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数学九年级上册1.3 一元二次方程的根与系数的关系课时练习
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这是一份数学九年级上册1.3 一元二次方程的根与系数的关系课时练习，共42页。
知识点
一元二次方程的根与系数的关系
◆1、若二次项系数为1，常用以下关系：x1，x2是方程x2+px+q＝0的两根时，x1+x2＝﹣p，x1x2＝q，反过来可得p＝﹣（x1+x2），q＝x1x2，前者是已知系数确定根的相关问题，后者是已知两根确定方程中未知系数．
◆2、若二次项系数不为1，则常用以下关系：x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，
x1+x2＝，x1x2＝，反过来也成立，即=（x1+x2），ca=x1x2．
◆3、常用根与系数的关系解决以下问题：
①不解方程，判断两个数是不是一元二次方程的两个根．
②已知方程及方程的一个根，求另一个根及未知数．
③不解方程求关于根的式子的值，如求：x12+x22等等．
④判断两根的符号．
⑤求作新方程．
⑥由给出的两根满足的条件，确定字母的取值．这类问题比较综合，解题时除了利用根与系数的关系，同时还要考虑a≠0，Δ≥0这两个前提条件．
题型一 已知一元二次方程的一个根求另一根或字母的值
【例题1】（2023•乌鲁木齐模拟）关于x的一元二次方程x2﹣ax﹣3＝0的一个根为1，则另一个根为（ ）
A．2B．﹣2C．3D．﹣3
【变式1-1】（2023•阿克苏市二模）若x＝2是方程x2﹣x+m＝0的一个根，则此方程的另一个根是（ ）
A．﹣1B．0C．1D．2
【变式1-2】关于x的一元二次方程2x2+kx﹣4＝0的一个根x1＝﹣2，则方程的另一个根x2和k的值
为（ ）
A．x2＝1，k＝2B．x2＝2，k＝2C．x2＝1，k＝﹣1D．x2＝2，k＝﹣1
【变式1-3】（2023春•东莞市校级月考）如果4是关于x的一元二次方程x2﹣6x+k＝0的一个根，则方程的另一个根是（ ）
A．2B．3C．4D．5
【变式1-4】（2023•麒麟区校级模拟）已知x＝﹣1是关于x的一元二次方程x2+kx﹣2＝0的一个根，则k的值和方程的另一个根分别为（ ）
A．1和2B．﹣1和2C．2和﹣1D．﹣2和﹣1
【变式1-5】（2022秋•镇江期中）在关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0中，a、b、c是有理数，且方程的一个根是﹣6+10，则方程的另一个根是 ．
【变式1-6】已知关于x的一元二次方程x2﹣（k+1）x﹣6＝0的一个根为2，求k的值及另一个根．
题型二 利用根与系数的关系直接求代数式的值
【例题2】（2023•河北区三模）方程x2﹣2x﹣1＝0的根为x1x2，则x1x2﹣（x1+x2）的值为（ ）
A．22B．1C．﹣3D．2−2
【变式2-1】（2023•亭湖区校级三模）已知x1、x2是一元二次方程3x2+2x﹣6＝0的两根，则x1﹣x1x2+x2的值是 ．
【变式2-2】（2023春•庐阳区校级期中）已知一元二次方程x2+4x﹣1＝0的两根分别为m，n，则m+n+mn的值是（ ）
A．﹣5B．﹣3C．3D．5
【变式2-3】（2023•巨野县三模）设方程x2﹣2023x﹣1＝0的两个根分别为x1、x2，则x1+x2﹣x1x2的值是 ．
【变式2-4】（2023•六盘水二模）已知x1、x2是一元二次方程x2+4x+3＝0的两根，则x1+x2+2x1x2的值
为（ ）
A．﹣2B．﹣1C．1D．2
【变式2-5】（2023•江夏区校级模拟）已知m、n是一元二次方程x2+4x﹣1＝0的两根，则m+5nmn−4m的值是（ ）
A．4B．﹣2C．2D．﹣4
题型三 利用根与系数的关系变形求代数式的值
【例题3】（2023•耿马县三模）已知一元二次方程x2﹣5x﹣6＝0的两根分别为a，b，则1a+1b的值为（ ）
A．−16B．16C．56D．−56
【变式3-1】（2023•鄄城县二模）若一元二次方程x2﹣3x+2＝0的两根分别为x1、x2，则x12+x22= ．
【变式3-2】（2023•安陆市二模）已知a，b是方程x2﹣x﹣2＝0的两个根，则（a﹣1）（b﹣1）的值是 ．
【变式3-3】（2023•兴庆区校级一模）已知m，n是方程x2+2x﹣6＝0的两根，则2m2+mn+4m的值为（ ）
A．0B．6C．2D．4
【变式3-4】（2023春•江岸区校级月考）设α、β是方程x2+2019x﹣2＝0的两根，则（α2+2022α﹣1）（β2+2022β﹣1）的值为（ ）
A．6076B．﹣6074C．6040D．﹣6040
【变式3-5】已知x1，x2是方程x2﹣3x﹣4＝0的两个实数根，求下列各式的值．
（1）（x12−x22）2；
（2）x13x2+x1x23；
（3）x13+13x2﹣1；
（4）|x1﹣x2|．
【变式3-6】若一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两实数根为x1、x2，则两根与方程系数之间有如下关系：x1+x2=−ba，x1x2=ca．该结论称为一元二次方程根与系数的关系，这个关系经常用来求一些代数式的值，请完成下列各题：
（1）已知：x1、x2是方程x2﹣4x+2＝0的两个实数根，求（x1﹣1）（x2﹣1）值；
（2）若m、n是方程x2﹣x﹣2016＝0的两个实数根，求代数式m2+2m+3n的值．
题型四 利用根与系数的关系降次求代数式的值
【例题4】已知x1，x2是方程x2﹣x﹣9＝0两个实数根，代数式x13+7x22+3x2﹣66的值为 ．
【变式4-1】（2023•昆山市模拟）若x1，x2是方程x2＝2x+2023的两个实数根，则代数式x13−2x12+2023x2的值为 ．
【变式4-2】已知a，b是方程x2﹣x﹣2＝0的两个实数根，则代数式2a3+b2+3a2﹣9a﹣b﹣1的
值为 ．
【变式4-3】（2023•莱芜区二模）若m，n是一元二次方程x2+2x﹣1＝0的两个实数根，则m3+m2n2m−1−mn=（ ）
A．﹣3B．−2C．2D．3
【变式4-4】（2023•武昌区一模）若a，b是方程x2﹣x﹣1＝0的解，则a5+b5的值是（ ）
A．9B．10C．11D．22
【变式4-5】若x1，x2与是方程x2+x﹣3＝0的两个实数根，求x13﹣4x22+22的值．
【变式4-6】若一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两实数根为x1、x2，则两根与方程系数之间有如下关系：x1+x2=−ba，x1x2=ca．这一结论称为一元二次方程根与系数关系，它的应用很多，请完成下列各题：
（1）填空：方程x2﹣5x+3＝0的两根为x1与x2，则x1+x2＝ ，x1x2＝ ．
（2）应用：求一些代数式的值．
①已知：x1、x2是方程x2﹣4x+2＝0的两个实数根，求（x1﹣1）（x2﹣1）的值；
②如果互异实数a，b满足方程a2﹣a﹣5＝0，b2﹣b﹣5＝0，求a3+6b﹣5的值．
题型五 由两根满足的关系式求字母的值
【例题5】（2023•乐山）若关于x的一元二次方程x2﹣8x+m＝0两根为x1、x2，且x1＝3x2，则m的值为（ ）
A．4B．8C．12D．16
【变式5-1】（2023•青山区一模）已知关于x的方程x2+4x﹣a＝0有两个实数根，且2x1﹣x2＝7，则
a＝ ．
【变式5-2】（2023•巴州区校级模拟）已知关于x的一元二次方程x2+2（m+2）x+m2﹣1＝0．两实数根分别为x1、x2，且满足x12+x22=58，则实数m的值为 ．
【变式5-3】（2023春•蜀山区校级期中）已知关于x的一元二次方程x2+（2k﹣1）x﹣k﹣1＝0．
（1）求证：无论k取何值，此方程总有两个不相等的实数根；
（2）若方程有两个实数根x1、x2，且x1+x2﹣4x1x2＝2，求k的值．
【变式5-4】（2023•随州一模）关于x的一元二次方程（m﹣2）x2﹣2x+1＝0有两个实数根x1，x2．
（1）求m的取值范围；
（2）若（x1+1）（x2+1）＝﹣2，求m的值．
【变式5-5】已知x1，x2是关于x的一元二次方程x2﹣2（m+1）x+m2+5＝0的两个实数根．
（1）求：m的取值范围；
（2）若（x1﹣1）（x2﹣1）＝28，求m的值；
（3）已知等腰三角形ABC的一边长为7，若x1，x2恰好是三角形ABC另外两边的边长，求这个三角形的周长．
【变式5-6】已知：平行四边形ABCD的两条边AB，AD的长是关于x的方程2x2﹣2mx+m−12=0的两个实数根．
（1）当m为何值时，四边形ABCD是菱形？求出这时菱形的边长；
（2）若AB＝2，求平行四边形ABCD的周长．
题型六 已知两根求一元二次方程
【例题六】 （2022秋•固安县期末）已知一元二次方程的两根分别为x1＝﹣2，x2＝﹣3，则这个方程可以为（ ）
A．（x﹣1）（x+2）＝﹣3×（﹣1）B．（x+1）（x﹣3）＝﹣1×（﹣6）
C．12（x+2）（x+3）＝0D．12（x﹣2）（x﹣3）＝0
【变式6-1】以2和﹣7为根的一元二次方程是（ ）
A．x2﹣x﹣9＝0B．x2+5x+14＝0
C．x2﹣10x﹣14＝0D．x2+5x﹣14＝0
【变式6-2】（2022秋•昭阳区校级月考）已知实数x1，x2满足x1+x2＝3，x1x2＝﹣4，则以x1，x2为根的一元二次方程是（ ）
A．x2﹣3x﹣4＝0B．x2﹣3x+4＝0C．x2+3x﹣4＝0D．x2+3x+4＝0
【变式6-3】（2022秋•泰兴市期中）若关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的解是x1＝2，x2＝﹣3，则关于y的方程a（y﹣1）2+b（y﹣1）+c＝0的解为（ ）
A．﹣2B．3C．﹣2或3D．以上都不对
【变式6-4】若关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的解是x1＝1，x2＝﹣3，则关于y的一元二次方程a（y+1）2+b（y+1）+c＝0的解是（ ）
A．y1＝2，y2＝﹣4B．y1＝0，y2＝﹣4C．y1＝3，y2＝﹣3D．y1＝1，y2＝﹣3
【变式6-5】在解一元二次方程x2+px+q＝0时，甲看错了一次项系数，得出的两个根分别为﹣9，﹣1；乙看错了常数项，得出的两个根分别为8，2，则这个方程为 ．
【变式6-6】若x1+x2＝3，x12+x22＝5，则以x1，x2为根的一元二次方程是 ．
题型七 根与系数的关系与新定义运算
【例题7】（2022春•环翠区期末）新定义运算：a※b＝a2﹣ab+b，例如2※1＝22﹣2×1+1＝3，则方程x※2＝5两根的平方和为（ ）
A．4B．8C．10D．不存在
【变式7-1】（2022秋•石阡县月考）对于任意实数a，b，我们定义新运算“*”：a*b＝a2+2ab﹣b2，例如：3*5＝32+2×3×5﹣52＝14．若m，n是方程（x+2）*3＝0的两个实数根，则1m+1n的值为（ ）
A．107B．﹣3C．17D．−107
【变式7-2】（2022春•河口区期末）对于任意实数a，b，我们定义新运算“*”：a*b＝a2+2ab﹣b2，例如3*5＝32+2×3×5﹣52＝14．若m，n是方程（x+2）*3＝0的两根，则nm+mn的值为 ．
【变式7-3】对于实数a，b，定义运算“*”：a*b=a2−ab(a≥b)b−aa(a＜b)例如3*1，因为3＞1，所以3*1＝32﹣3×1＝6．若x1，x2是一元二次方程x2﹣4＝0的两个根，则x1*x2＝ ．
【变式7-4】对于实数a，b，定义新运算“*”：a*b=a2−ab(a≥b)ab−b2(a＜b)，
例如：4*2，因为4＞2，所以4*2＝42﹣4×2＝8
（1）求（﹣5）*（﹣3）的值；
（2）若x1，x2是元二次方程x2﹣5x+6＝0的两个根，求x1*x2的值．
【变式7-5】对于实数a，b，定义新运算“*”：a*b=a2−ab(a≥b)ab−b2(a＜b)，例如：4*2，因为4＞2，所以4*2＝42﹣4×2＝8．
（1）求（﹣7）*（﹣2）的值；
（2）若x1，x2是一元二次方程x2﹣5x﹣6＝0的两个根，求x1*x2的值．
声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2023/7/1 21:39:51；用户：MARY；邮箱：13487027194；学号：38456627
【变式7-6】对于实数a，b，定义新运算a*b=a+b−ab(a≥b)2ab−a−b(a＜b)例如：5*3，∵5＞3，
∴5*3＝5+3﹣5x3＝﹣7．
（1）求（﹣6）*（﹣3）的值；
（2）若x1，x2是一元二次方程x2﹣mx﹣6＝0的两个实数根，x1*x2＝4，求m的值．
（苏科版）九年级上册数学《第1章 一元二次方程》
1.3 一元二次方程的根与系数的关系
知识点
一元二次方程的根与系数的关系
◆1、若二次项系数为1，常用以下关系：x1，x2是方程x2+px+q＝0的两根时，x1+x2＝﹣p，x1x2＝q，反过来可得p＝﹣（x1+x2），q＝x1x2，前者是已知系数确定根的相关问题，后者是已知两根确定方程中未知系数．
◆2、若二次项系数不为1，则常用以下关系：x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，
x1+x2＝，x1x2＝，反过来也成立，即=（x1+x2），ca=x1x2．
◆3、常用根与系数的关系解决以下问题：
①不解方程，判断两个数是不是一元二次方程的两个根．
②已知方程及方程的一个根，求另一个根及未知数．
③不解方程求关于根的式子的值，如求：x12+x22等等．
④判断两根的符号．
⑤求作新方程．
⑥由给出的两根满足的条件，确定字母的取值．这类问题比较综合，解题时除了利用根与系数的关系，同时还要考虑a≠0，Δ≥0这两个前提条件．
题型一 已知一元二次方程的一个根求另一根或字母的值
【例题1】（2023•乌鲁木齐模拟）关于x的一元二次方程x2﹣ax﹣3＝0的一个根为1，则另一个根为（ ）
A．2B．﹣2C．3D．﹣3
【分析】设方程的另一个根为t，则利用根与系数的关系得1•t＝﹣3，然后解一次方程即可．
【解答】解：设方程的另一个根为t，
根据根与系数的关系得1•t＝﹣3，
解得t＝﹣3，
所以方程的另一个根为﹣3．
故选：D．
【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2=−ba，x1x2=ca．
【变式1-1】（2023•阿克苏市二模）若x＝2是方程x2﹣x+m＝0的一个根，则此方程的另一个根是（ ）
A．﹣1B．0C．1D．2
【分析】根据根与系数的关系即可求出答案．
【解答】解：设x2﹣x+m＝0另一个根是α，
∴2+α＝1，
∴α＝﹣1，
故选：A．
【点评】本题考查一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是熟练运用一元二次方程根与系数的关系，本题属于基础题型．
【变式1-2】关于x的一元二次方程2x2+kx﹣4＝0的一个根x1＝﹣2，则方程的另一个根x2和k的值
为（ ）
A．x2＝1，k＝2B．x2＝2，k＝2C．x2＝1，k＝﹣1D．x2＝2，k＝﹣1
【分析】利用根与系数的关系列出关系式，把一个根代入计算即可求出所求．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程2x2+kx﹣4＝0的一个根x1＝﹣2，
∴x1x2＝﹣2x2＝﹣2，x1+x2＝﹣2+x2=−k2，
解得：x2＝1，k＝2，
则方程的另一个根x2和k的值为x2＝1，k＝2．
故选：A．
【点评】此题考查了一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握根与系数的关系是解本题的关键．
【变式1-3】（2023春•东莞市校级月考）如果4是关于x的一元二次方程x2﹣6x+k＝0的一个根，则方程的另一个根是（ ）
A．2B．3C．4D．5
【分析】设方程的另一个根为t，利用根与系数的关系得5+t＝6，然后解关于t的方程即可．
【解答】解：设方程的另一个根为t，
根据根与系数的关系得4+t＝6，
解得t＝2，
所以方程的另一个根为2．
故选：A．
【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2=−ba，x1x2=ca．
【变式1-4】（2023•麒麟区校级模拟）已知x＝﹣1是关于x的一元二次方程x2+kx﹣2＝0的一个根，则k的值和方程的另一个根分别为（ ）
A．1和2B．﹣1和2C．2和﹣1D．﹣2和﹣1
【分析】把x＝﹣1代入方程计算即可求出k的值，再把k的值代入方程，求出另一个根即可．
【解答】解：把x＝﹣1代入方程得：1﹣k﹣2＝0，
解得：k＝﹣1，
∴原方程可化为x2﹣x﹣2＝0，
设方程的另一个根为t，则﹣1+t＝1，
∴t＝2．
故选：B．
【点评】此题考查了一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程的解，熟知方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值是解题的关键．
【变式1-5】（2022秋•镇江期中）在关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0中，a、b、c是有理数，且方程的一个根是﹣6+10，则方程的另一个根是 ．
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系可知两根的和和两根的积需是有理数，据此即可求得方程的另一个根是﹣6−10．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0中，a、b、c是有理数，
∴−ba、ca是有理数，
∵方程的一个根是﹣6+10，
∴满足题意的方程的另一个根是﹣6−10，
故答案为：﹣6−10．
【点评】本题考查了一元二次方程根与系数的关系：x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2=−ba，x1•x2=ca．
【变式1-6】已知关于x的一元二次方程x2﹣（k+1）x﹣6＝0的一个根为2，求k的值及另一个根．
【分析】由于一根为2，把x＝2代入方程即可求得k的值．然后根据两根之积即可求得另一根．
【解答】解：∵方程x2﹣（k+1）x﹣6＝0的一个根为2，
∴22﹣2（k+1）﹣6＝0，
解得k＝﹣2，
设另一根为x，
∵2x＝﹣6，
∴x＝﹣3，
∴k＝﹣2，另一根为﹣3．
【点评】考查了一元二次方程的解的知识，解题时可利用根与系数的关系使问题简化，难度不大．
题型二 利用根与系数的关系直接求代数式的值
【例题2】（2023•河北区三模）方程x2﹣2x﹣1＝0的根为x1x2，则x1x2﹣（x1+x2）的值为（ ）
A．22B．1C．﹣3D．2−2
【分析】利用根与系数的关系求出两根之和与两根之积，再代入计算即可求出值．
【解答】解：∵方程x2﹣2x﹣1＝0的两个根为x1，x2，
∴x1+x2＝2，x1x2＝﹣1，
则原式＝﹣1﹣2＝﹣3．
故选：C．
【点评】此题考查了根与系数的关系，熟练掌握根与系数的关系是解本题的关键．
【变式2-1】（2023•亭湖区校级三模）已知x1、x2是一元二次方程3x2+2x﹣6＝0的两根，则x1﹣x1x2+x2的值是 ．
【分析】根据一元二次方程根与系数之间的关系得出两根之和，两根之积，再代值计算即可．
【解答】解：∵x1，x2是一元二次方程3x2+2x﹣6＝0的两个根，
∴x1+x2=−23，x1x2＝﹣2，
∴x1﹣x1 x2+x2＝（x1+x2）﹣x1x2=−23+2=43；
故答案为：43．
【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，则x1+x2=−ba，x1x2=ca．
【变式2-2】（2023春•庐阳区校级期中）已知一元二次方程x2+4x﹣1＝0的两根分别为m，n，则m+n+mn的值是（ ）
A．﹣5B．﹣3C．3D．5
【分析】根据一元二次方程根与系数关系即可求解．
【解答】解：∵一元二次方程x2+4x﹣1＝0的两根分别为m，n，
∴m+n＝﹣4，mn＝﹣1，
∴m+n+mn＝﹣5．
故选：A．
【点评】此题考查了一元二次方程根与系数关系和代数式的求值，熟练掌握一元二次方程根与系数关系是解题的关键．
【变式2-3】（2023•巨野县三模）设方程x2﹣2023x﹣1＝0的两个根分别为x1、x2，则x1+x2﹣x1x2的值是 ．
【分析】先根据根与系数的关系可求x1+x2＝2023，x1x2＝﹣1，再把x1+x2，x1x2的值整体代入所求代数式计算即可．
【解答】解：∵方程x2﹣2023x﹣1＝0的两个根分别为x1、x2，
∴x1+x2＝2023，x1x2＝﹣1，
∴x1+x2﹣x1x2＝2023+1＝2024．
故答案是：2024．
【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与系数的关系：若方程的两根为x1、x2，则x1+x2=−ba，x1•x2=ca．
【变式2-4】（2023•六盘水二模）已知x1、x2是一元二次方程x2+4x+3＝0的两根，则x1+x2+2x1x2的值为（ ）
A．﹣2B．﹣1C．1D．2
【分析】利用根与系数的关系得到x1+x2＝﹣4，x1x2＝3，然后利用整体代入的方法计算x1+x2+2x1x2的值．
【解答】解：根据题意得：x1+x2＝﹣4，x1x2＝3，
所以x1+x2+2x1x2＝﹣4+2×3＝2．
故选：D．
【点评】本题考查一元二次方程根与系数的关系：若x1、x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2=−ba，x1x2=ca．
【变式2-5】（2023•江夏区校级模拟）已知m、n是一元二次方程x2+4x﹣1＝0的两根，则m+5nmn−4m的值是（ ）
A．4B．﹣2C．2D．﹣4
【分析】先通分，再进行同分母的减法运算得到原式=m+nmn，接着根据根与系数的关系得到m+n＝﹣4，mn＝﹣1，然后利用整体代入的方法计算．
【解答】解：m+5nmn−4m
=m+5nmn−4nmn
=m+5n−4nmn
=m+nmn，
∵m、n是一元二次方程x2+4x﹣1＝0的两根，
∴m+n＝﹣4，mn＝﹣1，
∴m+5nmn−4m=−4−1=4．
故选：A．
【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根，则x1+x2=−ba，x1x2=ca．
题型三 利用根与系数的关系变形求代数式的值
【例题3】（2023•耿马县三模）已知一元二次方程x2﹣5x﹣6＝0的两根分别为a，b，则1a+1b的值为（ ）
A．−16B．16C．56D．−56
【分析】利用根与系数的关系求出a+b与ab的值，原式通分并利用同分母分式的加法法则计算，将各自的值代入计算即可求出值．
【解答】解：∵一元二次方程x2﹣5x﹣6＝0的两根分别为a，b，
∴a+b＝5，ab＝﹣6，
则原式=a+bab=5−6=−56，
故选：D．
【点评】此题考查了根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解本题的关键．
【变式3-1】（2023•鄄城县二模）若一元二次方程x2﹣3x+2＝0的两根分别为x1、x2，则x12+x22= ．
【分析】先根据根与系数的关系计算x1+x2，x1•x2的值，由x12+x22=（x1+x2）2﹣2x1x2，可把x1+x2，x1•x2的值代入求值即可．
【解答】解：根据题意可得，x1+x2＝3，x1x2＝2，
∵x12+x22=（x1+x2）2﹣2x1x2，
∴x12+x22=32﹣2×2＝5．
故答案为：5．
【点评】此题主要考查了根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．
【变式3-2】（2023•安陆市二模）已知a，b是方程x2﹣x﹣2＝0的两个根，则（a﹣1）（b﹣1）的值是 ．
【分析】利用根与系数的关系，可得出a+b＝1，ab＝﹣2，再将其代入（a﹣1）（b﹣1）＝ab﹣（a+b）+1中，即可求出结论．
【解答】解：∵a，b是方程x2﹣x﹣2＝0的两个根，
∴a+b＝1，ab＝﹣2，
∴（a﹣1）（b﹣1）＝ab﹣（a+b）+1＝﹣2﹣1+1＝﹣2．
故答案为：﹣2．
【点评】本题考查了根与系数的关系，牢记“一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根之和等于−ba，两根之积等于ca”是解题的关键．
【变式3-3】（2023•兴庆区校级一模）已知m，n是方程x2+2x﹣6＝0的两根，则2m2+mn+4m的值为（ ）
A．0B．6C．2D．4
【分析】根据一元二次方程的解的定义和一元二次方程根与系数的关系，得出m2+2m＝6，mn＝﹣6，整体代入求值即可得到答案．
【解答】解：∵m，n是方程x2+2x﹣6＝0的两根，
∴m2+2m﹣6＝0，mn=ca=−6，
∴m2+2m＝6，
∴2m2+mn+4m＝2（m2+2m）+mn＝2×6+（﹣6）＝6．
故选：B．
【点评】本题考查了一元二次方程的解的定义，一元二次方程根与系数的关系，代数式求值，解题关键是熟练掌握一元二次方程根与系数的关系：x1+x2=−ba，x1x2=ca．
【变式3-4】（2023春•江岸区校级月考）设α、β是方程x2+2019x﹣2＝0的两根，则（α2+2022α﹣1）（β2+2022β﹣1）的值为（ ）
A．6076B．﹣6074C．6040D．﹣6040
【分析】根据一元二次方程的解以及根与系数的关系即可得出α2+2019α﹣2＝0，β2+2019β﹣2＝0，α+β＝﹣2019，αβ＝﹣2，进而得出α2＝2﹣2019α，β2＝2﹣2019β，然后代入（α2+2022α﹣1）（β2+2022β﹣1）计算即可．
【解答】解：∵α、β是方程x2+2019x﹣2＝0的两根，
∴α2+2019α﹣2＝0，β2+2019β﹣2＝0，α+β＝﹣2019，αβ＝﹣2，
∴α2＝2﹣2019α，β2＝2﹣2019β，
∴（α2+2022α﹣1）（β2+2022β﹣1）
＝（2﹣2019α+2022α﹣1）（2﹣2019β+2022β﹣1）
＝（1+3α）（1+3β）
＝1+3（α+β）+9αβ
＝1+3×（﹣2019）+9×（﹣2）
＝﹣6074．
故选：B．
【点评】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系以及一元二次方程的解，掌握一元二次方程的根与系数的关系是解题的关键．
【变式3-5】已知x1，x2是方程x2﹣3x﹣4＝0的两个实数根，求下列各式的值．
（1）（x12−x22）2；
（2）x13x2+x1x23；
（3）x13+13x2﹣1；
（4）|x1﹣x2|．
【分析】已知x1+x2＝3，x1x2＝﹣4，考虑将待求式转化为只含有（x1+x2）和x1x2的形式．
【解答】解：由根与系数的关系，得x1+x2＝3，x1x2＝﹣4，而且x12=3x1+4．
（1）（x12−x22）2
＝（x1+x2）2（x1﹣x2）2
＝32[（x1+x2）2﹣4x1x2]
＝9×（9+16）
＝225；
（2）x13x2+x1x23
＝x1x2（x12+x22）
＝x1x2[（x1+x2）2﹣2x1x2]
＝﹣4×（32+8）＝﹣68；
（3）x13+13x2﹣1
＝（3x1+4）x1+13x2﹣1
＝3x12+4x1+13x2﹣1
＝3（3x1+4）+4x1+13x2﹣1
＝13（x1+x2）+11
＝13×3+11
＝50；
（4）|x1﹣x2|=(x1−x2)2
=(x1+x2)2−4x1x2
=32−4×(−4)
=25
＝5．
【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2=−ba，x1x2=ca．
【变式3-6】若一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两实数根为x1、x2，则两根与方程系数之间有如下关系：x1+x2=−ba，x1x2=ca．该结论称为一元二次方程根与系数的关系，这个关系经常用来求一些代数式的值，请完成下列各题：
（1）已知：x1、x2是方程x2﹣4x+2＝0的两个实数根，求（x1﹣1）（x2﹣1）值；
（2）若m、n是方程x2﹣x﹣2016＝0的两个实数根，求代数式m2+2m+3n的值．
【分析】（1）根据根与系数的关系即可求出答案；
（2）根据根与系数的关系以及方程的解的概念即可求出答案．
【解答】解：（1）由题意可知：x1+x2＝4，x1x2＝2，
∴原式＝x1x2﹣（x1+x2）+1
＝2﹣4+1
＝﹣1；
（2）由题意可知：m+n＝1，mn＝﹣2016，
∵m2﹣m﹣2016＝0，
∴m2﹣m＝2016，
∴原式＝m2﹣m+3m+3n
＝2016+3×1
＝2019；
【点评】本题考查根与系数的关系，解题的关键是熟练运用根与系数的关系，本题属于中等题型．
题型四 利用根与系数的关系降次求代数式的值
【例题4】已知x1，x2是方程x2﹣x﹣9＝0两个实数根，代数式x13+7x22+3x2﹣66的值为 ．
【分析】先利用一元二次方程的根的意义和根与系数的关系得出x12﹣x1﹣9＝0，x22﹣x2﹣9＝0，x1+x2＝1，即：x12＝x1+9，x1+x2＝1，7x22＝7x2+63，最后代入即可得出结论．
【解答】解：∵x1，x2是方程x2﹣x﹣9＝0两个实数根，
∴x12﹣x1﹣9＝0，x22﹣x2﹣9＝0，x1+x2＝1，
∴x12＝x1+9，x22＝x2+9，x1+x2＝1，
∴7x22＝7x2+63
∴x13＝x12+9x2＝x1+9+9x1＝10x1+9，
∴原式＝10x1+9+7x2+73+3x2﹣66＝10（x1+x2）+6＝16．
故答案为：16．
【点评】此题主要考查了一元二次方程根的意义，根与系数的关系，得出x12﹣x1﹣9＝0，x22﹣x2﹣9＝0，x1+x2＝1，是解本题的关键．
【变式4-1】（2023•昆山市模拟）若x1，x2是方程x2＝2x+2023的两个实数根，则代数式x13−2x12+2023x2的值为 ．
【分析】由根与系数的关系可得：x1+x2＝2，x12−2x1＝2023，再把所求的式子进行整理，代入相应的值运算即可．
【解答】解：x2＝2x+2023整理得：x2﹣2x﹣2023＝0，
∵x1，x2是方程x2﹣2x﹣2023＝0的两个实数根，
∴x1+x2＝2，x12−2x1＝2023，
∴x13−2x12+2023x2
＝x1（x12−2x1）+2023x2
＝2023x1+2023x2
＝2023（x1+x2）
＝2023×2
＝4046．
故答案为：4046．
【点评】本题主要考查根与系数的关系，解答的关键是熟记根与系数与关系并灵活运用．
【变式4-2】已知a，b是方程x2﹣x﹣2＝0的两个实数根，则代数式2a3+b2+3a2﹣9a﹣b﹣1的
值为 ．
【分析】把x＝a和x＝b代入方程得出a2﹣a﹣2＝0，b2﹣b﹣2＝0，求出a2﹣a＝2，a2﹣2＝a，b2﹣b＝2，再变形后代入求出即可．
【解答】解：∵a，b是方程x2﹣x﹣2＝0的两个实数根，
∴a2﹣a﹣2＝0，b2﹣b﹣2＝0，
∴a2﹣a＝2，a2﹣2＝a，b2﹣b＝2，
∴2a3+b2+3a2﹣9a﹣b﹣1
＝2a3+3a2﹣9a+2﹣1
＝2a3+3a2﹣3a﹣6a+1
＝2a3+6﹣6a+1
＝2a（a2﹣2）﹣2a+7
＝2a2﹣2a+7
＝2×2+7
＝11，
故答案为：11．
【点评】本题考查了根与系数的关系和一元二次方程的解，能够整体代入是解此题的关键．
【变式4-3】（2023•莱芜区二模）若m，n是一元二次方程x2+2x﹣1＝0的两个实数根，则m3+m2n2m−1−mn=（ ）
A．﹣3B．−2C．2D．3
【分析】根据m，n是一元二次方程x2+2x﹣1＝0的两个实数根，得m+n＝﹣2，mn＝﹣1，m2＝﹣2m+1，把所求式子变形后整体代入计算即可．
【解答】解：∵m，n是一元二次方程x2+2x﹣1＝0的两个实数根，
∴m2+2m﹣1＝0，m+n＝﹣2，mn＝﹣1，
∴m2＝﹣2m+1，
∴m3+m2n2m−1−mn
=m2(m+n)2m−1−（﹣1）
=(−2m+1)×(−2)2m−1+1
＝2+1
＝3，
故选：D．
【点评】本题考查一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是掌握一元二次方程根与系数的关系，用整体思想解决问题．
【变式4-4】（2023•武昌区一模）若a，b是方程x2﹣x﹣1＝0的解，则a5+b5的值是（ ）
A．9B．10C．11D．22
【分析】根据a，b是方程x2﹣x﹣1＝0的解，可得a2﹣a﹣1＝0，b2﹣b﹣1＝0，a+b＝1，根据a5＝5a+3，b5＝5b+3，即可求出a5+b5＝5a+3+5b+3＝5（a+b）+6＝5+6＝11．
【解答】解：∵a，b是方程x2﹣x﹣1＝0的解，
∴a2﹣a﹣1＝0，b2﹣b﹣1＝0，a+b＝1，
∴a2＝a+1，
∴a5＝a3•a2
＝a3（a+1）
＝a4+a3
＝（a+1）2+a（a+1）
＝2a2+3a+1
＝2a+2+3a+1
＝5a+3，
同理b5＝5b+3，
∴a5+b5＝5a+3+5b+3＝5（a+b）+6＝5+6＝11．
故选：C．
【点评】本题考查根与系数的关系、一元二次方程的解，解答本题的关键是明确根与系数的关系．
【变式4-5】若x1，x2与是方程x2+x﹣3＝0的两个实数根，求x13﹣4x22+22的值．
【分析】由x1是方程x2+x﹣3＝0的实数根可得出x12+x1﹣3＝0，即x12＝﹣x1+3，等式两边同时乘x1可得出x13＝﹣x12+3x1，将其代入x13﹣4x22+22可得出x13﹣4x22+22＝＝﹣4x12+9﹣4x22+22，再根据根与系数的关系可得出x1+x2＝﹣1，x1•x2＝﹣3，代入x13﹣4x22+22＝﹣4x12+9﹣4x22+22＝﹣4（x1+x2）2+8x1•x2+31中即可求出结论．
【解答】解：∵x1是方程x2+x﹣3＝0的实数根，
∴x12+x1﹣3＝0，
∴x12＝﹣x1+3，x1＝﹣x12+3，
∴x13＝﹣x12+3x1，
∴x13﹣4x22+22＝﹣x12+3x1﹣4x22+22＝﹣4x12+9﹣4x22+22＝﹣4（x1+x2）2+8x1•x2+31，
∵x1、x2是方程x2+x﹣3＝0的两个实数根，
∴x1+x2＝﹣1，x1•x2＝﹣3，
∴原式＝﹣4×（﹣1）2+8×（﹣3）+31＝3．
【点评】本题考查了一元二次方程的解以及根与系数的关系，由x1是方程x2+x﹣3＝0的实数根找出x13＝﹣x12+3x1＝﹣4x12+9是解题的关键．
【变式4-6】若一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两实数根为x1、x2，则两根与方程系数之间有如下关系：x1+x2=−ba，x1x2=ca．这一结论称为一元二次方程根与系数关系，它的应用很多，请完成下列各题：
（1）填空：方程x2﹣5x+3＝0的两根为x1与x2，则x1+x2＝ ，x1x2＝ ．
（2）应用：求一些代数式的值．
①已知：x1、x2是方程x2﹣4x+2＝0的两个实数根，求（x1﹣1）（x2﹣1）的值；
②如果互异实数a，b满足方程a2﹣a﹣5＝0，b2﹣b﹣5＝0，求a3+6b﹣5的值．
【分析】（1）利用题目中所给关系直接求解即可；
（2）①利用根与系数的关系可求得x1+x2和x1x2的值，再代入计算即可；②把a3+6b﹣5化成a3﹣a2+a2+6b﹣5，再利用根的定义及根与系数的关系可求得答案．
【解答】解：
（1）∵方程x2﹣5x+3＝0的两根为x1与x2，
∴x1+x2＝﹣（﹣5）＝5，x1x2＝3，
故答案为：5；3；
（2）①∵x1、x2是方程x2﹣4x+2＝0的两个实数根，
∴x1+x2＝4，x1x2＝2，
∴（x1﹣1）（x2﹣1）＝x1x2﹣（x1+x2）+1＝2﹣4+1＝﹣1；
②∵互异实数a，b满足方程a2﹣a﹣5＝0，b2﹣b﹣5＝0，
∴a、b为方程x2﹣x﹣5＝0的两根，
∴a+b＝1，a2﹣a＝5，
∴a3+6b﹣5＝a3﹣a2+a2+6b﹣5＝a（a2﹣a）+a2+6b﹣5＝5a+6b+a2﹣5＝5a+6b+a＝6a+6b＝6（a+b）＝6．
【点评】本题主要考查根与系数的关系，理解一元二次方程两根和、两根积与系数a、b、c的关系是解题的关键．
题型五 由两根满足的关系式求字母的值
【例题5】（2023•乐山）若关于x的一元二次方程x2﹣8x+m＝0两根为x1、x2，且x1＝3x2，则m的值为（ ）
A．4B．8C．12D．16
【分析】首先根据根与系数的关系得出x1+x2＝8，再根据x1＝3x2，求得x1，x2，进一步得出x1x2＝m求得答案即可．
【解答】解：∵一元二次方程x2﹣8x+m＝0的两根为x1，x2，
∴x1+x2＝8，
∵x1＝3x2，
解得x1＝6，x2＝2，
∴m＝x1x2＝6×2＝12．
故选：C．
【点评】本题考查了根与系数的关系．二次项系数为1，常用以下关系：x1，x2是方程x2+px+q＝0的两根时，x1+x2＝﹣p，x1x2＝q，反过来可得p＝﹣（x1+x2），q＝x1x2，前者是已知系数确定根的相关问题，后者是已知两根确定方程中未知系数．
【变式5-1】（2023•青山区一模）已知关于x的方程x2+4x﹣a＝0有两个实数根，且2x1﹣x2＝7，则
a＝ ．
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系得出x1+x2＝﹣4，x1x2＝﹣a，联立2x1﹣x2＝7，即可求解．
【解答】解：依题意，x1+x2＝﹣4①，x1x2＝﹣a②，
又∵2x1﹣x2＝7③，
由①③可得x1＝1，x2＝﹣5，
∴a＝﹣x1x2＝﹣1×（﹣5）＝5，
故答案为：5．
【点评】本题考查了一元二次方程根与系数，解二元一次方程组，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．
【变式5-2】（2023•巴州区校级模拟）已知关于x的一元二次方程x2+2（m+2）x+m2﹣1＝0．两实数根分别为x1、x2，且满足x12+x22=58，则实数m的值为 ．
【分析】根据方程有实数根，得到根的判别式大于等于0，求出m的范围即可，已知等式利用完全平方公式化简，再利用根与系数的关系将各自的值代入计算即可求出m的值．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2+2（m+2）x+m2﹣1＝0有实数根，
∴Δ≥0，即4（m+2）2﹣4（m2﹣1）≥0，
整理得：4m+5≥0，
解得：m≥−54，
∵该方程的两个实数根分别为x1，x2，
∴x1+x2＝﹣2（m+2），x1x2＝m2﹣1，
∵x12+x22=58，
∴（x1+x2）2﹣2x1x2＝58，
∴4（m+2）2﹣2（m2﹣1）＝58，
解得：m＝2或﹣10，
∵m≥−54，
∴实数m的值为2．
故答案为：2．
【点评】本题考查了根的判别式和根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根，则x1+x2=−ba，x1x2=ca．
【变式5-3】（2023春•蜀山区校级期中）已知关于x的一元二次方程x2+（2k﹣1）x﹣k﹣1＝0．
（1）求证：无论k取何值，此方程总有两个不相等的实数根；
（2）若方程有两个实数根x1、x2，且x1+x2﹣4x1x2＝2，求k的值．
【分析】（1）根据根的判别式得出Δ，据此可得答案；
（2）根据根与系数的关系得出x1+x2＝﹣（2k﹣1），x1x2＝﹣k﹣1，代入x1+x2﹣4x1x2＝2得出关于k的方程，解之可得答案．
【解答】（1）证明：∵Δ＝（2k﹣1）2﹣4×1×（﹣k﹣1）
＝4k2+1﹣4k+4k+4
＝4k2+5＞0，
∴无论k取何值，此方程总有两个不相等的实数根；
（2）解：由根与系数的关系得出：x1+x2＝﹣（2k﹣1），x1x2＝﹣k﹣1，
由x1+x2﹣4x1x2＝2得：﹣（2k﹣1）﹣4（﹣k﹣1）＝2，
解得：k＝﹣1.5．
【点评】本题主要考查根与系数的关系、根的判别式，解题的关键是掌握x1，x2是方程x2+px+q＝0的两根时，x1+x2＝﹣p，x1x2＝q．
【变式5-4】（2023•随州一模）关于x的一元二次方程（m﹣2）x2﹣2x+1＝0有两个实数根x1，x2．
（1）求m的取值范围；
（2）若（x1+1）（x2+1）＝﹣2，求m的值．
【分析】（1）根据一元二次方程的定义和根的判别式的意义得到m﹣2≠0且Δ＝（﹣2）2﹣4（m﹣2）≥0，然后求出两不等式的公共部分即可；
（2）先利用根与系数的关系得x1+x2=2m−2，x1x2=1m−2，再由（x1+1）（x2+1）＝﹣2得到2m−2+1m−2=−3，然后解分式方程即可．
【解答】解：（1）根据题意得m﹣2≠0且Δ＝（﹣2）2﹣4（m﹣2）≥0，
解得m≤3且m≠2，
即m的取值范围为m≤3且m≠2；
（2）根据根与系数的关系得x1+x2=2m−2，x1x2=1m−2，
∵（x1+1）（x2+1）＝﹣2，
∴（x1+x2）+x1x2＝﹣3，
∴2m−2+1m−2=−3，
方程化为3＝﹣3（m﹣2），
解得m＝1，
经检验m＝1为原方程的解，
∴m的值为1．
【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根，则x1+x2=−ba，x1x2=ca．也考查了根的判别式．
【变式5-5】已知x1，x2是关于x的一元二次方程x2﹣2（m+1）x+m2+5＝0的两个实数根．
（1）求：m的取值范围；
（2）若（x1﹣1）（x2﹣1）＝28，求m的值；
（3）已知等腰三角形ABC的一边长为7，若x1，x2恰好是三角形ABC另外两边的边长，求这个三角形的周长．
【分析】（1）由方程有两个相等的实数根结合根的判别式即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范围；
（2）根据根与系数的关系即可得出x1+x2＝2（m+1）、x1•x2＝m2+5，结合m的取值范围即可得出m的值；
（3）将x＝7代入方程求出m的值，将m的两个值分别代回原方程，分别解每一个方程求出x的值，根据三角形三边关系取舍，最后三边相加可得周长．
【解答】解：（1）由题意得△＝4（m+1）2﹣4（m2+5）≥0，
解得：m≥2；
（2）由题意可知：x1+x2＝2（m+1），x1x2＝m2+5，
由（x1﹣1）（x2﹣1）＝28得：
x1x2﹣（x1+x2）+1＝28，即m2﹣2m﹣24＝0，
解得：m＝6或m＝﹣4，
由（1）知m≥2，
∴m＝6；
（3）由题意，当7是底边时，x1＝x2，
∴△＝4（m+1）2﹣4（m2+5）＝0，解之m＝2，
此时原方程为x2﹣6x+9＝0，
解得x1＝x2＝3，
∵3+3＜7，不能组成三角形；
当7 是腰时，x1＝7或x2＝7，即7是方程的一个根，
将x＝7代入得：49﹣14（m+1）+m2+5＝0，解得：m＝4或m＝10，
当m＝4时方程的另一个根为3，此时三角形三边分别为7、7、3，
周长为17；
当m＝10时，方程的另一个根为15，7+7＜15，此时不能构成三角形；
综上述，三角形的周长为17．
【点评】本题考查了根与系数的关系以及根的判别式，等腰三角形性质，解题的关键是：（1）根据方程有两个不相等的实数根找出Δ＝8m﹣16≥0；（2）根据根与系数的关系得到关于m的方程；（3）熟悉方程的解及三角形三边关系．
【变式5-6】已知：平行四边形ABCD的两条边AB，AD的长是关于x的方程2x2﹣2mx+m−12=0的两个实数根．
（1）当m为何值时，四边形ABCD是菱形？求出这时菱形的边长；
（2）若AB＝2，求平行四边形ABCD的周长．
【分析】（1）根据菱形的性质可得出AB＝AD，结合根的判别式，即可得出关于m的一元二次方程，解之即可得出m的值，将其代入原方程，解之即可得出菱形的边长；
（2）将x＝2代入原方程可求出m的值，将m的值代入原方程结合根与系数的关系可求出方程的另一根AD的长，再根据平行四边形的周长公式即可求出▱ABCD的周长．
【解答】解：（1）∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝AD．
又∵AB、AD的长是关于x的方程2x2﹣2mx+m−12=0的两个实数根，
∴Δ＝（﹣2m）2﹣4×2×（m−12）＝2（m﹣1）2＝0，
∴m＝1，
∴当m为1时，四边形ABCD是菱形．
当m＝1时，原方程为2x2﹣2mx+m−12=0，即（x−12）2＝0，
解得：x1＝x2=12，
∴菱形ABCD的边长是12．
（2）把x＝2代入原方程，得：8﹣4m+m−12=0，
解得：m=52．
将m=52代入原方程，得：2x2﹣5x+2＝0，
∴方程的另一根AD＝1÷2=12，
∴□ABCD的周长是2×（2+12）＝5．
【点评】本题考查了根与系数的关系、根的判别式、平行四边形的性质以及菱形的判定与性质，解题的关键是：（1）根据菱形的性质结合根的判别式，找出关于m的一元二次方程；（2）根据根与系数的关系结合方程的一根求出方程的另一根．
题型六 已知两根求一元二次方程
【例题六】 （2022秋•固安县期末）已知一元二次方程的两根分别为x1＝﹣2，x2＝﹣3，则这个方程可以为（ ）
A．（x﹣1）（x+2）＝﹣3×（﹣1）B．（x+1）（x﹣3）＝﹣1×（﹣6）
C．12（x+2）（x+3）＝0D．12（x﹣2）（x﹣3）＝0
【分析】（方法一）由x1＝﹣2，x2＝﹣3，可得出x1+x2＝﹣5，x1•x2＝6，将四个选项中的方程变形为一般式，利用根与系数的关系可找出x1+x2，x1•x2的值，对比后即可得出结论；
（方法二）由一元二次方程的两根分别为x1＝﹣2，x2＝﹣3，可设这个方程为a（x+2）（x+3）＝0（a≠0），取a=12即可得出结论．
【解答】解：（方法一）∵x1＝﹣2，x2＝﹣3，
∴x1+x2＝﹣5，x1•x2＝6．
A．原方程可变形为x2+x﹣5＝0，
∴x1+x2＝﹣1，x1•x2＝﹣5，选项A不符合题意；
B．原方程可变形为x2﹣2x﹣9＝0，
∴x1+x2＝2，x1•x2＝﹣9，选项B不符合题意；
C．原方程可变形为x2+5x+6＝0，
∴x1+x2＝﹣5，x1•x2＝6，选项C符合题意；
D．原方程可变形为x2﹣5x+6＝0，
∴x1+x2＝5，x1•x2＝6，选项D不符合题意．
故选：C．
（方法二）∵一元二次方程的两根分别为x1＝﹣2，x2＝﹣3，
∴设这个方程为a（x+2）（x+3）＝0（a≠0），
当a=12时，这个方程为12（x+2）（x+3）＝0．
故选：C．
【点评】考查了根与系数的关系以及一元二次方程的解，解题的关键是：（方法一）牢记“两根之和等于−ba，两根之积等于ca”；（方法二）由一元二次方程的两根，找出原方程为a（x+2）（x+3）＝0（a≠0）．
【变式6-1】以2和﹣7为根的一元二次方程是（ ）
A．x2﹣x﹣9＝0B．x2+5x+14＝0
C．x2﹣10x﹣14＝0D．x2+5x﹣14＝0
【分析】先计算出2与﹣7的和、积，然后根据根与现实的关系写出满足条件的一元二次方程，从而得到正确答案．
【解答】解：∵2+（﹣7）＝﹣5，2×（﹣7）＝﹣14，
∴以2和﹣7为根的一元二次方程可为x2﹣5x﹣14＝0．
故选：D．
【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根，则x1+x2=−ba，x1x2=ca．
【变式6-2】（2022秋•昭阳区校级月考）已知实数x1，x2满足x1+x2＝3，x1x2＝﹣4，则以x1，x2为根的一元二次方程是（ ）
A．x2﹣3x﹣4＝0B．x2﹣3x+4＝0C．x2+3x﹣4＝0D．x2+3x+4＝0
【分析】把已知等式代入x2﹣（x1+x2）x+x1x2＝0中确定出所求即可．
【解答】解：∵实数x1，x2满足x1+x2＝3，x1x2＝﹣4，
∴以x1，x2为根的一元二次方程是x2﹣3x﹣4＝0．
故选：A．
【点评】此题考查了根与系数的关系，以及一元二次方程的解，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解本题的关键．
【变式6-3】（2022秋•泰兴市期中）若关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的解是x1＝2，x2＝﹣3，则关于y的方程a（y﹣1）2+b（y﹣1）+c＝0的解为（ ）
A．﹣2B．3C．﹣2或3D．以上都不对
【分析】根据关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的解是x1＝2，x2＝﹣3，可得y﹣1＝2或y﹣1＝﹣3，进一步求解即可．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的解是x1＝2，x2＝﹣3，
∴y﹣1＝2或y﹣1＝﹣3，
解得y＝3或y＝﹣2，
故选：C．
【点评】本题考查了一元二次方程的解，找出两方程之间的关系是解题的关键．
【变式6-4】若关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的解是x1＝1，x2＝﹣3，则关于y的一元二次方程a（y+1）2+b（y+1）+c＝0的解是（ ）
A．y1＝2，y2＝﹣4B．y1＝0，y2＝﹣4C．y1＝3，y2＝﹣3D．y1＝1，y2＝﹣3
【分析】观察两个方程可得出方程a（y+1）2+b（y+1）+c＝0的解是y1+1＝1，y2+1＝﹣3，进而可求出y1＝0，y2＝﹣4．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的解是x1＝1，x2＝﹣3，
∴关于（y+1）的一元二次方程a（y+1）2+b（y+1）+c＝0的解是y1+1＝1，y2+1＝﹣3，
∴关于y的一元二次方程a（y+1）2+b（y+1）+c＝0的解是y1＝0，y2＝﹣4．
故选：B．
【点评】本题考查了一元二次方程的解，利用一元二次方程的解，找出y1+1＝1，y2+1＝﹣3是解题的关键．
【变式6-5】在解一元二次方程x2+px+q＝0时，甲看错了一次项系数，得出的两个根分别为﹣9，﹣1；乙看错了常数项，得出的两个根分别为8，2，则这个方程为 ．
【分析】在一元二次方程x2+px+q＝0中，两根之积等于常数项与二次项系数的比值．
【解答】解：∵甲看错了一次项系数，没看错常数项，
∴q＝（﹣9）×（﹣1）＝9．
∵乙看错了常数项，没看错一次项系数，
∴p＝﹣（8+2）＝﹣10，
故这个方程为x2﹣10x+9＝0．
故答案为：x2﹣10x+9＝0．
【点评】本题考查根与系数的关系，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
【变式6-6】若x1+x2＝3，x12+x22＝5，则以x1，x2为根的一元二次方程是 ．
【分析】利用完全平方公式计算出x1x2＝2，然后根据根与系数的关系写出以x1，x2为根的一元二次方程．
【解答】解：∵x12+x22＝5，
∴（x1+x2）2﹣2x1x2＝5，
而x1+x2＝3，
∴9﹣2x1x2＝5，
∴x1x2＝2，
∴以x1，x2为根的一元二次方程为x2﹣3x+2＝0．
故答案为：x2﹣3x+2＝0．
【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2=−ba，x1•x2=ca．
题型七 根与系数的关系与新定义运算
【例题7】（2022春•环翠区期末）新定义运算：a※b＝a2﹣ab+b，例如2※1＝22﹣2×1+1＝3，则方程x※2＝5两根的平方和为（ ）
A．4B．8C．10D．不存在
【分析】已知方程利用题中的新定义化简，整理为一般形式，设两根分别为m，n，利用根与系数的关系求出m+n与mn，两根的平方和为m2+n2，利用完全平方公式化简，将各自的值代入计算求出值即可．
【解答】解：根据题中的新定义化简方程x※2＝5得：x2﹣2x+2＝5，
整理得：x2﹣2x﹣3＝0，
设方程两根分别为m，n，
∴m+n＝2，mn＝﹣3，
则m2+n2＝（m+n）2﹣2mn＝4+6＝10．
故选：C．
【点评】此题考查了根与系数的关系，弄清题中的新定义是解本题的关键．
【变式7-1】（2022秋•石阡县月考）对于任意实数a，b，我们定义新运算“*”：a*b＝a2+2ab﹣b2，例如：3*5＝32+2×3×5﹣52＝14．若m，n是方程（x+2）*3＝0的两个实数根，则1m+1n的值为（ ）
A．107B．﹣3C．17D．−107
【分析】根据所给的运算法则可得方程x2+10x+7＝0，再由根与系数的关系得m+n＝﹣10，mn＝7，再由此关系求解即可．
【解答】解：（x+2）*3＝（x+2）2+2×3（x+2）﹣32＝x2+10x+7＝0，
∴m+n＝﹣10，mn＝7，
∴1m+1n=m+nmn=−107，
故选：D．
【点评】本题考查一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系，弄清定义是解题的关键．
【变式7-2】（2022春•河口区期末）对于任意实数a，b，我们定义新运算“*”：a*b＝a2+2ab﹣b2，例如3*5＝32+2×3×5﹣52＝14．若m，n是方程（x+2）*3＝0的两根，则nm+mn的值为 ．
【分析】根据新定义先将方程化为一元二次方程，由根与系数的关系求得m+n＝﹣10，mn＝7，再结合分式的加减及完全平方公式代入计算可求解．
【解答】解：由题意得（x+2）*3＝0即为（x+2）2+6（x+2）﹣9＝0，
化简得x2+10x+7＝0，
∵m，n是该方程的两根，
∴m+n＝﹣10，mn＝7，
∴nm+mn=(m+n)2−2mnmn=100−147=867，
故答案为：867．
【点评】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，新定义，代数式求值，根据新定义将等式化为一元二次方程是解题的关键．
【变式7-3】对于实数a，b，定义运算“*”：a*b=a2−ab(a≥b)b−aa(a＜b)例如3*1，因为3＞1，所以3*1＝32﹣3×1＝6．若x1，x2是一元二次方程x2﹣4＝0的两个根，则x1*x2＝ ．
【分析】先解方程，可求得方程的两根，再分两种情况分别代入所给中的运算计算即可．
【解答】解：
解方程x2﹣4＝0可得x＝2或x＝﹣2，
当x1＝2，x2＝﹣2时，则x1*x2＝22﹣2×（﹣2）＝8，
当x1＝﹣2，x2＝2时，则x1*x2=2−(−2)−2=−2，
故答案为：8或﹣2．
【点评】本题为新定义题目，正确理解题目中所给运算是解题的关键，注意分情况讨论．
【变式7-4】对于实数a，b，定义新运算“*”：a*b=a2−ab(a≥b)ab−b2(a＜b)，
例如：4*2，因为4＞2，所以4*2＝42﹣4×2＝8
（1）求（﹣5）*（﹣3）的值；
（2）若x1，x2是元二次方程x2﹣5x+6＝0的两个根，求x1*x2的值．
【分析】（1）根据题中的新定义化简，计算即可得到结果；
（2）求出已知方程的解得到x1与x2的值，利用题中新定义计算即可得到结果．
【解答】解：（1）∵﹣5＜﹣3，
∴（﹣5）*（﹣3）＝15﹣9＝6；
（2）方程x2﹣5x+6＝0变形得：（x﹣2）（x﹣3）＝0，
解得：x＝2或x＝3，
当x1＝2，x2＝3时，x1*x2＝6﹣9＝﹣3；
当x1＝3，x2＝2时，x1*x2＝9﹣6＝3．
【点评】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
【变式7-5】对于实数a，b，定义新运算“*”：a*b=a2−ab(a≥b)ab−b2(a＜b)，例如：4*2，因为4＞2，所以4*2＝42﹣4×2＝8．
（1）求（﹣7）*（﹣2）的值；
（2）若x1，x2是一元二次方程x2﹣5x﹣6＝0的两个根，求x1*x2的值．
【分析】（1）根据题中的新定义化简，计算即可得到结果；
（2）求出已知方程的解得到x1与x2的值，利用题中新定义计算即可得到结果．
【解答】解：（1）∵﹣7＜﹣2，
∴（﹣7）*（﹣2）＝14﹣4＝10；
（2）方程x2﹣5x﹣6＝0变形得：（x+1）（x﹣6）＝0，
解得：x＝﹣1或x＝6，
当x1＝﹣1，x2＝6时，x1*x2＝﹣6﹣36＝﹣42；
当x1＝6，x2＝﹣1时，x1*x2＝36+6＝42．
【点评】此题考查了根与系数的关系，实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
【变式7-6】对于实数a，b，定义新运算a*b=a+b−ab(a≥b)2ab−a−b(a＜b)例如：5*3，∵5＞3，
∴5*3＝5+3﹣5x3＝﹣7．
（1）求（﹣6）*（﹣3）的值；
（2）若x1，x2是一元二次方程x2﹣mx﹣6＝0的两个实数根，x1*x2＝4，求m的值．
【分析】（1）利用新定义得到（﹣6）*（﹣3）＝2×（﹣6）×（﹣3）﹣（﹣6）﹣（﹣3），然后进行实数的混合运算；
（2）先根据根与系数的关系得到x1+x2＝m，x1x2＝﹣6，再根据新定义得到x1+x2﹣x1x2＝4或2x1x2﹣x1﹣x2＝4，则m﹣（﹣6）＝4或2×（﹣6）﹣m＝4，然后分别解关于m的方程即可．
【解答】解：（1）（﹣6）*（﹣3）＝2×（﹣6）×（﹣3）﹣（﹣6）﹣（﹣3）＝45；
（2）根据根与系数的关系得x1+x2＝m，x1x2＝﹣6，
∵x1*x2＝4，
∴x1+x2﹣x1x2＝4或2x1x2﹣x1﹣x2＝4，
当x1+x2﹣x1x2＝4时，m﹣（﹣6）＝4，解得m＝﹣2；
当2x1x2﹣x1﹣x2＝4时，2×（﹣6）﹣m＝4，解得m＝﹣16，
综上所述，m的值为﹣2或﹣16．
【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2=−ba，x1x2=ca．也考查了实数的运算．
解题技巧提炼
当常数项未知时，利用两根的和求另一根；当一次项系数未知时，利用两根的积求另一根．
解题技巧提炼
（1）利用根与系数的关系求出两根之和与两根之积.
（2）将求出的两根之和与两根之积直接代入代数式求值.
解题技巧提炼
（1）设法将求值式变形，使其含有两根之和与两根之积.
（2）将求出的两根之和与两根之积整体代入代数式求值.
解题技巧提炼
（1）设法将求值式利用将次来变形，使其含有两根之和与两根之积.
（2）将求出的两根之和与两根之积整体代入代数式求值.
解题技巧提炼
（1）利用根与系数的关系写出x1+x2和x1x2 的值；
（2）将已知等式转化为含x1+x2和x1x2 的形式；
（3）把x1+x2和x1x2 的值代入（2）中的等式，然后解方程即可．
解题技巧提炼
已知方程的两个根时，逆用根与系数的关系，还原一元二次方程，在还原过程中，主要符合问题．
解题技巧提炼
根据新定义运算列出方程，然后再利用一元二次方程的根与系数的关系来解决
问题.
解题技巧提炼
当常数项未知时，利用两根的和求另一根；当一次项系数未知时，利用两根的积求另一根．
解题技巧提炼
（1）利用根与系数的关系求出两根之和与两根之积.
（2）将求出的两根之和与两根之积直接代入代数式求值.
解题技巧提炼
（1）设法将求值式变形，使其含有两根之和与两根之积.
（2）将求出的两根之和与两根之积整体代入代数式求值.
解题技巧提炼
（1）设法将求值式利用将次来变形，使其含有两根之和与两根之积.
（2）将求出的两根之和与两根之积整体代入代数式求值.
解题技巧提炼
（1）利用根与系数的关系写出x1+x2和x1x2 的值；
（2）将已知等式转化为含x1+x2和x1x2 的形式；
（3）把x1+x2和x1x2 的值代入（2）中的等式，然后解方程即可．
解题技巧提炼
已知方程的两个根时，逆用根与系数的关系，还原一元二次方程，在还原过程中，主要符合问题．
解题技巧提炼
根据新定义运算列出方程，然后再利用一元二次方程的根与系数的关系来解决
问题.
知识点
一元二次方程的根与系数的关系
◆1、若二次项系数为1，常用以下关系：x1，x2是方程x2+px+q＝0的两根时，x1+x2＝﹣p，x1x2＝q，反过来可得p＝﹣（x1+x2），q＝x1x2，前者是已知系数确定根的相关问题，后者是已知两根确定方程中未知系数．
◆2、若二次项系数不为1，则常用以下关系：x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，
x1+x2＝，x1x2＝，反过来也成立，即=（x1+x2），ca=x1x2．
◆3、常用根与系数的关系解决以下问题：
①不解方程，判断两个数是不是一元二次方程的两个根．
②已知方程及方程的一个根，求另一个根及未知数．
③不解方程求关于根的式子的值，如求：x12+x22等等．
④判断两根的符号．
⑤求作新方程．
⑥由给出的两根满足的条件，确定字母的取值．这类问题比较综合，解题时除了利用根与系数的关系，同时还要考虑a≠0，Δ≥0这两个前提条件．
题型一 已知一元二次方程的一个根求另一根或字母的值
【例题1】（2023•乌鲁木齐模拟）关于x的一元二次方程x2﹣ax﹣3＝0的一个根为1，则另一个根为（ ）
A．2B．﹣2C．3D．﹣3
【变式1-1】（2023•阿克苏市二模）若x＝2是方程x2﹣x+m＝0的一个根，则此方程的另一个根是（ ）
A．﹣1B．0C．1D．2
【变式1-2】关于x的一元二次方程2x2+kx﹣4＝0的一个根x1＝﹣2，则方程的另一个根x2和k的值
为（ ）
A．x2＝1，k＝2B．x2＝2，k＝2C．x2＝1，k＝﹣1D．x2＝2，k＝﹣1
【变式1-3】（2023春•东莞市校级月考）如果4是关于x的一元二次方程x2﹣6x+k＝0的一个根，则方程的另一个根是（ ）
A．2B．3C．4D．5
【变式1-4】（2023•麒麟区校级模拟）已知x＝﹣1是关于x的一元二次方程x2+kx﹣2＝0的一个根，则k的值和方程的另一个根分别为（ ）
A．1和2B．﹣1和2C．2和﹣1D．﹣2和﹣1
【变式1-5】（2022秋•镇江期中）在关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0中，a、b、c是有理数，且方程的一个根是﹣6+10，则方程的另一个根是 ．
【变式1-6】已知关于x的一元二次方程x2﹣（k+1）x﹣6＝0的一个根为2，求k的值及另一个根．
题型二 利用根与系数的关系直接求代数式的值
【例题2】（2023•河北区三模）方程x2﹣2x﹣1＝0的根为x1x2，则x1x2﹣（x1+x2）的值为（ ）
A．22B．1C．﹣3D．2−2
【变式2-1】（2023•亭湖区校级三模）已知x1、x2是一元二次方程3x2+2x﹣6＝0的两根，则x1﹣x1x2+x2的值是 ．
【变式2-2】（2023春•庐阳区校级期中）已知一元二次方程x2+4x﹣1＝0的两根分别为m，n，则m+n+mn的值是（ ）
A．﹣5B．﹣3C．3D．5
【变式2-3】（2023•巨野县三模）设方程x2﹣2023x﹣1＝0的两个根分别为x1、x2，则x1+x2﹣x1x2的值是 ．
【变式2-4】（2023•六盘水二模）已知x1、x2是一元二次方程x2+4x+3＝0的两根，则x1+x2+2x1x2的值
为（ ）
A．﹣2B．﹣1C．1D．2
【变式2-5】（2023•江夏区校级模拟）已知m、n是一元二次方程x2+4x﹣1＝0的两根，则m+5nmn−4m的值是（ ）
A．4B．﹣2C．2D．﹣4
题型三 利用根与系数的关系变形求代数式的值
【例题3】（2023•耿马县三模）已知一元二次方程x2﹣5x﹣6＝0的两根分别为a，b，则1a+1b的值为（ ）
A．−16B．16C．56D．−56
【变式3-1】（2023•鄄城县二模）若一元二次方程x2﹣3x+2＝0的两根分别为x1、x2，则x12+x22= ．
【变式3-2】（2023•安陆市二模）已知a，b是方程x2﹣x﹣2＝0的两个根，则（a﹣1）（b﹣1）的值是 ．
【变式3-3】（2023•兴庆区校级一模）已知m，n是方程x2+2x﹣6＝0的两根，则2m2+mn+4m的值为（ ）
A．0B．6C．2D．4
【变式3-4】（2023春•江岸区校级月考）设α、β是方程x2+2019x﹣2＝0的两根，则（α2+2022α﹣1）（β2+2022β﹣1）的值为（ ）
A．6076B．﹣6074C．6040D．﹣6040
【变式3-5】已知x1，x2是方程x2﹣3x﹣4＝0的两个实数根，求下列各式的值．
（1）（x12−x22）2；
（2）x13x2+x1x23；
（3）x13+13x2﹣1；
（4）|x1﹣x2|．
【变式3-6】若一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两实数根为x1、x2，则两根与方程系数之间有如下关系：x1+x2=−ba，x1x2=ca．该结论称为一元二次方程根与系数的关系，这个关系经常用来求一些代数式的值，请完成下列各题：
（1）已知：x1、x2是方程x2﹣4x+2＝0的两个实数根，求（x1﹣1）（x2﹣1）值；
（2）若m、n是方程x2﹣x﹣2016＝0的两个实数根，求代数式m2+2m+3n的值．
题型四 利用根与系数的关系降次求代数式的值
【例题4】已知x1，x2是方程x2﹣x﹣9＝0两个实数根，代数式x13+7x22+3x2﹣66的值为 ．
【变式4-1】（2023•昆山市模拟）若x1，x2是方程x2＝2x+2023的两个实数根，则代数式x13−2x12+2023x2的值为 ．
【变式4-2】已知a，b是方程x2﹣x﹣2＝0的两个实数根，则代数式2a3+b2+3a2﹣9a﹣b﹣1的
值为 ．
【变式4-3】（2023•莱芜区二模）若m，n是一元二次方程x2+2x﹣1＝0的两个实数根，则m3+m2n2m−1−mn=（ ）
A．﹣3B．−2C．2D．3
【变式4-4】（2023•武昌区一模）若a，b是方程x2﹣x﹣1＝0的解，则a5+b5的值是（ ）
A．9B．10C．11D．22
【变式4-5】若x1，x2与是方程x2+x﹣3＝0的两个实数根，求x13﹣4x22+22的值．
【变式4-6】若一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两实数根为x1、x2，则两根与方程系数之间有如下关系：x1+x2=−ba，x1x2=ca．这一结论称为一元二次方程根与系数关系，它的应用很多，请完成下列各题：
（1）填空：方程x2﹣5x+3＝0的两根为x1与x2，则x1+x2＝ ，x1x2＝ ．
（2）应用：求一些代数式的值．
①已知：x1、x2是方程x2﹣4x+2＝0的两个实数根，求（x1﹣1）（x2﹣1）的值；
②如果互异实数a，b满足方程a2﹣a﹣5＝0，b2﹣b﹣5＝0，求a3+6b﹣5的值．
题型五 由两根满足的关系式求字母的值
【例题5】（2023•乐山）若关于x的一元二次方程x2﹣8x+m＝0两根为x1、x2，且x1＝3x2，则m的值为（ ）
A．4B．8C．12D．16
【变式5-1】（2023•青山区一模）已知关于x的方程x2+4x﹣a＝0有两个实数根，且2x1﹣x2＝7，则
a＝ ．
【变式5-2】（2023•巴州区校级模拟）已知关于x的一元二次方程x2+2（m+2）x+m2﹣1＝0．两实数根分别为x1、x2，且满足x12+x22=58，则实数m的值为 ．
【变式5-3】（2023春•蜀山区校级期中）已知关于x的一元二次方程x2+（2k﹣1）x﹣k﹣1＝0．
（1）求证：无论k取何值，此方程总有两个不相等的实数根；
（2）若方程有两个实数根x1、x2，且x1+x2﹣4x1x2＝2，求k的值．
【变式5-4】（2023•随州一模）关于x的一元二次方程（m﹣2）x2﹣2x+1＝0有两个实数根x1，x2．
（1）求m的取值范围；
（2）若（x1+1）（x2+1）＝﹣2，求m的值．
【变式5-5】已知x1，x2是关于x的一元二次方程x2﹣2（m+1）x+m2+5＝0的两个实数根．
（1）求：m的取值范围；
（2）若（x1﹣1）（x2﹣1）＝28，求m的值；
（3）已知等腰三角形ABC的一边长为7，若x1，x2恰好是三角形ABC另外两边的边长，求这个三角形的周长．
【变式5-6】已知：平行四边形ABCD的两条边AB，AD的长是关于x的方程2x2﹣2mx+m−12=0的两个实数根．
（1）当m为何值时，四边形ABCD是菱形？求出这时菱形的边长；
（2）若AB＝2，求平行四边形ABCD的周长．
题型六 已知两根求一元二次方程
【例题六】 （2022秋•固安县期末）已知一元二次方程的两根分别为x1＝﹣2，x2＝﹣3，则这个方程可以为（ ）
A．（x﹣1）（x+2）＝﹣3×（﹣1）B．（x+1）（x﹣3）＝﹣1×（﹣6）
C．12（x+2）（x+3）＝0D．12（x﹣2）（x﹣3）＝0
【变式6-1】以2和﹣7为根的一元二次方程是（ ）
A．x2﹣x﹣9＝0B．x2+5x+14＝0
C．x2﹣10x﹣14＝0D．x2+5x﹣14＝0
【变式6-2】（2022秋•昭阳区校级月考）已知实数x1，x2满足x1+x2＝3，x1x2＝﹣4，则以x1，x2为根的一元二次方程是（ ）
A．x2﹣3x﹣4＝0B．x2﹣3x+4＝0C．x2+3x﹣4＝0D．x2+3x+4＝0
【变式6-3】（2022秋•泰兴市期中）若关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的解是x1＝2，x2＝﹣3，则关于y的方程a（y﹣1）2+b（y﹣1）+c＝0的解为（ ）
A．﹣2B．3C．﹣2或3D．以上都不对
【变式6-4】若关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的解是x1＝1，x2＝﹣3，则关于y的一元二次方程a（y+1）2+b（y+1）+c＝0的解是（ ）
A．y1＝2，y2＝﹣4B．y1＝0，y2＝﹣4C．y1＝3，y2＝﹣3D．y1＝1，y2＝﹣3
【变式6-5】在解一元二次方程x2+px+q＝0时，甲看错了一次项系数，得出的两个根分别为﹣9，﹣1；乙看错了常数项，得出的两个根分别为8，2，则这个方程为 ．
【变式6-6】若x1+x2＝3，x12+x22＝5，则以x1，x2为根的一元二次方程是 ．
题型七 根与系数的关系与新定义运算
【例题7】（2022春•环翠区期末）新定义运算：a※b＝a2﹣ab+b，例如2※1＝22﹣2×1+1＝3，则方程x※2＝5两根的平方和为（ ）
A．4B．8C．10D．不存在
【变式7-1】（2022秋•石阡县月考）对于任意实数a，b，我们定义新运算“*”：a*b＝a2+2ab﹣b2，例如：3*5＝32+2×3×5﹣52＝14．若m，n是方程（x+2）*3＝0的两个实数根，则1m+1n的值为（ ）
A．107B．﹣3C．17D．−107
【变式7-2】（2022春•河口区期末）对于任意实数a，b，我们定义新运算“*”：a*b＝a2+2ab﹣b2，例如3*5＝32+2×3×5﹣52＝14．若m，n是方程（x+2）*3＝0的两根，则nm+mn的值为 ．
【变式7-3】对于实数a，b，定义运算“*”：a*b=a2−ab(a≥b)b−aa(a＜b)例如3*1，因为3＞1，所以3*1＝32﹣3×1＝6．若x1，x2是一元二次方程x2﹣4＝0的两个根，则x1*x2＝ ．
【变式7-4】对于实数a，b，定义新运算“*”：a*b=a2−ab(a≥b)ab−b2(a＜b)，
例如：4*2，因为4＞2，所以4*2＝42﹣4×2＝8
（1）求（﹣5）*（﹣3）的值；
（2）若x1，x2是元二次方程x2﹣5x+6＝0的两个根，求x1*x2的值．
【变式7-5】对于实数a，b，定义新运算“*”：a*b=a2−ab(a≥b)ab−b2(a＜b)，例如：4*2，因为4＞2，所以4*2＝42﹣4×2＝8．
（1）求（﹣7）*（﹣2）的值；
（2）若x1，x2是一元二次方程x2﹣5x﹣6＝0的两个根，求x1*x2的值．
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【变式7-6】对于实数a，b，定义新运算a*b=a+b−ab(a≥b)2ab−a−b(a＜b)例如：5*3，∵5＞3，
∴5*3＝5+3﹣5x3＝﹣7．
（1）求（﹣6）*（﹣3）的值；
（2）若x1，x2是一元二次方程x2﹣mx﹣6＝0的两个实数根，x1*x2＝4，求m的值．
（苏科版）九年级上册数学《第1章 一元二次方程》
1.3 一元二次方程的根与系数的关系
知识点
一元二次方程的根与系数的关系
◆1、若二次项系数为1，常用以下关系：x1，x2是方程x2+px+q＝0的两根时，x1+x2＝﹣p，x1x2＝q，反过来可得p＝﹣（x1+x2），q＝x1x2，前者是已知系数确定根的相关问题，后者是已知两根确定方程中未知系数．
◆2、若二次项系数不为1，则常用以下关系：x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，
x1+x2＝，x1x2＝，反过来也成立，即=（x1+x2），ca=x1x2．
◆3、常用根与系数的关系解决以下问题：
①不解方程，判断两个数是不是一元二次方程的两个根．
②已知方程及方程的一个根，求另一个根及未知数．
③不解方程求关于根的式子的值，如求：x12+x22等等．
④判断两根的符号．
⑤求作新方程．
⑥由给出的两根满足的条件，确定字母的取值．这类问题比较综合，解题时除了利用根与系数的关系，同时还要考虑a≠0，Δ≥0这两个前提条件．
题型一 已知一元二次方程的一个根求另一根或字母的值
【例题1】（2023•乌鲁木齐模拟）关于x的一元二次方程x2﹣ax﹣3＝0的一个根为1，则另一个根为（ ）
A．2B．﹣2C．3D．﹣3
【分析】设方程的另一个根为t，则利用根与系数的关系得1•t＝﹣3，然后解一次方程即可．
【解答】解：设方程的另一个根为t，
根据根与系数的关系得1•t＝﹣3，
解得t＝﹣3，
所以方程的另一个根为﹣3．
故选：D．
【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2=−ba，x1x2=ca．
【变式1-1】（2023•阿克苏市二模）若x＝2是方程x2﹣x+m＝0的一个根，则此方程的另一个根是（ ）
A．﹣1B．0C．1D．2
【分析】根据根与系数的关系即可求出答案．
【解答】解：设x2﹣x+m＝0另一个根是α，
∴2+α＝1，
∴α＝﹣1，
故选：A．
【点评】本题考查一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是熟练运用一元二次方程根与系数的关系，本题属于基础题型．
【变式1-2】关于x的一元二次方程2x2+kx﹣4＝0的一个根x1＝﹣2，则方程的另一个根x2和k的值
为（ ）
A．x2＝1，k＝2B．x2＝2，k＝2C．x2＝1，k＝﹣1D．x2＝2，k＝﹣1
【分析】利用根与系数的关系列出关系式，把一个根代入计算即可求出所求．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程2x2+kx﹣4＝0的一个根x1＝﹣2，
∴x1x2＝﹣2x2＝﹣2，x1+x2＝﹣2+x2=−k2，
解得：x2＝1，k＝2，
则方程的另一个根x2和k的值为x2＝1，k＝2．
故选：A．
【点评】此题考查了一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握根与系数的关系是解本题的关键．
【变式1-3】（2023春•东莞市校级月考）如果4是关于x的一元二次方程x2﹣6x+k＝0的一个根，则方程的另一个根是（ ）
A．2B．3C．4D．5
【分析】设方程的另一个根为t，利用根与系数的关系得5+t＝6，然后解关于t的方程即可．
【解答】解：设方程的另一个根为t，
根据根与系数的关系得4+t＝6，
解得t＝2，
所以方程的另一个根为2．
故选：A．
【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2=−ba，x1x2=ca．
【变式1-4】（2023•麒麟区校级模拟）已知x＝﹣1是关于x的一元二次方程x2+kx﹣2＝0的一个根，则k的值和方程的另一个根分别为（ ）
A．1和2B．﹣1和2C．2和﹣1D．﹣2和﹣1
【分析】把x＝﹣1代入方程计算即可求出k的值，再把k的值代入方程，求出另一个根即可．
【解答】解：把x＝﹣1代入方程得：1﹣k﹣2＝0，
解得：k＝﹣1，
∴原方程可化为x2﹣x﹣2＝0，
设方程的另一个根为t，则﹣1+t＝1，
∴t＝2．
故选：B．
【点评】此题考查了一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程的解，熟知方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值是解题的关键．
【变式1-5】（2022秋•镇江期中）在关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0中，a、b、c是有理数，且方程的一个根是﹣6+10，则方程的另一个根是 ．
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系可知两根的和和两根的积需是有理数，据此即可求得方程的另一个根是﹣6−10．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0中，a、b、c是有理数，
∴−ba、ca是有理数，
∵方程的一个根是﹣6+10，
∴满足题意的方程的另一个根是﹣6−10，
故答案为：﹣6−10．
【点评】本题考查了一元二次方程根与系数的关系：x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2=−ba，x1•x2=ca．
【变式1-6】已知关于x的一元二次方程x2﹣（k+1）x﹣6＝0的一个根为2，求k的值及另一个根．
【分析】由于一根为2，把x＝2代入方程即可求得k的值．然后根据两根之积即可求得另一根．
【解答】解：∵方程x2﹣（k+1）x﹣6＝0的一个根为2，
∴22﹣2（k+1）﹣6＝0，
解得k＝﹣2，
设另一根为x，
∵2x＝﹣6，
∴x＝﹣3，
∴k＝﹣2，另一根为﹣3．
【点评】考查了一元二次方程的解的知识，解题时可利用根与系数的关系使问题简化，难度不大．
题型二 利用根与系数的关系直接求代数式的值
【例题2】（2023•河北区三模）方程x2﹣2x﹣1＝0的根为x1x2，则x1x2﹣（x1+x2）的值为（ ）
A．22B．1C．﹣3D．2−2
【分析】利用根与系数的关系求出两根之和与两根之积，再代入计算即可求出值．
【解答】解：∵方程x2﹣2x﹣1＝0的两个根为x1，x2，
∴x1+x2＝2，x1x2＝﹣1，
则原式＝﹣1﹣2＝﹣3．
故选：C．
【点评】此题考查了根与系数的关系，熟练掌握根与系数的关系是解本题的关键．
【变式2-1】（2023•亭湖区校级三模）已知x1、x2是一元二次方程3x2+2x﹣6＝0的两根，则x1﹣x1x2+x2的值是 ．
【分析】根据一元二次方程根与系数之间的关系得出两根之和，两根之积，再代值计算即可．
【解答】解：∵x1，x2是一元二次方程3x2+2x﹣6＝0的两个根，
∴x1+x2=−23，x1x2＝﹣2，
∴x1﹣x1 x2+x2＝（x1+x2）﹣x1x2=−23+2=43；
故答案为：43．
【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，则x1+x2=−ba，x1x2=ca．
【变式2-2】（2023春•庐阳区校级期中）已知一元二次方程x2+4x﹣1＝0的两根分别为m，n，则m+n+mn的值是（ ）
A．﹣5B．﹣3C．3D．5
【分析】根据一元二次方程根与系数关系即可求解．
【解答】解：∵一元二次方程x2+4x﹣1＝0的两根分别为m，n，
∴m+n＝﹣4，mn＝﹣1，
∴m+n+mn＝﹣5．
故选：A．
【点评】此题考查了一元二次方程根与系数关系和代数式的求值，熟练掌握一元二次方程根与系数关系是解题的关键．
【变式2-3】（2023•巨野县三模）设方程x2﹣2023x﹣1＝0的两个根分别为x1、x2，则x1+x2﹣x1x2的值是 ．
【分析】先根据根与系数的关系可求x1+x2＝2023，x1x2＝﹣1，再把x1+x2，x1x2的值整体代入所求代数式计算即可．
【解答】解：∵方程x2﹣2023x﹣1＝0的两个根分别为x1、x2，
∴x1+x2＝2023，x1x2＝﹣1，
∴x1+x2﹣x1x2＝2023+1＝2024．
故答案是：2024．
【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与系数的关系：若方程的两根为x1、x2，则x1+x2=−ba，x1•x2=ca．
【变式2-4】（2023•六盘水二模）已知x1、x2是一元二次方程x2+4x+3＝0的两根，则x1+x2+2x1x2的值为（ ）
A．﹣2B．﹣1C．1D．2
【分析】利用根与系数的关系得到x1+x2＝﹣4，x1x2＝3，然后利用整体代入的方法计算x1+x2+2x1x2的值．
【解答】解：根据题意得：x1+x2＝﹣4，x1x2＝3，
所以x1+x2+2x1x2＝﹣4+2×3＝2．
故选：D．
【点评】本题考查一元二次方程根与系数的关系：若x1、x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2=−ba，x1x2=ca．
【变式2-5】（2023•江夏区校级模拟）已知m、n是一元二次方程x2+4x﹣1＝0的两根，则m+5nmn−4m的值是（ ）
A．4B．﹣2C．2D．﹣4
【分析】先通分，再进行同分母的减法运算得到原式=m+nmn，接着根据根与系数的关系得到m+n＝﹣4，mn＝﹣1，然后利用整体代入的方法计算．
【解答】解：m+5nmn−4m
=m+5nmn−4nmn
=m+5n−4nmn
=m+nmn，
∵m、n是一元二次方程x2+4x﹣1＝0的两根，
∴m+n＝﹣4，mn＝﹣1，
∴m+5nmn−4m=−4−1=4．
故选：A．
【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根，则x1+x2=−ba，x1x2=ca．
题型三 利用根与系数的关系变形求代数式的值
【例题3】（2023•耿马县三模）已知一元二次方程x2﹣5x﹣6＝0的两根分别为a，b，则1a+1b的值为（ ）
A．−16B．16C．56D．−56
【分析】利用根与系数的关系求出a+b与ab的值，原式通分并利用同分母分式的加法法则计算，将各自的值代入计算即可求出值．
【解答】解：∵一元二次方程x2﹣5x﹣6＝0的两根分别为a，b，
∴a+b＝5，ab＝﹣6，
则原式=a+bab=5−6=−56，
故选：D．
【点评】此题考查了根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解本题的关键．
【变式3-1】（2023•鄄城县二模）若一元二次方程x2﹣3x+2＝0的两根分别为x1、x2，则x12+x22= ．
【分析】先根据根与系数的关系计算x1+x2，x1•x2的值，由x12+x22=（x1+x2）2﹣2x1x2，可把x1+x2，x1•x2的值代入求值即可．
【解答】解：根据题意可得，x1+x2＝3，x1x2＝2，
∵x12+x22=（x1+x2）2﹣2x1x2，
∴x12+x22=32﹣2×2＝5．
故答案为：5．
【点评】此题主要考查了根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．
【变式3-2】（2023•安陆市二模）已知a，b是方程x2﹣x﹣2＝0的两个根，则（a﹣1）（b﹣1）的值是 ．
【分析】利用根与系数的关系，可得出a+b＝1，ab＝﹣2，再将其代入（a﹣1）（b﹣1）＝ab﹣（a+b）+1中，即可求出结论．
【解答】解：∵a，b是方程x2﹣x﹣2＝0的两个根，
∴a+b＝1，ab＝﹣2，
∴（a﹣1）（b﹣1）＝ab﹣（a+b）+1＝﹣2﹣1+1＝﹣2．
故答案为：﹣2．
【点评】本题考查了根与系数的关系，牢记“一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根之和等于−ba，两根之积等于ca”是解题的关键．
【变式3-3】（2023•兴庆区校级一模）已知m，n是方程x2+2x﹣6＝0的两根，则2m2+mn+4m的值为（ ）
A．0B．6C．2D．4
【分析】根据一元二次方程的解的定义和一元二次方程根与系数的关系，得出m2+2m＝6，mn＝﹣6，整体代入求值即可得到答案．
【解答】解：∵m，n是方程x2+2x﹣6＝0的两根，
∴m2+2m﹣6＝0，mn=ca=−6，
∴m2+2m＝6，
∴2m2+mn+4m＝2（m2+2m）+mn＝2×6+（﹣6）＝6．
故选：B．
【点评】本题考查了一元二次方程的解的定义，一元二次方程根与系数的关系，代数式求值，解题关键是熟练掌握一元二次方程根与系数的关系：x1+x2=−ba，x1x2=ca．
【变式3-4】（2023春•江岸区校级月考）设α、β是方程x2+2019x﹣2＝0的两根，则（α2+2022α﹣1）（β2+2022β﹣1）的值为（ ）
A．6076B．﹣6074C．6040D．﹣6040
【分析】根据一元二次方程的解以及根与系数的关系即可得出α2+2019α﹣2＝0，β2+2019β﹣2＝0，α+β＝﹣2019，αβ＝﹣2，进而得出α2＝2﹣2019α，β2＝2﹣2019β，然后代入（α2+2022α﹣1）（β2+2022β﹣1）计算即可．
【解答】解：∵α、β是方程x2+2019x﹣2＝0的两根，
∴α2+2019α﹣2＝0，β2+2019β﹣2＝0，α+β＝﹣2019，αβ＝﹣2，
∴α2＝2﹣2019α，β2＝2﹣2019β，
∴（α2+2022α﹣1）（β2+2022β﹣1）
＝（2﹣2019α+2022α﹣1）（2﹣2019β+2022β﹣1）
＝（1+3α）（1+3β）
＝1+3（α+β）+9αβ
＝1+3×（﹣2019）+9×（﹣2）
＝﹣6074．
故选：B．
【点评】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系以及一元二次方程的解，掌握一元二次方程的根与系数的关系是解题的关键．
【变式3-5】已知x1，x2是方程x2﹣3x﹣4＝0的两个实数根，求下列各式的值．
（1）（x12−x22）2；
（2）x13x2+x1x23；
（3）x13+13x2﹣1；
（4）|x1﹣x2|．
【分析】已知x1+x2＝3，x1x2＝﹣4，考虑将待求式转化为只含有（x1+x2）和x1x2的形式．
【解答】解：由根与系数的关系，得x1+x2＝3，x1x2＝﹣4，而且x12=3x1+4．
（1）（x12−x22）2
＝（x1+x2）2（x1﹣x2）2
＝32[（x1+x2）2﹣4x1x2]
＝9×（9+16）
＝225；
（2）x13x2+x1x23
＝x1x2（x12+x22）
＝x1x2[（x1+x2）2﹣2x1x2]
＝﹣4×（32+8）＝﹣68；
（3）x13+13x2﹣1
＝（3x1+4）x1+13x2﹣1
＝3x12+4x1+13x2﹣1
＝3（3x1+4）+4x1+13x2﹣1
＝13（x1+x2）+11
＝13×3+11
＝50；
（4）|x1﹣x2|=(x1−x2)2
=(x1+x2)2−4x1x2
=32−4×(−4)
=25
＝5．
【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2=−ba，x1x2=ca．
【变式3-6】若一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两实数根为x1、x2，则两根与方程系数之间有如下关系：x1+x2=−ba，x1x2=ca．该结论称为一元二次方程根与系数的关系，这个关系经常用来求一些代数式的值，请完成下列各题：
（1）已知：x1、x2是方程x2﹣4x+2＝0的两个实数根，求（x1﹣1）（x2﹣1）值；
（2）若m、n是方程x2﹣x﹣2016＝0的两个实数根，求代数式m2+2m+3n的值．
【分析】（1）根据根与系数的关系即可求出答案；
（2）根据根与系数的关系以及方程的解的概念即可求出答案．
【解答】解：（1）由题意可知：x1+x2＝4，x1x2＝2，
∴原式＝x1x2﹣（x1+x2）+1
＝2﹣4+1
＝﹣1；
（2）由题意可知：m+n＝1，mn＝﹣2016，
∵m2﹣m﹣2016＝0，
∴m2﹣m＝2016，
∴原式＝m2﹣m+3m+3n
＝2016+3×1
＝2019；
【点评】本题考查根与系数的关系，解题的关键是熟练运用根与系数的关系，本题属于中等题型．
题型四 利用根与系数的关系降次求代数式的值
【例题4】已知x1，x2是方程x2﹣x﹣9＝0两个实数根，代数式x13+7x22+3x2﹣66的值为 ．
【分析】先利用一元二次方程的根的意义和根与系数的关系得出x12﹣x1﹣9＝0，x22﹣x2﹣9＝0，x1+x2＝1，即：x12＝x1+9，x1+x2＝1，7x22＝7x2+63，最后代入即可得出结论．
【解答】解：∵x1，x2是方程x2﹣x﹣9＝0两个实数根，
∴x12﹣x1﹣9＝0，x22﹣x2﹣9＝0，x1+x2＝1，
∴x12＝x1+9，x22＝x2+9，x1+x2＝1，
∴7x22＝7x2+63
∴x13＝x12+9x2＝x1+9+9x1＝10x1+9，
∴原式＝10x1+9+7x2+73+3x2﹣66＝10（x1+x2）+6＝16．
故答案为：16．
【点评】此题主要考查了一元二次方程根的意义，根与系数的关系，得出x12﹣x1﹣9＝0，x22﹣x2﹣9＝0，x1+x2＝1，是解本题的关键．
【变式4-1】（2023•昆山市模拟）若x1，x2是方程x2＝2x+2023的两个实数根，则代数式x13−2x12+2023x2的值为 ．
【分析】由根与系数的关系可得：x1+x2＝2，x12−2x1＝2023，再把所求的式子进行整理，代入相应的值运算即可．
【解答】解：x2＝2x+2023整理得：x2﹣2x﹣2023＝0，
∵x1，x2是方程x2﹣2x﹣2023＝0的两个实数根，
∴x1+x2＝2，x12−2x1＝2023，
∴x13−2x12+2023x2
＝x1（x12−2x1）+2023x2
＝2023x1+2023x2
＝2023（x1+x2）
＝2023×2
＝4046．
故答案为：4046．
【点评】本题主要考查根与系数的关系，解答的关键是熟记根与系数与关系并灵活运用．
【变式4-2】已知a，b是方程x2﹣x﹣2＝0的两个实数根，则代数式2a3+b2+3a2﹣9a﹣b﹣1的
值为 ．
【分析】把x＝a和x＝b代入方程得出a2﹣a﹣2＝0，b2﹣b﹣2＝0，求出a2﹣a＝2，a2﹣2＝a，b2﹣b＝2，再变形后代入求出即可．
【解答】解：∵a，b是方程x2﹣x﹣2＝0的两个实数根，
∴a2﹣a﹣2＝0，b2﹣b﹣2＝0，
∴a2﹣a＝2，a2﹣2＝a，b2﹣b＝2，
∴2a3+b2+3a2﹣9a﹣b﹣1
＝2a3+3a2﹣9a+2﹣1
＝2a3+3a2﹣3a﹣6a+1
＝2a3+6﹣6a+1
＝2a（a2﹣2）﹣2a+7
＝2a2﹣2a+7
＝2×2+7
＝11，
故答案为：11．
【点评】本题考查了根与系数的关系和一元二次方程的解，能够整体代入是解此题的关键．
【变式4-3】（2023•莱芜区二模）若m，n是一元二次方程x2+2x﹣1＝0的两个实数根，则m3+m2n2m−1−mn=（ ）
A．﹣3B．−2C．2D．3
【分析】根据m，n是一元二次方程x2+2x﹣1＝0的两个实数根，得m+n＝﹣2，mn＝﹣1，m2＝﹣2m+1，把所求式子变形后整体代入计算即可．
【解答】解：∵m，n是一元二次方程x2+2x﹣1＝0的两个实数根，
∴m2+2m﹣1＝0，m+n＝﹣2，mn＝﹣1，
∴m2＝﹣2m+1，
∴m3+m2n2m−1−mn
=m2(m+n)2m−1−（﹣1）
=(−2m+1)×(−2)2m−1+1
＝2+1
＝3，
故选：D．
【点评】本题考查一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是掌握一元二次方程根与系数的关系，用整体思想解决问题．
【变式4-4】（2023•武昌区一模）若a，b是方程x2﹣x﹣1＝0的解，则a5+b5的值是（ ）
A．9B．10C．11D．22
【分析】根据a，b是方程x2﹣x﹣1＝0的解，可得a2﹣a﹣1＝0，b2﹣b﹣1＝0，a+b＝1，根据a5＝5a+3，b5＝5b+3，即可求出a5+b5＝5a+3+5b+3＝5（a+b）+6＝5+6＝11．
【解答】解：∵a，b是方程x2﹣x﹣1＝0的解，
∴a2﹣a﹣1＝0，b2﹣b﹣1＝0，a+b＝1，
∴a2＝a+1，
∴a5＝a3•a2
＝a3（a+1）
＝a4+a3
＝（a+1）2+a（a+1）
＝2a2+3a+1
＝2a+2+3a+1
＝5a+3，
同理b5＝5b+3，
∴a5+b5＝5a+3+5b+3＝5（a+b）+6＝5+6＝11．
故选：C．
【点评】本题考查根与系数的关系、一元二次方程的解，解答本题的关键是明确根与系数的关系．
【变式4-5】若x1，x2与是方程x2+x﹣3＝0的两个实数根，求x13﹣4x22+22的值．
【分析】由x1是方程x2+x﹣3＝0的实数根可得出x12+x1﹣3＝0，即x12＝﹣x1+3，等式两边同时乘x1可得出x13＝﹣x12+3x1，将其代入x13﹣4x22+22可得出x13﹣4x22+22＝＝﹣4x12+9﹣4x22+22，再根据根与系数的关系可得出x1+x2＝﹣1，x1•x2＝﹣3，代入x13﹣4x22+22＝﹣4x12+9﹣4x22+22＝﹣4（x1+x2）2+8x1•x2+31中即可求出结论．
【解答】解：∵x1是方程x2+x﹣3＝0的实数根，
∴x12+x1﹣3＝0，
∴x12＝﹣x1+3，x1＝﹣x12+3，
∴x13＝﹣x12+3x1，
∴x13﹣4x22+22＝﹣x12+3x1﹣4x22+22＝﹣4x12+9﹣4x22+22＝﹣4（x1+x2）2+8x1•x2+31，
∵x1、x2是方程x2+x﹣3＝0的两个实数根，
∴x1+x2＝﹣1，x1•x2＝﹣3，
∴原式＝﹣4×（﹣1）2+8×（﹣3）+31＝3．
【点评】本题考查了一元二次方程的解以及根与系数的关系，由x1是方程x2+x﹣3＝0的实数根找出x13＝﹣x12+3x1＝﹣4x12+9是解题的关键．
【变式4-6】若一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两实数根为x1、x2，则两根与方程系数之间有如下关系：x1+x2=−ba，x1x2=ca．这一结论称为一元二次方程根与系数关系，它的应用很多，请完成下列各题：
（1）填空：方程x2﹣5x+3＝0的两根为x1与x2，则x1+x2＝ ，x1x2＝ ．
（2）应用：求一些代数式的值．
①已知：x1、x2是方程x2﹣4x+2＝0的两个实数根，求（x1﹣1）（x2﹣1）的值；
②如果互异实数a，b满足方程a2﹣a﹣5＝0，b2﹣b﹣5＝0，求a3+6b﹣5的值．
【分析】（1）利用题目中所给关系直接求解即可；
（2）①利用根与系数的关系可求得x1+x2和x1x2的值，再代入计算即可；②把a3+6b﹣5化成a3﹣a2+a2+6b﹣5，再利用根的定义及根与系数的关系可求得答案．
【解答】解：
（1）∵方程x2﹣5x+3＝0的两根为x1与x2，
∴x1+x2＝﹣（﹣5）＝5，x1x2＝3，
故答案为：5；3；
（2）①∵x1、x2是方程x2﹣4x+2＝0的两个实数根，
∴x1+x2＝4，x1x2＝2，
∴（x1﹣1）（x2﹣1）＝x1x2﹣（x1+x2）+1＝2﹣4+1＝﹣1；
②∵互异实数a，b满足方程a2﹣a﹣5＝0，b2﹣b﹣5＝0，
∴a、b为方程x2﹣x﹣5＝0的两根，
∴a+b＝1，a2﹣a＝5，
∴a3+6b﹣5＝a3﹣a2+a2+6b﹣5＝a（a2﹣a）+a2+6b﹣5＝5a+6b+a2﹣5＝5a+6b+a＝6a+6b＝6（a+b）＝6．
【点评】本题主要考查根与系数的关系，理解一元二次方程两根和、两根积与系数a、b、c的关系是解题的关键．
题型五 由两根满足的关系式求字母的值
【例题5】（2023•乐山）若关于x的一元二次方程x2﹣8x+m＝0两根为x1、x2，且x1＝3x2，则m的值为（ ）
A．4B．8C．12D．16
【分析】首先根据根与系数的关系得出x1+x2＝8，再根据x1＝3x2，求得x1，x2，进一步得出x1x2＝m求得答案即可．
【解答】解：∵一元二次方程x2﹣8x+m＝0的两根为x1，x2，
∴x1+x2＝8，
∵x1＝3x2，
解得x1＝6，x2＝2，
∴m＝x1x2＝6×2＝12．
故选：C．
【点评】本题考查了根与系数的关系．二次项系数为1，常用以下关系：x1，x2是方程x2+px+q＝0的两根时，x1+x2＝﹣p，x1x2＝q，反过来可得p＝﹣（x1+x2），q＝x1x2，前者是已知系数确定根的相关问题，后者是已知两根确定方程中未知系数．
【变式5-1】（2023•青山区一模）已知关于x的方程x2+4x﹣a＝0有两个实数根，且2x1﹣x2＝7，则
a＝ ．
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系得出x1+x2＝﹣4，x1x2＝﹣a，联立2x1﹣x2＝7，即可求解．
【解答】解：依题意，x1+x2＝﹣4①，x1x2＝﹣a②，
又∵2x1﹣x2＝7③，
由①③可得x1＝1，x2＝﹣5，
∴a＝﹣x1x2＝﹣1×（﹣5）＝5，
故答案为：5．
【点评】本题考查了一元二次方程根与系数，解二元一次方程组，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．
【变式5-2】（2023•巴州区校级模拟）已知关于x的一元二次方程x2+2（m+2）x+m2﹣1＝0．两实数根分别为x1、x2，且满足x12+x22=58，则实数m的值为 ．
【分析】根据方程有实数根，得到根的判别式大于等于0，求出m的范围即可，已知等式利用完全平方公式化简，再利用根与系数的关系将各自的值代入计算即可求出m的值．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2+2（m+2）x+m2﹣1＝0有实数根，
∴Δ≥0，即4（m+2）2﹣4（m2﹣1）≥0，
整理得：4m+5≥0，
解得：m≥−54，
∵该方程的两个实数根分别为x1，x2，
∴x1+x2＝﹣2（m+2），x1x2＝m2﹣1，
∵x12+x22=58，
∴（x1+x2）2﹣2x1x2＝58，
∴4（m+2）2﹣2（m2﹣1）＝58，
解得：m＝2或﹣10，
∵m≥−54，
∴实数m的值为2．
故答案为：2．
【点评】本题考查了根的判别式和根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根，则x1+x2=−ba，x1x2=ca．
【变式5-3】（2023春•蜀山区校级期中）已知关于x的一元二次方程x2+（2k﹣1）x﹣k﹣1＝0．
（1）求证：无论k取何值，此方程总有两个不相等的实数根；
（2）若方程有两个实数根x1、x2，且x1+x2﹣4x1x2＝2，求k的值．
【分析】（1）根据根的判别式得出Δ，据此可得答案；
（2）根据根与系数的关系得出x1+x2＝﹣（2k﹣1），x1x2＝﹣k﹣1，代入x1+x2﹣4x1x2＝2得出关于k的方程，解之可得答案．
【解答】（1）证明：∵Δ＝（2k﹣1）2﹣4×1×（﹣k﹣1）
＝4k2+1﹣4k+4k+4
＝4k2+5＞0，
∴无论k取何值，此方程总有两个不相等的实数根；
（2）解：由根与系数的关系得出：x1+x2＝﹣（2k﹣1），x1x2＝﹣k﹣1，
由x1+x2﹣4x1x2＝2得：﹣（2k﹣1）﹣4（﹣k﹣1）＝2，
解得：k＝﹣1.5．
【点评】本题主要考查根与系数的关系、根的判别式，解题的关键是掌握x1，x2是方程x2+px+q＝0的两根时，x1+x2＝﹣p，x1x2＝q．
【变式5-4】（2023•随州一模）关于x的一元二次方程（m﹣2）x2﹣2x+1＝0有两个实数根x1，x2．
（1）求m的取值范围；
（2）若（x1+1）（x2+1）＝﹣2，求m的值．
【分析】（1）根据一元二次方程的定义和根的判别式的意义得到m﹣2≠0且Δ＝（﹣2）2﹣4（m﹣2）≥0，然后求出两不等式的公共部分即可；
（2）先利用根与系数的关系得x1+x2=2m−2，x1x2=1m−2，再由（x1+1）（x2+1）＝﹣2得到2m−2+1m−2=−3，然后解分式方程即可．
【解答】解：（1）根据题意得m﹣2≠0且Δ＝（﹣2）2﹣4（m﹣2）≥0，
解得m≤3且m≠2，
即m的取值范围为m≤3且m≠2；
（2）根据根与系数的关系得x1+x2=2m−2，x1x2=1m−2，
∵（x1+1）（x2+1）＝﹣2，
∴（x1+x2）+x1x2＝﹣3，
∴2m−2+1m−2=−3，
方程化为3＝﹣3（m﹣2），
解得m＝1，
经检验m＝1为原方程的解，
∴m的值为1．
【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根，则x1+x2=−ba，x1x2=ca．也考查了根的判别式．
【变式5-5】已知x1，x2是关于x的一元二次方程x2﹣2（m+1）x+m2+5＝0的两个实数根．
（1）求：m的取值范围；
（2）若（x1﹣1）（x2﹣1）＝28，求m的值；
（3）已知等腰三角形ABC的一边长为7，若x1，x2恰好是三角形ABC另外两边的边长，求这个三角形的周长．
【分析】（1）由方程有两个相等的实数根结合根的判别式即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范围；
（2）根据根与系数的关系即可得出x1+x2＝2（m+1）、x1•x2＝m2+5，结合m的取值范围即可得出m的值；
（3）将x＝7代入方程求出m的值，将m的两个值分别代回原方程，分别解每一个方程求出x的值，根据三角形三边关系取舍，最后三边相加可得周长．
【解答】解：（1）由题意得△＝4（m+1）2﹣4（m2+5）≥0，
解得：m≥2；
（2）由题意可知：x1+x2＝2（m+1），x1x2＝m2+5，
由（x1﹣1）（x2﹣1）＝28得：
x1x2﹣（x1+x2）+1＝28，即m2﹣2m﹣24＝0，
解得：m＝6或m＝﹣4，
由（1）知m≥2，
∴m＝6；
（3）由题意，当7是底边时，x1＝x2，
∴△＝4（m+1）2﹣4（m2+5）＝0，解之m＝2，
此时原方程为x2﹣6x+9＝0，
解得x1＝x2＝3，
∵3+3＜7，不能组成三角形；
当7 是腰时，x1＝7或x2＝7，即7是方程的一个根，
将x＝7代入得：49﹣14（m+1）+m2+5＝0，解得：m＝4或m＝10，
当m＝4时方程的另一个根为3，此时三角形三边分别为7、7、3，
周长为17；
当m＝10时，方程的另一个根为15，7+7＜15，此时不能构成三角形；
综上述，三角形的周长为17．
【点评】本题考查了根与系数的关系以及根的判别式，等腰三角形性质，解题的关键是：（1）根据方程有两个不相等的实数根找出Δ＝8m﹣16≥0；（2）根据根与系数的关系得到关于m的方程；（3）熟悉方程的解及三角形三边关系．
【变式5-6】已知：平行四边形ABCD的两条边AB，AD的长是关于x的方程2x2﹣2mx+m−12=0的两个实数根．
（1）当m为何值时，四边形ABCD是菱形？求出这时菱形的边长；
（2）若AB＝2，求平行四边形ABCD的周长．
【分析】（1）根据菱形的性质可得出AB＝AD，结合根的判别式，即可得出关于m的一元二次方程，解之即可得出m的值，将其代入原方程，解之即可得出菱形的边长；
（2）将x＝2代入原方程可求出m的值，将m的值代入原方程结合根与系数的关系可求出方程的另一根AD的长，再根据平行四边形的周长公式即可求出▱ABCD的周长．
【解答】解：（1）∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝AD．
又∵AB、AD的长是关于x的方程2x2﹣2mx+m−12=0的两个实数根，
∴Δ＝（﹣2m）2﹣4×2×（m−12）＝2（m﹣1）2＝0，
∴m＝1，
∴当m为1时，四边形ABCD是菱形．
当m＝1时，原方程为2x2﹣2mx+m−12=0，即（x−12）2＝0，
解得：x1＝x2=12，
∴菱形ABCD的边长是12．
（2）把x＝2代入原方程，得：8﹣4m+m−12=0，
解得：m=52．
将m=52代入原方程，得：2x2﹣5x+2＝0，
∴方程的另一根AD＝1÷2=12，
∴□ABCD的周长是2×（2+12）＝5．
【点评】本题考查了根与系数的关系、根的判别式、平行四边形的性质以及菱形的判定与性质，解题的关键是：（1）根据菱形的性质结合根的判别式，找出关于m的一元二次方程；（2）根据根与系数的关系结合方程的一根求出方程的另一根．
题型六 已知两根求一元二次方程
【例题六】 （2022秋•固安县期末）已知一元二次方程的两根分别为x1＝﹣2，x2＝﹣3，则这个方程可以为（ ）
A．（x﹣1）（x+2）＝﹣3×（﹣1）B．（x+1）（x﹣3）＝﹣1×（﹣6）
C．12（x+2）（x+3）＝0D．12（x﹣2）（x﹣3）＝0
【分析】（方法一）由x1＝﹣2，x2＝﹣3，可得出x1+x2＝﹣5，x1•x2＝6，将四个选项中的方程变形为一般式，利用根与系数的关系可找出x1+x2，x1•x2的值，对比后即可得出结论；
（方法二）由一元二次方程的两根分别为x1＝﹣2，x2＝﹣3，可设这个方程为a（x+2）（x+3）＝0（a≠0），取a=12即可得出结论．
【解答】解：（方法一）∵x1＝﹣2，x2＝﹣3，
∴x1+x2＝﹣5，x1•x2＝6．
A．原方程可变形为x2+x﹣5＝0，
∴x1+x2＝﹣1，x1•x2＝﹣5，选项A不符合题意；
B．原方程可变形为x2﹣2x﹣9＝0，
∴x1+x2＝2，x1•x2＝﹣9，选项B不符合题意；
C．原方程可变形为x2+5x+6＝0，
∴x1+x2＝﹣5，x1•x2＝6，选项C符合题意；
D．原方程可变形为x2﹣5x+6＝0，
∴x1+x2＝5，x1•x2＝6，选项D不符合题意．
故选：C．
（方法二）∵一元二次方程的两根分别为x1＝﹣2，x2＝﹣3，
∴设这个方程为a（x+2）（x+3）＝0（a≠0），
当a=12时，这个方程为12（x+2）（x+3）＝0．
故选：C．
【点评】考查了根与系数的关系以及一元二次方程的解，解题的关键是：（方法一）牢记“两根之和等于−ba，两根之积等于ca”；（方法二）由一元二次方程的两根，找出原方程为a（x+2）（x+3）＝0（a≠0）．
【变式6-1】以2和﹣7为根的一元二次方程是（ ）
A．x2﹣x﹣9＝0B．x2+5x+14＝0
C．x2﹣10x﹣14＝0D．x2+5x﹣14＝0
【分析】先计算出2与﹣7的和、积，然后根据根与现实的关系写出满足条件的一元二次方程，从而得到正确答案．
【解答】解：∵2+（﹣7）＝﹣5，2×（﹣7）＝﹣14，
∴以2和﹣7为根的一元二次方程可为x2﹣5x﹣14＝0．
故选：D．
【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根，则x1+x2=−ba，x1x2=ca．
【变式6-2】（2022秋•昭阳区校级月考）已知实数x1，x2满足x1+x2＝3，x1x2＝﹣4，则以x1，x2为根的一元二次方程是（ ）
A．x2﹣3x﹣4＝0B．x2﹣3x+4＝0C．x2+3x﹣4＝0D．x2+3x+4＝0
【分析】把已知等式代入x2﹣（x1+x2）x+x1x2＝0中确定出所求即可．
【解答】解：∵实数x1，x2满足x1+x2＝3，x1x2＝﹣4，
∴以x1，x2为根的一元二次方程是x2﹣3x﹣4＝0．
故选：A．
【点评】此题考查了根与系数的关系，以及一元二次方程的解，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解本题的关键．
【变式6-3】（2022秋•泰兴市期中）若关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的解是x1＝2，x2＝﹣3，则关于y的方程a（y﹣1）2+b（y﹣1）+c＝0的解为（ ）
A．﹣2B．3C．﹣2或3D．以上都不对
【分析】根据关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的解是x1＝2，x2＝﹣3，可得y﹣1＝2或y﹣1＝﹣3，进一步求解即可．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的解是x1＝2，x2＝﹣3，
∴y﹣1＝2或y﹣1＝﹣3，
解得y＝3或y＝﹣2，
故选：C．
【点评】本题考查了一元二次方程的解，找出两方程之间的关系是解题的关键．
【变式6-4】若关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的解是x1＝1，x2＝﹣3，则关于y的一元二次方程a（y+1）2+b（y+1）+c＝0的解是（ ）
A．y1＝2，y2＝﹣4B．y1＝0，y2＝﹣4C．y1＝3，y2＝﹣3D．y1＝1，y2＝﹣3
【分析】观察两个方程可得出方程a（y+1）2+b（y+1）+c＝0的解是y1+1＝1，y2+1＝﹣3，进而可求出y1＝0，y2＝﹣4．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的解是x1＝1，x2＝﹣3，
∴关于（y+1）的一元二次方程a（y+1）2+b（y+1）+c＝0的解是y1+1＝1，y2+1＝﹣3，
∴关于y的一元二次方程a（y+1）2+b（y+1）+c＝0的解是y1＝0，y2＝﹣4．
故选：B．
【点评】本题考查了一元二次方程的解，利用一元二次方程的解，找出y1+1＝1，y2+1＝﹣3是解题的关键．
【变式6-5】在解一元二次方程x2+px+q＝0时，甲看错了一次项系数，得出的两个根分别为﹣9，﹣1；乙看错了常数项，得出的两个根分别为8，2，则这个方程为 ．
【分析】在一元二次方程x2+px+q＝0中，两根之积等于常数项与二次项系数的比值．
【解答】解：∵甲看错了一次项系数，没看错常数项，
∴q＝（﹣9）×（﹣1）＝9．
∵乙看错了常数项，没看错一次项系数，
∴p＝﹣（8+2）＝﹣10，
故这个方程为x2﹣10x+9＝0．
故答案为：x2﹣10x+9＝0．
【点评】本题考查根与系数的关系，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
【变式6-6】若x1+x2＝3，x12+x22＝5，则以x1，x2为根的一元二次方程是 ．
【分析】利用完全平方公式计算出x1x2＝2，然后根据根与系数的关系写出以x1，x2为根的一元二次方程．
【解答】解：∵x12+x22＝5，
∴（x1+x2）2﹣2x1x2＝5，
而x1+x2＝3，
∴9﹣2x1x2＝5，
∴x1x2＝2，
∴以x1，x2为根的一元二次方程为x2﹣3x+2＝0．
故答案为：x2﹣3x+2＝0．
【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2=−ba，x1•x2=ca．
题型七 根与系数的关系与新定义运算
【例题7】（2022春•环翠区期末）新定义运算：a※b＝a2﹣ab+b，例如2※1＝22﹣2×1+1＝3，则方程x※2＝5两根的平方和为（ ）
A．4B．8C．10D．不存在
【分析】已知方程利用题中的新定义化简，整理为一般形式，设两根分别为m，n，利用根与系数的关系求出m+n与mn，两根的平方和为m2+n2，利用完全平方公式化简，将各自的值代入计算求出值即可．
【解答】解：根据题中的新定义化简方程x※2＝5得：x2﹣2x+2＝5，
整理得：x2﹣2x﹣3＝0，
设方程两根分别为m，n，
∴m+n＝2，mn＝﹣3，
则m2+n2＝（m+n）2﹣2mn＝4+6＝10．
故选：C．
【点评】此题考查了根与系数的关系，弄清题中的新定义是解本题的关键．
【变式7-1】（2022秋•石阡县月考）对于任意实数a，b，我们定义新运算“*”：a*b＝a2+2ab﹣b2，例如：3*5＝32+2×3×5﹣52＝14．若m，n是方程（x+2）*3＝0的两个实数根，则1m+1n的值为（ ）
A．107B．﹣3C．17D．−107
【分析】根据所给的运算法则可得方程x2+10x+7＝0，再由根与系数的关系得m+n＝﹣10，mn＝7，再由此关系求解即可．
【解答】解：（x+2）*3＝（x+2）2+2×3（x+2）﹣32＝x2+10x+7＝0，
∴m+n＝﹣10，mn＝7，
∴1m+1n=m+nmn=−107，
故选：D．
【点评】本题考查一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系，弄清定义是解题的关键．
【变式7-2】（2022春•河口区期末）对于任意实数a，b，我们定义新运算“*”：a*b＝a2+2ab﹣b2，例如3*5＝32+2×3×5﹣52＝14．若m，n是方程（x+2）*3＝0的两根，则nm+mn的值为 ．
【分析】根据新定义先将方程化为一元二次方程，由根与系数的关系求得m+n＝﹣10，mn＝7，再结合分式的加减及完全平方公式代入计算可求解．
【解答】解：由题意得（x+2）*3＝0即为（x+2）2+6（x+2）﹣9＝0，
化简得x2+10x+7＝0，
∵m，n是该方程的两根，
∴m+n＝﹣10，mn＝7，
∴nm+mn=(m+n)2−2mnmn=100−147=867，
故答案为：867．
【点评】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，新定义，代数式求值，根据新定义将等式化为一元二次方程是解题的关键．
【变式7-3】对于实数a，b，定义运算“*”：a*b=a2−ab(a≥b)b−aa(a＜b)例如3*1，因为3＞1，所以3*1＝32﹣3×1＝6．若x1，x2是一元二次方程x2﹣4＝0的两个根，则x1*x2＝ ．
【分析】先解方程，可求得方程的两根，再分两种情况分别代入所给中的运算计算即可．
【解答】解：
解方程x2﹣4＝0可得x＝2或x＝﹣2，
当x1＝2，x2＝﹣2时，则x1*x2＝22﹣2×（﹣2）＝8，
当x1＝﹣2，x2＝2时，则x1*x2=2−(−2)−2=−2，
故答案为：8或﹣2．
【点评】本题为新定义题目，正确理解题目中所给运算是解题的关键，注意分情况讨论．
【变式7-4】对于实数a，b，定义新运算“*”：a*b=a2−ab(a≥b)ab−b2(a＜b)，
例如：4*2，因为4＞2，所以4*2＝42﹣4×2＝8
（1）求（﹣5）*（﹣3）的值；
（2）若x1，x2是元二次方程x2﹣5x+6＝0的两个根，求x1*x2的值．
【分析】（1）根据题中的新定义化简，计算即可得到结果；
（2）求出已知方程的解得到x1与x2的值，利用题中新定义计算即可得到结果．
【解答】解：（1）∵﹣5＜﹣3，
∴（﹣5）*（﹣3）＝15﹣9＝6；
（2）方程x2﹣5x+6＝0变形得：（x﹣2）（x﹣3）＝0，
解得：x＝2或x＝3，
当x1＝2，x2＝3时，x1*x2＝6﹣9＝﹣3；
当x1＝3，x2＝2时，x1*x2＝9﹣6＝3．
【点评】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
【变式7-5】对于实数a，b，定义新运算“*”：a*b=a2−ab(a≥b)ab−b2(a＜b)，例如：4*2，因为4＞2，所以4*2＝42﹣4×2＝8．
（1）求（﹣7）*（﹣2）的值；
（2）若x1，x2是一元二次方程x2﹣5x﹣6＝0的两个根，求x1*x2的值．
【分析】（1）根据题中的新定义化简，计算即可得到结果；
（2）求出已知方程的解得到x1与x2的值，利用题中新定义计算即可得到结果．
【解答】解：（1）∵﹣7＜﹣2，
∴（﹣7）*（﹣2）＝14﹣4＝10；
（2）方程x2﹣5x﹣6＝0变形得：（x+1）（x﹣6）＝0，
解得：x＝﹣1或x＝6，
当x1＝﹣1，x2＝6时，x1*x2＝﹣6﹣36＝﹣42；
当x1＝6，x2＝﹣1时，x1*x2＝36+6＝42．
【点评】此题考查了根与系数的关系，实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
【变式7-6】对于实数a，b，定义新运算a*b=a+b−ab(a≥b)2ab−a−b(a＜b)例如：5*3，∵5＞3，
∴5*3＝5+3﹣5x3＝﹣7．
（1）求（﹣6）*（﹣3）的值；
（2）若x1，x2是一元二次方程x2﹣mx﹣6＝0的两个实数根，x1*x2＝4，求m的值．
【分析】（1）利用新定义得到（﹣6）*（﹣3）＝2×（﹣6）×（﹣3）﹣（﹣6）﹣（﹣3），然后进行实数的混合运算；
（2）先根据根与系数的关系得到x1+x2＝m，x1x2＝﹣6，再根据新定义得到x1+x2﹣x1x2＝4或2x1x2﹣x1﹣x2＝4，则m﹣（﹣6）＝4或2×（﹣6）﹣m＝4，然后分别解关于m的方程即可．
【解答】解：（1）（﹣6）*（﹣3）＝2×（﹣6）×（﹣3）﹣（﹣6）﹣（﹣3）＝45；
（2）根据根与系数的关系得x1+x2＝m，x1x2＝﹣6，
∵x1*x2＝4，
∴x1+x2﹣x1x2＝4或2x1x2﹣x1﹣x2＝4，
当x1+x2﹣x1x2＝4时，m﹣（﹣6）＝4，解得m＝﹣2；
当2x1x2﹣x1﹣x2＝4时，2×（﹣6）﹣m＝4，解得m＝﹣16，
综上所述，m的值为﹣2或﹣16．
【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2=−ba，x1x2=ca．也考查了实数的运算．
解题技巧提炼
当常数项未知时，利用两根的和求另一根；当一次项系数未知时，利用两根的积求另一根．
解题技巧提炼
（1）利用根与系数的关系求出两根之和与两根之积.
（2）将求出的两根之和与两根之积直接代入代数式求值.
解题技巧提炼
（1）设法将求值式变形，使其含有两根之和与两根之积.
（2）将求出的两根之和与两根之积整体代入代数式求值.
解题技巧提炼
（1）设法将求值式利用将次来变形，使其含有两根之和与两根之积.
（2）将求出的两根之和与两根之积整体代入代数式求值.
解题技巧提炼
（1）利用根与系数的关系写出x1+x2和x1x2 的值；
（2）将已知等式转化为含x1+x2和x1x2 的形式；
（3）把x1+x2和x1x2 的值代入（2）中的等式，然后解方程即可．
解题技巧提炼
已知方程的两个根时，逆用根与系数的关系，还原一元二次方程，在还原过程中，主要符合问题．
解题技巧提炼
根据新定义运算列出方程，然后再利用一元二次方程的根与系数的关系来解决
问题.
解题技巧提炼
当常数项未知时，利用两根的和求另一根；当一次项系数未知时，利用两根的积求另一根．
解题技巧提炼
（1）利用根与系数的关系求出两根之和与两根之积.
（2）将求出的两根之和与两根之积直接代入代数式求值.
解题技巧提炼
（1）设法将求值式变形，使其含有两根之和与两根之积.
（2）将求出的两根之和与两根之积整体代入代数式求值.
解题技巧提炼
（1）设法将求值式利用将次来变形，使其含有两根之和与两根之积.
（2）将求出的两根之和与两根之积整体代入代数式求值.
解题技巧提炼
（1）利用根与系数的关系写出x1+x2和x1x2 的值；
（2）将已知等式转化为含x1+x2和x1x2 的形式；
（3）把x1+x2和x1x2 的值代入（2）中的等式，然后解方程即可．
解题技巧提炼
已知方程的两个根时，逆用根与系数的关系，还原一元二次方程，在还原过程中，主要符合问题．
解题技巧提炼
根据新定义运算列出方程，然后再利用一元二次方程的根与系数的关系来解决
问题.
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