专题1.4 基本不等式及其应用（举一反三）（新高考专用）（含答案） 2025年高考数学一轮复习专练（新高考专用）

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TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc22482" 【题型1 基本不等式及其应用】 PAGEREF _Tc22482 \h 2
\l "_Tc32103" 【题型2 直接法求最值】 PAGEREF _Tc32103 \h 3
\l "_Tc30795" 【题型3 配凑法求最值】 PAGEREF _Tc30795 \h 4
\l "_Tc28330" 【题型4 常数代换法求最值】 PAGEREF _Tc28330 \h 4
\l "_Tc6299" 【题型5 消元法求最值】 PAGEREF _Tc6299 \h 4
\l "_Tc27912" 【题型6 齐次化求最值】 PAGEREF _Tc27912 \h 5
\l "_Tc19630" 【题型7 多次使用基本不等式求最值】 PAGEREF _Tc19630 \h 5
\l "_Tc23528" 【题型8 利用基本不等式解决实际问题】 PAGEREF _Tc23528 \h 5
\l "_Tc5355" 【题型9 与其他知识交汇的最值问题】 PAGEREF _Tc5355 \h 8
1、基本不等式及其应用
【知识点1 基本不等式】
1. 两个不等式
eq \f(a＋b,2)叫做正数a，b的算术平均数，eq \r(ab)叫做正数a，b的几何平均数．
基本不等式表明：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．
2．基本不等式与最值
已知x，y都是正数，
(1)如果积xy等于定值P，那么当x＝y时，和x＋y有最小值2eq \r(P)；
(2)如果和x＋y等于定值S，那么当x＝y时，积xy有最大值eq \f(1,4)S2.
温馨提示：从上面可以看出，利用基本不等式求最值时，必须有：(1)x、y>0，(2)和(积)为定值，(3)存在取等号的条件．
3．常见的求最值模型
(1)模型一：，当且仅当时等号成立；
(2)模型二：，当且仅当时等号成
立；
(3)模型三：，当且仅当时等号成立；
(4)模型四：，当且仅当时
等号成立.
4．利用基本不等式求最值的几种方法
(1)直接法：条件和问题间存在基本不等式的关系，可直接利用基本不等式来求最值．
(2)配凑法：利用配凑法求最值，主要是配凑成“和为常数”或“积为常数”的形式.
(3)常数代换法：主要解决形如“已知x+y=t(t为常数),求的最值”的问题，先将转化为，再用基本不等式求最值.
(4)消元法：当所求最值的代数式中的变量比较多时，通常考虑利用已知条件消去部分变量后，凑出“和为常数”或“积为常数”的形式，最后利用基本不等式求最值.
【题型1 基本不等式及其应用】
【例1】（2023·安徽蚌埠·模拟预测）已知实数a,b,c满足aA．acC．bc+cb>2D．ba+ab>2
【变式1-1】（2023·湖南长沙·一模）已知2m=3n=6，则m，n不可能满足的关系是（ ）
A．m+n>4B．mn>4
C．m2+n2<8D．(m−1)2+(n−1)2>2
【变式1-2】（2024·山东枣庄·一模）已知a>0,b>0，则“a+b>2”是“a2+b2>2”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【变式1-3】（2023·辽宁·二模）数学命题的证明方式有很多种．利用图形证明就是一种方式．现有如图所示图形，在等腰直角三角形△ABC中，点O为斜边AB的中点，点D为斜边AB上异于顶点的一个动点，设AD=a，BD=b，用该图形能证明的不等式为（ ）．
A．a+b2≥aba>0,b>0B．2aba+b≤aba>0,b>0
C．a+b2≤a2+b22a>0,b>0D．a2+b2≥2aba>0,b>0
【题型2 直接法求最值】
【例2】（2023·湖南岳阳·模拟预测）已知函数fx=3−x−2x，则当x<0时，fx有（ ）
A．最大值3+22B．最小值3+22
C．最大值3−22D．最小值3−22
【变式2-1】（2023·北京东城·一模）已知x>0，则x−4+4x的最小值为（ ）
A．－2B．0C．1D．22
【变式2-2】（22-23高三下·江西·阶段练习）3+1x21+4x2的最小值为（ ）
A．93B．7+42C．83D．7+43
【变式2-3】（23-24高二下·山东潍坊·阶段练习）函数y=3−4x−x（x>0）的最大值为（ ）
A．−1B．1C．−5D．5
【题型3 配凑法求最值】
【例3】（2023·山西忻州·模拟预测）已知a>2，则2a+8a−2的最小值是（ ）
A．6B．8C．10D．12
【变式3-1】（2024·辽宁·一模）已知m>2n>0，则 mm−2n+mn的最小值为（ ）
A．3+22B．3−22C．2+32D．32−2
【变式3-2】（2023·河南信阳·模拟预测）若−5A．最小值1B．最大值1C．最小值−1D．最大值−1
【变式3-3】（23-24高三下·河南·开学考试）已知a>0,b>0，则a+2b+4a+2b+1的最小值为（ ）
A．6B．5C．4D．3
【题型4 常数代换法求最值】
【例4】（2024·江苏南通·二模）设x>0，y>0，1x+2y=2，则x+1y的最小值为（ ）
A．32B．22C．32+2D．3
【变式4-1】（2024·黑龙江哈尔滨·二模）已知正实数x，y满足1x+2y=1，则2xy−3x的最小值为（ ）
A．8B．9C．10D．11
【变式4-2】（2024·广东湛江·一模）已知ab>0，a2+ab+2b2=1，则a2+2b2的最小值为（ ）
A．8−227B．223C．34D．7−228
【变式4-3】（2023·广东广州·模拟预测）已知正实数x，y满足2x+y=xy，则2xy−2x−y的最小值为（ ）
A．2B．4C．8D．9
【题型5 消元法求最值】
【例5】（2024·陕西西安·三模）已知x>0,y>0，xy+2x−y=10，则x+y的最小值为 ．
【变式5-1】（2023·上海嘉定·一模）已知实数a、b满足ab=−6，则a2+b2的最小值为 ．
【变式5-2】（2024·天津河东·一模）若a>0,b>0,ab=2，则a+4b+2b3b2+1的最小值为 ．
【变式5-3】（2024·四川德阳·模拟预测）已知正实数x，y，z满足x2+xy+yz+xz+x+z=6，则3x+2y+z的最小值是 .
【题型6 齐次化求最值】
【例6】（23-24高一上·湖南娄底·期末）已知x>0，则x2−x+4x的最小值为（ ）
A．5B．3C．−5D．−5或3
【变式6-1】（23-24高一上·辽宁大连·期末）已知x，y为正实数，且x+y=1，则x+6y+3xy的最小值为（ ）
A．24B．25C．6+42D．62−3
【变式6-2】（23-24高二上·安徽六安·阶段练习）设a+b=1,b>0，则1|a|+9|a|b的最小值是（ ）
A．7B．6C．5D．4
【变式6-3】（23-24高三上·浙江绍兴·期末）已知x为正实数，y为非负实数，且x+2y=2，则x2+1x+2y2y+1的最小值为（ ）
A．34B．94C．32D．92
【题型7 多次使用基本不等式求最值】
【例7】（2023·河南·模拟预测）已知正实数a，b，满足a+b≥92a+2b，则a+b的最小值为（ ）
A．5B．52C．52D．522
【变式7-1】（2023·全国·模拟预测）已知a为非零实数，b，c均为正实数，则a2b+a2c4a4+b2+c2的最大值为（ ）
A．12B．24C．22D．34
【变式7-2】（2024·全国·模拟预测）已知a>0，b>0，c>1，a+2b=2，则1a+2bc+2c−1的最小值为（ ）
A．92B．2C．6D．212
【变式7-3】（23-24高三下·浙江·开学考试）已知a、b、c、d均为正实数，且1a+2b=c2+d2=2，则a+bcd的最小值为（ ）
A．3B．22
C．3+22D．3+222
【题型8 利用基本不等式解决实际问题】
【例8】（23-24高二下·北京房山·期中）某公园为了美化游园环境，计划修建一个如图所示的总面积为750m2的矩形花园.图中阴影部分是宽度为1m的小路，中间A，B，C三个矩形区域将种植牡丹、郁金香、月季（其中B，C区域的形状、大小完全相同）.设矩形花园的一条边长为xm，鲜花种植的总面积为Sm2.
(1)用含有x的代数式表示a；
(2)当x的值为多少时，才能使鲜花种植的总面积最大？
【变式8-1】（23-24高一上·辽宁朝阳·期末）冷链物流是指以冷冻工艺为基础、制冷技术为手段，使冷链物品从生产、流通、销售到消费者的各个环节始终处于规定的温度环境下，以减少冷链物品损耗的物流活动.随着人民食品安全意识的提高及线上消费需求的增加，冷链物流市场规模也在稳步扩大.某冷链物流企业准备扩大规模，决定在2024年初及2025年初两次共投资4百万元，经预测，每年初投资的x百万元在第m（1≤m≤8，且m∈N*）年产生的利润（单位：百万元）Gm=mx,m∈N*,1≤m≤44−16−mx2,m∈N*,5≤m≤8，记这4百万元投资从2024年开始的第n年产生的利润之和为fnx.
(1)比较f42与f52的大小；
(2)求两次投资在2027年产生的利润之和的最大值.
【变式8-2】（23-24高一上·河南开封·期末）如图，一份印刷品的排版（阴影部分）为矩形，面积为 32，它的左、右两边都留有宽为2的空白，上、下两边都留有宽为 1的空白.记纸张的面积为 S，排版矩形的长和宽分别为x，y.
(1)用x，y 表示 S;
(2)如何选择纸张的尺寸，才能使纸张的面积最小? 并求最小面积.
【变式8-3】（23-24高一上·四川成都·期末）如图所示，一条笔直的河流l（忽略河的宽度）两侧各有一个社区A,B（忽略社区的大小），A社区距离l上最近的点A0的距离是2km,B社区距离l上最近的点B0的距离是1km，且A0B0=4km.点P是线段A0B0上一点，设A0P=akm.
现规划了如下三项工程：
工程1：在点P处修建一座造价0.1亿元的人行观光天桥；
工程2：将直角三角形AA0P地块全部修建为面积至少1km2的文化主题公园，且每平方千米造价为1+92a2亿元；
工程3：将直角三角形BB0P地块全部修建为面积至少0.25km2的湿地公园，且每平方千米造价为1亿元.
记这三项工程的总造价为W亿元.
(1)求实数a的取值范围；
(2)问点P在何处时，W最小，并求出该最小值.
【题型9 与其他知识交汇的最值问题】
【例9】（23-24高三上·江苏南通·阶段练习）已知ΔABC内接于单位圆，且1+tanA1+tanB=2，
（1）求角C
（2）求△ABC面积的最大值．
【变式9-1】（23-24高三上·山东青岛·期末）《九章算术》是我国古代数学名著,它在几何学中的研究比西方早1000多年,在《九章算术》中,将底面为直角三角形,且侧棱垂直于底面的三棱柱称为堑堵(qian du);阳马指底面为矩形,一侧棱垂直于底面的四棱锥,鳖膈(bie na)指四个面均为直角三角形的四面体.如图在堑堵ABC−A1B1C1中,AB⊥AC.
(1)求证:四棱锥B−A1ACC1为阳马;
(2)若C1C=BC=2,当鳖膈C1−ABC体积最大时,求锐二面角C−A1B−C1的余弦值.
【变式9-2】（2024·广东珠海·一模）已知A、B、C是ΔABC的内角，a、b、c分别是其对边长，向量m=a+b,c，n=sinB−sinA,sinC−sinB，且m⊥n.
（1）求角A的大小；
（2）若a=2，求ΔABC面积的最大值.
【变式9-3】（2024·黑龙江大庆·一模）已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)，过点1,32且离心率为12，A,B是椭圆上纵坐标不为零的两点，若AF→=λFB→λ∈R且AF→≠FB→，其中F为椭圆的左焦点．
（1）求椭圆的方程；
（2）求线段AB的垂直平分线在y轴上的截距的取值范围．
一、单选题
1．（2023·全国·三模）已知a>0，b>0，且a+b=1，则下列不等式不正确的是（ ）
A．ab≤14B．a2+b2≥12
C．1a+1b+1>2D．a+b≤1
2．（2024·甘肃定西·一模）x2+7x2+7的最小值为（ ）
A．27B．37C．47D．57
3．（2024·辽宁葫芦岛·一模）已知a>0，b>0，a+b=2，则（ ）
A．02D．14．（2024·浙江嘉兴·二模）若正数x,y满足x2−2xy+2=0，则x+y的最小值是（ ）
A．6B．62C．22D．2
5．（2024·四川成都·模拟预测）若a,b是正实数，且13a+b+12a+4b=1，则a+b的最小值为（ ）
A．45B．23C．1D．2
6．（2024·陕西西安·模拟预测）下列说法错误的是（ ）
A．若正实数a,b满足a+b=1，则1a+1b有最小值4
B．若正实数a,b满足a+2b=1，则2a+4b≥22
C．y=x2+3+1x2+3的最小值为433
D．若a>b>1，则ab+17．（2024·黑龙江哈尔滨·一模）已知某商品近期价格起伏较大，假设第一周和第二周的该商品的单价分别为m元和n元(m≠n)，甲、乙两人购买该商品的方式不同，甲每周购买100元的该商品，乙每周购买20件该商品，若甲、乙两次购买平均单价分别为a1,a2，则（ ）
A．a1=a2B．a1a2D．a1,a2的大小无法确定
8．（2024·四川成都·三模）设函数fx=x3−x，正实数a,b满足fa+fb=−2b，若a2+λb2≤1，则实数λ的最大值为（ ）
A．2+22B．4C．2+2D．22
二、多选题
9．（2023·全国·模拟预测）已知实数x,y，下列结论正确的是（ ）
A．若x+y=3，xy>0，则x2x+1+y2+1y≥3
B．若x>0，xy=1，则12x+12y+8x+y的最小值为4
C．若x≠0且x≠−1，则yxD．若x2−y2=1，则2x2+xy的最小值为1+32
10．（2023·重庆沙坪坝·模拟预测）某单位为了激励员工努力工作，决定提高员工待遇，给员工分两次涨工资，现拟定了三种涨工资方案，甲：第一次涨幅a%，第二次涨幅b%；
乙：第一次涨幅a+b2%，第二次涨幅a+b2%；
丙：第一次涨幅ab%，第二次涨幅ab%.
其中a>b>0，小明帮员工李华比较上述三种方案得到如下结论，其中正确的有（ ）
A．方案甲和方案乙工资涨得一样多B．采用方案乙工资涨得比方案丙多
C．采用方案乙工资涨得比方案甲多D．采用方案丙工资涨得比方案甲多
11．（2024·全国·模拟预测）已知a>0，b>0且1a+4b=2，则下列说法正确的是（ ）
A．ab有最小值4B．a+b有最小值92
C．2ab+a有最小值25D．16a2+b2的最小值为42
三、填空题
12．（2024·全国·模拟预测）已知x>1，y>0，且x+2y=2，则1x−1+y的最小值是 ．
13．（2024·上海奉贤·二模）某商品的成本C与产量q之间满足关系式C=Cq，定义平均成本C=Cq，其中C=C(q)q，假设Cq=14q2+100，当产量等于 时，平均成本最少.
14．（2024·全国·模拟预测）记maxx1,x2,x3表示x1,x2,x3这3个数中最大的数．已知a,b,c都是正实数，M=maxa,1a+2bc,cb，则M的最小值为 ．
四、解答题
15．（2023·甘肃张掖·模拟预测）已知正实数x，y满足等式1x+3y=2．
(1)求xy的最小值；
(2)求3x+y的最小值．
16．（2023·全国·模拟预测）已知x,y,z∈0,+∞，且x+y+z=1．
(1)求证：yx+zy+xz>1+z−z；
(2)求x2+y2+z2+5xy+4yz+4xz的最大值．
17．（2023·陕西安康·模拟预测）已知函数fx=x+a+x−b．
(1)当a=2,b=3时，求不等式fx≥6的解集；
(2)设a>0,b>1，若fx的最小值为2，求1a+1b−1的最小值．
18．（23-24高一上·贵州铜仁·期末）2020 年初至今，新冠肺炎疫情袭击全球，对人民生命安全和生产生活造成严重影响. 在党和政府强有力的抗疫领导下，我国控制住疫情后，一方面防止境外疫情输入，另一方面逐步复工复产，减轻经济下降对企业和民众带来的损失. 为降低疫情影响，某厂家拟在2022年举行某产品的促销活动，经调查测算，该产品的年销售量(即该厂的年产量) x万件与年促销费用m万元(m≥0)满足 x= 4−2m+1. 已知生产该产品的固定成本为 8万元，生产成本为16万元 / 万件，厂家将产品的销售价格定为8+16xx万元 / 万件 (产品年平均成本)的1.5倍.
(1)将2022年该产品的利润y万元表示为年促销费用m万元的函数；
(2)该厂家2022年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？
19．（2023·全国·模拟预测）已知x，y，z∈0,+∞．
(1)若x+y=1，证明：4x+4y≤48；
(2)若x+y+z=1，证明yx+zy+xz>1+z−z．
考点要求
真题统计
考情分析
(1)了解基本不等式的推导过程
(2)会用基本不等式解决最值问题
(3)理解基本不等式在实际问题中的应用
2020年天津卷：第14题，5分
2021年乙卷：第8题，5分
2022年I卷：第12题，5分
2023年新高考I卷：第22题，12分
基本不等式及其应用是每年高考的必考内容，从近几年的高考情况来看，对基本不等式的考查比较稳定，考查内容、频率、题型难度均变化不大，应适当关注利用基本不等式大小判断、求最值和求取值范围的问题；同时要注意基本不等式在立体几何、平面解析几何等内容中的运用.
不等式
内容
等号成立条件
重要不等式
a2+b2≥2ab(a,b∈R)
当且仅当“a=b”时取“=”
基本不等式
eq \r(ab)≤eq \f(a＋b,2)(a>0,b>0)
当且仅当“a=b”时取“=”