统考期中）先化简，再求值：2x−3yx+2y+2x+2yx−2y−2x−3y2，其中x=2，y=1．
【答案】3
【分析】根据完全平方公式、多项式与多项式的乘法法则化简，然后把x=2，y=1代入计算即可.
【详解】原式=x+2y2x−3y+2x−4y−4x2−12xy+9y2
=4x2+xy−14y2−4x2−12xy+9y2
=13xy−23y2
当x=2，y=1 时
原式=13×2×1−23=3
【点睛】本题主要考查了整式的化简求值，涉及到的知识有：完全平方公式，合并同类项，多项式的乘法等知识.在求代数式的值时，一般先化简，再把各字母的取值代入求值
6．（上海杨浦·七年级统考期中）计算：6ab2a−0.5b−ab−a+b．
【答案】13a2b−4ab2
【分析】先分别把括号外的单项式乘以括号内各项，然后去括号，合并同类项即可．
【详解】解：原式=12a2b−3ab2−−a2b+ab2
=12a2b−3ab2+a2b−ab2
=12a2b+a2b−3ab2−ab2
=13a2b−4ab2
【点睛】本题考查整式的混合运算，关键在于去括号法则的理解和掌握，特别是去第二个“负括号”时，没有把第一项符号改变而出错．
7．（上海闵行·七年级校联考期中）计算：−34a2b−35ab2(−13ab)2+112a4b3．
【答案】−115a3b4
【分析】先算乘方，再根据多项式乘单项式法则算乘法，最后合并同类项即可．
【详解】解：原式=(−34a2b−35ab2)(19a2b2)+112a4b3
=−112a4b3−115a3b4+112a4b3
=−115a3b4．
【点睛】本题考查了整式的混合运算的应用，注意：运算顺序（有乘方先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号先算括号里面的）．
8．（上海普陀·七年级统考期中）现有7张如图1的小长方形纸片，它们的长为a，宽为ba>b．将它们按如图2、3、4的方式不重叠地摆放，构造出一个长方形ABCD，未被小长方形纸片覆盖的两块阴影部分的面积分别记作S1和S2．
(1)如图2，如果AB=BC，那么S2=_______ （用含a、b的代数式表示）；
(2)如图3，S2−S1=_______（用含a、b的代数式表示）
(3)如图4，设S=S2−S1，当BC的长度变化时，按照同样的放置方式，S始终保持不变，那么a、b必须满足什么条件？
【答案】(1)a2−ab
(2)a2−12b2
(3)a=3b
【分析】（1）由AB=a+3b，AB=BC，得到BC=AB=a+3b，右下角阴影部分的宽为BC−4b=a+3b−4b=a−b，右下角阴影部分的长为a，即可得到答案；
（2）左上角阴影部分的长为4b，宽为3b，则S1=4b×3b=12b2，右下角阴影部分是边长为a的正方形，则S2=a2，即可得到答案；
（3）左上角阴影部分的长为AE，宽为AF=3b，右下角阴影部分的长为PC，宽为a，由AD=BC，得到AE+ED=AE+a，BC=BP+PC=4b+PC，则AE+a=4b+PC，即AE−PC=4b−a，表示出S=S2−S1，即可得到结论．
【详解】（1）解：∵AB=a+3b，AB=BC，
∴BC=AB=a+3b，
∴右下角阴影部分的宽为BC−4b=a+3b−4b=a−b，
∵右下角阴影部分的长为a，
∴S2=aa−b=a2−ab，
故答案为：a2−ab
（2）解：∵左上角阴影部分的长为4b，宽为3b，则S1=4b×3b=12b2，
右下角阴影部分是边长为a的正方形，则S2=a2，
∴S2−S1=a2−12b2，
故答案为：a2−12b2
（3）如图4，
左上角阴影部分的长为AE，宽为AF=3b，右下角阴影部分的长为PC，宽为a，
∵AD=BC，即AE+ED=AE+a，BC=BP+PC=4b+PC，
∴AE+a=4b+PC，即AE−PC=4b−a，
∴S=S2−S1
=PC·CG−AE·AF
=aPC−3bAE
=aPC−3b(PC+4b−a)
=(a−3b)PC−12b2+3ab，
则当a−3b=0，即a=3b时，S始终保持不变．
【点睛】此题考查了整式的混合运算的应用，弄清题意，数形结合是解本题的关键．
9．（上海嘉定·七年级统考期中）有7张如图1规格相同的小长方形纸片，长为a，宽为b（a>b），按如图2、3的方式不重叠无缝隙地放在矩形ABCD内，未被覆盖的部分（两个矩形）用阴影表示．
(1)如图2，点E、Q、P在同一直线上，点F、Q、G在同一直线上，那么矩形ABCD的面积为 ．（用含a、b的代数式表示）
(2)如图3，点F、H、Q、G在同一直线上，设右下角与左上角的阴影部分的面积的差为S，PC=x．
①用a、b、x的代数式直接表示AE
②当BC的长度变化时，按照同样的放置方式，如果S的值始终保持不变，那么a、b必须满足什么条件？
【答案】(1)a2+7ab+12b2或a+4ba+3b；
(2)①AE=x−a+4b；②a−3b=0
【分析】（1）根据AD=a+4b，AB=a+3b，即可求解；
（2）①根据AE=CP+BP−DE即可求解；②先求出S=ax−3bx−a+4b=a−3bx+3ab−12b2，进而即可得到结论．
【详解】（1）解：由题意得：AD=a+4b，AB=a+3b,
矩形ABCD的面积=(a+4b)(a+3b)=a2+7ab+12b2，
故答案为：a2+7ab+12b2或a+4ba+3b；
（2）解：①AE=CP+BP−DE=x−a+4b；
②∵右下角与左上角的阴影部分的面积的差为S，
∴S=ax−3bx−a+4b=a−3bx+3ab−12b2,
∵当BC的长度变化时，按照同样的放置方式，如果S的值始终保持不变，
∴当x的值变化时，按照同样的放置方式，如果S的值始终保持不变，
∴a−3b=0．
【点睛】本题主要考查整式的混合运算的应用，根据题意列出整式，熟练掌握整式的混合运算法则是关键．

题型三 整式的混合运算
1．（上海嘉定·七年级上海市育才中学校考期末）计算：4x3−2x÷(−2x)−(1+2x)(1−2x)．
【答案】2x2
【分析】先算除法和乘法，再去括号合并同类项即可．
【详解】解：4x3−2x÷(−2x)−(1+2x)(1−2x)
=4x3÷(−2x)−2x÷(−2x)−(1−4x2)
=−2x2+1−1+4x2
=2x2
【点睛】本题考查了整式的四则混合运算，熟练掌握运算顺序是解答本题的关键．四则混合运算的顺序是先算乘除，再算加减；同级运算，按从左到右的顺序计算．
2．（上海宝山·七年级校考期末）计算：−2+x2+x+2+3x2÷2x
【答案】5x+6
【分析】先用乘法公式对括号内的式子化简，再利用多项式除以单项式的运算法则计算即可.
【详解】−2+x2+x+2+3x2÷2x
=(x2−4+4+12x+9x2)÷2x
=(10x2+12x)÷2x
=5x+6
【点睛】本题考查了整式的混合运算，熟练掌握乘法公式及整式的运算法则是解本题的关键．
3．（上海嘉定·七年级校考期中）计算：a+2b−ca−2b−c
【答案】a2−2ac+c2−4b2
【分析】对两个括号内适当变形，然后利用平方差公式计算，再利用完全平方公式计算即可得出答案．
【详解】原式=a−c+2ba−c−2b
=a−c+2ba−c−2b
=a−c2−4b2
=a2−2ac+c2−4b2．
【点睛】本题考查完全平方公式和平方差公式，熟练掌握完全平方公式和平方差公式并会应用是解决此题的关键．在本题中还需注意用整体法将a−c看成一个整体．
4．（上海嘉定·七年级校考期中）计算：0.25a3b22⋅4a2b3−3−a2b5⋅a2b2
【答案】7a12b7
【分析】先计算乘方，再计算乘法，最后合并同类项即可．
【详解】解：原式=116a6b4⋅64a6b3+3a10b5⋅a2b2
=4a12b7+3a12b7
=7a12b7．
【点睛】本题考查整混合运算，熟练掌握整式运算法则，以及积的乘方和幂的乘方法则是解题的关键．
5．（上海静安·七年级上海市静安区教育学院附属学校校考期中）已知x−3y=5，求x−5yx−y+2y+72y−7的值．
【答案】−24
【分析】因已知条件给出得是不定方程，所以用 “整体代入法”即可，也可以把已知条件中一个未知量用另一个来表示，使用消元法．
【详解】解：方法一：
化简x−5yx−y+2y+72y−7
=x2−xy−5xy+5y2+2y2−72
=x2−6xy+5y2+4y2−49
=x2−6xy+9y2−49
=x−3y2−49
将x−3y=5代入上式：
x−3y2−49
=52−49
=−24
方法二：
由x−3y=5变形得：x=5+3y
将x=5+3y代入x−5yx−y+2y+72y−7
=5+3y−5y5+3y−y+2y+72y−7
=5−2y5+2y+2y+72y−7
=52−2y2+2y2−49
=52−49
=−24
故答案为：−24．
【点睛】本题综合考查了整式乘法运算及代数式求值，已知条件为二元不定方程给代入求值设置了障碍，所以解题关键是要用“整体代入法”或“消元法”．
6．（上海松江·七年级校考期中）化简并求值：2x+y2−y−x2−x+yy−x，当x=2，y=−3．
【答案】2x2+6xy，−28
【分析】首先根据整式的混合运算法则化简，然后代入求解即可．
【详解】2x+y2−y−x2−x+yy−x
=2x2+4xy+2y2−y2+2xy−x2+x2−y2
=2x2+6xy
∵x=2，y=−3
∴原式=2×22+6×2×−3=8−36=−28．
【点睛】此题考查了整式的化简求值，解题的关键是熟练掌握整式的混合运算法则．
7．（上海青浦·七年级校考期中）先化简再求值：(2a+3b)2−22a+3ba−b+(a−b)2，其中a=−2,b=−1．
【答案】化简结果为：a2+8ab+16b2，求值：36
【分析】先按照整式乘法的运算法则展开，然后合并，化到最简之后代入求值即可．
【详解】解：(2a+3b)2−22a+3ba−b+(a−b)2
=4a2+12ab+9b2−2(2a2−2ab+3ab−3b2)+(a2−2ab+b2)
=4a2+12ab+9b2−4a2+4ab−6ab+6b2+a2−2ab+b2
=a2+8ab+16b2
将a=−2，b=−1代入，得：
原式=(−2)2+8×(−2)×(−1)+16×(−1)2=36．
【点睛】本题考查整式乘法的运算法则．其中用到了完全平方公式：(a+b)2=a2+2ab+b2，(a−b)2=a2−2ab+b2，化简过程中，可直接用乘法公式进行化简．
8．（上海闵行·七年级校联考期中）计算：5m+45m−4−(4−3m)2．
【答案】16m2+24m−32
【分析】用平方差公式和完全平方公式展开，再去括号合并同类项．
【详解】解：原式=5m2−42−42−24m+9m2
=25m2−16−16+24m−9m2
=16m2+24m−32．
【点睛】本题考查整式的运算，解题的关键是掌握平方差公式和完全平方公式．
9．（上海黄浦·七年级统考期中）计算：(−3a2b)3−(−2a3b)2⋅(−3b)
【答案】15a6b3
【分析】先根据积的乘方运算公式进行化简，然后再根据整式混合运算法则进行计算即可．
【详解】解： 原式=−27a6b3−4a6b2⋅(−3b)
=−27a6b3+12a6b3
=−15a6b3
【点睛】本题主要考查了整式混合运算，解题的关键是熟练掌握积的乘方运算法则和整式混合运算法则．
10．（上海奉贤·七年级统考期中）计算：(12x2−3xy+34y2)(−2x)2．
【答案】2x4−12x3y+3x2y2
【分析】先计算积的乘方，再利用单项式乘多项式原则进行计算即可求出答案．
【详解】解：原式=(12x2−3xy+34y2)⋅4x2
=12x2⋅4x2−3xy⋅4x2+34y2⋅4x2
=2x4−12x3y+3x2y2．
【点睛】本题考查单项式乘多项式以及积的乘方运算，掌握单项式乘多项式以及积的乘方运算对应法则是解题的关键．
11．（2018秋·河南许昌·八年级统考期末）观察下列式子：
(x+1)(x2−x+1)=x3+1;
(x+2)(x2−2x+4)=x3+8;
(2m+n)(4m2−2mn+n2)=8m3+n3;
……
（1）上面的整式乘法计算结果比较简洁，类比学习过的平方差公式，完全平方公式的推导过程，请你写出一个新的乘法公式（用含a、b的字母表示），并加以证明；
（2）直接用你发现的公式写出计算结果：（2a+3b）（4a2﹣6ab+9b2）= ；
（3）分解因式：m3 + n 3 + 3mn（m + n）.
【答案】（1）详见解析；（2）8a3+27b3；（3）（m+n）3
【分析】（1）归纳总结得到一般性规律，写出即可，利用多项式乘以多项式法则计算即可证明；
（2）直接套用公式即可；
（3）利用（1）总结的公式，将m3+n3变式成：(m+n)(m2−mn+n2)，再利用提公因式法和公式法即可解答.
【详解】（1）(a+b)(a2−ab+b2)=a3+b3
证明：左边=a3-a2b+ab2+ba2−ab2+b3
=a3+b3=右边
∴结论成立
（2）8a3+27b3
（3）原式=（m+n）(m2−mn+n2)+3mn(m+n)
=（m+n）(m2−mn+n2+3mn)
=（m+n）(m2+n2+2mn)
=（m+n）(m+n)2
=（m+n）3
【点睛】本题考查了多项式乘多项式以及因式分解，属于综合题，难点在于（3），总结规律，利用规律进行解答是解题关键.
提升题
1．已知正整数a，b，c，d满足：abcd，abcd2022，d2−c2+b2−a2=2022，则这样的4元数组(a，b，c，d)共有（ ）
A．251组B．252组C．502组D．504组
【答案】D
【分析】根据题意得出a+3≤b+2≤c+1≤d，继而得出2022=d2−c2+b2−a2=(d−c)(d+c)+(b−a)(b+a)≥(d+c)+(b+a)=2022，再由已知条件构造1010=a+c≥a+(a+2)，即可解答．
【详解】因为a，b，c，d为正整数，且a所以a+3≤b+2≤c+1≤d．
所以2022=d2−c2+b2−a2=(d−c)(d+c)+(b−a)(b+a)≥(d+c)+(b+a)=2022．
因此d−c=1，b−a=1，即d=c+1，b=a+1．
所以a+b+c+d=a+(a+1)+c+(c+1)=2022，因此a+c=1010．
又a+2≤c，所以1010=a+c≥a+(a+2)，因此1≤a≤504．
所以符合条件的4元数组(a,b,c,d)为(a,a+1,1010−a,1011−a)，其中1≤a≤504．
所以符合条件的4元数组有504组．
故选：D．
【点睛】本题考查了整式的应用，解题的关键是根据题目已知等式构造不等式，属于竞赛题．
2．（重庆渝中·八年级重庆巴蜀中学校考阶段练习）对整式a2进行如下操作：将a2与另一个整式x1相加，使得a2与x1的和等于a+12，表示为m1=a2+x1=a+12，称为第一次操作；将第一次操作的结果m1与另一个整式y1相减，使得m1与y1的差等于a2−1，表示为m2=m1−y1=a2−1，称为第二次操作；将第二次的操作结果m2与另一个整式x2相加，使得m2与x2的和等于a+22，表示为m3=m2+x2=a+22，称为第三次操作；将第三次操作的结果m3与另一个整式y2相减，使得m3与y2的差等于a2−22，表示为m4=m3−y2=a2−22，称为第四次操作，以此类推，下列四种说法：①x2=6a+13；②y5+y7−x5−x7=20；③x2022−y2021=2a+4045；④当n为奇数时，第n次操作结果mn=a+n+122；当n为偶数时，第n次操作结果mn=a2−n22；四个结论中正确的有 ．
【答案】④
【分析】根据题意可得出规律为xn=(a+n)2−[a2−(n−1)2]，yn=(a+n)2−(a2−n2)，当n为奇数时，mn=a+n+122，当n为偶数时，mn=a2−n22，即可得出答案．
【详解】解：根据题意可知，
x1=a+12−a2，
x2=a+22−(a2−1)，
x3=(a+3)2−(a2−22)，
x4=(a+4)2−(a2−32)，
以此类推，
可得xn=(a+n)2−[a2−(n−1)2]．
由于y1=m1−m2=(a+1)2−(a2−1)，
y2=m3−m4=(a+2)2−(a2−22)，
y3=m5−m6=(a+3)2−(a2−32)，
y4=m7−m8=(a+4)2−(a2−42)，
以此类推，
可得yn=(a+n)2−(a2−n2)，
当n为奇数时，mn=a+n+122，当n为偶数时，mn=a2−n22．
∴x2=4a+5，故结论①错误；
y5+y7−x5−x7
=a+52−(a2−52)+a+72−(a2−72)−[a+52−(a2−42)−a+72−(a2−62)]
=52+72−42−62
=22．
故结论②错误；
x2022−y2021
=a+20222−(a2−20212)−[a+20212−(a2−20212)]
=a+20222−a2+20212−a+20212+a2−20212
=a+2022+a+2021a+2022−a−2021
=2a+4043．
故结论③错误；
∵当n为奇数时，mn=a+n+122，当n为偶数时，mn=a2−n22，
故结论④正确．
故四个结论中正确的有④，共1个，
故答案为：④．
【点睛】本题考查了整式的加减，完全平方公式及平方差公式，整式规律探究，找出规律是解决本题的关键．
3．如图，为了节省材料，某公司利用岸堤（岸堤足够长）为一边AD，用总长为104米的材料围成一个由三块面积相等的小长方形（四边形AEFG，四边形EFHD，四边形BCHG都是长方形）组成的长方形ABCD区域，若BC=(a+12)米．
(1)用含a的代数式表示AB的长；
(2)求长方形ABCD面积的最大值．
【答案】(1)AB=30−34a米
(2)507平方米
【分析】（1）根据三块小长方形的面积相等，即得出GF=FH=12BC，进而得出AG=2BG，再根据总长为104米，即可求出BG=10−14a米，从而可求出AB的长；
（2）由长方形的面积公式可列出等式，整理得：S长方形ABCD=−34a−142+507，再根据平方的非负性，即得出−34a−142≤0，从而得出S长方形ABCD有最大值为507平方米．
【详解】（1）∵三块小长方形的面积相等，
∴GF=FH=12BC，
∴AG=2BG．
∵总长为104米，
∴AG×3+BG×2+BC×2=104，
∴2BG×3+BG×2+(a+12)×2=104，
解得：BG=10−14a米，
∴AB=AG+BG=3BG=3×10−14a=30−34a米；
（2）S长方形ABCD=AB⋅BC=30−34aa+12=−34a−142+507，
∵−34a−142≤0，
∴当−34a−142=0时，S长方形ABCD有最大值为507平方米．
【点睛】本题考查整式混合运算的应用，平方非负性的应用．理解题意，列出算式或等式是解题关键．