上海市宜川中学2024-2025学年高三上学期数学阶段测试数学试卷（解析版）

这是一份上海市宜川中学2024-2025学年高三上学期数学阶段测试数学试卷（解析版），共18页。

1．本考试设试卷和答题纸，答案写在答题纸上，写在试卷上无效.
2．答题前，考生务必在答题纸上清楚填涂班级、姓名和准考证号.
3．本试卷共4页，考试时间120分钟，试卷满分150分.
一、填空题：（第1—6题每小题4分，第7—12题每小题5分，满分54分）
1. 根式写成指数幂形式为_________．
【答案】
【解析】
【分析】由指数幂的定义改写,注意化简．
,
故答案：.
2. 已知集合，，则_________．
【答案】
【解析】
【分析】解不等式确定集合，再由交集的定义计算.
由已知,
所以,
故答案为：
3. 已知函数是定义在上的奇函数，且当时，，则_____________.
【答案】
【解析】
【分析】根据奇函数有求参数，再由奇函数性质求函数值即可.
由题意，，则时有，
所以.
故答案为：
4. 若不等式组的解集为空集，则实数的取值范围为________．
【答案】
【解析】
【分析】先求出的解集，然后其解集与的交集为空集可求出实数的取值范围.
由，得，
因为不等式组的解集为空集，
所以，
即实数的取值范围为.
故答案为：
5. 已知圆：与圆：外切，则实数_________．
【答案】或
【解析】
【分析】两圆外切时，两圆的圆心距等于两圆半径之和，先求出两圆的圆心坐标和半径，再根据圆心距公式求出的值.
由圆：中，圆心坐标为，半径为，
圆：中，圆心坐标为，半径为，
若两圆外切，则，
即，解得：或，
故答案为：或.
6. 若函数的一个零点是，则函数的最大值为______
【答案】2
【解析】
【分析】根据求得，再用辅助角公式化简，从而得到的最大值.
由题意，所以，
所以，
又，所以，故的最大值为2.
故答案为：2.
7. 为等差数列的前项和，，则与的等比中项为______.
【答案】
【解析】
【分析】通过已知条件可求得，再根据等比中项的定义即可求得答案.
解：因为为等差数列，且，
所以，
所以，
解得，
所以与的等比中项为.
故答案为：
8. 如图所示，某探月卫星沿地月转移轨道飞向月球，在月球附近一点P变轨进入以月球球心F为左焦点、长轴长为40万公里、短轴长为4万公里的椭圆轨道绕月飞行，之后卫星在点P第二次变轨进入仍以F为左焦点、长轴长为20万公里的椭圆轨道绕月飞行，则椭圆轨道的短轴长为________万公里．（近似到0.1）
【答案】2.8
【解析】
【分析】根据题意，可得椭圆的半长轴，半短轴，根据的关系，可求得的值，即可求得，又椭圆的中，，可求得的值，进而可求得的值，即可得答案.
设椭圆的长轴长，短轴长，焦距为，，；
设椭圆的长轴长，短轴长，焦距为，，．
因此，，，
所以，
又，所以，
所以，
故椭圆轨道的短轴长为2.8万公里．
故答案为：2.8
9. 菱形ABCD的对角线，沿BD把平面ABD折起与平面BCD成的二面角后，点A到平面BCD的距离为________．
【答案】##0.75
【解析】
【分析】做辅助线，可得，即，可证平面，进而可得点到面的距离.
为了区别，设折起后的点A为，
设，连接，可知为的中点，，
则，可知，即，
过点作，垂足为，
则，，平面，
可知平面，由平面，可知，
且，，平面，
可得平面，
所以点到平面BCD的距离为即为.
故答案为：.
10. 已知，则_________．
【答案】##
【解析】
【分析】利用辅助角公式求出，再利用诱导公式和二倍角公式求解即可．
，
∴，则，故，
，
故答案为：
11. 已知是定义在上的奇函数，且，都有，当时，，则函数在区间内所有零点之和为______．
【答案】
【解析】
【分析】根据函数是奇函数结合得出函数的周期，再应用数形结合转化为零点是函数的交点横坐标，最后应用对称性即可求出零点和.
奇函数y=fx，对于都有，
，则，即f4+x=fx，
则函数是周期为4的周期函数．且关于直线对称，
作出函数y=fx与的图象知共有5个交点，其横坐标从小到大依次为，
所以，，，，
则，故在内所有的零点之，
故答案为:．
12. 已知函数，，且，，若，则的最小值为_________.
【答案】
【解析】
【分析】令，得到关于的函数式，进而可得关于的函数式，构造函数利用导数研究单调性并确定最值，即可求的最小值.
令，则，，，
，，即，
若，则，
易知在上单调递增，且，
当时，，则在上单调递减；
当时，，则在上单调递增；
，即的最小值为.
故答案为：.
【点睛】关键点点睛：令确定关于的函数式，构造函数并利用导数求函数的最小值.
二、选择题（第13—14题每小题4分，第15—16题每小题5分，共18分）
13. 下图是某地区2010年至2019年污染天数（单位：天）与年份的折线图．根据2010年至2014年数据，2015年至2019年的数据，2010年至2019年的数据分别建立线性回归模型，，，则（）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
【答案】C
【解析】
【分析】根据折线图中各阶段数据，计算其样本中心纵坐标、极差，并结合数据的变化趋势画出近似回归直线，即可确定回归方程参数之间的大小关系.
根据2010年至2014年数据，2015年至2019年的数据，2010年至2019年的数据分别建立线性回归模型，，，
∴由图知：2010年至2014年数据为；
2015年至2019年数据为；
2010年至2019年数据为；均成递减趋势.
又，，，且极差分别为6、51、65，
三条回归方程的直线大致图象，如下图示：
∴回归方程的斜率大小关系为，且截距.
故选：C.
14. 已知、是两条不同的直线，、、是三个不同的平面，下列命题正确的是（）
A. 若，，则；
B. 若，，则；
C. 若、是异面直线，，，，，则；
D. 平面内有不共线的三点到平面的距离相等，则．
【答案】C
【解析】
【分析】利用直观想象判断直线与平面的位置关系可判断ABD；利用线面平行的性质定理与面面平行的判定定理可判断C，从而得解.
因为、是两条不同的直线，、、是三个不同的平面，，
对于A，若，，则与可能相交，故A错误；
对于B，若，，则可能在内，故B错误；
对于C，因为，所以，
又，所以由线面平行的性质定理可知在内存在，
则，进而可得，
因为是异面直线，，所以与相交，
又，所以由面面平行的判定定理得，故C正确；
对于D，平面内有不共线的三点到平面的距离相等，则与可能相交，故D错误．
故选：C．
15. 已知的三边长分别为4、5、7，记的三个内角的正切值所组成的集合为，则集合中的最大元素为（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】设的三边长分别为，根据余弦定理确定三角形最大角角为钝角，利用大边对大角及正切函数的性质，可知三个内角的正切值最大为，再利用余弦定理及同角三角关系即可求得得值.
不妨设的三边长分别为，则由大边对大角可得，
所以最大角为，由余弦定理得，又，故角为钝角，
所以，
又函数在上递增，此时，在上递增，此时，
所以三个内角的正切值最大为，
由余弦定理得：，则，
所以，
故选：B.
16. 已知函数的表达式为，若函数恰有4个不同的零点，则实数的取值范围是（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先利用导数研究函数的性质，确定方程的解的情况，然后结合二次方程根的分布知识求参数范围．
f(x)=exx,x>0-exx,x<0，
时，，当时，，递减，时，，递增，
时，，时，，是极小值，
时，，在上是增函数，
时，，时，，且，
作出函数的大致图象，如图，
由图象知时，无实解，时，有一解，时，有两解，时，有三解，
方程有四解，
则方程有两解且，
记，
则g(0)=-e2-ae>0g(e)=ae<0，解得，
故选：B．
【点睛】本题考查用导数研究方程根的问题，解题方法是把函数的性质与二次方程根的分布知识结合起来求解，即利用导数研究函数的性质得出方程的解的情况，再利用二次方程根的分布知识求解，这对于把作为一个整体，方程是关于这个整体的二次方程可适用．
三、解答题（共78分，在答题纸上写出必要的步骤．）
17. 已知函数的表达式为，
（1）设，求函数，的单调增区间；
（2）设实数，的最小正周期为，若在上恰有3个零点，求的取值范围．
【答案】（1）增区间是，减区间是；
（2）．
【解析】
【分析】（1）结合正弦函数的单调性求解；
（2）由，得，考虑正弦函数在上的零点，可得关于的不等式，解之可得．
【小问1】
，，，则，
时，，
所以时，，单调递增，
时，，单调递减，
因此增区间是，减区间是；
【小问2】
的最小正周期为，则，即，
，则，
由题意，解得．
18. 如图，、、为圆锥三条母线，.
（1）证明:；
（2）若圆锥侧面积为为底面直径，，求二面角的大小
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
分析】（1）取中点，连接、，则，故可得面，从而得到.
（2）利用向量法可求面、面的法向量，计算出它们的夹角的余弦值后可得二面角的余弦值.
【小问1】
取中点，连接、，
因为，所以，
又因为面面，所以面，
因为面，所以.
【小问2】
因为为直径，故为底面圆的圆心，故平面，而
故可建立如图所示的空间直角坐标系，
因为圆锥侧面积为为底面直径，，所以底面半径为1，母线长为3，
所以，
则可得，
故，
设为面的法向量，则，
令，则，所以.
设为面的法向量，
则，
令，则，所以.
则，
设二面角为，则为钝角，
所以二面角的大小为.
19. 某市中学体育节开展趣味运动比赛，其中、两个班级进入趣味运动比赛的关键阶段，该比赛采取累计得分制，规则如下：每局比赛不存在平局，获胜者得分，失败者不得分，其中累计得分领先对方分即可赢得最终胜利，或者局比赛结束积分领先赢得最终胜利．假设每局比赛中班获胜的概率均为，且各局比赛的结果相互独立．
（1）求趣味比赛班以比赢得最终胜利的概率；
（2）此次趣味比赛中记比赛停止时已比赛的局数为，求的分布及数学期望．
【答案】（1）
（2）的分布见解析，
【解析】
【分析】（1）趣味比赛班以比赢得最终胜利，则第一局和第二局、两个班级各胜一局，第三局，第四局班获胜，根据独立重复试验的概率公式计算即可；
（2）的可能取值为，分别求出概率，即可写出分布列，根据数学期望的公式计算即可．
【小问1】
记班以比赢得最终胜利，为事件，
则第一局和第二局、两个班级各胜一局，第三局，第四局班获胜时，此时班以比赢得最终胜利，
因此.
【小问2】
的可能取值为，
当时，即班前两局获胜，或者班前两局获胜，
则，
当时，则第一局和第二局、两个班级各胜一局，第三局，第四局班获胜，
或者第一局和第二局、两个班级各胜一局，第三局，第四局班获胜，
则，
当时，则第一局和第二局、两个班级各胜一局，第三局，第四局、两个班级各胜一局，
则，
所以的分布为：
所以数学期望.
20. 已知双曲线，点、分别为双曲线的左、右焦点，Ax1,y1、Bx2,y2为双曲线上的点.
（1）求右焦点到双曲线的渐近线的距离；
（2）若，求直线的方程；
（3）若，其中A、B两点均在x轴上方，且分别位于双曲线的左、右两支，求四边形的面积的取值范围.
【答案】（1）
（2）
（3）.
【解析】
【分析】（1）由题意，求出点的坐标和渐近线方程，根据点到直线的距离公式计算即可求解；
（2）易知直线不与x轴重合，设其方程为，联立双曲线方程，利用韦达定理表示，结合计算求得即可；
（3）如图，由（2），利用弦长公式求出，利用平行线之间的距离公式求出平行线与之间的距离，进而表示，结合换元法计算即可求解.
【小问1】
由题，右焦点，渐近线方程为，
因此焦点到渐近线的距离为.
【小问2】
显然，直线不与x轴重合，设直线方程为，
由，得，
由，得，
其中，恒成立，
，，
代入，消元得，，
即，解得，
所以，直线的方程为.
【小问3】
延长交双曲线于点P，延长交双曲线于点Q.则由对称性得，
四边形为平行四边形，且面积为四边形面积的2倍.
由题，设，直线程为，直线方程，
由第（2）问，易得，
因为，得，因而，
平行线与之间的距离为，
因此，.
令，则，
得在上是严格增函数，
故（等号当且仅当时成立），
所以，四边形面积的取值范围为.
21. 如图，在区间上，曲线y=fx与轴围成的阴影部分面积记为面积，若（为函数的导函数），则.设函数
（1）若，求值；
（2）已知，点，过点的直线分别交于两点（在第一象限），设四边形的面积为，写出的表达式（用表示）并证明：：
（3）函数有两个不同的零点，比较与的大小，并说明理由.
【答案】（1）；
（2），证明见解析；
（3）.
【解析】
【分析】（1）根据给定信息，令，直接代入计算即得.
（2）利用矩形或梯形面积公式计算，再利用分析法推理构造函数，利用导数证明不等式即得.
（3）利用函数零点的意义，结合（2）的结论及不等式性质推理即得.
【小问1】
设，则，
所以.
【小问2】
依题意，四边形为梯形或矩形，又，则，
，下证，
而，只需证，
令，只需证，
，设，则，
在上单调递增，则在上单调递增，
因此，所以.
小问3】
，因为为的零点，则，
设，则有，即，于是，
由（2）知，则有，因此，
，则，即，所以.
【点睛】思路点睛：函数不等式证明问题，将所证不等式等价转化，构造新函数，再借助函数的单调性、极(最)值问题处理.