高中(人教A版数学必修一册)精品同步讲义第3章第04讲3.2.2奇偶性(知识清单+08类热点题型讲练+分层强化训练)(学生版+解析)

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第04讲 3.2.2奇偶性 知识点01：函数的奇偶性1、定义：1.1偶函数：一般地，设函数的定义域为，如果，都有，且，那么函数就叫做偶函数.1.2奇函数：一般地，设函数的定义域为，如果，都有，且，那么函数就叫做奇函数.2、函数奇偶性的判断2.1定义法：（1）先求函数的定义域，判断定义域是否关于原点对称.（2）求，根据与的关系，判断的奇偶性：①若是奇函数②若是偶函数③若既是奇函数又是偶函数④若既不是奇函数也不是偶函数【即学即练1】（23-24高一上·广东·期末）下列函数是奇函数的是（    ）A． B．C． D．2.2图象法：（1）先求函数的定义域，判断定义域是否关于原点对称.（2）若的图象关于轴对称是偶函数（3）若的图象关于原点对称是奇函数2.3性质法：，在它们的公共定义域上有下面的结论：知识点02：奇函数，偶函数的性质1、奇函数，偶函数的图象特征设函数的定义域为（1）是偶函数的图象关于轴对称；（2）是奇函数的图象关于原点对称；（3）若是奇函数且，则2、函数的奇偶性与单调性的关系（1）是偶函数在关于原点对称区间上具有相反的单调性；（2）是奇函数在关于原点对称区间上具有相同的单调性；3、函数的奇偶性与函数值及最值的关系设函数的定义域为（其中）（1）是偶函数，且在上单调，则在上有相反的单调性，此时函数的最大（小）值相同；（2）是奇函数，且在上单调，则在上有相同的单调性，此时函数的最值互为相反数；【即学即练2】（23-24高一上·北京·期中）如果奇函数在上是减函数且最小值是4，那么在上是（    ）A．减函数且最小值是－4 B．减函数且最大值是－4C．增函数且最小值是－4 D．增函数且最大值是－4知识点03：对称性1、轴对称：设函数的定义域为，且是的对称轴，则有：①；②③2、点对称设函数的定义域为，且是的对称中心，则有：①；②③3、拓展：①若，则关于对称；②若，则关于对称；题型01函数奇偶性定义与判断 【典例1】（23-24高一上·内蒙古呼伦贝尔·阶段练习）判断下列函数的奇偶性(1)；(2)；(3).【典例2】（23-24高一上·河北邢台·期中）判断下列函数是否具有奇偶性，并说明理由．(1)．(2)．(3)【变式1】（23-24高一上·辽宁阜新·阶段练习）判断下列函数的奇偶性(1)(2) (3) (4) 【变式2】（23-24高一上·河南郑州·期中）判断下列函数的奇偶性并证明(1)；(2)；(3).题型02由奇偶性求解析式 【典例1】（23-24高二下·浙江宁波·期中）已知函数为偶函数，当时，，则当时的解析式 .【典例2】（23-24高一上·甘肃兰州·期末）设函数是定义在上的奇函数，且．则函数的解析式为 ．【典例3】（23-24高一上·云南曲靖·期中）已知是上的奇函数，且当时，．(1)求；(2)求的解析式；(3)画出的图象，并指出的单调区间．【变式1】（2022高一上·河南·专题练习）已知偶函数，当时，，则当时，（    ）A． B．C． D．【变式2】（23-24高一上·云南临沧·期末）已知函数是定义在上的奇函数，当时，．(1)求函数的解析式；(2)画出函数图象．【变式3】（23-24高一上·广东揭阳·期中）已知定义在上的奇函数，当时．(1)求函数的表达式；(2)请画出函数的图象；(3)写出函数的单调区间．题型03由奇偶性求参数 【典例1】（23-24高一下·广西南宁·开学考试）若函数是定义在上的偶函数，则（    ）A． B． C．3 D．2【典例2】（2024·四川内江·三模）若函数是奇函数，则 .【典例3】（2024高一·全国·专题练习）已知为偶函数，则 .【变式1】（23-24高一上·山西长治·期末）若为奇函数，则的值为（    ）A． B．0 C．1 D．2【变式2】（2024·河南三门峡·模拟预测）已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则的值为 .【变式3】（23-24高一上·河北石家庄·期末）若函数为奇函数，则实数 ．题型04由奇偶性解不等式 【典例1】（23-24高一上·北京·期中）已知定义在上的偶函数在上为减函数，且，则实数的取值范围是（  ）A． B． C． D．【典例2】（23-24高一上·北京·期中）已知函数是偶函数，若在上单调递增，，则的解集为（    ）A． B．C． D．【典例3】（23-24高一下·广东深圳·阶段练习）已知函数是定义在上的函数，恒成立，且．(1)确定函数的解析式；(2)用定义证明在上是增函数：(3)解不等式．【变式1】（23-24高一下·湖北·开学考试）已知是定义在上的函数在上单调递减，且，函数的图象关于点对称，则不等式的解集为（    ）A． B．C． D．【变式2】（22-23高一上·广东深圳·期中）已知函数是定义在上的函数，恒成立，且.(1)确定函数的解析式，并用定义研究在上的单调性；(2)解不等式.【变式3】（23-24高一下·山东淄博·期中）已知函数是定义在上的奇函数，且．(1)求函数的解析式；(2)判断并用定义法证明在上的单调性；(3)解关于x的不等式．题型05抽象函数的奇偶性 【典例1】（23-24高一下·河北保定·阶段练习）已知定义在上的函数满足：．(1)判断的奇偶性并证明；(2)若，求；(3)若，判断并证明的单调性．【典例2】（23-24高一上·江西抚州·期末）已知定义域为的函数满足对任意，都有(1)求证：是奇函数；(2)设，且当时，，求不等式的解集．【典例3】（23-24高一上·山东·阶段练习）已知定义在上的函数满足，当时，，且．(1)求；(2)判断的奇偶性，并说明理由；(3)判断在上的单调性，并说明理由．【变式1】（2024高一·全国·专题练习）定义在上的函数是单调函数，满足，且，.(1)求，；(2)判断的奇偶性，并证明；【变式2】（23-24高一上·广东珠海·期末）已知定义在上的函数满足，，且.(1)求的值；(2)判断的奇偶性，并证明.【变式3】（23-24高一上·黑龙江哈尔滨·期末）定义在上的函数满足，且不恒为0.(1)求和的值；(2)若在上单调递减，求不等式的解集.题型06函数奇偶性的应用 【典例1】（23-24高一上·广东深圳·期末）已知且，则的值是（    ）A． B． C．1 D．3【典例2】（23-24高一上·广东·期末）已知函数，若，则 .【变式1】（23-24高一上·内蒙古·期末）已知函数是上的奇函数，当时，，则（    ）A．2 B．-2 C．3 D．-3【变式2】（23-24高一上·北京·期中）已知函数，且，则 ．题型07奇偶函数对称性的应用 【典例1】（23-24高一上·福建三明·期中）已知函数，当时，的最大值为最小值为，则（    ）A． B． C． D．【典例2】（23-24高三上·安徽安庆·阶段练习）已知函数在区间上的最大值为，最小值为，则 ．【典例3】（2024高一·全国·专题练习）已知的最大值，最小值为，求的值【变式1】（多选）（23-24高一下·安徽阜阳·阶段练习）已知函数，则（    ）A．的定义域为 B．的值域为C．的图象关于点对称 D．若在上单调递减，则【变式2】（23-24高一上·安徽滁州·阶段练习）若函数在区间上的最大值为，最小值为，则 ．题型08数学思想方法篇（数形结合） 【典例1】（23-24高一上·河南洛阳·期末）已知函数是定义在R的偶函数，当时，．A夯实基础 B能力提升 C新定义题型A夯实基础 一、单选题1．（2024高二下·湖南·学业考试）如图，已知函数的图象与函数的图象关于直线对称，则（    ）A．0.5 B．1 C．1.5 D．22．（2024·山东·二模）已知函数是偶函数，且该函数的图像经过点，则下列等式恒成立的是（    ）．A． B．C． D．3．（23-24高一上·广东河源·阶段练习）若函数满足，则称为满足“倒负”变换的函数，在下列函数中，满足“倒负”变换的函数是（    ）A． B． C． D．4．（23-24高一上·甘肃庆阳·期末）已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则（    ）A． B．2 C．3 D．5．（23-24高一下·山东淄博·期中）定义在上的奇函数，，且对任意不等的正实数，都有，则不等式的解集为（    ）A． B．C． D．6．（2024高三·全国·专题练习）如果奇函数在上是增函数且最小值5，那么在区间 13．（2024·上海·三模）已知，函数是定义在上的奇函数，且.(1)求的解析式；(2)判断的单调性，并用函数单调性的定义加以证明.14．（23-24高一上·云南昆明·期中）已知奇函数.(1)求，的值并确定函数的解析式；(2)用定义法证明在上是增函数；(3)解不等式.B能力提升 1．（2024·全国·模拟预测）已知函数的定义域为，，则（    ）A． B．C．为偶函数 D．为奇函数2．（2024·全国·模拟预测）已知函数是定义在上的奇函数，且对任意的，都有，且，则不等式的解集为（    ）A． B．C． D．3．（23-24高一上·江苏盐城·期末）若定义在区间上的函数满足：对于任意的，，都有，且时，有，若的最大值为，最小值为，则的值为 .4．（23-24高一上·广东肇庆·期末）已知函数的定义域，对，，都有，且对，都有.若，则的取值范围是 .5．（23-24高一上·广东广州·期中）已知函数是定义域上的奇函数，且．(1)判断并证明函数在上的单调性；(2)令函数，若对，都有，求实数的取值范围．C新定义题型1．（23-24高一上·上海黄浦·阶段练习）已知在定义域上是连续不断的函数，对于区间若存在，使得对任意的，都有，则称在区间上存在最大值.(1)函数在区间存在最大值，求实数m的取值范围；(2)若函数为奇函数，在上，，易证对任意，函数在区间上存在最大值M，试写出最大值M关于t的函数关系式；(3)若对任意，函数在区间上存在最大值M，设最大值M关于t的函数关系式为，求证：“在定义域上是严格增函数”的充要条件是“在定义域上是严格增函数”.课程标准学习目标①了解函数奇偶性的含义，掌握判断函数奇偶性的方法，了解奇偶性与函数图象对称性之间的关系.②利用函数的奇偶性求函数解析式，利用函数的奇偶性解有关函数不等式，利用函数的奇偶性求参数范围.③能解决与函数单调性、奇偶性、周期性有关的综合问题.通过本节课的学习，掌握判断函数奇偶性的方法，会求与奇偶函数有关的函数解析式，能处理与函数单调性、周期性相关的综合问题. 偶函数偶函数偶函数偶函数偶函数偶函数偶函数奇函数不能确定不能确定奇函数奇函数奇函数偶函数不能确定不能确定奇函数奇函数奇函数奇函数奇函数奇函数偶函数偶函数第04讲 3.2.2奇偶性 知识点01：函数的奇偶性1、定义：1.1偶函数：一般地，设函数的定义域为，如果，都有，且，那么函数就叫做偶函数.1.2奇函数：一般地，设函数的定义域为，如果，都有，且，那么函数就叫做奇函数.2、函数奇偶性的判断2.1定义法：（1）先求函数的定义域，判断定义域是否关于原点对称.（2）求，根据与的关系，判断的奇偶性：①若是奇函数②若是偶函数③若既是奇函数又是偶函数④若既不是奇函数也不是偶函数【即学即练1】（23-24高一上·广东·期末）下列函数是奇函数的是（    ）A． B．C． D．【答案】C【分析】根据奇函数的定义判断即可.【详解】对于A，因为的定义域为，且，所以为偶函数；对于B，因为的定义域为，且，所以不是奇函数；对于C，因为的定义域为，且，所以为奇函数；对于D，因为的定义域为，且，所以为偶函数；故选：.2.2图象法：（1）先求函数的定义域，判断定义域是否关于原点对称.（2）若的图象关于轴对称是偶函数（3）若的图象关于原点对称是奇函数2.3性质法：，在它们的公共定义域上有下面的结论：知识点02：奇函数，偶函数的性质1、奇函数，偶函数的图象特征设函数的定义域为（1）是偶函数的图象关于轴对称；（2）是奇函数的图象关于原点对称；（3）若是奇函数且，则2、函数的奇偶性与单调性的关系（1）是偶函数在关于原点对称区间上具有相反的单调性；（2）是奇函数在关于原点对称区间上具有相同的单调性；3、函数的奇偶性与函数值及最值的关系设函数的定义域为（其中）（1）是偶函数，且在上单调，则在上有相反的单调性，此时函数的最大（小）值相同；（2）是奇函数，且在上单调，则在上有相同的单调性，此时函数的最值互为相反数；【即学即练2】（23-24高一上·北京·期中）如果奇函数在上是减函数且最小值是4，那么在上是（    ）A．减函数且最小值是－4 B．减函数且最大值是－4C．增函数且最小值是－4 D．增函数且最大值是－4【答案】B【分析】根据奇函数的对称性，在区间上的性质，可得到函数在区间上的性质，即可求解.【详解】由题意，奇函数在区间上是减函数，根据奇函数的对称性，可得函数在区间上也是减函数，又由奇函数在区间上的最小值是4，即，所以，所以函数在区间上的最大值为，故选：B.知识点03：对称性1、轴对称：设函数的定义域为，且是的对称轴，则有：①；②③2、点对称设函数的定义域为，且是的对称中心，则有：①；②③3、拓展：①若，则关于对称；②若，则关于对称；题型01函数奇偶性定义与判断 【典例1】（23-24高一上·内蒙古呼伦贝尔·阶段练习）判断下列函数的奇偶性(1)；(2)；(3).【答案】(1)奇函数(2)既是奇函数又是偶函数(3)非奇非偶函数【分析】（1）先求定义域，判断与的关系；（2）先求定义域，判断与的关系；（3）先求定义域，判断与的关系；【详解】（1）定义域为，关于原点对称，，所以为奇函数.（2），所以定义域为，关于原点对称，此时，所以既是奇函数又是偶函数.（3），所以定义域为，不关于原点对称，所以为非奇非偶函数.【典例2】（23-24高一上·河北邢台·期中）判断下列函数是否具有奇偶性，并说明理由．(1)．(2)．(3)【答案】(1)奇函数，理由见解析(2)既不是奇函数也不是偶函数，理由见解析(3)偶函数，理由见解析【分析】由奇偶函数的定义判断即可.【详解】（1）由题意得的定义域为．因为，都有，且，所以是奇函数．（2）的定义域为，当时，，所以既不是奇函数也不是偶函数．（3）当时，，则，当时，，则，所以是偶函数．【变式1】（23-24高一上·辽宁阜新·阶段练习）判断下列函数的奇偶性(1)(2) (3) (4) 【答案】(1)奇函数(2)非奇非偶函数(3)偶函数(4)非奇非偶函数【分析】根据函数的奇偶性的定义逐个判断.【详解】（1）定义域为，关于原点对称，又，故为奇函数；（2），定义域不关于原点对称，故为非奇非偶函数；（3）定义域为，关于原点对称，又，故为偶函数；（4）定义域为，关于原点对称，由，可知，为非奇非偶函数.【变式2】（23-24高一上·河南郑州·期中）判断下列函数的奇偶性并证明(1)；(2)；(3).【答案】(1)为偶函数；证明见详解(2)为非奇非偶函数；证明见详解(3)既为偶函数也为奇函数；证明见详解【分析】先求定义域，看其是否关于原点对称，再验证间的关系.【详解】（1）为偶函数证明如下：因为，所以的定义域为,关于原点对称，所以为上的偶函数.（2）为非奇非偶函数.证明如下：因为，所以，解得且所以的定义域为,关于原点不对称所以为非奇非偶函数.（3）为偶函数证明如下：因为，所以解得，则的定义域为且关于原点对称，且，所以既为为偶函数也是奇函数.题型02由奇偶性求解析式 【典例1】（23-24高二下·浙江宁波·期中）已知函数为偶函数，当时，，则当时的解析式 .【答案】【分析】利用偶函数的性质可得到，再由对称性，即可计算出结果.【详解】由是偶函数可得：，即，所以当时，则，即，故答案为：.【典例2】（23-24高一上·甘肃兰州·期末）设函数是定义在上的奇函数，且．则函数的解析式为 ．【答案】【分析】首先根据，求，再根据，求，即可求得函数的解析式.【详解】由奇函数的性质可知，，即，又，得，所以.故答案为：【典例3】（23-24高一上·云南曲靖·期中）已知是上的奇函数，且当时，．(1)求；(2)求的解析式；(3)画出的图象，并指出的单调区间．【答案】(1)(2)(3)图象见解析，的单调递增区间为和，单调递减区间为和.【分析】（1）根据函数的奇偶性求得.（2）根据函数的奇偶性求得的解析式.（3）根据图象的对称性画出图象，并由此求得的单调区间.【详解】（1）由于函数是上的奇函数，所以对任意的实数都有，所以.（2）设，则，于是，又因为为奇函数，所以．因此．又因为，所以.（3）先画出的图象，利用奇函数的对称性可得到相应的图象，其图象如图所示．由图可知，的单调递增区间为和，单调递减区间为和.【变式1】（2022高一上·河南·专题练习）已知偶函数，当时，，则当时，（    ）A． B．C． D．【答案】D【分析】设，可得出，求出的表达式，利用偶函数的性质可得出函数在时的解析式.【详解】当，则，，又为偶函数，所以，当时，．故选：D.【变式2】（23-24高一上·云南临沧·期末）已知函数是定义在上的奇函数，当时，．(1)求函数的解析式；(2)画出函数图象．【答案】(1)(2)图象见解析【分析】（1）利用函数的奇偶性求的解析式即可得解；（2）根据函数的解析式画图即可.【详解】（1）因为当时，，又是定义在上的奇函数，所以当时，，则，所以；（2）的图象如图，.【变式3】（23-24高一上·广东揭阳·期中）已知定义在上的奇函数，当时．(1)求函数的表达式；(2)请画出函数的图象；(3)写出函数的单调区间．【答案】(1)(2)图像见解析(3)答案见解析【分析】（1）由已知可得，结合函数奇偶性与时的解析式可得的解析式，则答案可求；（2）直接作出分段函数的大致图象；（3）由图象可得函数的单调区间【详解】（1）是定义在上的奇函数，；设，则，又当时，，即．（2）函数图象如图，（3）由图可知，函数的递增区间是，；递减区间是，．题型03由奇偶性求参数 【典例1】（23-24高一下·广西南宁·开学考试）若函数是定义在上的偶函数，则（    ）A． B． C．3 D．2【答案】A【分析】根据题意，结合函数奇偶性的定义和判定方法，列出方程，即可求解.【详解】因为函数是定义在上的偶函数，所以定义域关于原点对称，可得，所以，由，可得，解得，所以．故选：A【典例2】（2024·四川内江·三模）若函数是奇函数，则 .【答案】【分析】利用奇函数定义，结合分段函数分段探讨求解即得.【详解】函数是奇函数，，当时，，，而当时，，则，当时，，，而当时，，则，所以，.故答案为：【典例3】（2024高一·全国·专题练习）已知为偶函数，则 .【答案】【分析】法一：先利用求得，然后代入验证；法二：利用偶函数的定义建立方程求解即可.【详解】法一：特殊值法：因为为偶函数，所以，所以，解得，经检验，当时，为偶函数，符合题意.法二：定义法：因为为偶函数，所以，所以，化简得，所以，解得.故答案为：【变式1】（23-24高一上·山西长治·期末）若为奇函数，则的值为（    ）A． B．0 C．1 D．2【答案】D【分析】根据题意，结合，列出方程，即可求得的值.【详解】由函数为奇函数，可得，可得，解得，经检验，当时，，满足，符合题意，所以.故选：D.【变式2】（2024·河南三门峡·模拟预测）已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则的值为 .【答案】4【分析】由奇函数性质可求得的值，结合计算即可.【详解】由题得，解得，所以当时，，所以.故答案为：4.【变式3】（23-24高一上·河北石家庄·期末）若函数为奇函数，则实数 ．【答案】1【分析】根据条件得到恒成立，即可求出结果.【详解】由题知，得到，整理得到恒成立，所以，得到，故答案为：.题型04由奇偶性解不等式 【典例1】（23-24高一上·北京·期中）已知定义在上的偶函数在上为减函数，且，则实数的取值范围是（  ）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据函数奇偶性和单调性解不等式即可.【详解】因为为定义在上的偶函数，且，可得，且在上为减函数，则，解得，所以实数的取值范围是.故选：C.【典例2】（23-24高一上·北京·期中）已知函数是偶函数，若在上单调递增，，则的解集为（    ）A． B．C． D．【答案】B【分析】利用函数的奇偶性和单调性，结合函数零点，解不等式.【详解】函数是偶函数，在上单调递增，，则在上单调递减，，，则有或，解得或，所以不等式的解集为.故选：B【典例3】（23-24高一下·广东深圳·阶段练习）已知函数是定义在上的函数，恒成立，且．(1)确定函数的解析式；(2)用定义证明在上是增函数：(3)解不等式．【答案】(1)；(2)证明见解析；(3).【分析】（1）利用给定值及性质求出，再验证得解.（2）利用增函数的定义推理即得.（3）由（2）的结论及已知脱去法则，再解一元二次不等式组得解.【详解】（1）由，恒成立，得函数是定义在上的奇函数，则，解得，由，得，解得，即，此时，即函数是奇函数，所以.（2）由（1）知，，则，由，得，则，即，所以函数在上是增函数.（3）由（2）知, 函数是上的增函数，且是奇函数，不等式，因此，解，得或，解，得，从而，所以原不等式的解集为.【变式1】（23-24高一下·湖北·开学考试）已知是定义在上的函数在上单调递减，且，函数的图象关于点对称，则不等式的解集为（    ）A． B．C． D．【答案】D【分析】先根据函数的性质作出简图，结合函数图象可得不等式的解集.【详解】由函数的图象关于对称可得图象关于对称，所以为R上的奇函数，则函数图象大致如图所示．要解，即，即，当时，即时，，所以或者，解得或；当时，即时，，所以，解得综上可得不等式的解集为.故选：D.【变式2】（22-23高一上·广东深圳·期中）已知函数是定义在上的函数，恒成立，且.(1)确定函数的解析式，并用定义研究在上的单调性；(2)解不等式.【答案】(1)，函数在上是增函数(2)【分析】（1）根据，待定系数即可求得函数解析式；利用单调性的定义，结合函数解析式即可判断和证明；（2）利用函数奇偶性和单调性求解不等式即可.【详解】（1）根据题意，是上的奇函数，故，又，故，则，时，，所以为奇函数，故.在上是增函数，理由如下，设，则，因为，所以，且，则，则，即，所以函数在上是增函数；（2）等价于，又在是单调增函数，故可得，解得，即不等式的解集为.【变式3】（23-24高一下·山东淄博·期中）已知函数是定义在上的奇函数，且．(1)求函数的解析式；(2)判断并用定义法证明在上的单调性；(3)解关于x的不等式．【答案】(1)(2)在上单调递增，证明见解析(3)【分析】（1）借助奇函数的性质计算可得、，借助可得，即可得解；（2）借助单调性的定义，令后计算的正负即可得；（3）结合函数定义域，奇函数的性质与函数的单调性计算即可得.【详解】（1）由题意可得，即，即，故，，又，故，即；（2）在上单调递增，证明如下：设，则，由，则，，，故，故在上单调递增；（3）由函数为奇函数，故，又函数在上单调递增，故有，解得.所以不等式的解集为.题型05抽象函数的奇偶性 【典例1】（23-24高一下·河北保定·阶段练习）已知定义在上的函数满足：．(1)判断的奇偶性并证明；(2)若，求；(3)若，判断并证明的单调性．【答案】(1)奇函数，证明见解析(2)(3)在上单调递增，证明见解析【分析】（1）根据条件，通过赋值，得到，再赋值，即可证明结果；（2）通过赋值，得到，再利用（1）中结果，即可求出结果；（3）根据条件，直接利用函数单调性的定义法，即可证明结果.【详解】（1）是奇函数，证明如下：因为，令，得到，令，得到，即，所以是奇函数.（2）令，得到，由（1）知是奇函数，所以.（3）在上单调递增，证明如下：在上任取，令，则，又因为，而，所以，即，得到，所以在上单调递增.【典例2】（23-24高一上·江西抚州·期末）已知定义域为的函数满足对任意，都有(1)求证：是奇函数；(2)设，且当时，，求不等式的解集．【答案】(1)证明见解析；(2)或【分析】（1）利用赋值法，根据奇函数的定义来证明即可；（2）变形构造函数，通过赋值来研究新函数的单调性，结合新函数的奇偶性解不等式即可.【详解】（1）证明：因为的定义域为，关于原点对称，又对任意，都有，令，得，令，得，令，得，是奇函数.（2），，，设，则，所以，在上是减函数，因为的定义域为，又，所以是偶函数，因为，，则，解得，不等式的解集为或.【典例3】（23-24高一上·山东·阶段练习）已知定义在上的函数满足，当时，，且．(1)求；(2)判断的奇偶性，并说明理由；(3)判断在上的单调性，并说明理由．【答案】(1)；(2)奇函数；理由见详解(3)单调递减，理由见详解【分析】（1）利用赋值法即可求得；（2）利用赋值构造或代换得到与关系，进而判断函数奇偶性；（3）赋值构造出表达式，再运用定义证明函数单调性.【详解】（1）令，，可得，解得；令，，可得，解得.（2）为奇函数，理由如下：，而，得故在上是奇函数（3）当时，，所以当，则，得，又在上是奇函数，所以当，则，设，则，所以，，故 ，在上单调递减.【点睛】方法点睛：抽象函数求解证明时，一般是通过赋值法，即在已知等式中让自变量取特殊值求得一些特殊的函数值，解题时注意所要求函数值的变量值与已知的量之间的关系，通过赋值还能得出函数的奇偶性、周期性、单调性．【变式1】（2024高一·全国·专题练习）定义在上的函数是单调函数，满足，且，.(1)求，；(2)判断的奇偶性，并证明；【答案】(1)，；(2)奇函数，证明见解析；【分析】（1）利用赋值法即求；（2）由题可得，即证；【详解】（1）取，得，即，所以，因为，又，得，可得；（2）因为函数是定义在上的函数，定义域关于原点对称，取，得，移项得，所以函数是奇函数.【变式2】（23-24高一上·广东珠海·期末）已知定义在上的函数满足，，且.(1)求的值；(2)判断的奇偶性，并证明.【答案】(1)(2)为偶函数，证明见解析【分析】（1）利用赋值法结合已知条件可求解；（2）令，结合条件和函数奇偶性定义判断.【详解】（1）令，得，令，得，因为，所以，，令，得，即，因为，所以，所以.（2）为偶函数.证明如下：令，得，由（1）得，即，又的定义域为，所以为偶函数.【变式3】（23-24高一上·黑龙江哈尔滨·期末）定义在上的函数满足，且不恒为0.(1)求和的值；(2)若在上单调递减，求不等式的解集.【答案】(1)，(2)【分析】（1）利用赋值法计算即可；（2）令，证明函数奇偶性，结合函数单调性解不等式.【详解】（1）令，所以，故，令，所以所以.（2）令，因为，所以，故，所以是偶函数，由，，则，又是偶函数，所以上式可转化为，又在上单调递减，所以上式可转化为，解得或.故不等式的解集为.题型06函数奇偶性的应用 【典例1】（23-24高一上·广东深圳·期末）已知且，则的值是（    ）A． B． C．1 D．3【答案】C【分析】令，利用奇函数的性质求解即可.【详解】令，因为，所以函数为奇函数，由，得，所以，所以.故选：C.【典例2】（23-24高一上·广东·期末）已知函数，若，则 .【答案】【分析】由题可得，即可得答案.【详解】因为，所以，则.故答案为：.【变式1】（23-24高一上·内蒙古·期末）已知函数是上的奇函数，当时，，则（    ）A．2 B．-2 C．3 D．-3【答案】D【分析】根据函数为上的奇函数，得到，利用求出答案.【详解】因为是上的奇函数，且当时，，所以，即，故，又，则.故选：D【变式2】（23-24高一上·北京·期中）已知函数，且，则 ．【答案】【分析】令，，即可判断、的奇偶性，再根据奇偶性求出.【详解】令，，，则，，所以为奇函数，为偶函数，又，且，，所以，，又，所以.故答案为：题型07奇偶函数对称性的应用 【典例1】（23-24高一上·福建三明·期中）已知函数，当时，的最大值为最小值为，则（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】设，证明是奇函数，则的最大值与最小值互为相反数，可求.【详解】，设，，，则是上的奇函数，的最大值为，最小值为，则有，所以.故选：B【典例2】（23-24高三上·安徽安庆·阶段练习）已知函数在区间上的最大值为，最小值为，则 ．【答案】6【分析】设，分析可知为奇函数，根据奇函数的对称性分析求解.【详解】设，则的定义域为，且连续不断，由，可知为奇函数，设在上的最大值为，由奇函数的对称性可知在上的最小值为，则函数在区间上的最大值为，最小值为，所以.故答案为：6.【典例3】（2024高一·全国·专题练习）已知的最大值，最小值为，求的值【答案】【分析】设，可判断为奇函数，得，又，可得.【详解】设，，，所以为奇函数，则，所以，所以，，所以.所以.【变式1】（多选）（23-24高一下·安徽阜阳·阶段练习）已知函数，则（    ）A．的定义域为 B．的值域为C．的图象关于点对称 D．若在上单调递减，则【答案】ABC【分析】求出函数的定义域和值域可判断A、B；根据图象的平移法可判断C；根据函数的单调性解不等式可判断D【详解】由得，所以的定义域为，A正确；由及，可得的值域为，B正确；的图象可由奇函数的图象向右平移4个单位，再向上平移个单位得到，所以的图象关于点对称，C正确；在上单调递减，则或，即或 ，D错误．故选：ABC．【变式2】（23-24高一上·安徽滁州·阶段练习）若函数在区间上的最大值为，最小值为，则 ．【答案】4【分析】令并判断奇偶性，由及奇偶对称性求.【详解】因为，令，则，又因为，所以函数为奇函数，因为奇函数的图象关于原点对称，所以在上的最大值和最小值之和为0，即，所以．故答案为：4题型08数学思想方法篇（数形结合） 【典例1】（23-24高一上·河南洛阳·期末）已知函数是定义在R的偶函数，当时，．(1)请画出函数图象，并求的解析式；(2)，对，用表示，中的最大者，记为，写出函数的解析式（不需要写解答过程），并求的最小值．【答案】(1)图象见解析，(2)，．【分析】（1）根据题意，由函数的奇偶性可得时，解析式，然后画出函数图象即可；（2）根据题意，由的定义可得其函数解析式，画出其函数图象，结合图象即可得到其最小值.【详解】（1）设，则，则，又函数是定义在R的偶函数，所以，则；函数的图象，如图所示．（2）因为，当时，令，解得，则当时，，当时，令，解得，则当时，，所以，画出函数的图象，如图所示，结合图象可知，当时，．【典例2】（23-24高一上·云南昆明·期末）已知定义在R上的奇函数，当时，．(1)在给出的坐标系中画出的图象（网格小正方形的边长为1）；(2)求函数在R上的解析式，并写出函数的值域及单调区间.【答案】(1)图象见解析(2)；的值域为R；单调递增区间为：；递减区间为：.【分析】（1）根据函数的奇偶性以及时的解析式，即可作出函数图象；（2）根据函数的奇偶性以及时的解析式，即可求得其解析式；数形结合，可求得其值域以及单调区间.【详解】（1）作出函数图象如图：（2）由题意知定义在R上的奇函数，当时，，则时，；当时，，则，故；函数的值域为R；单调递增区间为：；递减区间为：.【变式1】（23-24高一上·北京·期中）已知函数，.(1)判断函数的奇偶性并用定义证明；(2)用分段函数的形式表示函数的解析式，并直接在本题给出的坐标系中画出函数的图像；(3)用表示，中的较大者，即 ，若 ，则求 的值 .【答案】(1)奇函数，理由见解析(2)，图象见解析(3)或【分析】（1）根据奇函数的定义证明；（2）根据绝对值的定义变形，然后结合二次函数图象作图；（3）由，分类解方程和，求得方程的解后检验是否满足题意即得．【详解】（1）函数为上的奇函数，因为，所以函数为上的奇函数；（2），图象如图所示，（3），若，则，此时，，满足题意；若，显然时，无解；因此，，解得，此时满足题意．所以或【变式2】（23-24高一上·贵州六盘水·期末）已知函数是偶函数，当时，．(1)求的值，并作出函数在区间上的大致图象；(2)根据定义证明在区间上单调递增．【答案】(1)，图像见解析(2)证明见解析【分析】（1）由偶函数可得，可以先画出时的图象，然后利用关于轴对称画出另一半即可.（2）由函数单调性的定义证明即可.【详解】（1）因为函数是偶函数，所以，作出图象如图所示：（2），且，有，由得，所以，即，所以函数在区间上单调递增.A夯实基础 B能力提升 C新定义题型A夯实基础 一、单选题1．（2024高二下·湖南·学业考试）如图，已知函数的图象与函数的图象关于直线对称，则（    ）A．0.5 B．1 C．1.5 D．2【答案】D【分析】利用函数图象上取点，求得关于对称直线的对称点，代入函数求得参数值，再检验即得.【详解】依题意，在函数的图象上取点，点关于直线的对称点必在函数的图象上，则有，解得，此时函数即，相当于将函数的图象向右平移2个单位长度得到，符合题意.故选：D.2．（2024·山东·二模）已知函数是偶函数，且该函数的图像经过点，则下列等式恒成立的是（    ）．A． B．C． D．【答案】D【分析】根据函数为偶函数，得到.【详解】因为函数是偶函数，且该函数的图像经过点，所以，D正确，其他选项不对.故选：D3．（23-24高一上·广东河源·阶段练习）若函数满足，则称为满足“倒负”变换的函数，在下列函数中，满足“倒负”变换的函数是（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据逐一将选项的每个函数进行验证即可.【详解】解：由题得满足，则称为满足“倒负”变换的函数，A．，不符合要求；B．，不符合要求；C．，不符合要求；D．，符合要求故选：D.4．（23-24高一上·甘肃庆阳·期末）已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则（    ）A． B．2 C．3 D．【答案】B【分析】由函数为奇函数，有，代入函数解析式求值即可．【详解】是定义在上的奇函数，当时，，则．故选：B．5．（23-24高一下·山东淄博·期中）定义在上的奇函数，，且对任意不等的正实数，都有，则不等式的解集为（    ）A． B．C． D．【答案】C【分析】依题意可得在上单调递增，根据奇偶性和单调性可得不等式的解集.【详解】不妨令，则，因为，所以，即，所以在上单调递增，又为定义在上的奇函数，则，则在上单调递增，又，所以，①当时，不等式等价于，等价于，等价于，等价于，解得，②当时，不等式等价于，等价于，等价于，等价于，解得，综上可得，不等式的解集为.故选：C6．（2024高三·全国·专题练习）如果奇函数在上是增函数且最小值5，那么在区间上是 （    ）．A．增函数且最小值为 B．减函数且最小值为 C．增函数且最大值为 D．减函数且最大值为 【答案】C【分析】根据奇函数的性质即可得对称区间上的单调性与最值.【详解】因为是奇函数，所以在区间 上的单调性与在上的单调性相同，也是增函数，在上的最小值5，即，所以在区间上的最大值为.故选：.7．（23-24高二下·陕西西安·期中）函数的部分图像大致是（    ）A．   B．  C．   D．    【答案】A【分析】计算，排除BD，利用均值不等式得到时，，排除C，得到答案.【详解】，，排除BD.当时，，当时等号成立，排除C；故选：A8．（2024高一·全国）已知是定义在上的偶函数，对任意的，且，都有，则（    ）．A． B．C． D．【答案】A【分析】利用函数单调性的定义和偶函数的性质求解即可.【详解】因为对任意的，且，都有，所以由函数单调性的定义可知在上单调递减，所以，又是偶函数，，所以，故选：A二、多选题9．（23-24高一下·河南·阶段练习）已知函数为奇函数，则下列说法正确的为（    ）A． B．C． D．的单调递增区间为【答案】BC【分析】利用奇函数的性质可求a的值，代数求值可验证C项，根据表达式作出函数图象可验证D项.【详解】因为函数为奇函数，，即，解得，故B正确，A错误；因为，所以，故C正确；作出的图象，如图，所以的单调递增区间为，，D选项形式错误，不能用并集的符号.故选：BC.10．（23-24高一上·山东泰安·阶段练习）符号表示不超过的最大整数，如，，定义函数：，则下列命题正确的是（    ）A．B．当时，C．函数的定义域为，值域为D．函数是增函数且是奇函数【答案】BC【分析】根据题意，由取整函数的定义可得，表示的小数部分，然后对选项逐一判断，即可得到结果.【详解】由题意可得，表示的小数部分，则，故A错误；当时，，故B正确；因为定义域为，且表示的小数部分可知，其值域为，故C正确；当时，，当时，，当时，，当时，，则，则不为增函数，由，可得，则不为奇函数，故D错误；故选：BC三、填空题11．（2024高一·全国·专题练习）已知函数为偶函数，且当时，，则 .【答案】【分析】根据偶函数性质求解即可.【详解】因为偶函数，所以.故答案为：12．（23-24高一上·贵州安顺·期末）已知函数是偶函数，则 .【答案】1【分析】根据偶函数的定义求解即可.【详解】，由是偶函数可得，即恒成立.故.故答案为：1四、解答题13．（2024·上海·三模）已知，函数是定义在上的奇函数，且.(1)求的解析式；(2)判断的单调性，并用函数单调性的定义加以证明.【答案】(1)(2)在区间上为严格增函数，证明见解析【分析】（1）根据题意，由奇函数的性质可得，求出的值，结合函数的解析式求出的值，计算可得答案；（2）根据题意，根据单调性的定义，结合作差法证明可得答案．【详解】（1）根据题意，是定义在上的奇函数，则有，解得，又由，解得，所以，定义域为，且，所以；（2）在区间上为严格增函数．证明如下：设任意，则，由，得，即，，，所以，即，故在区间上为严格增函数．14．（23-24高一上·云南昆明·期中）已知奇函数.(1)求，的值并确定函数的解析式；(2)用定义法证明在上是增函数；(3)解不等式.【答案】(1)，，(2)证明见解析(3)【分析】（1）根据及函数为奇函数得到，从而求出答案；（2）定义法证明函数单调性步骤，取值，作差，判号，下结论；（3）根据函数奇偶性和单调性得到不等式，求出解集.【详解】（1）由得，因为为奇函数，所以，当时，，故，故（2）任取，且，则，∵，且，∴，即，∴在上是增函数（3）∵为奇函数，由（2）可知在上是增函数，且时，，∴在上单调递增，则在上是增函数，而，故，解得，所以原不等式的解集为.B能力提升 1．（2024·全国·模拟预测）已知函数的定义域为，，则（    ）A． B．C．为偶函数 D．为奇函数【答案】D【分析】令，或，分类讨论可求，判断A；法一：令，可得，进而可求，判断B；法二：令，可求，判断B；法一：由B可得，可判断CD；法二  令，可得，判断CD.【详解】 A：令，得，即，所以或．当时，不恒成立，故，A错误．B：解法一  令，得，又，所以，故，B错误．解法二  令，得，又，所以，B错误．C：解法一  由B选项的解法一可知，则，所以为奇函数，C错误，D正确．解法二  令，得，又，所以，所以，结合选项得C错误，D正确．综上可知，选D．故选：D.2．（2024·全国·模拟预测）已知函数是定义在上的奇函数，且对任意的，都有，且，则不等式的解集为（    ）A． B．C． D．【答案】D【分析】由对任意的，都有，得在上单调递减，由函数是定义在上的奇函数得，，在上单调递减，画出的简图，即可求解．【详解】对任意的，都有，所以在上单调递减，因为函数是定义在上的奇函数，，，所以在上单调递减，则可画出的简图，如图所示，  所以，函数在上单调递减，在上单调递增，证明如下：任取，且，则，因为，且，所以，，所以，所以，即，所以函数在上单调递减，同理可证明函数在上单调递增．（2）解：由题意，函数，令，可得，由（1）可知函数在上单调递减，在上单调递增，所以，因为函数的对称轴方程为，所以函数在上单调递增，当时，取得最小值，；当时，取得最大值，．所以，，又因为对任意的都有恒成立，所以，即，解得，又因为，所以，所以实数的取值范围是．C新定义题型1．（23-24高一上·上海黄浦·阶段练习）已知在定义域上是连续不断的函数，对于区间若存在，使得对任意的，都有，则称在区间上存在最大值.(1)函数在区间存在最大值，求实数m的取值范围；(2)若函数为奇函数，在上，，易证对任意，函数在区间上存在最大值M，试写出最大值M关于t的函数关系式；(3)若对任意，函数在区间上存在最大值M，设最大值M关于t的函数关系式为，求证：“在定义域上是严格增函数”的充要条件是“在定义域上是严格增函数”.【答案】(1)当时，可得，当时，由，得，∴，∵函数在区间上存在最大值M，∴当时，为增函数，则最大值为，当时，函数的最大值为，当时，函数的最大值为，综上得（3）证明：若在定义域R上是严格增函数，则函数在区间上也为增函数，则也随着t的增大而增大，所以，故函数在定义域R上是严格增函数；即“在定义域R上是严格增函数”⇒“在定义域R上是严格增函数”；若函数在R上严格单调递增，任取，则存在，使得，因为，则当时，，且当时，，则，所以，因为函数在R上严格单调递增，所以，即，，故随着t的增大而增大，故函数在R上严格单调递增．即“在定义域R上是严格增函数”⇐“在定义域R上是严格增函数”．综上所述，“在定义域上是严格增函数”的充要条件是“在定义域上是严格增函数”.课程标准学习目标①了解函数奇偶性的含义，掌握判断函数奇偶性的方法，了解奇偶性与函数图象对称性之间的关系.②利用函数的奇偶性求函数解析式，利用函数的奇偶性解有关函数不等式，利用函数的奇偶性求参数范围.③能解决与函数单调性、奇偶性、周期性有关的综合问题.通过本节课的学习，掌握判断函数奇偶性的方法，会求与奇偶函数有关的函数解析式，能处理与函数单调性、周期性相关的综合问题. 偶函数偶函数偶函数偶函数偶函数偶函数偶函数奇函数不能确定不能确定奇函数奇函数奇函数偶函数不能确定不能确定奇函数奇函数奇函数奇函数奇函数奇函数偶函数偶函数