初中数学苏科版（2024）九年级上册2.1 圆同步练习题

这是一份初中数学苏科版（2024）九年级上册2.1 圆同步练习题，共57页。试卷主要包含了5圆的有关性质大题专练，5秒时，连接BE，试说明等内容，欢迎下载使用。

一、解答题
1．（2021·江苏扬州·九年级期中）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC=8，点P为AB的中点，E为BC上一动点，过P点作FP⊥PE交AC于F点，经过P、E、F三点确定⊙O．
(1)试说明：点C也一定在⊙O上．
(2)点E在运动过程中，∠PFE的度数是否变化？若不变，求出∠PFE的度数；若变化，说明理由．
(3)求线段EF的取值范围，并说明理由．
2．（2021·江苏·淮安市洪泽实验中学九年级期中）如图，在⊙O的内接四边形ABCD中，∠DAE是四边形ABCD的一个外角，∠DAE ＝∠DAC．DB与DC相等吗？为什么？
3．（2021·江苏·无锡市江南中学九年级期中）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，点M在⊙O上，MD经过圆心O，连接MB．
（1）若CD＝16，BE＝4，求⊙O的半径；
（2）若∠M＝∠D，求∠D的度数．
4．（2021·江苏南京·九年级期中）请用无刻度直尺按要求画图，不写画法，保留画图痕迹．（用虚线表示画图过程，实线表示画图结果）
（1）如图1，在正方形网格中，有一圆经过了两个小正方形的顶点A，B，请画出这个圆的一条直径；
（2）如图2，BA，BD是⊙O中的两条弦，C是BD上一点，∠BAC＝50°，在图中画一个含有50°角的直角三角形．
5．（2021·江苏常州·九年级期中）如图，AB是⊙O的直径，E是⊙O上一点．
（1）请用圆规和直尺画BE的垂直平分线交⊙O于点C，点C位于AB上方（不写作法保留作图痕迹）
（2）设EA和BC的延长线相交于点D，试说明∠BCE＝2∠BDE．
6．（2021·江苏南京·九年级期中）如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，BD＝BC，BA、CD延长线交于点E．
（1）求证：∠EAD＝∠BAC；
（2）若AB的度数为64°，则∠E的度数为 °．
7．（2021·江苏南京·九年级期中）如图，⊙O经过菱形ABCD的B，D两顶点，分别交AB，BC，CD，AD于点E，F，G，H．
（1）求证AE＝AH；
（2）连接EF，FG，GH，EH，若BD是⊙O的直径，求证：四边形EFGH是矩形．
8．（2021·江苏无锡·九年级期中）如图1，在RtΔABC中，∠B＝90°，∠C＝40°，以AB为直径画⊙O交AC于点D， E是线段AB上的动点，延长DE交⊙O于F点，连接AF．
（1）如图1，求∠F的度数：
（2）如图2，当AE＝AD时，求∠DFO的度数．
9．（2021·江苏南京·九年级期中）如图，点A在⊙O上，用无刻度的直尺在⊙O上画出B、C两点，满足下列要求：
（1）在图①中，使得△ABC为直角三角形；
（2）在图②中，使得△ABC为等腰三角形．
10．（2021·江苏南京·九年级期中）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AC⊥BD，OF⊥AB，垂足分别是E、F．
（1）直接写出OF与CD的数量关系 ，并证明你的结论．
（2）若AB=2，CD=1．求⊙O的半径．
11．（2021·江苏省锡山高级中学实验学校九年级期中）如图所示，AB是⊙O的一条弦，OD⊥AB，垂足为E，交⊙O于点C、D，连结AD．
（1）若∠AOD＝54°，求∠BAD的度数；
（2）若AB＝25，ED＝1，求OA的长．
12．（2020·江苏南京·九年级期中）如图，在四边形ABCD中，AD//BC，⊙O经过点A、C、D，分别交边AB、BC于点E、F，连接DE、DF，且DE＝DF．
（1）求证：AB//CD；
（2）连接AF，求证：AB＝AF．
13．（2020·江苏苏州·九年级期中）如图，AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，且AC=BC，连接CD，交AB于点E，连接BC，BD．
（1）若∠AOD＝130°，求∠BEC的度数；
（2）∠ABD的平分线交CD于点F，求证：BC＝CF．
14．（2020·江苏苏州·九年级期中）如图，已知圆内接四边形ABDC中，∠BAC＝60°，AB＝AC，AD为它的对角线．
求证：AD＝BD+CD．
15．（2020·江苏·海安市海陵中学九年级期中）如图，AB为⊙O的直径，点C，D在⊙O上，且CD平分∠ACB，点E在CA延长线上．
（1）若∠ABC＝55°，求∠EAD的度数；
（2）若AD＝52，BC＝6，求AC的长．
16．（2021·江苏无锡·九年级期中）如图，⊙O为等边△ABC的外接圆，半径为2，点D在劣弧上运动（不与点A，B重合），连接DA，DB，DC．
（1）求证：DC是∠ADB的平分线；
（2）设四边形ADBC的面积为S，线段DC的长为x，试用含x的代数式表示S；
（3）若点M，N分别在线段CA，CB上运动（不含端点），经过探究发现，点D运动到每一个确定的位置，△DMN的周长有最小值t，随着点D的运动，t的值会发生变化，求所有t值中的最大值．
17．（2019·江苏南通·九年级期中）已知P是⊙O上一点，过点P作不过圆心的弦PQ，在劣弧PQ和优弧PQ上分别有动点A、B (不与P，Q重合)，连接AP、BP 若∠APQ=∠BPQ．

（1）如图1，当∠APQ=45°，AP=1，BP=22时，求⊙O的半径；
（2）如图2，选接AB，交PQ于点M，点N在线段PM上(不与P、M重合)，连接ON、OP，若∠NOP+2∠OPN=90°，探究直线AB与ON的位置关系，并证明．
18．（2019·江苏扬州·九年级期中）如图，BC是半⊙O的直径，点P是半圆弧的中点，点A是弧BP的中点，AD⊥BC于D，连结AB、PB、AC，BP分别与AD、AC相交于点E、F．
（1）求证：AE=BE；
（2）判断BE与EF是否相等吗，并说明理由；
（3）小李通过操作发现CF=2AB，请问小李的发现是否正确？若正确，请说明理由；若不正确，请写出CF与AB正确的关系式．
19．（2020·江苏·南师附中宿迁分校九年级期中）已知：如图（1），在⊙O中，直径AB=4,CD=2，直线AD,BC相交于点E．
（1）∠E的度数为___________；
（2）如图（2），AB与CD交于点F，请补全图形并求∠E的度数；
（3）如图（3），弦AB与弦CD不相交，求∠AEC的度数．
20．（2020·江苏·西附初中九年级期中）如图，已知△ABC是⊙O的内接三角形，AD是⊙O的直径，连结BD，BC平分∠ABD．
（1）求证：∠CAD=∠ABC；
（2）若AD=6，求CD的长．
21．（2019·江苏泰州·九年级期中）如图，是一块含30°（即∠CAB＝30°）角的三角板和一个量角器拼在一起，三角板斜边AB与量角器所在圆的直径MN恰好重合，其量角器最外缘的读数是从N点开始（即N点的读数为0°），现有射线CP绕点C从CA的位置开始按顺时针方向以每秒2度的速度旋转到CB位置，在旋转过程中，射线CP与量角器的半圆弧交于E．
（1）当旋转7.5秒时，连接BE，试说明：BE＝CE；
（2）填空：①当射线CP经过△ABC的外心时，点E处的读数是 ．
②当射线CP经过△ABC的内心时，点E处的读数是 ；
③设旋转x秒后，E点出的读数为y度，则y与x的函数式是y＝ ．
22．（2019·江苏·泰州中学附属初中九年级期中）水平地面上有一个圆形水池，直径AB长为6m，长为3m的一旗杆AC垂直于地面（AC与地面上所有直线都垂直）．
（1）若P为弧AB的中点，试说明∠BPC=90°
（2）若P弧AB为上任意一点（不与A、B重合），∠BPC=90°还成立吗，为什么？
（3）弧AB上是否存在点P使△PAB与△PAC相似，若存在求PBPA的值，不存在，说明理由．
23．（2021·江苏镇江·九年级期中）在⊙O中，弦CD与直径AB相交于点P．
(1)若∠ABC=62°，∠APC=100°，则∠BAD= ；∠CDB= ；
(2)若AD的度数为m度、BC的度数为n度，猜想：∠APD的度数与m、n之间的数量关系，并证明你的结论
24．（2021·江苏·海安市南莫中学九年级期中）在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为1.对于点A和线段BC，给出如下定义：若将线段BC绕点A旋转可以得到⊙O的弦B'C'（B'，C'分别是B，C的对应点），则称线段BC是⊙O的以点A为中心的“关联线段”．
（1）如图，点A，B1，C1，B2，C2，B3，C3的横、纵坐标都是整数．在线段B1C1，B2C2，B3C3中，⊙O的以点A为中心的“关联线段”是__________；
（2）△ABC是边长为1的等边三角形，点A0,t，其中t≠0．若BC是⊙O的以点A为中心的“关联线段”，求t的值；
（3）在△ABC中，AB=1，AC=2．若BC是⊙O的以点A为中心的“关联线段”，直接写出OA的最小值和最大值．
25．（2021·江苏·连云港市新海实验中学九年级期中）如图，已知圆O上依次有A、B、C、D四个点，AD=BC，连接AB、AD、BD，弦AB不经过圆心O，延长AB到E，使BE＝AB，连接EC，F是EC的中点，连接BF．
（1）若BD＝5，求BF的长；
（2）设G是BD的中点，探索：在圆O上是否存在一点P（不同于点B），使得PG＝PF？并说明PB与AE的位置关系．
26．（2021·江苏南京·九年级期中）AB、CD是⊙O中的两条等弦．
（1）如图①，点A与点C重合，求证：圆心O在∠BAD的平分线上；
（2）如图②，用直尺和圆规作弦CD⊥AB（保留作图痕迹，不写作法）；
（3）若⊙O的半径为2，AB=m，记弦AB、CD所在的直线交点为P，且两直线夹角为60°．直接写出点P与⊙O的位置关系及相应的m的取值范围．
27．（2020·江苏苏州·九年级期中）在同一个圆中两条互相垂直且相等的弦定义为等垂弦，两条弦所在直线的交点为等垂弦的分割点．如图①，AB、CD是⊙O的弦，AB＝CD，AB⊥CD，垂足为E，则AB、CD是等垂弦，E为等垂弦AB、CD的分割点．
（1）如图②，AB是⊙O的弦，作OC⊥OA、OD⊥OB，分别交⊙O于点C、D，连接CD．
求证：AB、CD是⊙O的等垂弦．
（2）在⊙O中，⊙O的半径为5，E为等垂弦AB、CD的分割点，BEAE=13．求AB的长度；
（3）AB、CD是⊙O的两条弦，CD＝12AB，且CD⊥AB，垂足为F．若⊙O的半径为r，AB＝mr（m为常数），垂足F与⊙O的位置关系随m的值变化而变化，请求出点F在⊙O内时对应的m的取值范围．
28．（2020·江苏·盐城市初级中学九年级期中）[阅读材料]如图1所示，对于平面内⊙P，在⊙P上有弦AB，取弦AB的中点M，我们把弦AB的中点M到某点或某直线的距离叫做弦AB到这点或者这条直线的“密距”例如：图1中线段MO的长度即为弦AB到原点O的“密距”，过点M作y轴的垂线交y轴于点N线段MN的长度即为弦AB到y轴的“密距”．
[类比应用]
已知⊙P的圆心为P（0，4），半径为2，弦AB的长度为2，弦AB的中点为M．
（1）当AB//y轴时，如图2所示，圆心P到弦AB的中点M的距离是____，此时弦AB到原点O的“密距”是 ；
（2）①如果弦AB在⊙P上运动，在运动过程中，圆心P到弦AB的中点M的距离变化吗?若不变化，请求出PM的长，若变化，请说明理由．
②直接写出弦AB到原点O的“密距”d的取值范围 ；
[拓展应用]如图3所示，已知⊙P的圆心为P（0，4），半径为2,点A（0，2），点B为⊙P上白一动点，有直线y=-x-3，弦AB到直线y=-x-3的“密距”的最大值是 ．（直接写出答案）
29．（2020·江苏南通·九年级期中）（1）如图1，四边形ABQP内接于⊙O，AP=BQ．求证PQ//AB．
（2）在△ABC中，AB=AC，点A在以BC为直径的半圆内，请你用无刻度的直尺分别按下列要求画图（保留画图痕迹），
①在图2中，作弦EF，使EF//BC；
②在图3中，以BC为边作一个45°的圆周角．
30．（2020·江苏宿迁·九年级期中）如图1，AB是⊙O的一条弦，点C是AmB上一点．
（1）若∠ACB=30°，AB=4．求⊙O的半径．
（2）如图2，若点P是⊙O外一点．点P、点C在弦AB的同侧．连接PA、PB．比较∠APB与∠ACB的大小关系，并说明理由．
（3）如图3．设点G为AC的中点，在AmB上取一点D．使得AD=BC，延长BA至E，使AE=AB，连接DE，F为DE的中点，过点A作BE的垂线，交⊙O于点P，连接PF，PG．写出PG与PF的数量关系，并说明理由．
2022-2023学年九年级数学上学期复习备考高分秘籍【苏科版】
专题2.5圆的有关性质大题专练（培优强化30题）
一、解答题
1．（2021·江苏扬州·九年级期中）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC=8，点P为AB的中点，E为BC上一动点，过P点作FP⊥PE交AC于F点，经过P、E、F三点确定⊙O．
(1)试说明：点C也一定在⊙O上．
(2)点E在运动过程中，∠PFE的度数是否变化？若不变，求出∠PFE的度数；若变化，说明理由．
(3)求线段EF的取值范围，并说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)∠PFE的度数不变，是45°
(3)42≤EF≤8．
【分析】（1）先根据直径所对的圆周角是直角，先证得EF是直径，然后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，证得点C在圆上即可；
（2）根据线段的垂直平分线的判定，可证得PE=PF，得到∠PCB=45°，进而根据∠PCB=45°以及等弧所对的圆周角相等即可解决问题；
（3）根据E点的移动，可知当E与C重合时，EF最长，而当EF为△ABC的中位线时，EF最短，即可求出线段EF的取值范围.
(1)
如图，连接OP,OC，
∵FP⊥PE，
∴∠FPE=90°，
∴EF为直径，
∴OP=OE=OF，
∵∠C=90°，
∴OC=OE=OF，
∴点C在⊙O上，
(2)
连接PC
∵AC=BC，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∵点P是AB的中点，
∴CP平分∠ACB，
∴∠ACP=45°，
∵EP=EP，
∴∠BCP=∠PFE=45°，
由于∠BCP的度数不变，
∴∠PFE的度数不会发生变化,为45°．
(3)
当E与C重合时，EF最长，此时EF=AC=8；
当EF为△ABC的中位线时，EF最短，根据勾股定理可得AB=82，
根据三角形的中位线可得EF=42，
所以42≤EF≤8．
【点睛】本题考查了直径所对的圆周角是90度，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，同弧所对的圆心角相等，三角形中位线的性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质，掌握以上定理是解题的关键．
2．（2021·江苏·淮安市洪泽实验中学九年级期中）如图，在⊙O的内接四边形ABCD中，∠DAE是四边形ABCD的一个外角，∠DAE ＝∠DAC．DB与DC相等吗？为什么？
【答案】相等，理由见解析．
【分析】先根据圆内接四边形的性质可得∠DAE=∠DCB，再根据圆周角定理可得∠DAC=∠DBC，然后根据等量代换可得∠DCB=∠DBC，最后根据等腰三角形的判定即可得出结论．
【详解】解：DB=DC，理由如下：
∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，且∠DAE是四边形ABCD的一个外角，
∴∠DAE=∠DCB，
由圆周角定理得：∠DAC=∠DBC，
∵∠DAE=∠DAC，
∴∠DCB=∠DBC，
∴DB=DC．
【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质、圆周角定理等知识点，熟练掌握圆内接四边形的性质是解题关键．
3．（2021·江苏·无锡市江南中学九年级期中）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，点M在⊙O上，MD经过圆心O，连接MB．
（1）若CD＝16，BE＝4，求⊙O的半径；
（2）若∠M＝∠D，求∠D的度数．
【答案】（1）10；（2）30°
【分析】（1）先根据CD=16，BE=4，设OB=x，则OD=x, 得出OE的长，再利用勾股定理列方程，解方程即可；
（2）由∠M=∠D，∠DOB=2∠D，结合直角三角形两锐角互余可以求得结果；
【详解】解：（1）∵AB⊥CD，CD=16，
∴CE=DE=8，
设OB=x，则OD=x,
又∵BE=4，
∴OE=x−4,
∵OD2=OE2+DE2,
∴x2=(x−4)2+82，
解得：x=10，
∴⊙O的半径是10．
（2）∵∠M=12∠BOD，∠M=∠D，
∴∠D=12∠BOD，
∵AB⊥CD，
∴∠D+∠BOD=3∠D=90°,
∴∠D=30°．
【点睛】本题考查了的是垂径定理，圆周角定理，勾股定理的应用，直角三角形的两锐角互余，掌握“垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的弧”是解题的关键．
4．（2021·江苏南京·九年级期中）请用无刻度直尺按要求画图，不写画法，保留画图痕迹．（用虚线表示画图过程，实线表示画图结果）
（1）如图1，在正方形网格中，有一圆经过了两个小正方形的顶点A，B，请画出这个圆的一条直径；
（2）如图2，BA，BD是⊙O中的两条弦，C是BD上一点，∠BAC＝50°，在图中画一个含有50°角的直角三角形．
【答案】（1）见解析；（2）见解析．
【分析】（1）根据垂径定理可得，AB的垂直平分线过圆心，连接AB，利用网格找到相应的格点，作出弦AB的垂直平分线即可；
（2）根据直径所对的圆周角是直角，同弧所对的圆周角相等，即可画出一个含有50°角的直角三角形．
【详解】解：（1）如图1，线段EF即为所求；
（2）如图2，Rt△BEF即为所求．
【点睛】本题考查作图，应用与设计，垂径定理、圆周角定理，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
5．（2021·江苏常州·九年级期中）如图，AB是⊙O的直径，E是⊙O上一点．
（1）请用圆规和直尺画BE的垂直平分线交⊙O于点C，点C位于AB上方（不写作法保留作图痕迹）
（2）设EA和BC的延长线相交于点D，试说明∠BCE＝2∠BDE．
【答案】（1）见详解；（2）见详解
【分析】（1）分别以E、B为圆心，大于12BE为半径，画圆弧交于两点，进而即可作出BE的中垂线交⊙O于点C；
（2）先推出DE∥CF，从而可得∠BDE=∠BCF，结合等腰三角形的性质，即可求解．
【详解】解：（1）如图所示：
（2）∵AB是⊙O的直径，
∴∠AEB=90°，
∵CF是BE的垂直平分线，
∴∠CFB=90°，CE=CB，
∴DE∥CF，
∴∠BDE=∠BCF，
又∵∠BCF=∠ECF，
∴∠BCE＝2∠BDE．
【点睛】本题主要考查尺规作图和圆周角定理的推论，熟练掌握尺规作垂直平分线的基本步骤是解题的关键．
6．（2021·江苏南京·九年级期中）如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，BD＝BC，BA、CD延长线交于点E．
（1）求证：∠EAD＝∠BAC；
（2）若AB的度数为64°，则∠E的度数为 °．
【答案】（1）见解析；（2）32
【分析】（1）根据圆内接四边形的性质得到∠BAD+∠BCD＝180°，进而得到∠EAD＝∠BCD，再根据圆周角定理、等腰三角形的性质证明即可；
（2）先求出∠ACB＝32°，圆内接四边形性质得出∠EDA＝∠ABC，再根据三角形内角和定理计算得出∠E=180°-∠EAD-∠EDA=180°-∠BAC-∠ABC=∠ACB，求出∠E．
【详解】（1）证明：∵四边形ABCD为⊙O的内接四边形，
∴∠BAD+∠BCD＝180°，
∵∠BAD+∠EAD＝180°，
∴∠EAD＝∠BCD，
∵BD＝BC，
∴∠BDC＝∠BCD，
由圆周角定理得：∠BAC＝∠BDC=∠BCD，
∴∠EAD＝∠BAC；
（2）解：∵AB的度数为64°，
∴∠ACB＝32°，
∵四边形ABCD为⊙O的内接四边形，
∴∠EDA＝∠ABC，
∵∠EAD＝∠BAC，
∴∠E=180°-∠EAD-∠EDA=180°-∠BAC-∠ABC=∠ACB，
∴∠E＝∠ACB＝32°，
故答案为：32．
【点睛】本题考查圆内接四边形的性质，圆周角性质，等腰三角形性质，三角形内角和，掌握圆内接四边形的性质，圆周角性质，等腰三角形性质，三角形内角和是解题关键．
7．（2021·江苏南京·九年级期中）如图，⊙O经过菱形ABCD的B，D两顶点，分别交AB，BC，CD，AD于点E，F，G，H．
（1）求证AE＝AH；
（2）连接EF，FG，GH，EH，若BD是⊙O的直径，求证：四边形EFGH是矩形．
【答案】（1）见解析；（2）见解析
【分析】（1）连接DE、BH，根据菱形的性质，证明△ADE≌△ABH即可；
（2）连接DE，DF，根据圆的性质，证明△ADE≌△CDF和△AEH≌△CFG，
后运用有一个角是直角的平行四边形是矩形完成证明．
【详解】（1）证明：连接DE、BH，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝AD．
∵∠A＝∠A，∠ADE＝∠ABH，
∴△ADE≌△ABH．
∵AE＝AH．
（2）连接DE，DF．
∵BD是⊙O的直径，
∴∠BED＝∠BFD＝90°．
∴∠AED＝∠CFD＝90°．
∵AD＝CD，∠A＝∠C，
∴△ADE≌△CDF．
∴AE＝CF
∵用（1）中同样的方法可证CF＝CG
∴AH＝CG．
∴△AEH≌△CFG．
∴EH＝FG．
∴∠AHE＝∠AEH＝90°－12∠A，∠ADB＝∠ABD＝90°－12∠A，
∴∠AHE＝∠ADB
∴EH∥BD
同理可证FG∥BD，
∴EH∥FG
∴四边形EFGH是平行四边形．
∴∠FEH＝∠FGH．
又∵四边形EFGH是⊙O的内接四边形，
∴∠FEH＋∠FGH＝180°，
∴∠FEH＝90°，
∴四边形EFGH是矩形．
【点睛】本题考查了菱形的性质，圆的性质，三角形全等的判定和性质，平行四边形的判定和性质，矩形的判定，熟练菱形的性质，矩形的判定是解题的关键．
8．（2021·江苏无锡·九年级期中）如图1，在RtΔABC中，∠B＝90°，∠C＝40°，以AB为直径画⊙O交AC于点D， E是线段AB上的动点，延长DE交⊙O于F点，连接AF．
（1）如图1，求∠F的度数：
（2）如图2，当AE＝AD时，求∠DFO的度数．
【答案】（1）40°；（2）15°
【分析】（1）根据直角三角形的性质先求出∠BAC，连接DO，求出∠AOD，再根据圆周角的性质求出∠F；
（2）连接DO，同（1）先求出∠AFD，根据AE=AD得到∠AED=65°，故可求出∠FAO=25°，根据等腰三角形的性质求出∠AFO，故可得到∠DFO的度数．
【详解】（1）∵∠B＝90°，∠C＝40°
∴∠BAC=50°，
连接DO，
∵AO=DO
∴∠ADO=∠BAC=50°，
∴∠AOD=180°-∠ADO-∠BAC=80°
∴∠F=12∠AOD=40°；
（2）连接DO，同（1）先求出∠BAC=50°，∠AFD=40°
∵AE=AD
∴∠AED=12180°−∠BAC=65°，
∴∠FAO=∠AED-∠AFD=25°，
又AO=FO
∴∠AFO=∠FAO=25°，
∴∠DFO=∠AFD-∠AFO=15°．
【点睛】此题主要考查圆内角度求解，解题的关键是熟知圆周角的性质、等腰三角形的性质和外角定理的运用．
9．（2021·江苏南京·九年级期中）如图，点A在⊙O上，用无刻度的直尺在⊙O上画出B、C两点，满足下列要求：
（1）在图①中，使得△ABC为直角三角形；
（2）在图②中，使得△ABC为等腰三角形．
【答案】（1）见解析；（2）见解析
【分析】（1）根据直径所对的圆周角是90°即可作图；
（2）根据三角形垂心的性质和垂径定理即可作图．
【详解】（1）如图①即为所求；
（2）如图②即为所求．
【点睛】此题主要考查根据圆的性质作图，解题的关键是熟知直径所对的圆周角是直角．
10．（2021·江苏南京·九年级期中）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AC⊥BD，OF⊥AB，垂足分别是E、F．
（1）直接写出OF与CD的数量关系 ，并证明你的结论．
（2）若AB=2，CD=1．求⊙O的半径．
【答案】（1）OF=12CD，证明见解析；（2）⊙O的半径为52
【分析】（1）连接AO并延长交⊙O于点G，连接CB、BG，根据点OF分别是AGAB中点，得到OF是△ABG的中位线，则有OF=12BG，再根据同弧所对的圆周角相等可得∠AGB=∠ECB，直径所对的圆周角是直角可得∠ABG=90°，则有∠BAG+∠AGB=90°，根据AC⊥BD，∠ECB+∠EBC=90°，从而可得∠BAG=∠EBC，BG=CD，继而可得OF=12CD；
（2）在Rt△AOF中，根据勾股定理可求得⊙O的半径．
【详解】解：（1）OF=12CD， 理由如下：
连接AO并延长交⊙O于点G，连接CB、BG，
∵OF⊥AB，
∴AF=BF，
∵AO=GO，
∴OF是△ABG的中位线，
∴OF=12BG，
∵AG是⊙O的直径，
∴∠ABG=90°，
∴∠BAG+∠AGB=90°，
∵AC⊥BD，
∴∠CEB=90°，
∴∠ECB+∠EBC=90°，
∵∠AGB=∠ECB，
∴∠BAG=∠EBC，
即∠BAG=∠EBC，
∴BG=CD，
∴OF=12CD；
（2）由（1）得：OF=12CD=12，AF=BF=12AB=1，
在Rt△AOF中，OA=AF2+OF2=12+(12)2=52，
∴⊙O的半径为52 ．
【点睛】本题考查了三角形中位线定理，圆周角定理，圆周角、弧、弦之间的关系，解题的关键是能够作辅助线构造以OF为中位线的三角形．
11．（2021·江苏省锡山高级中学实验学校九年级期中）如图所示，AB是⊙O的一条弦，OD⊥AB，垂足为E，交⊙O于点C、D，连结AD．
（1）若∠AOD＝54°，求∠BAD的度数；
（2）若AB＝25，ED＝1，求OA的长．
【答案】（1）∠BAD的度数为27°；（2）OA的长为3．
【分析】（1）根据垂径定理可得AD=BD，然后根据等弧所对的圆心角相等即可得出结论；
（2）设半径是r，根据垂径定理即可求出AE，根据勾股定理列出方程即可求出r，从而求出结论．
【详解】解：（1）∵OD⊥AB，
∴AD=BD，
∴∠DOB=∠AOD=54°，
∴∠BAD=12∠BOD=12×54°=27°．
∴∠BAD的度数为27°；
（2）设半径是r，则OE=OD−ED=r−1，
∵OD⊥AB，OD为半径，
∴AE=12AB=5，
在直角△AOE中，OE2+AE2=OA2，
则r−12+52=r2，
解得r=3，
∴OA的长为3．
【点睛】此题考查的是垂径定理和勾股定理，圆周角定理，掌握圆周角定理，垂径定理和勾股定理会联合应用是解题关键．
12．（2020·江苏南京·九年级期中）如图，在四边形ABCD中，AD//BC，⊙O经过点A、C、D，分别交边AB、BC于点E、F，连接DE、DF，且DE＝DF．
（1）求证：AB//CD；
（2）连接AF，求证：AB＝AF．
【答案】（1）见解析；（2）见解析．
【分析】（1）借助弦相等对应的弧相等，弧相等所对的圆周角得到∠A＝∠C，进而AB∥CD；
（2）连接AF，，由（1）知四边形ABCD是平行四边形，得到∠B＝∠AFB，故AB＝AF．
【详解】解：（1）∵AD//BC，
∴∠A+∠B＝180°，
∵DE＝DF，
∴DAE=DCF ，
∴DAE+EF=DCF+EF，
∴DAF=DCE，
∴∠A＝∠C，
∴∠B+∠C＝180°，
∴AB//CD；
（2）连接AF，
∵AB//CD，AD//BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴∠B＝∠D，
∵四边形AFCD是圆内接四边形，
∴∠AFC+∠D＝180°，
∵∠AFC+∠AFB＝180°，
∴∠AFB＝∠D＝∠B，
∴AB＝AF．
【点睛】本题主要考查圆周角定理，解题关键是熟练掌握在同圆或者等圆中，有两条弦、两条弧、两个圆周角，其中有一组量相等，其它的量全部相等．
13．（2020·江苏苏州·九年级期中）如图，AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，且AC=BC，连接CD，交AB于点E，连接BC，BD．
（1）若∠AOD＝130°，求∠BEC的度数；
（2）∠ABD的平分线交CD于点F，求证：BC＝CF．
【答案】（1）∠BEC＝110°；（2）证明见解析．
【分析】（1）连接AC，求出∠A＝∠ABC＝45°，由三角形外角的性质可得出答案；
（2）由角平分线的定义得出∠EBF＝∠DBF，由圆周角定理得出∠ABC＝∠CDB，证得∠CBF＝∠CFB，则可得出结论
【详解】解：（1）连接AC，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵AC=BC，
∴∠A＝∠ABC＝45°，
∵∠AOD＝130°，
∴∠ACD＝65°，
∵∠BEC是△ACE的外角，
∴∠BEC＝∠A+∠ACD＝110°．
（2）证明：∵BF平分∠ABD，
∴∠EBF＝∠DBF，
∵AC=BC，
∴∠ABC＝∠CDB，
又∵∠CFB＝∠FBD+∠FDB，∠CBF＝∠ABC+∠EBF，
∴∠CBF＝∠CFB，
∴CF＝BC．
【点睛】本题考查了圆周角定理，等腰三角形的判定与性质，角平分线的性质，三角形的外角的性质，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．
14．（2020·江苏苏州·九年级期中）如图，已知圆内接四边形ABDC中，∠BAC＝60°，AB＝AC，AD为它的对角线．
求证：AD＝BD+CD．
【答案】见解析．
【分析】连接BC，证明∠ADB＝∠ADC＝60°，在AD上取点E、F，使DE＝DB、DF＝DC，连接BE、CF，证明△BDE、△CDF为正三角形，再证明∠AEB＝∠CFA＝120°，∠EAB＝∠FCA，证明△ABE≌△CAF，可得AE＝CF，从而可得结论．
【详解】解：连接BC，∵ ∠BAC＝60°，AB＝AC，
∴ △ABC为等边三角形，
∴ ∠ABC＝∠ACB＝60°，
∵AC=AC,AB=AB,
∴ ∠ADC＝∠ABC=60°, ∠ADB＝∠ACB=60°,
在AD上取点E、F，使DE＝DB、DF＝DC，连接BE、CF，
∴△BDE、△CDF为等边三角形，
∴∠DEB＝∠DFC＝60°，DE=BD,CF=DC,
∴∠AEB＝∠CFA＝120°，
又∠FAC+∠FCA＝∠DFC＝60°、∠FAC+∠EAB＝∠BAC＝60°，
∴∠EAB＝∠FCA，
在△ABE和△CAF中，
∵{∠EAB=∠FCA∠AEB=∠CFAAB=AC
∴△ABE≌△CAF（AAS），
∴AE＝CF，
∴AD＝DE+AE＝BD+FC＝BD+CD．
【点睛】本题考查的是等边三角形的性质与判定，全等三角形的判定与性质，圆周角定理，掌握以上知识是解题的关键．
15．（2020·江苏·海安市海陵中学九年级期中）如图，AB为⊙O的直径，点C，D在⊙O上，且CD平分∠ACB，点E在CA延长线上．
（1）若∠ABC＝55°，求∠EAD的度数；
（2）若AD＝52，BC＝6，求AC的长．
【答案】(1)100°；(2)8
【分析】(1)由AB是直径得到∠ACB=90°，由CD平分∠ACB得到∠DCB=45°，由同弧所对的圆周角相等得到∠BAD=∠DCB=45°，由∠ABC=55°得到∠CAB=35°，由此即可求出∠EAD；
(2)由CD平分∠ACB得到劣弧AD等于劣弧BD，进而得到AD=BD=52，在Rt△ADB中由勾股定理求出AB，然后再在Rt△ABC中由勾股定理即可求出AC．
【详解】解：(1)∵AB是圆O的直径，∴∠ACB=90°，
∵CD平分∠ACB，∴∠DCB=45°，
∴∠BAD=∠DCB=45°，
∵∠ABC=55°，∴∠CAB=90°-∠ABC=90°-55°=35°，
∴∠EAD=180°-∠CAB-∠BAD=180°-35°-45°=100°，
故答案为：100°；
(2)∵CD平分∠ACB，∴劣弧AD=劣弧BD，
即AD=BD=52，
∵AB为圆O的直径，∴∠ADB=90°，
在Rt△ADB中，由勾股定理可得：AB2=AD2+BD2=(52)2+(52)2=100，
在Rt△ACB中，由勾股定理可得：AC=AB2−BC2=100−36=8，
故答案为：8．
【点睛】本题考查了圆周角定理及其推论，勾股定理等相关知识点，熟练掌握圆周角定理是解决本题的关键．
16．（2021·江苏无锡·九年级期中）如图，⊙O为等边△ABC的外接圆，半径为2，点D在劣弧上运动（不与点A，B重合），连接DA，DB，DC．
（1）求证：DC是∠ADB的平分线；
（2）设四边形ADBC的面积为S，线段DC的长为x，试用含x的代数式表示S；
（3）若点M，N分别在线段CA，CB上运动（不含端点），经过探究发现，点D运动到每一个确定的位置，△DMN的周长有最小值t，随着点D的运动，t的值会发生变化，求所有t值中的最大值．
【答案】（1）见解析；（2）S=34x2；（3）t值中的最大值是43.
【分析】（1）用同弧所对圆周角相等证即可，
（2）如图所示，延长DA到点E，使EA=DB，由△ABC为等边三角形，推得∠EAC= =∠DBC
证△DBC≌△EAC（SAS）得出S四边形ADBC=S△DEC，可证△DEC为等边三角形S=12x·x·sin60°
再限定范围，
（3）分别作点D关于BC，AC的对称点D1，D2，要使△DMN周长最小，则当D1、M、N、D2共线时取最小值，则△DMN周长的最小值为D1D2的长，即t= D1D2,有对称知△C D1D2,为底角是30 º，则D2H=D1H=CD2×cs30º，则D1D2=3x，给出23【详解】（1）证明△ABC是等边三角形，
∠BAC=∠ABC=60º，
BC弧所对圆周角相等，
∠BDC=∠BAC=60º，
AC弧所对圆周角相等，
∠ADC=∠ABC=60º，
∠BDC=∠ADC，
AD平分∠ADB，
（2）如图所示，延长DA到点E，使EA=DB，
∴△ABC为等边三角形，
∴∠BAC=∠ABC=60º，AC=BC，
∴∠ADC=∠BDC=∠BAC=60º，
在△ADB中，
∠DAB+∠DBA=180º-∠ADC-∠BDC=60º，
则∠EAC=180º-∠BAC-∠DAB=180º-60º-(60º-∠DAB)=60º+∠DBA=∠DBC，
在△DBC和△EAC中，
因为DB=EA，∠DBC=∠EAC，BC=AC，
△DBC≌△EAC（SAS），
∴S四边形ADBC=S△DEC，DC=EC，∠ADC=60º，
△DEC为等边三角形，
S=12x·x·sin60°=34x2，
⊙O为等边△ABC的外接圆，半径为2，
边长为2×2×cs30º=23，
则23S=34x2(23（3）如图所示，分别作点D关于BC，AC的对称点D1，D，要使△DMN周长最小，则当D1、M、N、D2共线时取最小值，
连结D1，D2与BC的交点N，与AC的交点M，
DM=D2M，DN=D1N，则△DMN周长的最小值为D1D2的长，即t= D1D2，
过点C作CH⊥D1D2，由对称性DC=D1C=D2C=x，
∠DCB=∠D1CB，∠DCA=∠D2CA，
因为∠ACB=60º，
则∠D1CD2=∠D1CB+∠DCB+∠DCA+∠D2CA=2∠BCA=120º，
由因为D1C=D2C，所以∠CD2D1=∠CD1D2=30º，
则D2H=D1H=CD2×cs30º=32x，
则D1D2=3x，
因为23所以t的最大值为43．
【点睛】本题考查圆中的计算问题，全等三角形的判定以及三角函数，会利用用同弧所对圆周角来证角相等，掌握三角形的证明方法，会用等边三角形△ABC，推得∠EAC= =∠DBC条件，来证△DBC≌△EAC（SAS）得出S四边形ADBC=S△DEC，会证△DEC为等边三角形，利用面积公式求S，会限定范围，会利用对称性确定△DMN周长最小，当D1、M、N、D2共线时，会求△DMN周长的最小值为D1D2的长，由对称推得△C D1D2,为底角是30 º，会用三角函数求D2H=D1H是关键．
17．（2019·江苏南通·九年级期中）已知P是⊙O上一点，过点P作不过圆心的弦PQ，在劣弧PQ和优弧PQ上分别有动点A、B (不与P，Q重合)，连接AP、BP 若∠APQ=∠BPQ．

（1）如图1，当∠APQ=45°，AP=1，BP=22时，求⊙O的半径；
（2）如图2，选接AB，交PQ于点M，点N在线段PM上(不与P、M重合)，连接ON、OP，若∠NOP+2∠OPN=90°，探究直线AB与ON的位置关系，并证明．
【答案】（1） ☉O的半径是32；（2）AB∥ON，证明见解析
【分析】(1) 连接AB，根据题意可AB为直径，再用勾股定理即可．
(2) 连接OA，OB，OQ，根据圆周角定理可得∠AOQ=2∠APQ,∠B0Q=2∠BPO，从而证出
OC⊥AB， 延长PO交☉0于点R，则有2∠OPN=∠QOR，再根据三角形内角和定理求得∠OQN=90°得证．
【详解】解：（1）连接AB，
在☉中，
∵∠APQ=∠BPQ=45，
∴∠APB=∠APQ+∠BPQ=90
∴AB是☉0的直径．
∴在RtΔAPB中，AB=AP2+BP2
∴AB=3
∴☉0的半径是32
（2）AB//ON
证明：连接OA， OB， OQ，
在☉0中，
∵AQ=AQ， BQ=BQ，
∴∠AOQ=2∠APQ,∠B0Q=2∠BPO．
又∵∠APQ=∠BPQ，
∴∠AOQ=∠BOQ．
在ΔAOB中，OA=OB， ∠AOQ=∠BOQ，
∴OC⊥AB，即∠OCA=90
连接OQ，交AB于点C
在☉0中，OP=OQ
∴∠OPN=∠OQP.
延长PO交☉0于点R，则有2∠OPN=∠QOR
∴∠NOP+2∠OPN=90，
又:∠NOP+∠NOQ+∠QOR=180，
∴∠NOQ=90O
∴∠NOQ+∠OCA=180O ．
∴AB//ON
【点睛】本题考查了圆周角定理，勾股定理、等腰三角形的性质以及三角形的内角和定理，是一道综合题，灵活运用相关知识是解题的关键．
18．（2019·江苏扬州·九年级期中）如图，BC是半⊙O的直径，点P是半圆弧的中点，点A是弧BP的中点，AD⊥BC于D，连结AB、PB、AC，BP分别与AD、AC相交于点E、F．
（1）求证：AE=BE；
（2）判断BE与EF是否相等吗，并说明理由；
（3）小李通过操作发现CF=2AB，请问小李的发现是否正确？若正确，请说明理由；若不正确，请写出CF与AB正确的关系式．
【答案】（1）见解析；（2）BE=EF，理由见解析；（3）小李的发现是正确的，理由见解析
【分析】（1）如图1，连接AP，由BC是半⊙O的直径，AD⊥BC于D，得到∠ACB+∠ABC=∠BAD+∠ABD=90°，于是得到∠ACB=∠BAD，根据圆周角定理得到∠P=∠ACB=∠ABP，即可求出结论；
（2）根据圆周角定理求出∠ABE=∠BAE，求出AE=BE，求出∠CAD=∠AFB，求出AE=EF，即可得出答案；
（3）根据全等三角形的性质和判定求出BG=CF，AB=AG，即可得出答案．
【详解】（1）如图1，连接AP，
∵BC是半⊙O的直径，
∴∠BAC=90°，
∵AD⊥BC于D，
∴∠ADB=90°，
∴∠ACB+∠ABC=∠BAD+∠ABD=90°，
∴∠ACB=∠BAD，
∵点A是弧BP的中点，
∴∠P=∠ACB=∠ABP，
∴∠ABE=∠BAE，
∴AE=BE；
（2）BE=EF，
理由是：∵BC是直径，AD⊥BC，
∴∠BAC=∠ADC=90°，
∴∠BAD=∠ACB，
∵A为弧BP中点，
∴∠ABP=∠ACB，
∴∠BAD=∠ABP，
∴BE=AE，∠FAD=∠AFB，
∴EF=AE，
∴BE=EF；
（3）小李的发现是正确的，
理由是：如图2，延长BA、CP，两线交于G，
∵P为半圆弧的中点，A是弧BP的中点，
∴∠PCF=∠GBP，∠CPF=∠BPG=90°，BP=PC，
在△PCF和△PBG中，
∠PCF＝∠PBGPC＝BP∠CPF＝∠BPG，
∴△PCF≌△PBG（ASA），
∴CF=BG，
∵BC为直径，
∴∠BAC=90°，
∵A为弧BP中点，
∴∠GCA=∠BCA，
在△BAC和△GAC中，
∠CAB＝∠CAGAC＝AC∠BCA＝∠GCA
∴△BAC≌△GAC（ASA），
∴AG=AB=12BG，
∴CF=2AB．
【点睛】本题考查了圆周角定理，圆心角、弧、弦之间的关系，全等三角形的性质和判定等知识点的应用，主要考查学生综合运用性质进行推理和计算的能力，题目综合性比较强，有一定的难度．
19．（2020·江苏·南师附中宿迁分校九年级期中）已知：如图（1），在⊙O中，直径AB=4,CD=2，直线AD,BC相交于点E．
（1）∠E的度数为___________；
（2）如图（2），AB与CD交于点F，请补全图形并求∠E的度数；
（3）如图（3），弦AB与弦CD不相交，求∠AEC的度数．
【答案】（1）60°；（2）见解析，60°；（3）60°
【分析】（1）连结OD，OC，BD，根据已知得到△DOC为等边三角形，根据直径所对的圆周角是直角，求出∠E的度数；
（2）同理解答（2）（3）．
【详解】（1）如图（1），连接OD,OC,BD．∵OD=OC=CD=2,∴△DOC为等边三角形，∴∠DOC=60°,∴∠DBC=30°．∵AB为直径，∴∠ADB=90°,∴∠BDE=90°，∴∠E=90°−30°=60°．故答案为60°．
（2）如图（2），直线AD,CB交于点E，连接OD,OC,AC．
∵OD=OC=CD=2,∴△DOC为等边三角形，∴∠DOC=60°,∴∠DAC=30°．∵AB为直径，∴∠ACB=∠ADB=90°，∴∠CBD=360°−90°−90°−30°=150°,∴∠EBD=30°，∴∠E=90°−30°=60°，
（3）如图（3），连接OD,OC．∵OD=OC=CD=2，∴△DOC为等边三角形，∴∠DOC=60°,∴∠CBD=30°，∵AB为直径，∴∠ADB=90°,∴∠BED=60°，∴∠AEC=60°．
【点睛】本题考查的是圆周角定理及其推论、等边三角形的性质，解题的关键是正确作出辅助线，构造直角三角形，利用直径所对的圆周角是直角进行解答．
20．（2020·江苏·西附初中九年级期中）如图，已知△ABC是⊙O的内接三角形，AD是⊙O的直径，连结BD，BC平分∠ABD．
（1）求证：∠CAD=∠ABC；
（2）若AD=6，求CD的长．
【答案】（1）证明见解析；（2）32π．
【分析】（1）利用角平分线的性质结合圆周角定理即可证明；
（2）可证得CD=AC，则CD的长为圆周长的14．
【详解】（1）证明：∵BC平分∠ABD，
∴∠DBC=∠ABC，
∵∠CAD=∠DBC，
∴∠CAD=∠ABC；
（2）解：∵∠CAD=∠ABC，
∴CD=AC，
∵AD是⊙O的直径，且AD=6，
∴CD的长=14×π×6=32π．
【点睛】本题考查了角平分线的性质以及圆周角定理，证得CD=AC是解(2)题的关键．
21．（2019·江苏泰州·九年级期中）如图，是一块含30°（即∠CAB＝30°）角的三角板和一个量角器拼在一起，三角板斜边AB与量角器所在圆的直径MN恰好重合，其量角器最外缘的读数是从N点开始（即N点的读数为0°），现有射线CP绕点C从CA的位置开始按顺时针方向以每秒2度的速度旋转到CB位置，在旋转过程中，射线CP与量角器的半圆弧交于E．
（1）当旋转7.5秒时，连接BE，试说明：BE＝CE；
（2）填空：①当射线CP经过△ABC的外心时，点E处的读数是 ．
②当射线CP经过△ABC的内心时，点E处的读数是 ；
③设旋转x秒后，E点出的读数为y度，则y与x的函数式是y＝ ．
【答案】（1）见解析；（2）①120°；②90°；③y＝180﹣4x
【分析】（1）由于是每次都旋转2°且CP的旋转决定着∠ACE和∠ABE，且二者都是从0°开始的，所以：∠ACE＝∠ABE，只要证明：∠CBE＝∠BCE即可证明BE＝CE；
（2）①当射线CP经过△ABC的外心时，CP经过AB的中心且此时有：CO＝AO，可以得出∠OCA＝∠CAB＝30°，即可求出点E处的度数；
②当射线CP经过△ABC的内心时，内心到三边的距离相等，即CP为∠ACB的角平分线，所以有∠ABE＝∠ACE＝45°，即可求出点E处的度数；
③由于每次旋转的度数一样，所以旋转x秒后，∠BCE的度数为90°﹣2x，从而得出∠BOE的度数，也即可得出y与x的函数式．
【详解】（1）证明：连接BE，如图所示：
∵射线CP绕点C从CA的位置开始按顺时针方向以每秒2度的速度旋转
∴当旋转7.5秒时，∠ACE＝7.5×2°＝∠ABE＝15°
又∵∠CAB＝30°，∠CBA＝60°，∠ACB＝90°
∴∠CBE＝75°，∠BCE＝90°﹣15°＝75°，
即：∠CBE＝∠BCE＝75°
∴BE＝CE．
（2）解：①当射线CP经过△ABC的外心时，CP经过AB的中点且此时有：CO＝AO；
∴∠OCA＝∠CAB＝30°，∠AOE＝60°
∴点E处的读数是120°．
②当射线CP经过△ABC的内心时，即CP为∠ACB的角平分线，
圆周角∠BCE＝12×90°＝45°，圆心角为90°，
∴点E处的读数是90°．
③旋转x秒后，∠BCE的度数为90﹣2x，∠BOE的度数为180°﹣4x，
故可得y与x的函数式为：y＝180°﹣4x．
【点睛】解答一次函数的应用问题中，要注意自变量的取值范围还必须使实际问题有意义，且由每次旋转的度数相等，由图得出相等的角，并掌握量角器的用法和对含有30°三角板的运用．
22．（2019·江苏·泰州中学附属初中九年级期中）水平地面上有一个圆形水池，直径AB长为6m，长为3m的一旗杆AC垂直于地面（AC与地面上所有直线都垂直）．
（1）若P为弧AB的中点，试说明∠BPC=90°
（2）若P弧AB为上任意一点（不与A、B重合），∠BPC=90°还成立吗，为什么？
（3）弧AB上是否存在点P使△PAB与△PAC相似，若存在求PBPA的值，不存在，说明理由．
【答案】（1）见解析；（2）成立，理由见解析；（3）存在，1111或3
【分析】（1）根据圆周角定理可得∠APB＝90°,根据线面垂直定理可得PB⊥面PAC，继而求证；
（2）成立，根据圆周角定理可得∠APB＝90°,根据线面垂直定理可得PB⊥面PAC，继而得出结论；
（3）分两种情况讨论，当△PAB∽△APC时，PAAP=PBAC，进而求出PB的长，根据勾股定理，求出PA的长，即可求PBPA的值；当△PAB∽△ACP时, PAPB=ACAP整理得：PA2=3PB，
由勾股定理可得：PA2+PB2=36，可列关于PB的方程，解方程舍去负数即可得PB，进而得PA的值，从而可求PBPA的值．
【详解】（1）∵AB是⊙O的直径
∴∠APB＝90°
∴BP⊥AP
∵CA⊥面APB
∴CA⊥BP
∴BP⊥面PAC
∴BP⊥PC
∴∠BPC＝90°
（2）∠BPC=90°成立．
理由：∵AB是⊙O的直径
∴∠APB＝90°
∴BP⊥AP
∵CA⊥面APB
∴CA⊥BP
∴BP⊥面PAC
∴BP⊥PC
∴∠BPC＝90°
（3）存在，
当△PAB∽△APC时，PAAP=PBAC，
∵AC＝3，
∴PB3=1，
∴PB=3，
又∵AB＝6，∠APB＝90°，
由勾股定理可得：
PA=AB2−PB2=36−3=33，
PBPA=333=1111；
当△PAB∽△ACP时, PAPB=ACAP，
即PA2=AC×PB
∵PB=3
∴PA2=3PB
∵在Rt△PAB中，AB＝6,
由勾股定理可得：PA2+PB2=36
∴3PB+PB2=36
解得：PB＝33或PB＝−43（舍去）
∴PA2=3PB=9
∴PA=3
∴PBPA=333=3
综上所述，弧AB上存在点P使△PAB与△PAC相似，PBPA＝1111或3．
【点睛】本题考查立体几何的综合题、涉及到圆周角定理、点面垂直的判定及其性质、相似三角形的性质，勾股定理，解题的关键是灵活运用所学知识。
23．（2021·江苏镇江·九年级期中）在⊙O中，弦CD与直径AB相交于点P．
(1)若∠ABC=62°，∠APC=100°，则∠BAD= ；∠CDB= ；
(2)若AD的度数为m度、BC的度数为n度，猜想：∠APD的度数与m、n之间的数量关系，并证明你的结论
【答案】(1)∠BAD=38°，∠CDB=28°
(2)∠APD=12（m+n)，证明见解析
【分析】（1）根据三角形外角的性质可得∠BCD=38°，再根据圆周角定理可得∠BAD=38°，然后由直径所对的圆周角为直角可得∠ABD=52°，即可求解；
（2）根据AD的度数为m度、BC的度数为n度，可得∠ABD=12m，∠CDB=12n，再根据三角形外角的性质，即可求解．
(1)
解：∵∠ABC=62°，∠APC=100°，
∴∠BCD=∠APC-∠ABC=38°，
∵∠BAD=∠BCD，
∴∠BAD=38°，
∵AB为直径，
∴∠ADB=90°，
∴∠ABD=90°-∠BAD=52°，
∵∠BPD=∠APC=100°，
∴∠CDB=180°-∠ABD-∠BPD=28°；
(2)
解：∠APD=12（m+n)，理由如下：
证明：∵AD的度数为m度、BC的度数为n度，
∴∠ABD=12m，∠CDB=12n，
∵∠APD=∠ABD+∠CDB ，
∴∠APD=12（m+n)．
【点睛】本题主要考查了圆周角定理，直径所对的圆周角为直角，三角形外角的性质，熟练掌握圆周角定理，直径所对的圆周角为直角，三角形外角的性质是解题的关键．
24．（2021·江苏·海安市南莫中学九年级期中）在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为1.对于点A和线段BC，给出如下定义：若将线段BC绕点A旋转可以得到⊙O的弦B'C'（B'，C'分别是B，C的对应点），则称线段BC是⊙O的以点A为中心的“关联线段”．
（1）如图，点A，B1，C1，B2，C2，B3，C3的横、纵坐标都是整数．在线段B1C1，B2C2，B3C3中，⊙O的以点A为中心的“关联线段”是__________；
（2）△ABC是边长为1的等边三角形，点A0,t，其中t≠0．若BC是⊙O的以点A为中心的“关联线段”，求t的值；
（3）在△ABC中，AB=1，AC=2．若BC是⊙O的以点A为中心的“关联线段”，直接写出OA的最小值和最大值．
【答案】（1）B2C2；（2）t=3或−3；（3）OA的最小值为1，最大值为2
【分析】（1）利用旋转的性质、点A到圆上一点的距离范围及“关联线段”的定义来进行判别即可；
（2）先利用旋转的性质，“关联线段”的定义以及等边三角形的性质求出B′C′的位置，进而求出t的值即可；
（3）利用旋转的性质以及“关联线段”的定义，求出四边形AB′OC′的各边长，利用四边形的不稳定性画出OA最小和最大的图形，然后问题可求解．
【详解】解：（1）由旋转的性质可知：AB=AB′,AC=AC′,∠BAB′=∠CAC′，
由图可知点A到圆上一点的距离d的范围为2−1≤d≤2+1，
∵AC1=3>d，
∴C1′点不可能在圆上，
∴B1C1不是⊙O的以点A为中心的“关联线段”，
∵AC2=1,AB2=5，
∴C2′0,1,B2′1,0，
∴B2C2是⊙O的以点A为中心的“关联线段”，
∵AC3=2,AB3=5，
当B3′在圆上时，则B3′1,0或0,−1，
由图可知此时C3′不在圆上，
∴B3C3不是⊙O的以点A为中心的“关联线段”，
故答案为B2C2；
（2）设BC绕点A旋转得到⊙O的弦B′C′，则B′C′=BC,AB′=AB,AC′=AC，
∵△ABC是边长为1的等边三角形，
∴根据旋转的性质可知△AB′C′也是边长为1的等边三角形，
∵OB′=OC′=1，
∴△OB′C′是边长为1的等边三角形，
∵A0,t，且t≠0，
∴点A与点O不重合，
∴B′C′⊥y轴，且B′C′=1，
∴AO为B′C′边上的高的2倍，且此高的长为32，
∴t=3或−3；
（3）由旋转的性质和“关联线段”的定义可知：AB′=AB=OB′=OC′=1，AC′=AC=2，如图1，
利用四边形的不稳定性可知，当A、O、C′在同一直线上时，OA最小，最小值为1，如图2所示：
当A、B′、O在同一直线上时，OA最大，如图3所示：
此时OA=OB′+AB′=2；
∴综上所述：OA的最小值为1，最大值为2．
【点睛】本题主要考查旋转的性质、等边三角形及圆的综合，熟练掌握旋转的性质、等边三角形及圆的综合问题是解题的关键．
25．（2021·江苏·连云港市新海实验中学九年级期中）如图，已知圆O上依次有A、B、C、D四个点，AD=BC，连接AB、AD、BD，弦AB不经过圆心O，延长AB到E，使BE＝AB，连接EC，F是EC的中点，连接BF．
（1）若BD＝5，求BF的长；
（2）设G是BD的中点，探索：在圆O上是否存在一点P（不同于点B），使得PG＝PF？并说明PB与AE的位置关系．
【答案】（1）BF=52；（2）存在一点P（不同于点B），使得PG＝PF，且BP⊥AE．
【分析】（1）如图，连接AC，利用三角形中位线定理得出BF=12AC，根据AD=BC可得DAB=CBA，根据圆心角定理可得AC=BD，即可得出BF=12BD，可得答案；
（2）过点B作BP⊥AE，交⊙O于P，根据G是BD的中点，结合（1）中结论可得BF=BG，根据三角形中位线的性质可得BF//AC，根据平行线的性质可得∠FBE=∠CAE，根据圆周角可得∠CAE=∠DBA，即可得出∠FBE=∠DAB，根据角的和差关系可得∠PBG=∠PBF，利用SAS可证明△PBG≌△PBF，可得PG=PF，即可得答案．
【详解】（1）如图，连接AC，
∵BE＝AB，F是EC的中点，
∴BF为△EAC的中位线，
∴BF=12AC，
∵AD=BC，
∴AD+AB=BC+AB，即DAB=CBA，
∴AC=BD，
∵BD＝5，
∴BF=12BD=52．
（2）如图，过点B作BP⊥AE，交⊙O于P，连接PG、PF，
∴∠PBA=∠PBE=90°，
∵G是BD的中点，BF=12BD，
∴BF=BG，
∵BF为△EAC的中位线，
∴BF//AC，
∴∠FBE=∠CAE，
∵AD=BC，
∴∠CAE=∠DBA，
∴∠FBE=∠DAB，
∴∠PBA-∠DBA=∠PBE-∠FBE，即∠PBG=∠PBF，
在△PBG和△PBF中，BG=BF∠PBG=∠PBFPB=PB，
∴△PBG≌△PBF，
∴PG=PF，
∴存在一点P（不同于点B），使得PG＝PF，且BP⊥AE．
【点睛】本题考查圆周角定理、圆心角、弦、弧、弦心距的关系及全等三角形的判定与性质，在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半；在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等；在同圆或等圆中，如果两个圆的圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等；正确作出辅助线，熟练掌握相等定理及性质是解题关键．
26．（2021·江苏南京·九年级期中）AB、CD是⊙O中的两条等弦．
（1）如图①，点A与点C重合，求证：圆心O在∠BAD的平分线上；
（2）如图②，用直尺和圆规作弦CD⊥AB（保留作图痕迹，不写作法）；
（3）若⊙O的半径为2，AB=m，记弦AB、CD所在的直线交点为P，且两直线夹角为60°．直接写出点P与⊙O的位置关系及相应的m的取值范围．
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）当点P在圆上时，m=23；点P在圆外时，m<23；点P在圆内时，0【分析】（1）根据垂径定理可得O到AB、CD的距离相等，由角平分线判定定理：到角两边距离相等的点在角的平分线上，即可知圆心O在∠BAD的平分线上；
（2）利用将△AOB顺时针（或逆时针）旋转90°得到△COD，则即得CD⊥AB，作法：过O点作直径AE的垂线交与圆O相交于两点，任取一点为C，再在圆上取点D，使CD=AB（取能使CD⊥AB的一点）即可；
（3）根据交点为P与圆位置关系分三种情况：在圆内、在圆外、在圆上进行讨论即可．
【详解】解：（1）过O点作OE⊥AB，垂足为E，过O点作OF⊥CD，垂足为F，
∵AB=CD，OE⊥AB，OF⊥CD，
∴OE=OF，
∴圆心O在∠BAD的平分线上；
（2）如图2-1，弦CD为所求，
（附：如图2-2，弦CD、弦C′D′均为所求）
（3）I、当弦AB、CD交于圆内时，即：点P在圆内时，如图3-1：∠APD=60°，则弦AB的取值范围为：0II、弦AB、CD所在的直线交点P在圆外时，
过点O作⊥CD,垂足为E，连接OP，
∴DE=12CD=12AB=12m，
∵∠APC=60°，
由（1）可知点O在∠APC的平分线，
∴∠OPC=12∠APC=30°，
∴OE=12OP，PE=32OP，
∴PE=32OP，
∵DE∴DE<32OP，
∵当OP最小时，PE最小，DE最大，OP最小值大于r，故DE最大小于DE<32r=3，
∴12m<3，即m<23，
III、当点P在圆上时，如图3-3，由前可知：PE=DE=32OP=32r=3，
∴12m=3，即m=23
综上所述：当点P在圆上时，m=23；点P在圆外时，m<23；点P在圆内时， 0【点睛】本题主要考查了圆的基本性质、垂径定理及点与圆的位置关系，解题（3）关键是根据点与圆位置关系分三种情况进行讨论，难度不大，但思维要求全面．
27．（2020·江苏苏州·九年级期中）在同一个圆中两条互相垂直且相等的弦定义为等垂弦，两条弦所在直线的交点为等垂弦的分割点．如图①，AB、CD是⊙O的弦，AB＝CD，AB⊥CD，垂足为E，则AB、CD是等垂弦，E为等垂弦AB、CD的分割点．
（1）如图②，AB是⊙O的弦，作OC⊥OA、OD⊥OB，分别交⊙O于点C、D，连接CD．
求证：AB、CD是⊙O的等垂弦．
（2）在⊙O中，⊙O的半径为5，E为等垂弦AB、CD的分割点，BEAE=13．求AB的长度；
（3）AB、CD是⊙O的两条弦，CD＝12AB，且CD⊥AB，垂足为F．若⊙O的半径为r，AB＝mr（m为常数），垂足F与⊙O的位置关系随m的值变化而变化，请求出点F在⊙O内时对应的m的取值范围．
【答案】（1）见解析；（2）25 或45；（3）当455＜m≤2时，点F在⊙O内．
【分析】（1）连接BC，先证明∠AOB＝∠COD，得到AB＝CD，再证明∠ABC＝∠BCD45°，得到AB⊥CD，问题得证；
（2）分点E在⊙O内或⊙O外两类讨论，当E在⊙O内时，过点O作OH⊥AB，垂足为H，作OG⊥CD，垂足为G，先证明四边形OHEG是矩形，进而证明是正方形，根据BEAE=13得到AH＝2BE＝2OH，根据勾股定理即可求解，当点E在⊙O外，同理求出AH= 5，进而即可求出AB；
（3）如图，当点F在⊙O上时，过点O作OH⊥AB，垂足为H，作OG⊥CD，垂足为G，证明四边形OHBG是矩形，根据勾股定理得到r2=m2r24+m2r216，进而得到m=455，即可得到结论．
【详解】证明：（1）如图②，连接BC，
∵OC⊥OA、OD⊥OB，
∴∠AOC＝∠BOD＝90°，
∴∠AOB＝∠COD，
∴AB＝CD，
∵∠ABC＝12∠AOC＝45°，∠BCD＝12∠BOD＝45°，
∴∠AEC＝∠ABC+∠BCD＝90°，
即AB⊥CD，
∵AB＝CD，AB⊥CD，
∴AB、CD是⊙O的等垂弦；
（2）如图，若点E在⊙O内，过点O作OH⊥AB，垂足为H，作OG⊥CD，垂足为G，
∵AB、CD是⊙O的等垂弦，
∴AB＝CD，AB⊥CD，
∴四边形OHEG是矩形，
∵OH⊥AB，OG⊥CD，
∴AH＝12AB，DG＝12CD，
∴AH＝DG，
又∵OA＝OD，
∴△AHO≌△DGO（HL），
∴OH＝OG，
∴矩形OHEG为正方形，
∴OH＝HE．
∵BEAE=13，且AH＝BH，
∴AH＝2BE＝2OH，
在Rt△AOH中，AO2＝AH2+OH2．
即（2OH）2+OH2＝AO2＝25，
解得OH＝5，
∴AB＝4HE＝4 5；
若点E在⊙O外，如图，过点O作OH⊥AB，垂足为H，作OG⊥CD，垂足为G，
同理，AH＝5，则AB＝4AH＝45；
（3）如图，当点F在⊙O上时，过点O作OH⊥AB，垂足为H，作OG⊥CD，垂足为G，
同理可证四边形OHBG是矩形，
∴BH＝mr2，OH＝BG＝mr4，
∵OB2＝BH2+OH2，
∴r2=m2r24+m2r216，
∴m=455，
∴当455＜m≤2时，点F在⊙O内．
【点睛】本题为与圆有关的新定义问题，综合性较强，根据题意理解等垂弦的定义并结合圆的有关知识解题是解题关键，本题要注意分类讨论思想的应用．
28．（2020·江苏·盐城市初级中学九年级期中）[阅读材料]如图1所示，对于平面内⊙P，在⊙P上有弦AB，取弦AB的中点M，我们把弦AB的中点M到某点或某直线的距离叫做弦AB到这点或者这条直线的“密距”例如：图1中线段MO的长度即为弦AB到原点O的“密距”，过点M作y轴的垂线交y轴于点N线段MN的长度即为弦AB到y轴的“密距”．
[类比应用]
已知⊙P的圆心为P（0，4），半径为2，弦AB的长度为2，弦AB的中点为M．
（1）当AB//y轴时，如图2所示，圆心P到弦AB的中点M的距离是____，此时弦AB到原点O的“密距”是 ；
（2）①如果弦AB在⊙P上运动，在运动过程中，圆心P到弦AB的中点M的距离变化吗?若不变化，请求出PM的长，若变化，请说明理由．
②直接写出弦AB到原点O的“密距”d的取值范围 ；
[拓展应用]如图3所示，已知⊙P的圆心为P（0，4），半径为2,点A（0，2），点B为⊙P上白一动点，有直线y=-x-3，弦AB到直线y=-x-3的“密距”的最大值是 ．（直接写出答案）
【答案】【类比应用】（1）3；19；（2）①不变化，PM长为3；②4−3≤d≤4+3；【拓展应用】32+1．
【分析】[类比应用]：（1）理解“密距”之意义，运用垂径定理相关知识，构造直角三角形，运用勾股定理容易作答．（2）①运用同圆中等弦的的弦心距相等，易得答；②运用两点之间线段最短，易得弦AB到原点O的“密距”d的取值范围．
[拓展应用]：先证得弦AB的中点M运动轨迹是以(0,3)为圆心，以1为半径的圆，再求出此圆心到直线y=-x-3的“密距”，加1即可得弦AB到直线y=-x-3的“密距”的最大值．
【详解】[类比应用]（1）如下图2
连接PA、PM、OM、
∵P为圆心，M是弦AB（非直径）的中点
∴PM⊥AB
在RT△PAM中，由勾股定理得
PM=PA2−AM2=PA2−(12AB)2=22−1=3
即圆心P到弦AB的中点M的距离是3；
∵AB∥y轴
∴PM⊥y轴
在RT△OMP中，由勾股定理得
OM=PM2+OP2=(3)2+42=19
∴由“密距”的意义得
弦AB到原点O的“密距”是19．
（2）①不变化
连接PM、PA、
∵点M是弦AB（非直径）的中点，P为圆心，
∴PM⊥AB，MA=MB=1，
∴PM=PA2−PM2=3
②由图知OP−PM≤OM≤OP+PM
∴4−3≤d≤4+3；
[拓展应用]：如下图3
C是PA中点，连接CM、过C作CD⊥EF于D
∵M是AB（非直径）中点，P是⊙P的圆心
∴PM⊥AB
又∵C是PA中点
∴CM=AP2=1
当AB是⊙P的直径时，CM=CP=1
∴当B点在⊙P上运动是，M的运动轨迹是以C为圆心，以1为半径的圆．
易知直线y=-x-3与两坐标轴的交点为E(0,-3)、F(-3,0)
∴OE=OF=3，
∴EC=AO+OE+AC=2+3+1=6
又∵x轴⊥y轴
∴∠DEC=45°
∴CD=CEsin∠DEC=6sin45°=32
由图易知M到EF的最远距离为CD+CM=32+1
所以弦AB到直线y=-x-3的“密距”的最大值为32+1．
【点睛】此题主要考查垂径定理的相关知识．其关键是读懂题意理解“密距”，在拓展应用中还有一关键是发现弦AB的中点的轨迹是圆．
29．（2020·江苏南通·九年级期中）（1）如图1，四边形ABQP内接于⊙O，AP=BQ．求证PQ//AB．
（2）在△ABC中，AB=AC，点A在以BC为直径的半圆内，请你用无刻度的直尺分别按下列要求画图（保留画图痕迹），
①在图2中，作弦EF，使EF//BC；
②在图3中，以BC为边作一个45°的圆周角．
【答案】（1）见详解；（2）见详解；（3）见详解
【分析】（1）连接AQ，证明∠AQP＝∠QAB即可；
（2）①延长CA交⊙O于E，延长BA交⊙O于F，连接EF，线段EF即为所求；
②在（1）基础上分别延长BF、CE，它们相交于M，则连接AM交半圆于D，然后证明MA⊥BC，从而根据圆周角定理可判断∠DBC＝45°．
【详解】（1）证明：连接AQ．
∵AP＝BQ，
∴AP=BQ，
∴∠AQP＝∠QAB，
∴PQ∥AB；
（2）解：①如图，线段EF即为所求．
②如图，∠DBC即为所求．
【点睛】本题考查作图−复杂作图，等腰三角形的性质，平行线的判定，圆心角、弧、弦的关系等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
30．（2020·江苏宿迁·九年级期中）如图1，AB是⊙O的一条弦，点C是AmB上一点．
（1）若∠ACB=30°，AB=4．求⊙O的半径．
（2）如图2，若点P是⊙O外一点．点P、点C在弦AB的同侧．连接PA、PB．比较∠APB与∠ACB的大小关系，并说明理由．
（3）如图3．设点G为AC的中点，在AmB上取一点D．使得AD=BC，延长BA至E，使AE=AB，连接DE，F为DE的中点，过点A作BE的垂线，交⊙O于点P，连接PF，PG．写出PG与PF的数量关系，并说明理由．
【答案】（1）⊙O的半径为4；（2）∠APB<∠ACB，理由见详解；（3）PG=PF，理由见详解．
【分析】（1）连接OA、OB，由题意易得△AOB是等边三角形，进而问题得解；
（2）设PB与⊙O交于点E，连接AE，易得∠AEB=∠C，然后根据三角形外角的性质可求解；
（3）连接AF，BD，由题意易得AF∥BD，AF=12BD，ADC=BCD，则有∠FAB=∠DBE=∠CAB=∠DBA，AF=AG，进而可证△PFA≌△PGA，然后根据全等三角形的性质可求解．
【详解】解：（1）连接OA、OB，如图1所示：
∵∠ACB=30°，
∴∠AOB=60°，
∵OA=OB，
∴△AOB是等边三角形，
∵AB=4，
∴OA=AB=4，
即⊙O的半径为4；
（2）∠APB<∠ACB，理由如下：
设PB与⊙O交于点E，连接AE，如图2所示：
∴∠AEB=∠C，
∵∠AEB=∠P+∠PAE，
∴∠C=∠P+∠PAE，
∴∠APB<∠ACB；
（3）PF=PG，理由如下：
连接AF，BD，如图3所示：
∵AD=BC，
∴ADC=BCD，∠CAB=∠DBA，
∴BD=AC，
∵AE=AB，EF=DF，
∴AF∥BD，AF=12BD，
∴AF=12AC，∠FAE=∠DBA=∠CAB，
∵AG=GC，
∴AF=AG，
∵PA⊥EB，
∴∠FAE+∠PAF=90°，∠CAB+∠PAG=90°，
∴∠PAF=∠PAG，
∵PA=PA，
∴△PAF≌△PAG（SAS），
∴PF=PG．
【点睛】本题主要考查圆周角、圆心角、弧、弦的之间的关系，熟练掌握圆的基本性质是解题的关键．