湖南省长沙市长郡中学2024-2025学年高二上学期模块测试数学试题

这是一份湖南省长沙市长郡中学2024-2025学年高二上学期模块测试数学试题，共21页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.如图，空间四边形OABC中，，点M在上，且，点N为BC中点，则( )
A. B.
C. D.
2.圆的圆心到直线的距离为
A. B. 2C. 3D.
3.已知圆M：截直线所得线段的长度是，则圆M与圆N：的位置关系是
A. 内切B. 相交C. 外切D. 相离
4.在直三棱柱中，，，分别是，的中点，，则与所成角的余弦值是
A. B. C. D.
5.如图，已知正方体的棱长为1， E为 CD的中点，则点到平面的距离等于
A. B. C. D.
6.当点到直线l：为任意实数的距离取最大值时，则
A. B. C. D.
7.若圆上至少有三个不同的点到直线的距离为，则直线l的倾斜角的取值范围是( )
A. B. C. D.
8.已知圆C：的圆心为点C，直线l：与圆C交于M，N两点，点A在圆C上，且，若，则
A. 1B. 2C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.下面三条直线：，：，：不能构成三角形，则实数m的取值可以是
A. B. C. D. 4
10.已知圆O：，则
A. 圆O与直线必有两个交点
B. 圆O上存在4个点到直线l：的距离都等于1
C. 若圆O与圆恰有三条公切线，则
D. 已知动点P在直线上，过点P向圆O引两条切线，A，B为切点，则的最小值为8
11.已知正方体的边长为2，M为的中点，P为侧面上的动点，且满足平面，则下列结论正确的是( )
A. B. 平面
C. AM与所成角的余弦值为D. 动点P的轨迹长为
三、填空题：本题共2小题，每小题5分，共10分。
12.已知，方程表示圆，则__________.
13.设圆满足：①截y轴所得弦长为2；②被x轴分成两段圆弧，其弧长的比为在满足条件①，②的所有圆中，圆心到直线l：的距离最小的圆的方程为____________________.
四、解答题：本题共6小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
14.本小题12分
正三棱柱的侧棱长为2，底面边长为1，M是BC的中点，在侧棱上存在一点N，使得，则________.
15.本小题12分
在平面直角坐标系xOy中，圆C：，直线l：
若直线l与圆C相切于点N，求切点N的坐标；
若，直线l上有且仅有一点A满足：过点A作圆C的两条切线AP、AQ，切点分别为P，Q，且使得四边形APCQ为正方形，求m的值．
16.本小题12分
已知平面直角坐标系中三点，，
求直线AB的斜率和倾斜角；
若点A，B，C，D可以构成平行四边形，且点D在第一象限，求点D的坐标；
若点是线段AC上一动点，求的取值范围．
17.本小题12分
如图，在四棱锥中，底面ABCD是正方形，侧棱底面ABCD，，E是PC的中点，作交PB于点
求证：平面EDB；
求证：平面EFD；
求平面CPB与平面PBD 的 夹角的大小.
18.本小题12分
如图，在斜三棱柱中，底面是边长为2的正三角形，侧面为菱形，已知，
当时，求三棱柱的体积;
设点P为侧棱上一动点，当时，求直线与平面所成角的正弦值的取值范围.
19.本小题12分
古希腊数学家阿波罗尼斯的著作《圆锥曲线论》中给出圆的另一种定义：平面内，到两个定点的距离之比值为常数的点的轨迹是圆，我们称之为阿波罗尼斯圆．已知点P到的距离是点P到的距离的2倍．
求点P的轨迹的方程；
过点B作直线，交轨迹于P，Q两点，P，Q不在y轴上．
过点B作与直线垂直的直线，交轨迹于E，F两点，记四边形EPFQ的面积为S，求S的最大值；
设轨迹与y轴正半轴的交点为C，直线OP，CQ相交于点N，试证明点N在定直线上，求出该直线方程．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】【分析】
本题考点是空间向量基本定理，考查了向量的线性运算，解题的关键是根据图形把所研究的向量用三个基向量表示出来，属于基础题．
由题意，把，，三个向量看作是基向量，由图形根据向量的线性运算，将用三个基向量表示出来，即可得到答案．
【解答】
解：由题意
又，，
故选
2.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查了根据圆的一般方程求圆心以及点到直线距离，属于基础题.
求出圆心坐标，再利用点到直线距离公式即可.
【解答】
解：由题意得 ，即 ，
则其圆心坐标为 ，则圆心到直线 的距离为 .
故选：
3.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查直线和圆的位置关系及两圆位置关系的判断，根据相交弦长公式求出a的值是解决本题的关键，属于中档题．
根据直线与圆相交的弦长公式，求出a的值，结合两圆的位置关系进行判断即可．
【解答】解：圆的标准方程为M：，
则圆心为，半径，
圆心到直线的距离，
圆M：截直线所得线段的长度是，
，
即，即，，
则圆心为，半径，
圆N：的圆心为，半径，
则，
，，
，
即两个圆相交．
故选：
4.【答案】A
【解析】【分析】
本题主要考查了向量法求直线与直线所成角，属于基础题.
建立空间直角坐标系，利用向量法求解出与所成角.
【解答】
解：如图建立空间直角坐标系，
设，则，，，，， ，
故选
5.【答案】C
【解析】【分析】
本题主要考查利用空间向量求点面之间的距离，属于基础题.
建立空间直角坐标系，写出各点坐标，利用空间向量进行求解即可.
【解答】
解：建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，
，
设平面的一个法向量为，
则有
令，则，
又，
点到平面的距离
故选
6.【答案】C
【解析】【分析】
本题主要考查经过定点的直线，两直线垂直的性质，属于中档题.
将直线方程变形为，得直线系恒过点，由此得到P到直线l的最远距离为，此时直线垂直于PA，即可求出
【解答】
解：直线，
可将直线方程变形为，
解得，，
由此可得直线系恒过点，
则P到直线l的最近距离为0，此时直线过
P到直线l的最远距离为，此时直线垂直于
，直线l的斜率为，
，
7.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查了直线与圆得位置关系，点到直线的距离公式，属于中档题.
先求出圆心和半径，比较半径和，要求圆上至少有三个不同的点到直线l：的距离为，则圆心到直线的距离应小于等于，用圆心到直线的距离公式，可求得结果．
【解答】
解：圆，整理为，
圆心坐标为，半径为，
要求圆上至少有三个不同的点到直线l：的距离为，
则圆心到直线的距离应小于等于，
，
，
，，
，
设直线l的倾斜角为，则，
即
直线l的倾斜角的取值范围是，
故选
8.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查圆的方程、平面向量的数量积、直线与圆的位置关系，属于中档题.
利用圆的知识与向量数量积，即可求解.
【解答】
解：设弦MN的中点为B，由题可知圆C的半径为，因为，，故，
所以，
，
可得
，
解得
9.【答案】ACD
【解析】【分析】
本题考查三条直线不能构成三角形的条件，三条直线中有两条直线平行或者三直线经过同一个点，属于中档题.
三直线不能构成三角形时共有4种情况，即三直线中其中有两直线平行或者是三条直线经过同一个点，在这四种情况中，分别求出实数m的值.
【解答】
解：①当直线：平行于：时，，
②当直线：平行于：时，，
③当：平行于：时，，m 无解，
④当三条直线经过同一个点时，把直线 与的交点代入：得 ，解得或，
综上，满足条件的m为4、或、或、或
故选
10.【答案】ACD
【解析】【分析】
本题考查了圆的方程，直线与圆的位置关系，圆与圆的位置关系，以及与圆有关的最值问题，属于难题.
根据直线切过定点切该定点在圆内可判断A；求出圆的圆心到直线l的距离可判断B；
将圆化成标准形式为，转化为两圆外切可判断C；
由，且当PO最小时最小时可判断
【解答】
解：对于A，将直线整理得，
由知，，所以直线过定点，因为，所以该定点在圆内，故A正确；
对于B，圆的圆心到直线l：的距离为，
所以过圆心且与直线l平行的直线与圆相交有两个点到直线l的距离为1，
与直线l平行且与圆相切，并且与直线l在圆心同侧的直线到l的距离为1，
所以只有三个点满足题意，故B错误；
对于C，将圆化成标准形式为，
因为两圆有三条公切线，所以两圆外切，所以，
解得，故C正确；
对于D，连接OP，OA，OB，
因为A，B为切点，所以，，
所以，且当PO最小时，最小，
所以当PO与直线垂直时，，
又因为半径为2，所以，，
所以，故D正确．
故选
11.【答案】BCD
【解析】【分析】
本题考查线面平行、线线垂直的向量表示，直线与直线所成角的向量求法，属于中档题.
建立空间直角坐标系，利用向量方法逐一分析求解即可.
【解答】
解：如图，建立空间直角坐标系，设正方体棱长为2，
则，，，，，
所以，，，
由平面，得，即，
化简可得：，所以动点P在直线上，
对于选项A：，，
，
所以与不垂直，所以A选项错误；
对于选项B：，平面，
平面，所以平面，B选项正确；
对于选项C：，
，C选项正确；
对于选项D：动点P在直线上，且P为侧面上的动点，
则P在线段上，，
所以，D选项正确；
故选
12.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查圆的一般方程，属于基础题.
只有在时，二元二次方程才表示圆，求解时应注意这个隐含条件.
【解答】
解：由得或2，
当时，方程为，
得，表示圆，满足条件；
当时，方程为，
即，
得，不表示圆，不满足条件，
故，
故答案为：
13.【答案】，或
【解析】【分析】
本小题主要考查求圆的方程，属于中档题.
圆被x轴分成两段圆弧，其弧长的比为3：1，劣弧所对的圆心角为，设圆的圆心为，圆P截X轴所得的弦长为，截y轴所得弦长为2；可得圆心轨迹方程，圆心到直线l：
的距离最小，利用基本不等式，求得圆的方程．
【解答】
解：圆的圆心为，半径为r，则点P到x轴，y轴的距离分别为，
由题设知圆P截x轴所得劣弧对的圆心角为，知圆P截x轴所得的弦长为，故，
又圆P截y轴所得的弦长为2，所以有
从而得
又点到直线的距离为，
所以
，
当且仅当时上式等号成立，此时，从而d取得最小值．
由此有
解此方程组得或
由于知
于是，所求圆的方程是，或
14.【答案】
【解析】【分析】本题主要考查线线垂直的判定，属于基础题。
首先建立空间直角坐标系，由题设分别写出M，N，A，B四点的坐标，利用垂直关系即可求解.
【解答】
解：如图，以A为原点建立空间直角坐标系，
则，，，
设，，
则，，
，
，解得，故
15.【答案】解：
设切点N为，则有，解得： 或，
所以切点N的坐标为或
圆C：的圆心，半径，
设，由题意可得，
由四边形APCQ为正方形，可得，即，
由题意直线，圆C：，
则圆心到直线的距离，
可得，，解得

【解析】本题主要考查直线与圆的位置关系，考查点到直线的距离公式，属于中档题.
设切点坐标，由切点和圆心连线与切线垂直以及切点在圆上建立关系式，求解切点坐标即可；
由圆的方程可得圆心坐标及半径，由APCQ为正方形，可得可得圆心到直线的距离为，可得m的值．
16.【答案】解：直线AB的斜率为，
设倾斜角为，则，
，
直线AB的倾斜角为
如图，
当点D在第一象限时，，
设，则，
解得，，故点D的坐标为
由题意得为直线BE的斜率.
当点E与点C重合时，直线BE的斜率最小，
当点E与点A重合时，直线BE的斜率最大，
故直线BE的斜率的取值范围为，即的取值范围为
【解析】【分析】本题考查直线的斜率、倾斜角，直线斜率的应用，属于中档题.
有过两点的直线的斜率求得AB的斜率；由倾斜角的正切值为斜率，求得倾斜角；
由图知，当点D在第一象限时，，，设，得，求得x，y，得点D的坐标；
由题意得为直线BE的斜率，当点E与点C重合时，直线BE的斜率最小；当点E与点A重合时，直线BE的斜率最大，得直线BE的斜率的取值范围，即的取值范围.
17.【答案】解：侧棱底面ABCD，而AD，底面ABCD，故，，
底面ABCD是正方形，故，
故以D为原点，DA，DC，DP所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，
设 .
依题意得 ， ， ， .
所以 ， ， .
设平面EDB的一个法向量为 ，
则有 即
取 ，则 ，
因为 平面EDB，因此 平面
解：依题意得 ，
因为 ，
所以 .
由已知 ，且 ，EF，平面EFD，
所以 平面
解：依题意得 ，且 ， .
设平面CPB的一个法向量为 ，
则 即 ，
取 .
同理可得PBD 的 一个法向量为 ，
所以 ⟨⟩ .
所以平面CPB与平面PBD的夹角为 .

【解析】本题考查直线与平面平行、直线与平面垂直的向量求法，考查空间角的向量求法，属于中档题.
以D为原点，DA，DC，DP所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，求得平面EDB的一个法向量为 ，由 证明；
由 ，结合 ，利用线面垂直的判定定理证明；
求得平面CPB的一个法向量为 ，同理可得平面PBD的一个法向量为 ，由 求解.
18.【答案】解：如图，取BC的中点为O，
由于和为正三角形，
则，，且，，
所以，所以
又，BC、平面ABC，所以平面ABC，
所以三棱柱的体积
如上图，在中，，，
由余弦定理可得，所以
由知，，又，所以平面
因为平面ABC，所以平面平面
所以在平面内作，因为平面平面，则平面
以OA，OC，Oz所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系.
则，，，，，
设是平面的一个法向量，
，，
则即
取得
设，则
，
设直线与平面所成角为，
则，
，
令，则在单调递增，
所以，
故直线与平面所成角的正弦值的取值范围为
【解析】本题考查棱柱体积的求法以及利用空间直角坐标系求线面所成角的正弦值，题目较难.
取BC的中点为O，证明平面ABC，即可求解体积.
利用空间向量法，求出平面的法向量，即可求解.
19.【答案】解：设点，由题意可得，
即，
化简可得，
所以点P的轨迹的方程为
由题易知直线的斜率k存在，设直线的方程为，即，
则圆心到直线的距离，
所以，
若，则直线的斜率不存在，
易得，，则，
若，则直线的方程为，即，
则圆心到直线的距离，
所以，
则
，
当且仅当，即时，取等号，
综上所述，因为，所以S的最大值为
，设，，
联立
消y得，
则，，
所以直线OP的方程为，
直线CQ的方程为，
联立解得，
则
，
所以，
所以点N在定直线上.

【解析】本题考查轨迹方程以及直线与圆锥曲线的综合问题，考查了逻辑推理、分类讨论和运算能力，是较难题.
设点，由题意可得，计算可得点P的轨迹的方程；
设直线的方程为，得出，分和两种情况，计算S，利用基本不等式可得S的最大值；
，设，，直线与圆的方程联立，得出直线OP的方程和直线CQ的方程，联立得出N坐标，可得所以点N在定直线上.