人教版八年级数学上册重难考点专题01与三角形有关的线段(知识串讲+10大考点)特训(原卷版+解析)

这是一份人教版八年级数学上册重难考点专题01与三角形有关的线段(知识串讲+10大考点)特训(原卷版+解析)，共62页。


知识串讲
（一）三角形的概念
三角形的概念：由不在同一条直线上的三条线段首尾依次相接所组成的图形叫做三角形。
三角形特性
三角形用符号“”表示，顶点是A、B、C的三角形记作“ABC”，读作“三角形ABC”。
（二）三角形的分类
三角形按边的关系分类如下：
三角形按角的关系分类如下：
（三）三角形的稳定性
三角形的稳定性
三角形具有稳定性
四边形及多边形不具有稳定性
要使多边形具有稳定性，方法是将多边形分成多个三角形，这样多边形就具有稳定性了。
（四）三角形的三边关系
三边关系：三角形任意两边的和大于第三边，任意两边的差小于第三边
（1）三角形三边长分别是a，b，c，则a＋b＞c或c－b＜a。
（2）已知三角形两边的长度分别为a，b，求第三边长度的范围：|a－b|＜c＜a＋b
（五）三角形的相关线段
（1）①高线概念：从三角形一个顶点向它的对边做垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线（简称三角形的高）。
②高线性质：利用两个锐角互余（等量代换）；利用等面积法求线段长度
（2）①中线概念：在三角形中，连接一个顶点和它对边中点的线段叫做三角形的中线。
②中线性质：线段中点性质求线段相等；三角形的中线可以将三角形分为面积相等的两个小三角形
（3）①角平分线概念：三角形的一个内角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线
②角平分线性质：角度相等求解角度
考点训练
考点1：三角形的识别与相关概念
典例1：（2022秋·山东济宁·八年级校考阶段练习）如图，D是△ABC的边BC上的一点，则在△ABC中，∠C所对的边是_____；在△ACD中，∠C所对的边是_____．
【变式1】（2022·全国·八年级专题练习）如图，在△BCE中，边BE所对的角是________，∠CBE所对的边是________；在△AEC中，边AE所对的角是________，∠A为内角的三角形是________．
【变式2】（2022·全国·八年级专题练习）如图所示，顶点是A、B、C的三角形，记作___________，读作___________．其中，顶点A所对的边为___________还可用___________表示；顶点B所对的边为___________还可用___________表示；顶点C所对的边为___________还可用___________表示．
【变式3】（2021·八年级课前预习）由不在同一直线上的三条线段_______________所组成的图形叫做三角形．
如图，线段_______ 、______、______是三角形的边．三角形的边有时也用小写字母abc来表示，a＝________、b＝________、c＝________，点A、点B、点C是三角形的_______，________、______、________是相邻两边组成的角，叫做三角形的内角．图中三角形记作_______．
考点2：三角形的个数问题
典例2：（2022·全国·八年级专题练习）观察图形规律：
（1）图①中一共有________个三角形，图②中共有________个三角形，图③中共有________个三角形．
（2）由以上规律进行猜想，第n个图形共有________个三角形．
【变式1】（2021秋·江西宜春·八年级上高中学校考期中）如图，以∠B为内角的三角形有_______个
【变式2】（2022秋·八年级课时练习）已知：如图，试回答下列问题：
（1）图中有_______个三角形，其中直角三角形是______．
（2）以线段AC为公共边的三角形是___________．
（3）线段CD所在的三角形是_______，BD边所对的角是________．
（4）△ABC、△ACD、△ADE这三个三角形的面积之比等于_______．
【变式3】（2020秋·江西上饶·八年级校考阶段练习）北京冬季奥运会吉祥物冰墩墩落在n个三角形内，则n的值为________．
考点3：三角形的分类
典例3：（2022春·上海·七年级专题练习）在△ABC中，∠A=20°，∠B=60°，∠C=100°，那么△ABC是______三角形．（填“锐角”、“钝角”或“直角” ）
【变式1】（2022秋·八年级课时练习）在ΔABC中，若∠A:∠B:∠C=3:5:7，则该三角形是_________三角形．（填“锐角”“直角”或“钝角”）
【变式2】（2022秋·八年级课时练习）已知a，b，c为三个正整数，如果a+b+c=12，那么以a，b，c为边能组成的三角形是：①等腰三角形，②等边三角形，③直角三角形，④钝角三角形.以上结论正确的是______.（只填序号）
【变式3】（2020·全国·七年级假期作业）观察图中的三角形，把它们的标号填入相应横线上．
锐角三角形_______，直角三角形________，钝角三角形________．
考点4：三角形的三边关系
典例4：（2021秋·甘肃武威·八年级校考阶段练习）若a，b，c是△ABC的三边的长，则化简|a−b−c|+|b−c−a|+|a+b−c|=________．
【变式1】（2023春·七年级课时练习）若等腰三角形的两边的长分别是5cm、7cm，则它的周长为___________cm．
【变式2】（2022秋·全国·八年级专题练习）已知三角形三边长分别为2，9，x，若x为偶数，则这样的三角形有___________个．
【变式3】（2022秋·广东广州·八年级校考阶段练习）已知△ABC的三边长分别为a，b，c，且a，b满足(a−1)2+b−2=0，则c 的取值范围是______．
考点5：三角形三边关系的应用
典例5：（2022秋·浙江·八年级专题练习）一个三角形的三边长均为整数．已知其中两边长为3和5，第三边长x是不等式组x−1⩽23x+25x−7>2x+13的正整数解．则第三边的长为：______．
【变式1】（2022秋·广东深圳·七年级统考期末）边长为1的小正方形组成如图所示的6×6网格，点A，B，C，D，E，F，G，H都在格点上．其中到四边形ABCD四个顶点距离之和最小的点是_________．
【变式2】（2022秋·八年级课时练习）如图，加油站A和商店B在马路MN的同一侧，A到MN的距离大于B到MN的距离，AB=700米．一个行人P在马路MN上行走，当P到A的距离与P到B的距离之差最大时，这个差等于______米．
【变式3】（2021秋·黑龙江佳木斯·八年级校联考期中）如图，填空：
由三角形两边的和大于第三边，得
AB+AD>____________，
PD+CD>____________．
将不等式左边､右边分别相加，得
AB+AD+PD+CD>__________，
即AB+AC>_________________．
考点6：与三角形高线有关的计算问题
典例6：（2023春·江苏盐城·七年级滨海县第一初级中学校考期中）如图，AD 是△ABC 的中线，BE 是△ABD 的中线， EF  BC 于点 F．若S△ABC=24，BD  4 ，则 EF 长为___________．
【变式1】（2022秋·全国·八年级专题练习）如图，△ADF中，点B，C分别在AD，AF上，DC与BF交于点E，若DE:CE=2:1，S△DEF=6，S△DBE=4，则△ABC的面积=______．
【变式2】（2022秋·福建厦门·八年级厦门市槟榔中学校考期末）如图，在△ABC中，∠BAC=100°，AD⊥BC于D点，AE平分∠BAC交BC于点E．若∠C=26°，则∠DAE的度数为___________．
【变式3】（2023秋·湖南邵阳·八年级统考期末）如图，在△ABC中，AB=AC=2，P是BC边上的任意一点，PE⊥AB于点E，PF⊥AC于点F.若S△ABC=2，则PE+PF=______．
考点7：三角形稳定性
典例7：（2022秋·云南昆明·八年级云大附中校考期中）随着人们物质生活的提高，手机成为一种生活中不可缺少的东西，手机很方便携带，但唯一的缺点就是没有固定的支点．为了解决这一问题，某工厂研制生产了一种如图所示的手机支架．把手机放在上面就可以方便地使用手机，这是利用了三角形的______.
【变式1】（2022秋·八年级课时练习）如图所示，要使一个六边形木架在同一平面内不变形，至少还要再钉上 _____根木条．
【变式2】（2019·全国·八年级统考假期作业）下列图中哪些具有稳定性？________．
【变式3】（2023春·江苏扬州·七年级校联考阶段练习）如图，学校门口设置的移动拒马都用钢管焊接成三角形，这样做的数学原理是利用了三角形的_____（选填“稳定性”或“不稳定性”）．
考点8：与三角形角平分线有关的计算问题
典例8：（2023春·七年级课时练习）如图所示，△ABC的两条角平分线相交于点D，过点D作EF∥BC，交AB于点E，交AC于点F，若△AEF的周长为30cm，则AB+AC=______cm．
【变式1】（2022秋·海南省直辖县级单位·八年级统考期末）如图，（1）若AM是△ABC的中线，BC=12cm，则BM=CM=______cm；
（2）若AD是△ABC的角平分线，则∠BAD=∠DAC=______；若∠BAC=106°，则∠DAC=______；
（3）若AH是△ABC的高，则△ABH是______三角形．
【变式2】（2022春·山东菏泽·七年级校联考阶段练习）如图，在△ABC中，∠1=∠2，G为AD的中点，延长BG交AC于E．CF⊥AD于H，交AB于F．下列说法：①线段AG是△ABE的角平分线；②线段AE是△ABG的边BG上的高；③BG是△ABD的中线；④△ABG与△DBG的面积相等；⑤∠1+∠ACF=90°．其中正确的有______ （填序号）．
【变式3】（2020秋·八年级课时练习）△ABC中，D为BC边上任意一点，DE、DF分别是△ADB和△ADC的角平分线，连接EF，则△DEF的形状为_________．
考点9：与三角形中线有关的周长、面积问题
典例9：（2022秋·浙江宁波·八年级统考阶段练习）如图，已知BD是△ABC的中线，AB＝5，BC＝3，且△ABD的周长为12，则△BCD的周长是_____．
【变式1】（2022秋·福建厦门·八年级统考期末）如图，S△ABD=S△ACD，已知AB=8cm，AC=5cm，那么△ABD和△ACD的周长差是________cm．
【变式2】（2023秋·广东广州·八年级统考期末）如图，BE是△ABC的中线，点D是BC边上一点，BD＝2CD，BE、AD交于点F，若△ABC的面积为24，则S△BDF﹣S△AEF等于_____．
【变式3】（2022春·江苏泰州·七年级校联考期中）已知在ΔABC中，已知点D、E、F分别为BC、AD、CE的中点，且SΔBEF=4cm2，则SΔABC的值为______cm2．
考点10：利用网格求三角形的面积
典例10：（2023秋·福建龙岩·八年级校考期末）如图所示的正方形网格，A、B、C、D是网格线交点，则△ABC的面积与△ABD的面积的大小关系为：S△ABC ______S△ABD．填“>”、“=”或“<”）
【变式1】（2022秋·山东青岛·九年级统考期末）如图，△ABC与△DEF都是是正方形网格中的格点三角形（顶点在格点上），那么△ABC与△DEF的面积比为__________．
【变式2】（辽宁省部分学校2022-2023学年九年级上学期期末数学试题）已知点A2，2，B5，6，C4，8，那么S△ABC=__________．
【变式3】（2022春·浙江杭州·七年级统考期末）如图，大长方形是由9个完全相同的小长方形组成，已知小长方形的长，宽分别为a，b，则图中连接三个格点围成的阴影部分图形的面积是______．（用a，b的代数式表示）
同步过关
一、单选题
1．（2022秋·全国·八年级阶段练习）如图，线段BD是△ABC高的图形是（ ）
A．B．
C．D．
2．（2022春·云南保山·七年级统考期中）如图，AB⊥BC于点B，AC⊥CD于点C，连接AD．若AD＝8，BC＝6，则AC的长可能为（ ）．
A．5B．6C．7D．9
3．（2022秋·江苏·八年级阶段练习）下列说法中，正确的个数有（ ）
① 三角形具有稳定性；
② 如果两个角相等，那么这两个角是对顶角；
③ 三角形的角平分线是射线；
④ 直线外一点到这条直线的垂线段叫做这点到直线的距离；
⑤ 任何一个三角形都有三条高、三条中线、三条角平分线；
⑥ 三角形的三条角平分线交于一点，且这点在三角形内；
A．2B．3C．4D．5
4．（2023春·七年级课时练习）图中，以DE为边的三角形有（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
5．（2022秋·辽宁葫芦岛·八年级校联考期中）下列各图中，正确画出△ABC中AC边上的高的是（ ）
A．①B．②C．③D．④
6．（2022秋·广东珠海·八年级校考期中）如图，D，E，F分别是边BC，AD，AC上的中点，若S阴影的面积为3，则△ABC的面积是（ ）
A．5B．6C．7D．8
7．（2022春·福建漳州·七年级漳州实验中学校考阶段练习）如图，D，E分别是△ABC的边AC，BC的中点，则下列说法不正确的是（ ）
A．DE是△BCD的中线
B．BD是△ABC的中线
C．AD=DC，BE=EC
D．DE是△ABC的中线
8．（2022秋·八年级课时练习）如图，有下列说法：
①若∠1=∠3，AD//BC，则BD是∠ABC的平分线；
②若AD//BC，则∠1=∠2=∠3；
③若∠1=∠3，则AD//BC；
④若∠C+∠3+∠4=180∘，则AD//BC．
其中正确的有（ ）．
A．1个B．2个C．3个D．4
9．（2023春·全国·八年级专题练习）若a、b、c为三角形的三条边，则(a+b−c)2+|b-a-c|=( ).
A．2b-2cB．2aC．2(a+b−c)D．2a-2c
10．（2022春·江苏南京·七年级校考阶段练习）如图，在△ABC中，D是AB中点，E是BC边上一点，且BE＝4EC，CD与AE交于点F，连接BF．若四边形BEFD的面积是14，则△ABC的面积是 （ ）
A．28B．32C．30D．29
二、填空题
11．（2023春·山东枣庄·七年级校联考阶段练习）超重机的底座、输电线路的支架、自行车的斜支架等，都是采用三角形结构，这样做的数学道理是利用了______________．
12．（2022秋·全国·八年级专题练习）如图，∠CBD=∠E=∠F=90°，则线段______是△ABC中BC边上的高．
13．（2023·全国·八年级专题练习）已知三角形的三边长均为偶数，其中两边长分别为6和8，则第三边长为________．
14．（2021秋·四川资阳·九年级四川省安岳中学校考期中）在△ABC中，中线AD、BE相交于点O，若△BOD的面积等于6，则△ABC的面积等于____．
15．（2019·上海·七年级阶段练习）△ABC的三边长为a，b，c，且a，b满足a−2+b2−6b+9=0.则c的取值范围是_______.
16．（2020春·江苏扬州·七年级校联考阶段练习）一个三角形的三边长都是整数，其中两条边的长度分别为3和8，第三边长为奇数，那么三角形的周长是__________．
三、解答题
17．（2022秋·全国·八年级专题练习）请你完成定理“三角形的任意两边之和大于第三边”的证明．
已知：如图，△ABC．求证：AB+BC>AC，BC+CA>AB，CA+AB>BC．
18．（2022秋·河北廊坊·八年级校考期末）画图并填空：如图，方格纸中每个小正方形的边长都为1，△ABC的顶点都在方格纸的格点上，将△ABC经过一次平移，使点C移到点C'的位置.
(1)请画出△A'B'C'；
(2)连接AA'、BB'，则这两条线段的关系是______；
(3)在方格纸中，画出△ABC的中线BD和高CE．
19．（2021春·河北石家庄·七年级石家庄市第十九中学校考期末）（1）如图1，直线a∥直线b，点A、D在直线a上，点B、C在直线b上，连接AB、AC、BD、DC，得△ABC和△BDC，△ABC的面积_______△BDC的面积（填“＞”、“＝”或“＜”）．
（2）如图2，已知△ABC，过点A有一条线段，将△ABC的面积平分，且交BC于点D，则BDBC= ．
（3）如图3，已知四边形ABCD，请过点D作一条线段DG将四边形ABCD面积平分．
20．（2023春·七年级单元测试）△ABC在如图所示的平面直角中，将其平移后得△A'B'C'，若B的对应点B'的坐标是−2,2．
(1)在图中画出△A'B'C'；
(2)此次平移可看作将△ABC向____平移了______个单位长度，再向____平移了______个单位长度得△A'B'C'；
(3)△ABC的面积为______．
21．（2023·陕西西安·校考三模）已知：a、b、c满足(a−8)2+b−5+|c−32|=0求：
(1)a、b、c的值；
(2)试问以a、b、c为边能否构成三角形？若能构成三角形，求出三角形的周长；若不能构成三角形，请说明理由．
22．（2022春·黑龙江齐齐哈尔·七年级统考期中）在下列网格中建立平面直角坐标系，如图所示，每个小正方形的边长均为1个单位长度．已知A（1，1），B（3，4）和C（4，2）．
(1)在图中标出点A，B，C；
(2)将点C向下平移3个单位到点D，将点A先向左平移3个单位，再向下平移1个单位到点E，在图中标出点D和点E；
(3)求△EBD的面积．
23．（2022春·福建福州·七年级福建省福州延安中学校考期末）若不等式组2x−a<1x−2b>−3的解集是−1（1）求代数式(a+1)(b−1)的值；
（2）若a，b，c为某三角形的三边长，试求|c−a−b|+|c−3|的值．
24．（2022秋·山东泰安·七年级东平县实验中学校考阶段练习）等腰三角形一条腰上的中线将三角形的周长分成15和21两部分,求该三角形的腰长和底边的长.
专题01 与三角形的有关的线段
考点类型
知识串讲
（一）三角形的概念
三角形的概念：由不在同一条直线上的三条线段首尾依次相接所组成的图形叫做三角形。
三角形特性
三角形用符号“”表示，顶点是A、B、C的三角形记作“ABC”，读作“三角形ABC”。
（二）三角形的分类
三角形按边的关系分类如下：
三角形按角的关系分类如下：
（三）三角形的稳定性
三角形的稳定性
三角形具有稳定性
四边形及多边形不具有稳定性
要使多边形具有稳定性，方法是将多边形分成多个三角形，这样多边形就具有稳定性了。
（四）三角形的三边关系
三边关系：三角形任意两边的和大于第三边，任意两边的差小于第三边
（1）三角形三边长分别是a，b，c，则a＋b＞c或c－b＜a。
（2）已知三角形两边的长度分别为a，b，求第三边长度的范围：|a－b|＜c＜a＋b
（五）三角形的相关线段
（1）①高线概念：从三角形一个顶点向它的对边做垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线（简称三角形的高）。
②高线性质：利用两个锐角互余（等量代换）；利用等面积法求线段长度
（2）①中线概念：在三角形中，连接一个顶点和它对边中点的线段叫做三角形的中线。
②中线性质：线段中点性质求线段相等；三角形的中线可以将三角形分为面积相等的两个小三角形
（3）①角平分线概念：三角形的一个内角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线
②角平分线性质：角度相等求解角度
考点训练
考点1：三角形的识别与相关概念
典例1：（2022秋·山东济宁·八年级校考阶段练习）如图，D是△ABC的边BC上的一点，则在△ABC中，∠C所对的边是_____；在△ACD中，∠C所对的边是_____．
【答案】 AB AD
【分析】根据三角形的边和角有关概念解答即可．
【详解】解：在ΔABC中，∠C所对的边是AB；在ΔACD中，∠C所对的边是AD，
故答案为：AB；AD．
【点睛】此题考查三角形，关键是根据三角形的边和角有关概念解答．
【变式1】（2022·全国·八年级专题练习）如图，在△BCE中，边BE所对的角是________，∠CBE所对的边是________；在△AEC中，边AE所对的角是________，∠A为内角的三角形是________．
【答案】 ∠BCE##∠ECB CE##EC ∠ACE##∠ECA △ABD，△ABC，△ACE
【分析】根据的边、角的定义，即可求解．
【详解】解：在△BCE中，边BE所对的角是∠BCE，∠CBE所对的边是CE；
在△AEC中，边AE所对的角是∠ACE，∠AEC所对的边是AC；
∠A为内角的三角形是△ABD，△ABC，△ACE．
故答案为：∠BCE；CE；∠ACE；△ABD，△ABC，△ACE
【点睛】本题考查了三角形的知识，掌握由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形；组成三角形的线段叫做三角形的边；相邻两边的公共端点叫做三角形的顶点；相邻两边组成的角叫做三角形的内角，简称三角形的角是解题的关键．
【变式2】（2022·全国·八年级专题练习）如图所示，顶点是A、B、C的三角形，记作___________，读作___________．其中，顶点A所对的边为___________还可用___________表示；顶点B所对的边为___________还可用___________表示；顶点C所对的边为___________还可用___________表示．
【答案】 △ABC 三角形ABC BC a AC b AB c
【分析】根据三角形的概念进行求解即可．
【详解】解：如图所示，顶点是A、B、C的三角形，记作△ABC，读作三角形ABC．其中，顶点A所对的边为BC还可用a表示；顶点B所对的边为AC还可用b表示；顶点C所对的边为AB还可用c表示．
故答案为：△ABC；三角形ABC；BC；a；AC；b；AB；c．
【点睛】本题主要考查了三角形的概念，解题的关键在于能够熟记概念．
【变式3】（2021·八年级课前预习）由不在同一直线上的三条线段_______________所组成的图形叫做三角形．
如图，线段_______ 、______、______是三角形的边．三角形的边有时也用小写字母abc来表示，a＝________、b＝________、c＝________，点A、点B、点C是三角形的_______，________、______、________是相邻两边组成的角，叫做三角形的内角．图中三角形记作_______．
【答案】 首尾顺次连结
AB BC AC BC AC AB 顶点
∠A ∠B ∠C △ABC
【解析】略
考点2：三角形的个数问题
典例2：（2022·全国·八年级专题练习）观察图形规律：
（1）图①中一共有________个三角形，图②中共有________个三角形，图③中共有________个三角形．
（2）由以上规律进行猜想，第n个图形共有________个三角形．
【答案】 3 6 10 (n+1)(n+2)2
【分析】（1）根据图形直接数出三角形个数即可；
（2）根据（1）中所求得出数字变化规律，进而求出即可．
【详解】解：（1）如图所示：图①中一共有3个三角形，图②中共有6个三角形，图③中共有10个三角形．
故答案为：3，6，10；
（2）∵1+2=3，1+2+3=6，1+2+3+4=10，
∴第n个图形共有：1+2+3+⋯+n+1=(n+1)(n+2)2．
故答案为：(n+1)(n+2)2．
【点睛】此题主要考查了数字变化规律和三角形的个数问题，根据已知得出数字是连续整数的和是解题关键．
【变式1】（2021秋·江西宜春·八年级上高中学校考期中）如图，以∠B为内角的三角形有_______个
【答案】4
【分析】根据题意以∠B的两边和端点分别在两边上的线段围成的三角形，都是以∠B为内角的三角形，枚举出所有三角形即可
【详解】依题意以∠B为内角的三角形有△BED,△BEC,△BAD,△BAC,共4个
故答案为：4
【点睛】本题考查了三角形的定义，理解题意是解题的关键．
【变式2】（2022秋·八年级课时练习）已知：如图，试回答下列问题：
（1）图中有_______个三角形，其中直角三角形是______．
（2）以线段AC为公共边的三角形是___________．
（3）线段CD所在的三角形是_______，BD边所对的角是________．
（4）△ABC、△ACD、△ADE这三个三角形的面积之比等于_______．
【答案】 6 △ABD，△ACD，△ADE △ABC，△ACD，△ACE △ACD ∠BAD BC：CD：DE
【分析】（1）直接观察图形可找出三角形的直角三角形；
（2）观察图形可找到以线段AC为公共边的三角形；
（3）观察图形可知线段CD所在的三角形以及BD边所对的角；
（4）通过S△ABC=12BC·AD,S△ACD=12CD·AD,S△ADE=12DE·AD, 可得出结果．
【详解】（1）由图可知，
图中三角形有△ABC、△ADB、△AEB、△ACD、△ACE、△ADE，
∴图中有6个三角形，
由图可知，直角三角形有△ABD，△ACD，△ADE；
（2）由图可知，
以线段AC为公共边的三角形是△ABC，△ACD，△ACE；
（3）由图可知，
线段CD所在的三角形是△ACD，
BD边所对的角是∠BAD；
（4）∵S△ABC=12BC·AD,S△ACD=12CD·AD,S△ADE=12DE·AD,
∴S△ABC:S△ACD:S△ADE=BC:CD:DE．
故答案为：6；△ABD，△ACD，△ADE；△ABC，△ACD，△ACE；△ACD；∠BAD；BC：CD：DE．
【点睛】本题主要考查三角形和直角三角形的识别，三角形的角以及面积比，属于基础题，熟练掌握三角形的概念是解题关键．
【变式3】（2020秋·江西上饶·八年级校考阶段练习）北京冬季奥运会吉祥物冰墩墩落在n个三角形内，则n的值为________．
【答案】3
【分析】根据三角形的定义，得到所有的三角形，进一步根据冰墩墩在三角形的位置分析出n的值．
【详解】如图，所有的三角形：△ABC，△ABD，△ACE，△ACD，△ECD共5个．
其中除冰墩墩不能落在△ABD和△ACE内，其它均可，
即冰墩墩落在3个三角形内．
故答案为：3．
【点睛】本题考查了三角形，在找三角形的时候，要做到不重不漏．
考点3：三角形的分类
典例3：（2022春·上海·七年级专题练习）在△ABC中，∠A=20°，∠B=60°，∠C=100°，那么△ABC是______三角形．（填“锐角”、“钝角”或“直角” ）
【答案】钝角
【分析】根据三角形按角的分类可得结论．
【详解】解：在ΔABC中，∠A=20°，∠B=60°，∠C=100°，
∵∠C=100°>90°，
∴ΔABC是钝角三角形，
故答案为：钝角．
【点睛】本题考查三角形的分类，熟知三角形按角分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形是解题关键．
【变式1】（2022秋·八年级课时练习）在ΔABC中，若∠A:∠B:∠C=3:5:7，则该三角形是_________三角形．（填“锐角”“直角”或“钝角”）
【答案】锐角．
【分析】可设∠A=3x，∠B=5x，∠C=7x，利用三角形内角和为180°可列出方程，可求得x的值，从而可求得三个角的大小，则可判定出三角形的形状．
【详解】解：
∵∠A：∠B：∠C=3：5：7，
∴可设∠A=3x，∠B=5x，∠C=7x，
由三角形内角和定理可得：3x+5x+7x=180，解得x=12，
∴∠A=3×12°=36°，∠B=5×12°=60°，∠C=7×12°=84°，
∴△ABC为锐角三角形，
故答案为锐角．
【点睛】本题主要考查三角形内角和定理，掌握三角形内角和为180°是解题的关键，注意方程思想的应用．
【变式2】（2022秋·八年级课时练习）已知a，b，c为三个正整数，如果a+b+c=12，那么以a，b，c为边能组成的三角形是：①等腰三角形，②等边三角形，③直角三角形，④钝角三角形.以上结论正确的是______.（只填序号）
【答案】①②③
【详解】∵a，b，c是三个正整数，且a+b+c=12，∴所有a，b，c可能出现的情况是：①2，5，5，等腰三角形；②3，4，5，直角三角形；③4，4，4，等边三角形.故正确的结论是①②③.
【变式3】（2020·全国·七年级假期作业）观察图中的三角形，把它们的标号填入相应横线上．
锐角三角形_______，直角三角形________，钝角三角形________．
【答案】 3，5 1，4，6 2，7
【分析】分别根据三角形的分类得出答案即可．
【详解】锐角三角形3，5，直角三角形1，4，6，钝角三角形2，7．
故答案为：3，5；1，4，6；2，7．
【点晴】此题主要考查了三角形的分类，正确判断三角形中各内角与90度比较是解题的关键．
考点4：三角形的三边关系
典例4：（2021秋·甘肃武威·八年级校考阶段练习）若a，b，c是△ABC的三边的长，则化简|a−b−c|+|b−c−a|+|a+b−c|=________．
【答案】a+b+c
【分析】根据三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”，判断绝对值内的代数式的符号，再根据绝对值的性质进行化简即可．
【详解】∵a，b，c是ΔABC的三边，
∴a∴a−b−c<0，b−c−a<0，a+b−c>0，
∴a−b−c+b−c−a+|a+b−c|
=b+c−a+c+a−b+a+b−c
=a+b+c．
故答案为：a+b+c．
【点睛】题目主要考查的是三角形的三边关系及去绝地值，熟练掌握三角形三边关系是解题的关键．
【变式1】（2023春·七年级课时练习）若等腰三角形的两边的长分别是5cm、7cm，则它的周长为___________cm．
【答案】17或19
【分析】根据等腰三角形的性质，分两种情况：①当腰长为5cm时，②当腰长为7cm时，分别进行求解即可．
【详解】解：①当腰长为5cm时，三角形的三边分别为5cm，5cm，7cm，符合三角形的三边关系，则三角形的周长=5+5+7=17(cm)；
②当腰长为7cm时，三角形的三边分别为5cm，7cm，7cm，符合三角形的三关系，则三角形的周长=5+7+7=19(cm)；
故答案为：17或19．
【点睛】本题注意考查对等腰三角形的性质及三角形的三边关系，已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况：分类进行讨论，还应验证各自情况是否能构成三角形．
【变式2】（2022秋·全国·八年级专题练习）已知三角形三边长分别为2，9，x，若x为偶数，则这样的三角形有___________个．
【答案】2
【分析】先根据三角形的三边关系求出x的取值范围，再根据x为偶数，确定x的可能取值即可解答．
【详解】解：∵三角形三边长分别为2，9，x
∴7∵x为偶数，
∴x可能是8和10，
即这样的三角形有2个．
故答案为：2．
【点睛】本题主要考查了三角形的三边关系，根据三角形的三边关系确定x的取值范围成为解答本题的关键．
【变式3】（2022秋·广东广州·八年级校考阶段练习）已知△ABC的三边长分别为a，b，c，且a，b满足(a−1)2+b−2=0，则c 的取值范围是______．
【答案】1【分析】根据平方和开算术平方根的非负性求出a和b，再根据三角形三边关系求出c的取值范围．
【详解】解：由原式可知：a-1=0；b-2=0
∴a=1，b=2
∴2−1∴1故答案为1【点睛】本题考查平方、开算数平方的非负性和三角形三边关系，掌握这些知识是解题关键．
考点5：三角形三边关系的应用
典例5：（2022秋·浙江·八年级专题练习）一个三角形的三边长均为整数．已知其中两边长为3和5，第三边长x是不等式组x−1⩽23x+25x−7>2x+13的正整数解．则第三边的长为：______．
【答案】7
【分析】先利用一元一次不等式组的解法确定出正整数解，然后利用三角形的三边关系来求解．
【详解】解：解x−1≤23x+25x−7>2x+13得203所以正整数解是7、8、9．
∵三角形的其中两边长为3和5，
∴5−3＜x＜5+3，
即2＜x＜8，
所以只有7符合．
故答案为：7．
【点睛】本题考查了三角形三边关系和一元一次不等式的整数解．解题的关键是求解不等式组求出它的正整数解．
【变式1】（2022秋·广东深圳·七年级统考期末）边长为1的小正方形组成如图所示的6×6网格，点A，B，C，D，E，F，G，H都在格点上．其中到四边形ABCD四个顶点距离之和最小的点是_________．
【答案】E
【分析】到四边形ABCD四个顶点距离之和最小的点是对角线的交点，连接对角线，直接判断即可．
【详解】如图所示，连接BD、AC、GA、GB、GC、GD，
∵GD+GB>BD，GA+GC>AC，
∴到四边形ABCD四个顶点距离之和最小是AC+BD，该点为对角线的交点，
根据图形可知，对角线交点为E，
故答案为：E．
【点睛】本题考查了三角形三边关系，解题关键是通过连接辅助线，运用三角形三边关系判断点的位置．
【变式2】（2022秋·八年级课时练习）如图，加油站A和商店B在马路MN的同一侧，A到MN的距离大于B到MN的距离，AB=700米．一个行人P在马路MN上行走，当P到A的距离与P到B的距离之差最大时，这个差等于______米．
【答案】700
【分析】当A、B 、P 构成三角形时，AP与BP的差小于第三边AB，所以A、B、P在同一直线上时，AP与BP的差最大，算出这个最大值即可．
【详解】当A、B、P三点不在同一直线上时，此时三点构成三角形．
∵两边AP与BP的差小于第三边AB，
∴A、B、P在同一直线上，P到A的距离与P到B的距离之差最大，
∵此时，PA−PB=AB
∴当P到A的距离与P到B的距离之差最大时，这个差等于700米
故答案为：700．
【点睛】本题考查了利用三角形的三边关系求线段差的最大值问题．解题关键是弄清楚当三点共线时距离之差最大．
【变式3】（2021秋·黑龙江佳木斯·八年级校联考期中）如图，填空：
由三角形两边的和大于第三边，得
AB+AD>____________，
PD+CD>____________．
将不等式左边､右边分别相加，得
AB+AD+PD+CD>__________，
即AB+AC>_________________．
【答案】 BD PC BD+PC BP+PC
【分析】根据三角形的三边关系和不等式的性质解答即可．
【详解】解：如图，由三角形两边的和大于第三边，
得AB+AD＞BD，
PD+CD＞PC．
将不等式左边、右边分别相加，
得AB+AD+PD+CD＞BD+PC，
即AB+AC＞BP+PC．
故答案是：BD；PC；BD+PC；BP+PC．
【点睛】本题主要考查了三角形三边关系，在三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．
考点6：与三角形高线有关的计算问题
典例6：（2023春·江苏盐城·七年级滨海县第一初级中学校考期中）如图，AD 是△ABC 的中线，BE 是△ABD 的中线， EF  BC 于点 F．若S△ABC=24，BD  4 ，则 EF 长为___________．
【答案】3
【分析】因为S△ABD=12S△ABC，S△BDE=12S△ABD；所以S△BDE=14S△ABC，再根据三角形的面积公式求得即可．
【详解】解：∵AD是△ABC的中线，S△ABC=24，
∴S△ABD=12S△ABC=12，
同理，BE是△ABD的中线，S△BDE=12S△ABD=6，
∵S△BDE=12BD•EF，
∴12BD•EF=6，
即12×4×EF=6
∴EF=3．
故答案为：3．
【点睛】此题考查了三角形的面积，三角形的中线特点，理解三角形高的定义，根据三角形的面积公式求解，是解题的关键．
【变式1】（2022秋·全国·八年级专题练习）如图，△ADF中，点B，C分别在AD，AF上，DC与BF交于点E，若DE:CE=2:1，S△DEF=6，S△DBE=4，则△ABC的面积=______．
【答案】7.5．
【分析】观察三角形之间的关系，利用等高或同高的两个三角形的面积之比等于底之比，利用已知比例关系进行转化求解．
【详解】如下图所示，连接AE，
∵DE:CE=2:1，S△DEF=6，S△DBE=4，
∴S△DEF：S△CEF=S△DBE：S△CBE=DE：CE=2：1 ,
∴S△CEF=12S△DEF=12×6=3,
S△BEC=12S△BDE=12×4=2,
∴S△AEFS△ABE=S△DEFS△DBE=64=32,
S△ADES△AEC=DEEC=21,
设S△ABE=x，S△AEC=y，
∴ S△AEF=S△AEC+S△CEF=y+3 ，
S△ADE=S△ABE+S△DBE=x+4，
由S△AEF=32S△ABE，S△ADE=2S△AEC可得，
y+3=32xx+4=2y ，
解得x=5y=92 ，
∴S△ABE=5，S△AEC=92，
S△ABC=S△ABE+S△AEC−S△BEC=5+92−2=152=7.5 ．
故答案为：7.5．
【点睛】本题考查的是等高同高三角形，应用等高或同高的两个三角形的面积之比等于底之比进行求解是本题的关键．
【变式2】（2022秋·福建厦门·八年级厦门市槟榔中学校考期末）如图，在△ABC中，∠BAC=100°，AD⊥BC于D点，AE平分∠BAC交BC于点E．若∠C=26°，则∠DAE的度数为___________．
【答案】14°
【分析】利用垂直的定义得到∠ADC=90°，再根据三角形内角和计算出∠CAD=64°，接着利用角平分线的定义得到∠CAE=50°，然后计算∠CAD-∠CAE即可．
【详解】解：∵AD⊥BC，
∴∠ADC=90°，
∴∠CAD=180°-∠ADC-∠C=180°-90°-26°=64°，
∵AE平分∠BAC，
∴∠CAE=12∠BAC=12×100°=50°，
∴∠DAE=∠CAD-∠CAE=64°-50°=14°．
故答案为14°．
【点睛】本题考查了三角形内角和定理：三角形内角和是180°．也考查了三角形高、角平分线．
【变式3】（2023秋·湖南邵阳·八年级统考期末）如图，在△ABC中，AB=AC=2，P是BC边上的任意一点，PE⊥AB于点E，PF⊥AC于点F.若S△ABC=2，则PE+PF=______．
【答案】2
【分析】根据S△ABC=S△ABP+S△APC=12AB⋅PE+12AC⋅PF，结合已知条件，即可求得PE+PF的值．
【详解】解：如图，连接AP
∵ PE⊥AB于点E，PF⊥AC于点F
∴S△ABC=S△ABP+S△APC=12AB⋅PE+12AC⋅PF
∵AB=AC=2，S△ABC=2
∴ 12AB⋅PE+12AC⋅PF =PE+PF=2
故答案为：2
【点睛】本题考查了三角形的高，掌握三角形的高的定义是解题的关键．
考点7：三角形稳定性
典例7：（2022秋·云南昆明·八年级云大附中校考期中）随着人们物质生活的提高，手机成为一种生活中不可缺少的东西，手机很方便携带，但唯一的缺点就是没有固定的支点．为了解决这一问题，某工厂研制生产了一种如图所示的手机支架．把手机放在上面就可以方便地使用手机，这是利用了三角形的______.
【答案】三角形的稳定性
【分析】利用三角形的稳定性的性质直接回答即可．
【详解】解：把手机放在上面就可以方便地使用手机，这是利用了三角形的稳定性，
故答案为：三角形的稳定性．
【点睛】本题考查了三角形的稳定性，解题的关键是掌握三角形具有稳定性．
【变式1】（2022秋·八年级课时练习）如图所示，要使一个六边形木架在同一平面内不变形，至少还要再钉上 _____根木条．
【答案】3
【分析】根据三角形的稳定性，要使六边形木架在同一平面内不变形，只要把六边形木架变成几个不重叠的三角形即可．
【详解】如图，过左上角的A点分别钉三根木条AB、AC、AD即可把六边形木架变成三个不重叠的三角形．
故答案为3．
【点睛】本题考查三角形的稳定性，通过多观察、多思考、多练习熟练掌握三角形稳定性的应用是解题关键．
【变式2】（2019·全国·八年级统考假期作业）下列图中哪些具有稳定性？________．
【答案】(1)(6)
【分析】根据三角形具有稳定性，只要图形分割成了三角形，则具有稳定性．
【详解】解：根据三角形具有稳定性，只要图形分割成了三角形，则具有稳定性．
显然具有稳定性的有：(1)(6)
故答案为(1)(6).
【点睛】考查了三角形的稳定性及多边形的知识，注意根据三角形的稳定性进行判断．
【变式3】（2023春·江苏扬州·七年级校联考阶段练习）如图，学校门口设置的移动拒马都用钢管焊接成三角形，这样做的数学原理是利用了三角形的_____（选填“稳定性”或“不稳定性”）．
【答案】稳定性
【分析】根据三角形的稳定性进行解答即可．
【详解】解：学校门口设置的移动拒马都用钢管焊接成三角形，这样做的数学原理是利用了三角形的稳定性．
故答案为：稳定性．
【点睛】本题主要考查了三角形的特性，解题的关键是熟练掌握三角形的稳定性
考点8：与三角形角平分线有关的计算问题
典例8：（2023春·七年级课时练习）如图所示，△ABC的两条角平分线相交于点D，过点D作EF∥BC，交AB于点E，交AC于点F，若△AEF的周长为30cm，则AB+AC=______cm．
【答案】30
【分析】利用平行线的性质和角平分线的定义得到∠EBD=∠EDB，证出ED=EB，同理DF=FC，则△AEF的周长即为AB+AC，可得出答案．
【详解】解：∵EF//BC，
∴∠EDB=∠DBC，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠DBC
∴∠EBD=∠EDB，
∴ED=EB
同理：FD=FC，
∴AE+AF+EF=AE+EB+AF+FC=AB+AC=30cm
即AB+AC=30cm
故答案为：30．
【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和性质、平行线的性质等知识，证出ED=EB，FD=FC是解题的关键．
【变式1】（2022秋·海南省直辖县级单位·八年级统考期末）如图，（1）若AM是△ABC的中线，BC=12cm，则BM=CM=______cm；
（2）若AD是△ABC的角平分线，则∠BAD=∠DAC=______；若∠BAC=106°，则∠DAC=______；
（3）若AH是△ABC的高，则△ABH是______三角形．
【答案】 6 12∠BAC 53° 直角
【分析】（1）根据三角形的中线是三角形的一个顶点与它对边的中点所连的线段求解即可；
（2）根据三角形的角平分线平分它对应的内角求解即可；
（3）根据三角形的高线定义得到∠AHB=90°，再根据直角三角形的定义即可判断；
【详解】解：（1）∵AM是△ABC的中线，BC=12cm，
∴BM=CM= 12BC=6cm，
故答案为：6；
（2）∵若AD是△ABC的角平分线，
∴∠BAD=∠DAC= 12∠BAC，
∵∠BAC=106°，
∴∠DAC=53°，
故答案为：12∠BAC，53°；
（3）∵AH是△ABC的高，
∴∠AHB=90°，
∴△AHB直角三角形，
故答案为：直角．
【点睛】本题考查三角形的角平分线、中线和高线，熟知三角形的角平分线、中线和高线的定义是解答的关键．
【变式2】（2022春·山东菏泽·七年级校联考阶段练习）如图，在△ABC中，∠1=∠2，G为AD的中点，延长BG交AC于E．CF⊥AD于H，交AB于F．下列说法：①线段AG是△ABE的角平分线；②线段AE是△ABG的边BG上的高；③BG是△ABD的中线；④△ABG与△DBG的面积相等；⑤∠1+∠ACF=90°．其中正确的有______ （填序号）．
【答案】①③④⑤
【分析】由角平分线的定义可判断①；由高的定义可判断②；由中线的定义可判断③；由中线的性质可判断④；由直角三角形的性质可判断⑤．
【详解】∵∠1=∠2，
∴线段AG是△ABE的角平分线，
故①正确；
∵由题目中的已知条件无法确定AE和BE垂直，
∴线段AE不一定是△ABG的边BG上的高，
故②错误；
∵G点为AD的中点，
∴BG是△ABD的中线，
故③正确；
∵BG是△ABD的中线，
∴△ABG与△DBG的面积相等，
故④正确；
∵CF丄AD于H，
∴∠AHC=90º，
∴∠2+∠ACF=90º．
∵∠1=∠2
∴∠1+∠ACF=90º，
故⑤正确．
因此正确的有①③④⑤．
故答案为①③④⑤．
【点睛】本题主要考查了角平分线的定义，中线的定义，高的定义，中线的性质，直角三形两锐角互余．熟练掌握以上定义和性质是解题的关键
【变式3】（2020秋·八年级课时练习）△ABC中，D为BC边上任意一点，DE、DF分别是△ADB和△ADC的角平分线，连接EF，则△DEF的形状为_________．
【答案】直角三角形
【分析】根据三角形角平分线的定义，可以得到2∠ADE=∠ADB，2∠ADF=∠ADC；根据平角的定义可知，∠ADB+∠ADC=180°；接下来，求出∠ADE+∠ADF的度数，不难判断三角形的形状.
【详解】∵DE，DF分别是△ADB和△ADC的角平分线，
∴2∠ADE=∠ADB，2∠ADF=∠ADC.
∵∠ADB+∠ADC=180°，
∴2∠ADE+2∠ADF=180°，
∴∠ADE+∠ADF=90°，即∠EDF=90°，
∴△DEF是直角三角形.
故答案为直角三角形.
【点睛】本题考查了直角三角形的定义，角平分线的定义，平角的定义，根据角平分线的定义及平角的定义求出∠ADE+∠ADF=90°是解答本题的关键.
考点9：与三角形中线有关的周长、面积问题
典例9：（2022秋·浙江宁波·八年级统考阶段练习）如图，已知BD是△ABC的中线，AB＝5，BC＝3，且△ABD的周长为12，则△BCD的周长是_____．
【答案】10
【分析】先根据三角形的中线、线段中点的定义可得AD=CD，再根据三角形的周长公式即可求出结果．
【详解】解：∵BD是△ABC的中线，即点D是线段AC的中点，
∴AD=CD，
∵ AB=5，△ABD的周长为12，
∴AB+BD+AD=12，即5+BD+AD=12，
解得：BD+AD=7，
∴BD+CD=7，
则△BCD的周长是BC+BD+CD=3+7=10．
故答案为：10．
【点睛】本题主要考查了三角形的中线、线段中点的定义等知识点，掌握线段中点的定义是解题关键
【变式1】（2022秋·福建厦门·八年级统考期末）如图，S△ABD=S△ACD，已知AB=8cm，AC=5cm，那么△ABD和△ACD的周长差是________cm．
【答案】3
【分析】利用三角形面积公式得到BD＝CD，从而得到△ABD和△ACD的周长差＝AB−AC．
【详解】解：∵S△ABD=S△ACD，
∴BD＝CD，
∵△ABD的周长＝AB＋AD＋BD，△ACD的周长＝AC＋AD＋CD，
∴△ABD和△ACD的周长差＝AB−AC＝8−5＝3（cm）．
故答案为：3．
【点睛】本题考查了三角形的面积：三角形的面积等于底边长与高线乘积的一半，即S△＝
12×底×高．
【变式2】（2023秋·广东广州·八年级统考期末）如图，BE是△ABC的中线，点D是BC边上一点，BD＝2CD，BE、AD交于点F，若△ABC的面积为24，则S△BDF﹣S△AEF等于_____．
【答案】4
【分析】由△ABC的面积为24，得S△ABC=12BC•hBC=12AC•hAC=24，根据AE=CE=12AC，得S△AEB=12AE•hAC，S△BCE=12EC•hAC，即S△AEF+S△ABF=12①，同理可得S△BDF+S△ABF=16②，②-①即可求得．
【详解】解：∵S△ABC=12BC•hBC=12AC•hAC=24，
∴S△ABC=12（BD+CD）•hBC=12（AE+CE）•hAC=24，
∵AE=CE=12AC，S△AEB=12AE•hAC，S△BCE=12EC•hAC，
∴S△AEB=S△CEB=12S△ABC=12×24=12，
即S△AEF+S△ABF=12①，
同理：∵BD=2CD，BD+CD=BC，
∴BD=23BC，S△ABD=12BD•hBC，
∴S△ABD=23S△ABC=23×24=16，
即S△BDF+S△ABF=16②，
②-①得：S△BDF-SAEF=（S△BDF+S△ABF）-（S△AEF+S△ABF）=16-12=4，
故答案为：4．
【点睛】本题主要考查三角形的面积及等积变换，解答此题的关键是等积代换
【变式3】（2022春·江苏泰州·七年级校联考期中）已知在ΔABC中，已知点D、E、F分别为BC、AD、CE的中点，且SΔBEF=4cm2，则SΔABC的值为______cm2．
【答案】16
【分析】由于D、E、F分别为BC、AD、CE的中点，可判断出AD、BE、CE、BF为ΔABC、ΔABD、ΔACD、ΔBEC的中线，根据中线的性质可知将相应三角形分成面积相等的两部分，据此即可解答．
【详解】解：∵由于D、E、F分别为BC、AD、CE的中点，
∴ΔABE、ΔDBE、ΔDCE、ΔAEC的面积相等，
∴SΔBEC=12SΔABC，SΔBEF=12SΔBEC；
∴SΔBEF=14SΔABC，
SΔABC=4SΔBEF=4×4=16cm2．
故答案为：16．
【点睛】此题考查了三角形的面积，解题的关键是根据三角形中线将三角形的面积分成相等的两部分．
考点10：利用网格求三角形的面积
典例10：（2023秋·福建龙岩·八年级校考期末）如图所示的正方形网格，A、B、C、D是网格线交点，则△ABC的面积与△ABD的面积的大小关系为：S△ABC ______S△ABD．填“>”、“=”或“<”）
【答案】<
【分析】分别求出△ABC的面积与△ABD的面积，即可求解．
【详解】解：∵ S△ABC=12×2×3=3，
S△ABD=3×5−12×2×3−12×1×3−12×2×5=5.5，
∴ S△ABC故答案为：<．
【点睛】本题考查了网格中三角形的面积的求法，掌握三角形的面积公式是解题的关键
【变式1】（2022秋·山东青岛·九年级统考期末）如图，△ABC与△DEF都是是正方形网格中的格点三角形（顶点在格点上），那么△ABC与△DEF的面积比为__________．
【答案】12
【分析】如图，设正方形网格的边长为1，利用三角形的面积公式即可求解．
【详解】如图，设正方形网格的边长为1，
∴S△ABC=12⋅AB⋅CN=12×2×1=1，
S△DEF=12⋅DF⋅EM=12×2×2=2，
∴S△ABCS△DEF=12，
故答案为：12．
【点睛】此题考查了格点三角形的面积计算问题，解题关键是牢记三角形的面积计算公式．
【变式2】（辽宁省部分学校2022-2023学年九年级上学期期末数学试题）已知点A2，2，B5，6，C4，8，那么S△ABC=__________．
【答案】5
【分析】直接利用△ABC所在矩形面积减去周围三角形面积进而得出答案．
【详解】解：如图，
S△ABC=3×6−12×3×4−12×2×6−12×2×1=5．
故答案为：5．
【点睛】此题主要考查了平面直角坐标系，三角形面积求法，正确得出对应点位置是解题关键
【变式3】（2022春·浙江杭州·七年级统考期末）如图，大长方形是由9个完全相同的小长方形组成，已知小长方形的长，宽分别为a，b，则图中连接三个格点围成的阴影部分图形的面积是______．（用a，b的代数式表示）
【答案】4ab
【分析】阴影部分的面积等于大长方形的面积去掉三个直角三角形的面积．
【详解】解：S阴影=3a⋅3b−12a⋅3b−12×2a⋅2b−12b⋅3a
=9ab−32ab−2ab−32ab
=4ab．
故答案为：4ab．
【点睛】本题考查运用割补法求阴影部分面积，解题关键是运用大长方形的面积减去三个直角三角形的面积
同步过关
一、单选题
1．（2022秋·全国·八年级阶段练习）如图，线段BD是△ABC高的图形是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据高的画法知，过点B作AC边上的高，垂足为D，则线段BD是△ABC的高，再结合图形进行判断．
【详解】解：根据各选项中的图形，可知
A、BD⊥BC，BD与AC不垂直，线段BD不是△ABC高，此选项不符合题意；
B、BD⊥AB，BD与AC不垂直，线段BD不是△ABC高，此选项不符合题意；
C、BD⊥AB，BD与AC不垂直，线段BD不是△ABC高，此选项不符合题意；
D、BD⊥AC，则线段BD是△ABC高，此选项符合题意，
故选：D．
【点睛】本题主要考查了三角形的高，三角形的高是指从三角形的一个顶点向对边作垂线，连接顶点与垂足之间的线段．
2．（2022春·云南保山·七年级统考期中）如图，AB⊥BC于点B，AC⊥CD于点C，连接AD．若AD＝8，BC＝6，则AC的长可能为（ ）．
A．5B．6C．7D．9
【答案】C
【分析】根据直角三角形的斜边长大于直角边长即可得出结果．
【详解】∵AD是Rt△ACD的斜边，
∴ACAC是Rt△ABC的斜边，
∴BC∴BC即：6∴AC的长可能为7．
故选C．
【点睛】本题考查直角三角形，理解直角三角形的斜边长大于直角边长是解题的关键．
3．（2022秋·江苏·八年级阶段练习）下列说法中，正确的个数有（ ）
① 三角形具有稳定性；
② 如果两个角相等，那么这两个角是对顶角；
③ 三角形的角平分线是射线；
④ 直线外一点到这条直线的垂线段叫做这点到直线的距离；
⑤ 任何一个三角形都有三条高、三条中线、三条角平分线；
⑥ 三角形的三条角平分线交于一点，且这点在三角形内；
A．2B．3C．4D．5
【答案】B
【分析】直接利用三角形的角平分线以及中线、高线的定义、对顶角性质分别分析得出答案．
【详解】解：①三角形具有稳定性，正确；
②如果两个角相等，那么这两个角不一定是对顶角，故原说法错误；
③三角形的角平分线是射线，错误；
④直线外一点到这条直线的垂线段长度叫做这点到直线的距离，故此选项错误；
⑤任何一个三角形都有三条高、三条中线、三条角平分线，正确；
⑥三角形的三条角平分线交于一点，且这点在三角形内，正确；
故选：B．
【点睛】此题主要考查了三角形的角平分线以及中线、高线的定义、对顶角性质等知识，正确掌握相关定义是解题关键．
4．（2023春·七年级课时练习）图中，以DE为边的三角形有（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
【答案】C
【分析】根据三角形的边得出三角形即可．
【详解】解：以DE为边的三角形有△DEC，△AED，△DEF，△BED，
故选：C．
【点睛】此题考查三角形，关键是根据三角形的边解答．
5．（2022秋·辽宁葫芦岛·八年级校联考期中）下列各图中，正确画出△ABC中AC边上的高的是（ ）
A．①B．②C．③D．④
【答案】D
【分析】根据三角形高的定义，过点B与AC边的垂线，且垂足在直线AC上，然后结合各选项图形解答．
【详解】解：根据三角形高线的定义，只有D选项中的BE是边AC上的高．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了三角形的高线的定义，熟记定义并准确识图是解题的关键．
6．（2022秋·广东珠海·八年级校考期中）如图，D，E，F分别是边BC，AD，AC上的中点，若S阴影的面积为3，则△ABC的面积是（ ）
A．5B．6C．7D．8
【答案】D
【分析】利用三角形中线将三角形分成面积相等的两部分，S△ABD=S△ACD=12S△ABC，S△BDE=12S△ABD，S△ADF=12S△ADC，再得到S△BDE=14S△ABC，S△DEF=18S△ABC，所以S△ABC=83S阴影部分即可得出.
【详解】∵D为BC的中点
∴S△BDE=12S△ABD，S△ADF=12S△ADC，S△DEF=12S△ADF
∴S△BDE=14S△ABC，S△DEF=18S△ABC
∴S△BDE+S△DEF=14S△ABC+18S△ABC=38 S△ABC
∴S△ABC=83S阴影部分=83×3=8
故选D
【点睛】三角形的中线将三角形分成两个面积相等的三角形，根据中线找出图中三角形的面积关系是解决本题的关键.
7．（2022春·福建漳州·七年级漳州实验中学校考阶段练习）如图，D，E分别是△ABC的边AC，BC的中点，则下列说法不正确的是（ ）
A．DE是△BCD的中线
B．BD是△ABC的中线
C．AD=DC，BE=EC
D．DE是△ABC的中线
【答案】D
【分析】三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线．根据中线的定义分析各个选项．
【详解】解：∵D、E分别是△ABC的边AC、BC的中点，
∴DE是△BCD的中线；故选项A正确，不符合题意；
BD是△ABC的中线，故选项B正确，不符合题意；
AD=DC，BE=EC，故选项C正确，不符合题意；
DE是△BCD的中线故选项D错误，符合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查了中线的概念：在三角形中，从三角形的一个顶点到对边中点的线段叫三角形的中线．
8．（2022秋·八年级课时练习）如图，有下列说法：
①若∠1=∠3，AD//BC，则BD是∠ABC的平分线；
②若AD//BC，则∠1=∠2=∠3；
③若∠1=∠3，则AD//BC；
④若∠C+∠3+∠4=180∘，则AD//BC．
其中正确的有（ ）．
A．1个B．2个C．3个D．4
【答案】B
【分析】根据平行线的性质和角平分线的定义，对各个选项逐个分析，即可得到答案．
【详解】∠1=∠3，AD//BC
∴∠2=∠3
∴∠1=∠2=∠3
∴BD是∠ABC的平分线，即①正确；
若AD//BC，得∠2=∠3，∠1=∠4，不构成∠1=∠2=∠3成立的条件，故②错误；
若∠1=∠3，不构成AD//BC成立的条件，故③错误；
若∠C+∠3+∠4=180∘，且∠3+∠4=∠ADC
∴∠C+∠ADC=180∘
∴AD//BC，即④正确；
故选：B．
【点睛】本题考查了平行线和角平分线的知识，解题的关键是熟练掌握平行线的性质和角平分线的定义．
9．（2023春·全国·八年级专题练习）若a、b、c为三角形的三条边，则(a+b−c)2+|b-a-c|=( ).
A．2b-2cB．2aC．2(a+b−c)D．2a-2c
【答案】B
【分析】根据三角形的三边关系可知，a+b>c,b【详解】根据三角形的三边关系可知，a+b>c,b∴a+b−c>0,b−a−c<0
∴a+b−c2+|b−a+c|=a+b−c+[−(b−a−c)]
=2a
故选B
【点睛】本题考点涉及三角形的三边关系，算术平方根和绝对值的非负性以及化简，熟练掌握相关知识点是解题关键.
10．（2022春·江苏南京·七年级校考阶段练习）如图，在△ABC中，D是AB中点，E是BC边上一点，且BE＝4EC，CD与AE交于点F，连接BF．若四边形BEFD的面积是14，则△ABC的面积是 （ ）
A．28B．32C．30D．29
【答案】C
【分析】根据三角形的高相等时，三角形面积之比等于底边边长之比，来计算．设△EFC的面积为a，△AFC的面积为b，则△AEC的面积为a+b，根据BE=4EC，D为AB中点，找到相关等量关系，列出关于a、b的二元一次方程组，解方程即可求解．
【详解】设△EFC的面积为a，△AFC的面积为b，则△AEC的面积为a+b，
∵BE=4EC，
∴根据三角形的高相等时，三角形面积之比等于底边边长之比，
有：S△BEF=4S△EFC=4a，S△BEA=4S△EAC=4a+b，
∴S△BAF=S△ABE−S△BEF=4a+b−4a=4b，
∵D为AB中点，
∴S△BDF=S△ADF=12S△ABF=2b，S△BDC=S△ADC，
∵S△BDC=S△BDF+S△BEF+S△FEC=2b+4a+a=2b+5a，S△ADC=S△ADF+S△ACF=2b+b=3b，
∴3b=2b+5a，即b=5a，
∵四边形BEFD面积为14，
∴S四边形BEFD=S△BDF+S△BEF=2b+4a=14，
∴b=5a2b+4a=14，解得a=1b=5，
∵△ABC的面积为S△ABC=S△BDC+S△ADC，
∴S△ABC=2b+5a+3b=5b+5a=30，
故选：C．
【点睛】本题主要主要考查了二元一次方程组在几何问题中的应用，根据三角形的高相等时，三角形面积之比等于底边边长之比，确定等量关系是解答本题的关键．
二、填空题
11．（2023春·山东枣庄·七年级校联考阶段练习）超重机的底座、输电线路的支架、自行车的斜支架等，都是采用三角形结构，这样做的数学道理是利用了______________．
【答案】三角形的稳定性
【分析】根据三角形的三边一旦确定，则形状大小完全确定，即三角形的稳定性作答．
【详解】起重机的底座、输电线路的支架、自行车的斜支架等，都是采用三角形结构，这样做的数学道理是利用了三角形的稳定性．
故答案为三角形的稳定性．
12．（2022秋·全国·八年级专题练习）如图，∠CBD=∠E=∠F=90°，则线段______是△ABC中BC边上的高．
【答案】AE
【分析】根据过三角形的一个顶点向对边引垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高解答．
【详解】解：∵AE⊥BC，
∴△ABC中BC边上的高是AE
故答案为：AE
【点睛】本题考查了三角形的高，解题关键是熟记三角形的高的概念．
13．（2023·全国·八年级专题练习）已知三角形的三边长均为偶数，其中两边长分别为6和8，则第三边长为________．
【答案】4或6或8或10或12
【分析】根据三角形三边之间的关系，得出第三边的取值范围，再根据题意即可得出第三边的长度．
【详解】解：∵△ABC其中两边的长分别为6和8，
∴8−6<第三边<8+6，即2<第三边<14，
∵△ABC的三边长均为偶数，
∴第三边的长度为：4或6或8或10或12，
故答案为：4或6或8或10或12．
【点睛】本题主要考查了三角形三边之间的关系，解题的关键是掌握三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边．注意题目没有说△ABC为直角三角形，故不能用勾股定理求解第三边．
14．（2021秋·四川资阳·九年级四川省安岳中学校考期中）在△ABC中，中线AD、BE相交于点O，若△BOD的面积等于6，则△ABC的面积等于____．
【答案】12
【分析】先根据点O是△ABC的重心得出OD=13AD，再由△BOD的面积等于6，得出S△ABD =S△BCE=18，即可求出SΔCEOD．
【详解】解：∵△ABC中，中线AD、BE相交于点O，
∴点O是△ABC的重心，
∴OD=13AD．
∵S△BOD=6，
∴S△ABD=18=12S△ABC= S△BCE
∴S四边形CEOD= S△BCE - S△BOD =18−6=12．
故答案为：12．
【点睛】本题考查的是三角形的重心，熟知三角形的重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1是解答此题的关键．
15．（2019·上海·七年级阶段练习）△ABC的三边长为a，b，c，且a，b满足a−2+b2−6b+9=0.则c的取值范围是_______.
【答案】1＜c＜5
【分析】先把a−2+b2−6b+9=0配方得出a−2+（b−3）2=0,求出a,b的值,再根据三角形的三边关系即可求出c的取值范围.
【详解】∵a−2+b2−6b+9=0
∴a−2+（b−3）2=0
∵a−2≥0，（b−3)2≥0
∴a-2=0,b-3=3
∴a=2,b=3
∵△ABC的三边长为a，b，c
∴b-a＜c＜b+a
∴3-2＜c＜3+2
∴c的取值范围为：1＜c＜5
【点睛】此题考查三角形三边关系，配方法的应用，非负数的性质:偶次方，掌握运算法则是解题关键
16．（2020春·江苏扬州·七年级校联考阶段练习）一个三角形的三边长都是整数，其中两条边的长度分别为3和8，第三边长为奇数，那么三角形的周长是__________．
【答案】18或20
【分析】先根据三角形三边长关系得出第三边的取值范围，然后根据第三边长度为奇数且是整数得出第三边长度，最后求周长．
【详解】∵三角形两条边长为3和8，设第三边长为n
则8－3＜n＜8+3，即5＜n＜11
∵n是奇数，且是整数
∴n=7或n=9
∴三角形的周长为18或20
【点睛】本题考查组成三角形三边长的关系，解题关键是利用关系式先得出第三边长度的取值范围．
三、解答题
17．（2022秋·全国·八年级专题练习）请你完成定理“三角形的任意两边之和大于第三边”的证明．
已知：如图，△ABC．求证：AB+BC>AC，BC+CA>AB，CA+AB>BC．
【答案】证明见解析．
【分析】利用两点之间的线段最短来证明即可．
【详解】证明：∵AC是以点A、点C为端点的线段，
∴ AB+BC>AC（两点之间线段最短）．
同理BC+CA>AB，CA+AB>BC．
【点睛】本题考查了三角形的三边之间的关系，即三角形的任意两边之和大于第三边，解题的关键是掌握两点之间线段最短．
18．（2022秋·河北廊坊·八年级校考期末）画图并填空：如图，方格纸中每个小正方形的边长都为1，△ABC的顶点都在方格纸的格点上，将△ABC经过一次平移，使点C移到点C'的位置.
(1)请画出△A'B'C'；
(2)连接AA'、BB'，则这两条线段的关系是______；
(3)在方格纸中，画出△ABC的中线BD和高CE．
【答案】(1)见详解
(2)AA'∥BB'且AA'=BB'
(3)见详解
【分析】（1）将点C先向上平移1个单位，再向右平移3个单位，得到点C'，同理可得点A'，点B'，依次连接即可求解．
（2）连接AA'、BB'，将AA'向下平移4个单位，与BB'重合，进而可求解．
（3）根据作中线和高的方法即可求解．
【详解】（1）解：将点C先向上平移1个单位，再向右平移3个单位，得到点C'，同理可得点A'，点B'，依次连接A'，B'，C'，则△A'B'C'即为所求，如图所示：
（2）连接AA'、BB'，如上图所示：
将AA'向下平移4个单位，与BB'重合，因此AA'∥BB'且AA'=BB'，
故答案为：AA'∥BB'且AA'=BB'．
（3）取AC的中点D，连接BD，则BD为△ABC的中线，
延长射线AB，过点C作射线AB的垂线交于E，则CE为△ABC的高，如上图所示．
【点睛】本题考查了作图——平移变换，作三角形的中线及高，熟练掌握平移的性质是解题的关键．
19．（2021春·河北石家庄·七年级石家庄市第十九中学校考期末）（1）如图1，直线a∥直线b，点A、D在直线a上，点B、C在直线b上，连接AB、AC、BD、DC，得△ABC和△BDC，△ABC的面积_______△BDC的面积（填“＞”、“＝”或“＜”）．
（2）如图2，已知△ABC，过点A有一条线段，将△ABC的面积平分，且交BC于点D，则BDBC= ．
（3）如图3，已知四边形ABCD，请过点D作一条线段DG将四边形ABCD面积平分．
【答案】（1）=；（2）12；（3）见解析
【分析】（1）根据同底等高即可得到三角形面积相等；
（2）根据中线的性质即可求解；
（3）先利用平行线得到面积相等，再根据中线的性质即可求解．
【详解】解：（1）∵a∥b，
∴△ABC和△BDC同底等高，
∴△ABC的面积等于△BDC的面积
故答案为:=；
（2）∵AD将△ABC的面积平分，，
∴AD是△ABC的中线，
∴BDBC= 12
故答案为12；
（3）如图，连接BD，过点A作BD的平行线AE，延长CB交AE于点F，取FC中点G，连接DG，DG为所求线段．
【点睛】此题主要考查中线与平行线的应用，解题的关键是熟知三角形的面积求解与中线平分面积的性质．
20．（2023春·七年级单元测试）△ABC在如图所示的平面直角中，将其平移后得△A'B'C'，若B的对应点B'的坐标是−2,2．
(1)在图中画出△A'B'C'；
(2)此次平移可看作将△ABC向____平移了______个单位长度，再向____平移了______个单位长度得△A'B'C'；
(3)△ABC的面积为______．
【答案】(1)见解析
(2)右、1、上、1
(3)5.5
【分析】（1）根据网格结构找出点A、B、C平移后的对应点A'、B'、C'的位置，然后顺次连接即可；
（2）根据平移的性质结合图形解答即可；
（3）用△ABC所在的长方形的面积减去四周三个直角三角形的面积，列式计算即可得解．
【详解】（1）如图所示，△A'B'C'′即为所求；
（2）此次平移可看作将△ABC向右平移了1个单位长度，再向上平移了1个单位长度得△A'B'C'；
故答案为：右、1，上、1；
（3）△ABC的面积为4×5−12×1×2−12×3×4−12×3×5=5.5，
故答案为：5.5．
【点睛】本题考查了坐标与图形变换—平移，三角形的面积，熟练掌握网格结构准确找出对应点的位置是解题的关键．
21．（2023·陕西西安·校考三模）已知：a、b、c满足(a−8)2+b−5+|c−32|=0求：
(1)a、b、c的值；
(2)试问以a、b、c为边能否构成三角形？若能构成三角形，求出三角形的周长；若不能构成三角形，请说明理由．
【答案】(1)a=22，b=5，c=32
(2)能构成三角形，周长为51+2
【分析】（1）根据非负数之和等于零，则每个非负数等于零，分别建立方程求解即可；
（2）先比较长三边的大小，再用较小两边之和与最大边比较即可判断能够构成三角形；然后计算三角形的周长即可．
【详解】（1）解：∵a−82≥0，b−5≥0，c−32≥0，
a、b、c满足a−82+b−5+c−32=0，
∴a−8=0，b−5=0，c−32=0，
解得a=22，b=5，c=32；
（2）解：∵8<18<25，
∴22<32<5，
即a∵22+32=52>5，
∴能构成三角形，
三角形的周长=a+b+c=22+32+5=52+5=52+1．
【点睛】本题考查了非负数的性质，二次根式有意义的条件和构成三角形的条件，解题的关键是根据非负数之和等于零的条件分别建立方程和如何判定三边能否构成三角形．
22．（2022春·黑龙江齐齐哈尔·七年级统考期中）在下列网格中建立平面直角坐标系，如图所示，每个小正方形的边长均为1个单位长度．已知A（1，1），B（3，4）和C（4，2）．
(1)在图中标出点A，B，C；
(2)将点C向下平移3个单位到点D，将点A先向左平移3个单位，再向下平移1个单位到点E，在图中标出点D和点E；
(3)求△EBD的面积．
【答案】(1)作图见解析
(2)作图见解析
(3)△EBD的面积为292
【分析】（1）直接利用A，B，C点的坐标在坐标系中得出各点位置即可；
（2）利用平移的性质得出各对应点坐标，在平面直角坐标系中找出相应位置即可；
（3）利用△EBD所在矩形面积减去周围三角形面积进而得出答案．
（1）
解：已知A（1，1），B（3，4）和C（4，2），如图所示：
∴A、B、C即为所求；
（2）
解：∵ C（4，2），将点C向下平移3个单位到点D，
∴D(4，−1) ，
∵ A（1，1），将点A先向左平移3个单位，再向下平移1个单位到点E，
∴E(−2,0)，
如图所示：
∴点D，E即为所求；
（3）
解：如图所示：
∴SΔBDE=S矩形DFGH−SΔDEF−SΔGEB−SΔBDH
=6×5−12×6×1−12×4×5−12×1×5
=292．
【点睛】本题考查平移变换及网格中三角形面积求法，正确掌握平移的规律是解题关键．
23．（2022春·福建福州·七年级福建省福州延安中学校考期末）若不等式组2x−a<1x−2b>−3的解集是−1（1）求代数式(a+1)(b−1)的值；
（2）若a，b，c为某三角形的三边长，试求|c−a−b|+|c−3|的值．
【答案】(1)0；
(2)3．
【分析】（1）分别解两个不等式，得到x＜1+a2，x＞2b-3，由不等式组的解集为−1（2）根据三角形的三边关系确定c的取值范围，然后去绝对值符号，进行化简．
【详解】（1）2x−a<1①x−2b>−3②，
由①解得x＜1+a2，由②解得x＞2b-3，
因为不等式组的解集为−1所以1+a2=3，2b-3=-1，
解得a=5，b=1，
所以(a+1)(b−1)=5+1×1−1=0；
（2）根据三角形的三边关系可知，4＜c＜6，
所以|c−a−b|+|c−3|=5+1-c+c-3=3．
【点睛】本题考查了不等式组的解法、三角形的三边关系定理，熟练掌握知识点是解题的关键．
24．（2022秋·山东泰安·七年级东平县实验中学校考阶段练习）等腰三角形一条腰上的中线将三角形的周长分成15和21两部分,求该三角形的腰长和底边的长.
【答案】10,16或14,8
【分析】分腰长与腰长的一半是21和15两种情况，求出腰长，再求出底边，然后利用三角形的任意两边之和大于第三边进行判断即可．
【详解】如图,设AD=CD=x,则AB=2x,
∴AB+AD=3x,BC+CD=BC+x.
若AB+AD=15,则BC+CD=21,可得x=5,
∴腰长AB=10,底边BC=16;
若AB+AD=21,则BC+CD=15,可得x=7,
∴腰长AB=14,底边BC=8.
∴该三角形的腰长和底边的长分别为10,16或14,8.
【点睛】本题考查了三角形的三边关系，等腰三角形的性质，难点在于要分情况讨论并利用三角形的三边关系判定是否能组成三角形．