河北省尚义县第一中学等学校2024-2025学年高二上学期10月段考数学试卷

这是一份河北省尚义县第一中学等学校2024-2025学年高二上学期10月段考数学试卷，共17页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.(5分)在空间直角坐标系中,点的坐标为,点关于平面Oxz对称的点是( )
A.B.C.D.
2.(5分)已知,且与共线,则的坐标是( )
A.B.C.D.
3.(5分)一组样本数据为6,11,12,17,19,则错误的选项为( )
A.该组数据的极差为25B.该组数据的75%分位数为17
C.该组数据的平均数为16
D.若该组数据去掉一个数得到一组新数据,则这两组数据的平均数可能相等
4.(5分)在三棱柱中,( )
A.B.C.D.
5.(5分)若空间中有三点,则点到平面ABC的距离为( )
A.B.C.D.
6.(5分)已知点,又点在平面ABC内( )
A.1B.2C.3D.4
7.(5分)如图,二面角等于是棱上两点,,且( )
A.B.C.D.
8.(5分)已知四棱锥平面BCDE,底面EBCD是为直角,如图所示,且,点为AD的中点( )
A.B.C.D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
(多选)9.(6分)下列利用方向向量、法向量判断直线、平面位置关系的结论中，正确的是( )
A.若两个不重合的平面法向量平行,则这两个平面平行
B.若两直线的方向向量不平行，则两直线不平行
C.两条不重合直线的方向向量分别是,则
D.直线的方向向量，平面的法向量是，则
(多选)10.(6分)下列说法正确的是( )
A.向量与向量共面
B.若与共面,则,使得
C.若是空间的一个基底，则能构成空间一个基底
D.若，则P,M,A,B共面，反之不正确
11.(6分)棱长为1的正方体中,点在棱CD上运动,点在侧面上运动,满足平面,则( )
A.点在侧面对角线上B.点在侧面对角线上
C.线段PQ的最小值为D.线段PQ的最小值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.(5分)已知平面的一个法向量为,点是平面上的一点(-3，)到平面的距离为______________。
13.(5分)如图，两个开关串联再与开关并联，在某段时间内每个开关能够闭合的概率都是0.5，计算在这段时间内线路正常工作的概率为____________.
14.(5分)空间直角坐标系中,经过点且法向量为的平面方程为,经过点且一个方向向量为的直线的方程为，阅读上面的材料并解决下面问题：现给出平面的方程为,经过的直线的方程为,直线与平面所成角的正弦值最大时,平面的方程为____________.
四、解答题:本题共5小题,共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15.(13分)在第29个“世界读书日”到来之际,树人中学举办了读书知识竞赛,现从参加竞赛的同学中(百分制，均为整数)分成六组：第1组)，第3组[60，第4组，第6组[90,得到如图所示的频率分布直方图。
(1)求的值,并估计这100名学生成绩的第85百分位数(保留一位小数);
(2)若先用分层抽样方法从得分在[40，50)和[50，60)的学生中抽取5人，调查其读书情况，求此2人得分不在同一组的概率.
16.(15分)如图,在四棱锥中,底面ABCD是边长为1的正方形,且与的夹角都等于在棱PD上,,设.
(1)试用表示向量;
(2)求与的夹角.
17.(15分)如图,在长方体中,.
(1)证明:平面;
(2)求到平面的距离.
18.(17分)如图1,等腰中,底分别为AB、AC的中点,为DE的中点的位置,使得平面平面BCED,如图2.
(1)求证:平面BCED；
(2)F为线段上靠近的三等分点,求平面BDF与平面BCED夹角的余弦值.
19.(17分)如图,已知四棱台的上、下底面分别是边长为2和4的正方形,,且底面ABCD,点P、Q分别是棱的中点.
(1)在底面ABCD内是否存在点,满足平面CPQ?若存在,请说明点的位置,若不存在;
(2)设平面CPQ交棱于点,平面CPTQ将四棱台分成上,下两部分,求CT与平面所成角的正弦值.
参考答案与试题解析
一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.C 【分析】根据已知条件,结合空间点对称的性质,即可求解.
【解答】解:点的坐标为,
则点关于平面Oxz对称的点是.
故选:.
【点评】本题主要考查空间点对称的性质,是基础题.
2.B 【分析】直接利用共线向量建立方程组,进一步求出结果.
【解答】解：由于,且与共线,
故必存在一个实数，使，
故.
故.
故选:B.
【点评】本题考查的知识点：向量的共线，主要考查学生的运算能力，属于中档题.
3.B 【分析】根据已知条件，结合极差、百分位数的定义，平均数公式，即可求解.
【解答】解：该组数据的极差为，故正确；
样本数据为6,11,16,19,共2个,
故该组数据的分位数为19，故B错误；
该组数据的平均数为;
当去掉的数为16时，刚好为该组数据的平均数，故正确.
故选：B.
【点评】本题主要考查极差、百分位数的定义，平均数公式，是基础题。
4.C 【分析】根据向量的加法或减法法则即可得.
【解答】解：三棱柱中，
故选:.
【点评】本题考查空间向量的表示，属于基础题。
5.D 【分析】求出平面ABC的法向量，然后利用空间点面距离公式可得答案.
【解答】解:,
设平面ABC的一个法向量为,
由,
得，
令,得,
所以,
则点到平面ABC的距离为.
故选:D.
【点评】本题考查利用向量法求点到平面的距离,属于中档题.
6.C 【分析】直接利用共面向量基本定理建立方程组,进一步求出结果.
【解答】解:点A(13,-1,B(2,3,C(5,7,又点,
所以,
由于A、B、C、P四点共面,
故,解得.
故.
故选:C.
【点评】本题考查的知识点:向量的共面,主要考查学生的运算能力,属于中档题.
7.A 【分析】依题意,可得,再由空间向量的模长计算公式,代入求解即可.
【解答】解：由二面角的平面角的定义知,
所以,
由,得,
又因为,
所以
,
所以,即CD.
故选:A.
【点评】本题考查二面角的定义,空间向量的线性运算和数量积运算，属于中档题.
8.A 【分析】建立空间直角坐标系,利用空间向量法求解即可.
【解答】解；由题意知，BE，
所以,
故以为原点,EB,EA所在的直线分别为,建立如图空间直角坐标系,
则A(0,0,5),0,0),C(),D(),得,
所以,
令,
则,
所以到直线BC的距离为.
故选:A.
【点评】本题考查向量法的应用，属于中档题.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9.ABC 【分析】根据题意，由平面法向量的定义分析，由直线方向向量的定义分析B、C，由直线与平面的位置关系分析D，综合可得答案.
【解答】解：根据题意，依次分析选项：
对于，由平面法向量的定义，则这两个平面平行；
对于，由直线方向向量的定义，则两直线不平行；
对于，由于，则，故正确；
对于，由于，则，故或.
故选：ABC.
【点评】本题考查空间向量的应用，涉及直线的方向向量、平面法向量的应用，属于基础题.
10. 【分析】直接利用共面向量基本定理和向量的基底的定义判断A、B、C、D的结论.
【解答】解：对于：向量与向量，故共面;
对于：由于与共面，一定存在，故正确；
对于：若是空间的一个基底，令，则能构成空间一个基底;
对于:若,则P,M,A,反之也成立.
故选:ABC.
【点评】本题考查的知识点:共面向量,向量的基底,主要考查学生的运算能力,属于中档题.
11.D 【分析】建立以为坐标原点空间直角坐标系,设,求出点的坐标,用坐标法表示向量,根据线面垂直得到方程组,求出,可判断点在侧面对角线或上,从而求出,即可得到线段PQ的最小值.
【解答】解：如图建立以为坐标原点空间直角坐标系,设,则,所以,
因为上平面,
所以,
可得,
由可知点在侧面对角线或上,故AB不一定正确;
可得,
可得，
所以,
可得,
故当时,,故正确.
故选:.
【点评】本题考查了线面垂直的性质，考查了数形结合思想，关键点点睛：设出空间坐标系，将需要点用坐标表示，利用向量与面垂直可求得方程组，解方程组即可求得结果.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12. 【分析】利用向量法结合公式,即可求解.
【解答】解：由题意可知，
根据点到平面的距离为.
故答案为:.
【点评】本题考查利用向量法求点到平面的距离，属于中档题.
【分析】在这段时间内线路正常工作的对立事件是开关没闭,同时两个开关不能同时闭合,由此能求出在这段时间内线路正常工作的概率.
【解答】解：在这段时间内线路正常工作的对立事件是：
开关没闭,同时两个开关不能同时闭合,
在这段时间内线路正常工作的概率为:
.
故答案为:0.625.
【点评】本题考查概率的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意对立事件概率公式的合理运用.
14. 【分析】根据题设确定平面的法向量、直线的方向向量,应用向量法求线面角的正弦值可得,结合二次函数的图象与性质即可求解.
【解答】解:由题设知:平面的法向量,直线的方向向量,且平面与直线相交于,所以直线与平面所成角的正弦值为:
对于二次函数,其是图象一条开口向上的抛物线,
当时,函数取到最小值,且最小值为,
此时直线与平面所成角的正弦值取到最大值，最大值为,
对应平面的方程为.
故答案为:.
【点评】本题考查向量法的应用,属于中档题.
四、解答题:本题共5小题,共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15. 【分析】(1)利用频率和为1可求出的值,首先确定第85百分位数位于[90,100],设其为,由,即可求得结果;
(2)利用分层抽样知，在[40，50)内的人数为2人，在[50，60)内的人数为3人，利用列举法结合古典概型即可求解.
【解答】解：(1)由频率分布直方图可得：,解得,
因为成绩在[40,90)的频率为,
所以第85百分位数位于[90,100],
则,
解得,
所以第85百分位数约为90.8;
(2)由频率分布直方图可知：得分在[40，50)和[50,
采用分层抽样知,抽取的5人,在[50,
设分数在内的2人为,分数在内的3人为,
则在这3人中抽取2人的情况有:，,共有10种情况,
其中得分不在同一组的2人有:,有6种情况，所以概率为.
【点评】本题主要考查了频率分布直方图的应用,考查了古典概型的概率公式,属于中档题.
16. 【分析】(1)由题设条件,利用空间向量的线性运算表示向量即可;
(2)根据(1)的结论，利用空间向量的模长公式，结合题设，求得和的值，最后代入空间向量的夹角公式计算可得答案.
【解答】解：(1)
;
(2)因为,
.
所以
,
所以,
因为,
所以与的夹角为。
【点评】本题考查向量的线性运算,属于中档题.
17. 【分析】(1)建立空间直角坐标系,写出相关点的坐标,再利用空间位置关系的向量证明推理即得;
(2)利用(1)中坐标系,求出平面的法向量,再利用点到面的距离公式求解即可.
【解答】解：(1)证明：在长方体中,
以为坐标原点,向量,分别为x,y,建立空间直角坐标系,
则D(6,0,0),4,0),4,7),4,0),3,0),D1(5,0,6),C8(0,4,4),
所以,
,
,
所以,
又因为平面平面,
所以平面;
(2)设平面的法向量为，
到平面的距离为,
由,
所以，
令,可求得,
则,
所以.
【点评】本题考查线面垂直的判定,以及向量法的应用,属于中档题.
18. 【分析】(1)利用面面垂直的性质定理可得答案;
(2)以O为坐标原点，所在的直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系，求出平面BDF、平面BCED的一个法向量,根据法向量夹角余弦值求解.
【解答】解：(1)证明：因为为DE的中点,
因为平面平面BCED,平面平面,
C平面,所以平面BCED;
(2)如图:
由(1)知平面BCED,取BC的中点,则,
以为坐标原点,所在的直线分别为轴建立空间直角坐标系,
因为,所以,
可得,
由得,
则,
设,
则,即,令,
所以,
为平面BCED的一个法向量,
所以,
由图可得平面BDF与平面BCDE夹角的余弦值为.
【点评】本题考查空间位置关系,属于中档题.
19. 【分析】(1)根据题意建系,求出相关点和相关向量的坐标,通过线线垂直建立方程组,即可求得点的坐标,得出结论;
(2)按(1)建系,利用C,P,T,Q四点共面求得点坐标,再利用空间向量的夹角公式计算即得.
【解答】解:(1)因为底面ABCD,且ABCD是正方形,
故以点为坐标原点,分别以所在直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系,
如图所示:
则C(3,4,0),2,0),B1(2,0,3),2,0),D1(7,2,3),C8(2,2,6),
因为点P、Q分别是棱的中点,
则，
,
假设在底面ABCD内存在点,
使得平面CPQ,则,
则,
由,
解得,
故存在点，满足平面CPQ;
(2)按照(1)建系，设点T(3,0,()，
依题意,四点共面,
即,
则
解得
即,又,
设平面的法向量为，
则,
故可取，
因为，
设CT与平面所成角为，
则,
即CT与平面所成角的正弦值为.
【点评】本题考查向量法在立体几何中的应用,属于中档题.