2025届安徽省阜阳市第九中学九年级数学第一学期开学经典试题【含答案】

这是一份2025届安徽省阜阳市第九中学九年级数学第一学期开学经典试题【含答案】，共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1、（4分）如图，在正方形中，相交于点，分别为上的两点，，，分别交于两点，连，下列结论：①；②；③；④ ，其中正确的是（ ）
A．①②B．①④C．①②④D．①②③④
2、（4分）如图，在边长为的正方形中，点为对角线上一动点，于于，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
3、（4分）正十边形的每一个内角的度数为（ ）
A．B．C．D．
4、（4分）甲、乙二人做某种机械零件，已知甲每小时比乙少做6个，甲做60个所用时间与乙做90个所用时间相等，求甲、乙每小时各做零件多少个．如果设甲每小时做x个，那么所列方程是（ ）
A．B．C．D．
5、（4分）下列命题是假命题的是（ ）
A．直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半
B．三角形三条边的垂直平分线的交点到三角形的三个顶点的距离相等
C．平行四边形是中心对称图形
D．对角线相等的四边形是平行四边形
6、（4分）下列二次根式①，②，③，④，能与合并的是( )
A．①和②B．②和③C．①和④D．③和④
7、（4分）一次函数的图象不经过( )
A．第四象限B．第三象限C．第二象限D．第一象限
8、（4分）如图所示，在矩形纸片中，，，折叠纸片使边与对角线重合，点落在点处，折痕为，则的长为( )
A．B．C．D．
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9、（4分）比较大小：（填“＞”或“＜”或“＝”）．
10、（4分）已知直线y=kx+3经过点A(2，5)和B(m，-2)，则m= ___________．
11、（4分）若分式的值为，则的值为_______．
12、（4分）如图，四边形ABCD是菱形，∠BAD＝60°，AB＝6，对角线AC与BD相交于点O，点E在AC上，若OE＝2，则CE的长为_______
13、（4分）如图，△ABC是等边三角形，点A(-3，0)，点B(3，0)，点D是y轴上的一个动点，连接BD，将线段BD绕点B逆时针旋转60°，得到线段BE，连接DE，得到△BDE，则OE的最小值为______．
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14、（12分）如图，在四边形中，，，，点是的中点．点以每秒1个单位长度的速度从点出发，沿向点运动；同时，点以每秒2个单位长度的速度从点出发，沿向点运动．点停止运动时，点也随之停止运动．求当运动时间为多少秒时，以点，，，为顶点的四边形是平行四边形．
15、（8分）（1）分解因式：a3－2a2b＋ab2；
（2）解方程：x2＋12x＋27＝0
16、（8分）直线L与y＝2x+1的交于点A（2，a），与直线y＝x+2的交于点B（b，1）
（1）求a，b的值；
（2）求直线l的函数表达式；
（3）求直线L、x轴、直线y＝2x+1围成的图形的面积．
17、（10分）市教育局为了解本市中学生参加志愿者活动情况，随机拍查了某区部分八年级学生一学年来参加志愿者活动的次数，并用得到的数据绘制了如下两幅不完整的统计图．
（1）求参加这次调查统计的学生总人数及这个区八年级学生平均每人一学年来参加志愿者活动的次数；
（2）在这次抽样调查中，众数和中位数分别是多少？
（3）如果该区共有八年级学生人，请你估计“活动次数不少于次”的学生人数大约多少人．
18、（10分）如图所示，在△ABC中，点D为BC边上的一点，AD＝12，BD＝16，AB＝20，CD＝1．
（1）试说明AD⊥BC．
（2）求AC的长及△ABC的面积．
（3）判断△ABC是否是直角三角形，并说明理由．
B卷（50分）
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19、（4分）因式分解：2x2﹣2＝_____．
20、（4分）如图，已知图中的每个小方格都是边长为工的小正方形，每个小正方形的顶点称为格点，若与是位似图形，且顶点都在格点上，则位似中心的坐标是______．
21、（4分）点P的坐标为，则点P到x轴的距离是________，点P到y轴的距离是________．
22、（4分）一副常规的直角三角板如图放置，点在的延长线上，，，若，则______.
23、（4分）如图，某校根据学生上学方式的一次抽样调查结果，绘制出一个未完成的扇形统计图，若该校共有学生1500人，则据此估计步行的有_____．
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24、（8分）下面是小东设计的“作矩形”的尺规作图过程，已知：
求作：矩形
作法：如图，
①作线段的垂直平分线角交于点；
②连接并延长，在延长线上截取
③连接
所以四边形即为所求作的矩形
根据小东设计的尺规作图过程
（1）使用直尺和圆规，补全图形：（保留作图痕迹）
（2）完成下边的证明：
证明： ，，
四边形是平行四边形（ ）（填推理的依据）
四边形是矩形（ ）（填推理的依据）
25、（10分）用适当的方法解下列方程:
（1）
（2）
26、（12分）如图，正方形ABCD中，O是对角线AC、BD的交点，过点O作OE⊥OF，分别交AB、BC于E. F.
(1)求证：△OEF是等腰直角三角形。
(2)若AE=4，CF=3，求EF的长。
参考答案与详细解析
一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1、D
【解析】
①易证得△ABE≌△BCF（ASA），则可得结论①正确；
②由△ABE≌△BCF，可得∠FBC＝∠BAE，证得∠BAE＋∠ABF＝90°即可知选项②正确；
③根据△BCD是等腰直角三角形，可得选项③正确；
④证明△OBE≌△OCF，根据正方形的对角线将面积四等分，即可得出选项④正确．
【详解】
解：①∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC，∠ABE＝∠BCF＝90°，
在△ABE和△BCF中，AB＝BC，∠ABE＝∠BCF，BE＝CF，
∴△ABE≌△BCF（SAS），
∴AE＝BF，
故①正确；
②由①知：△ABE≌△BCF，
∴∠FBC＝∠BAE，
∴∠FBC＋∠ABF＝∠BAE＋∠ABF＝90°，
∴AE⊥BF，
故②正确；
③∵四边形ABCD是正方形，
∴BC＝CD，∠BCD＝90°，
∴△BCD是等腰直角三角形，
∴BD＝BC，
∴CE＋CF＝CE＋BE＝BC＝，
故③正确；
④∵四边形ABCD是正方形，
∴OB＝OC，∠OBE＝∠OCF＝45°，
在△OBE和△OCF中，OB＝OC，∠OBE＝∠OCF，BE＝CF，
∴△OBE≌△OCF（SAS），
∴S△OBE＝S△OCF，
∴S四边形OECF＝S△COE＋S△OCF＝S△COE＋S△OBE＝S△OBC＝S正方形ABCD，
故④正确；
故选：D．
此题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质以及等腰直角三角形的性质．注意掌握全等三角形的判定与性质是解此题的关键．
2、B
【解析】
由正方形的性质得BC=CD=4，∠C=90°，∠CBD=∠CDB=45°，再证出四边形四边形MECF是矩形，得出CE=MF=DF，即当点M为BD的中点时EF的值最小.
【详解】
在边长为4cm的正方形ABCD中，BC=CD=4
∠C=90°，∠CBD=∠CDB=45°
于于F
∠MEC=∠MFC=∠MFD=90°
四边形MECF是矩形，△MDF为等腰三角形
CE=MF=DF
设DF=x,则CE=x
CF=CD-DF=4-x
在RT△CEF中，由勾股定理得

=
=
，当且仅当x-2=0时，即x=2时，有最小值0
当且仅当x-2=0时，即x=2时，有最小值
故选B。
本题考查正方形的性质，找好点M的位置是解题关键.
3、C
【解析】
利用正十边形的外角和是360度，并且每个外角都相等，即可求出每个外角的度数；再根据内角与外角的关系可求出正十边形的每个内角的度数．
【详解】
解：∵一个十边形的每个外角都相等，
∴十边形的一个外角为360÷10=36°．
∴每个内角的度数为 180°-36°=144°；
故选：C．
本题主要考查了多边形的内角与外角的关系．多边形的外角性质：多边形的外角和是360度．多边形的内角与它的外角互为邻补角．
4、A
【解析】
甲每小时做x个零件，则乙每小时做(x+6)个零件，根据工作时间=工作总量÷工作效率结合甲做60个所用时间与乙做90个所用时间相等，即可得出关于x的分式方程，此题得解．
【详解】
甲每小时做x个零件，则乙每小时做(x+6)个零件，
依题意，得：，
故选A．
本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
5、D
【解析】
利用直角三角形的性质、三角形的外心的性质、平行四边形的对称性及判定分别判断后即可确定正确的选项．
【详解】
解：A、直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半，正确，是真命题；
B、三角形三条边的垂直平分线的交点到三角形的三个顶点的距离相等，正确，是真命题；
C、平行四边形是中心对称图形，正确，是真命题；
D、对角线互相平分的四边形是平行四边形，故原命题错误，是假命题，
故选：D．
本题考查命题与定理的知识，解题的关键是了解直角三角形的性质、三角形的外心的性质、平行四边形的对称性及判定．
6、C
【解析】
先化简各个二次根式，根据只有同类二次根式才能合并即可得出结果．
【详解】
解：，， ，，其中、与是同类二次根式，能与合并；
故选：C．
本题考查了二次根式的化简和同类二次根式的概念，属于基础题，熟练掌握相关知识是解题的关键．
7、D
【解析】
根据一次函数中k，b的正负即可确定.
【详解】
解：因为，所以函数经过二、三、四象限，不过第一象限.
故选：D
本题考查了一次函数图象，熟练掌握由一次k，b的正负确定其经过的象限是解题的关键.
8、D
【解析】
由题得BD= =5，根据折叠的性质得出△ADG≌△A′DG，继而得A′G=AG，A′D=AD，A′B=BD-A′G，再Rt△A′BG根据勾股定理构建等式求解即可.
【详解】
解：由题得BD= =5，
根据折叠的性质得出：△ADG≌△A′DG，
∴A′G=AG，A′D=AD=3，
A′B=BD-A′G=5-3=2，BG=4-A′G
在Rt△A′BG中，BG2=A′G2+A′B2可得：，
解得A′G=，则AG=，
故选：D．
本题主要考查折叠的性质，由已知能够注意到△ADG≌△A′DG是解决的关键．
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9、
【解析】
试题分析：两个负数比较大小，绝对值越大的数反而越小.-3=-；-2=-，根据1812可得：--.
考点：二次根式的大小比较
10、-1
【解析】
由题意将点A(2，1)和B(m，-2)，代入y=kx+3，即可求解得到m的值．
【详解】
解：∵直线y=kx+3经过点A(2，1)和B(m，-2)，
∴，解得，
∴．
故答案为：-1．
本题考查一次函数图象性质，注意掌握点过一次函数图象即有点坐标满足一次函数解析式．
11、
【解析】
分式的值为1的条件是：（1）分子=1；（2）分母≠1．两个条件需同时具备，缺一不可．据此可以解答本题．
【详解】
由题意可得3-2x=1，
解得x=，
又∵2+3x≠1，
解得x=.
此题考查分式的值为零的条件，解题关键在于掌握运算法则
12、5或
【解析】
分析：由菱形的性质证出△ABD是等边三角形，得出BD=AB=6，由勾股定理得出，即可得出答案．
详解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=AD=6，AC⊥BD，OB=OD，OA=OC，
∵
∴△ABD是等边三角形，
∴BD=AB=6，
∴
∴
∴
∵点E在AC上,
∴当E在点O左边时
当点E在点O右边时
∴或；
故答案为或.
点睛：考查菱形的性质，注意分类讨论思想在数学中的应用，不要漏解.
13、
【解析】
取BC中点G，连接DG，由“SAS”可证△BGD≌△BOE，可得OE=DG，当DG⊥OC时，DG的值最小，由含30°角的直角三角形的性质即可求出DG的值，即OE最小值．
【详解】
如图，取BC中点G，连接DG，OE，
∵△ABC是等边三角形，点A(-3，0)，点B(3，0)，
∴AO=BO=3，∠BCO=30°，∠ABC=60°，
∴BC=AB=6，
∵点G是BC中点，
∴CG=BG=OA=OB=3，
∵将线段BD绕点B逆时针旋转60°，
∴∠DBE=60°，BD=BE，
∴∠ABC=∠DBE，
∴∠CBD=∠ABE，且BE=BD，BG=OB=3，
∴△BGD≌△BOE(SAS)，
∴OE=DG，
∴当DG⊥OC时，DG的值最小，即OE的值最小．
∵∠BCO=30°，DG⊥OC
∴DG=CG=，
∴OE的最小值为.
故答案为
本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，旋转的性质，添加恰当的辅助线构造全等三角形是本题的关键．
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14、t为2或秒
【解析】
由已知以点P，Q，E，D为顶点的四边形是平行四边形有两种情况，（1）当Q运动到E和C之间，（2）当Q运动到E和B之间，根据平行四边形的判定，由AD∥BC，所以当PD=QE时为平行四边形．根据此设运动时间为t，列出关于t的方程求解．
【详解】
解：由题意可知，AP=t，CQ=2t，CE=BC=8
∵AD∥BC，
∴当PD=EQ时，以点P，Q，E，D为顶点的四边形是平行四边形．
①当2t＜8，即t＜4时，点Q在C，E之间，如图甲．
此时，PD=AD-AP=6-t，EQ=CE-CQ=8-2t，
由6-t=8-2t，得t=2；
②当8<2t<16且t<6，即4此时，PD=AD-AP=6-t，EQ=CQ-CE=2t-8，
由6-t=2t-8，得t=
∴当运动时间t为2或秒时，以点P，Q，E，D为顶点的四边形是平行四边形．
此题主要考查了梯形及平行四边形的性质，关键是由已知明确有两种情况，不能漏解．
15、a(a-b)2，x=-3或x=-9.
【解析】
（1）先提取公因式，在运用公式法因式分解即可。
（2）运用因式分解法，即可解方程。
【详解】
解：（1）a3－2a2b＋ab2
= a(a2－2ab＋b2)
=a(a-b)2
(2) x2＋12x＋27＝0
(x+3)(x+9)=27
即：x+3=0或x+9=0
解得：x=-3或x=-9
本题考查了因式分解及其应用，特别是用因式分解解一元二次方程是常用的方法。
16、（1）a＝5，b＝﹣1；（2）y＝x+；（3）直线L、x轴、直线y＝2x+1围成的图形的面积为．
【解析】
（1）把A,B的坐标代入解析式即可解答
（2）设直线L的解析式为：y＝kx+b，代入A,B的坐标即可
（3）求出直线L与x轴交于（﹣ ，0），直线y＝2x+1与x轴交于（﹣ ，0），即可根据三角形面积公式进行解答
【详解】
（1）把A（2，a）代入y＝2x+1得a＝2×2+1＝5，
故a＝5，
把B（b，1）代入y＝x+2得，1＝b+2，
∴b＝﹣1，
（2）设直线L的解析式为：y＝kx+b，
把A（2，5），B（﹣1，1）代入得 ，
解得： ，
∴直线l的函数表达式为y＝x+ ；
（3）∵直线L与x轴交于（﹣ ，0），直线y＝2x+1与x轴交于（﹣ ，0），
∴直线L、x轴、直线y＝2x+1围成的图形的面积＝×（﹣+）×5＝．
此题考查一次函数中的直线位置关系，解题关键在于把已知点代入解析式
17、（1）1000,4.2；（2）众数是次，中位数是次；（3）1950
【解析】
（1）用350÷35%即可求出参加这次调查的学生总人数；再利用平均数即可求出这个区八年级学生平均每人一年来参加志愿者活动的次数；
（2）根据中位数、众数的定义解答即可；
(3)先求出这次调查样本中参加活动次数不少于次的概率,然后再乘以总体即可．
【详解】
解：（1）（人）．
次人数为（人）；
平均次数为：（次）．
（2）众数是次，中位数是次．
（3）（人）．
本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用。读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．
18、（1）见解析；（2）15，150；（3）是
【解析】
试题分析：（1）根据勾股定理的逆定理即可判断；
（2）先根据勾股定理求得斜边的长，再根据直角三角形的面积公式即可求得结果；
（3）根据勾股定理的逆定理即可判断.
（1）
∴是直角三角形
∴即；
（2）∵，且点为边上的一点
∴
∴由勾股定理得：
∴；
（3）是直角三角形
，
∴是直角三角形.
考点：本题考查的是勾股定理，直角三角形的面积公式，勾股定理的逆定理
点评：解答本题的根据是熟练掌握勾股定理的逆定理：如果三角形有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个是直角三角形.
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19、
【解析】
首先提公因式2，再利用平方差进行二次分解．
【详解】
原式＝2（x2﹣1）＝2（x+1）（x﹣1）．
故答案为2（x+1）（x﹣1）．
此题主要考查了提公因式法与公式法分解因式，要求灵活使用各种方法对多项式进行因式分解，一般来说，如果可以先提取公因式的要先提取公因式，再考虑运用公式法分解．
20、（8，0）
【解析】
连接任意两对对应点，看连线的交点为那一点即为位似中心．
【详解】
解：连接BB1，A1A，易得交点为（8，0）．
故答案为：（8，0）．
用到的知识点为：位似中心为位似图形上任意两对对应点连线的交点．
21、2 1
【解析】
根据在平面直角坐标系中，任何一点到x轴的距离等于这一点纵坐标的绝对值，到y轴的距离等于这一点横坐标的绝对值，即可解答本题．
【详解】
解：点P的坐标为，则点P到x轴的距离是2，点P到y轴的距离是1．
故答案为2；1．
本题考查在平面直角坐标系中，点到坐标轴的距离，比较简单．
22、
【解析】
作BM⊥FC于M,CN⊥AB于N，根据矩形的性质得到BM=CN,再根据直角三角形的性质求出AB，再根据勾股定理求出BC，结合图形即可求解.
【详解】
作BM⊥FC于M,CN⊥AB于N，
∵AB∥CF,
∴四边形BMCN是矩形，∠BCM=∠ABC=30°，
∴BM=CN,
∵∠ACB=90°，∠ABC=30°，
∴AB=2AC=4，
由勾股定理得BC=
∴BM=CN=BC=
由勾股定理得CM=
∵∠EDF=45°，∴DM=BM=
∴CD=CM-DM=
此题主要考查矩形的判定与性质，解题的关键是熟知勾股定理、含30°的直角三角形及等腰直角三角形的性质.
23、1
【解析】
∵骑车的学生所占的百分比是×100%=35%，
∴步行的学生所占的百分比是1﹣10%﹣15%﹣35%=40%，
∴若该校共有学生1500人，则据此估计步行的有1500×40%=1（人），
故答案为1．
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24、（1）见解析；（2）OC，对角线互相平分的四边形是平行四边形；一角为直角的平行四边形是矩形.
【解析】
（1）根据要求作出图形即可．
（2）根据对角线互相平分得到四边形ABCD是平行四边形，因为∠ABC=90°，且四边形ABCD是平行四边形，则可判定四边形ABCD矩形．
【详解】
解：（1）如图，矩形ABCD即为所求．
（2）∵OA=OC，OD=OB，
∴四边形ABCD是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形），
∵∠ABC=90°，四边形ABCD是矩形（有一个角是直角的平行四边形是矩形）
故答案为：OC，对角线互相平分的四边形是平行四边形，有一个角是直角的平行四边形是矩形．
本题考查作图-复杂作图、平行四边形的判定、矩形的判定等知识，解题的关键是熟练掌握尺规作图、平行四边形的判定、矩形的判定．
25、（1）；（2）.
【解析】
（1）首先分解因式，再用十字相乘法计算；
（2）首先转化形式，然后直接采用平方差公式计算.
【详解】
原方程可转化为：
原方程可转化为：
此题主要考查一元二次方程的解法，熟练运用，即可解题.
26、（1）见解析；（2）5.
【解析】
（1）根据正方形的性质可得∠ABO=∠ACF=45°，OB=OC，∠BOC=90°，再根据同角的余角相等求出∠EOB=∠FOC，然后利用“角边角”证明△BEO和△CFO全等，根据全等三角形对应边相等可得OE=OF，从而得证；
（2）根据全等三角形对应边相等可得BE=CF，再根据正方形的四条边都相等求出AE=BF，再利用勾股定理列式进行计算即可得解．
【详解】
(1)证明：∵四边形ABCD为正方形，
∴∠ABO=∠ACF=45∘,OB=OC,∠BOC=90∘，
∴∠FOC+∠BOF=90∘，
又∵OE⊥OF，
∴∠EOF=90∘，
∴∠EOB+∠BOF=90∘，
∴∠EOB=∠FOC，
在△BEO和△CFO中,
，
∴△BEO≌△CFO(ASA)，
∴OE=OF，
又∵∠EOF=90∘，
∴△DEF是等腰直角三角形；
(2)解∵△BEO≌△CFO(已证)，
∴BE=CF=3，
又∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC，
∴AB−BE=BC−CF，
即AE=BF=4，
在Rt△BEF中,EF= = =5.
此题考查全等三角形的判定与性质，正方形的性质，解题关键在于得到∠ABO=∠ACF=45°，OB=OC，∠BOC=90°
题号
一
二
三
四
五
总分
得分