2024年浙江省奉化市溪口中学九年级数学第一学期开学调研模拟试题【含答案】

这是一份2024年浙江省奉化市溪口中学九年级数学第一学期开学调研模拟试题【含答案】，共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1、（4分）在平面直角坐标系中，点P（2，﹣3）关于y轴对称的点的坐标是（ ）
A．（﹣2，﹣3）B．（﹣2，3）C．（2，3）D．（2，﹣3）
2、（4分）在平面直角坐标系中，将直线l1：y＝－3x－2向左平移1个单位，再向上平移3个单位得到直线l2，则直线l2的解析式为( )
A．y＝－3x－9B．y＝－3x－2
C．y＝－3x＋2D．y＝－3x＋9
3、（4分）如图，已知四边形ABCD的对角线AC⊥BD，则顺次连接四边形ABCD各边中点所得的四边形是（ ）
A．矩形B．菱形C．正方形D．平行四边形
4、（4分）用反证法证明命题“四边形中至少有一个角不小于直角”时应假设（ ）
A．没有一个角大于直角 B．至多有一个角不小于直角
C．每一个内角都为锐角 D．至少有一个角大于直角
5、（4分）某汽车制造厂为了使顾客了解一种新车的耗油量，公布了调查20辆该车每辆行驶100千米的耗油量，在这个问题中总体是（ ）
A．所有该种新车的100千米耗油量B．20辆该种新车的100千米耗油量
C．所有该种新车D．20辆汽车
6、（4分）下列四个选项中，关于一次函数的图象或性质说法错误的是
A．随的增大而增大B．经过第一，三，四象限
C．与轴交于D．与轴交于
7、（4分）下列四边形中是轴对称图形的个数是( )
A．4个B．3个C．2个D．1个
8、（4分）一个直角三角形斜边上的中线为5，斜边上的高为4，则此三角形的面积为（ ）
A．25B．16C．20D．10
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9、（4分）如图，字母A所代表的正方形面积为____．
10、（4分）点A（a，﹣5）和（3，b）关于x轴对称，则ab＝_____．
11、（4分）一种什锦糖由价格为12元/千克，18元/千克的两种糖果混合而成，两种糖果的比例是2:1，则什锦糖的每千克的价格为_____________
12、（4分）如果关于x的一次函数y＝mx+(4m﹣2)的图象经过第一、三、四象限，那么m的取值范围是_____．
13、（4分）如图，矩形ABCD的对角线AC与BD交于点O，过点O作BD的垂线分别交AD，BC于E，F两点．若AC=，∠AEO=120°，则FC的长度为_____．
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14、（12分）如图，在矩形中，.
(1)请用尺规作图法，在矩形中作出以为对角线的菱形，且点分别在上.(不要求写作法，保留作图痕迹)
(2)在(1)的条件下，求菱形的边长.
15、（8分）如图，是平行四边形的对角线，，分别交于点.
求证：.
16、（8分）如图，在▱ABCD中，点O是对角线AC、BD的交点，点E是边CD的中点，点F在BC的延长线上，且CF＝BC，求证：四边形OCFE是平行四边形．
17、（10分）在中，，点为所在平面内一点，过点分别作交于点，交于点，交于点.
若点在上（如图①），此时，可得结论：.
请应用上述信息解决下列问题：
当点分别在内（如图②），外（如图③）时，上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，，，，与之间又有怎样的数量关系，请写出你的猜想，不需要证明.
18、（10分）（几何背景）如图1，AD为锐角△ABC的高，垂足为D．求证：AB2﹣AC2＝BD2﹣CD2
（知识迁移）如图2，矩形ABCD内任意一点P，连接PA、PB、PC、PD，请写出PA、PB、PC、PD之间的数量关系，并说明理由．
（拓展应用）如图3，矩形ABCD内一点P，PC⊥PD，若PA＝a，PB＝b，AB＝c，且a、b、c满足a2﹣b2＝c2，则的值为 （请直接写出结果）
B卷（50分）
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19、（4分）的化简结果为________
20、（4分）如图，将长方形ABCD绕点A顺时针旋转到长方形AB′C′D′的位置，旋转角为α（0°＜α＜90°），若∠1＝125°，则∠α的大小是_______度．
21、（4分）如图，在平面直角坐标系中，直线l为正比例函数y=x的图象，点A1的坐标为（1，0），过点A1作x轴的垂线交直线l于点D1，以A1D1为边作正方形A1B1C1D1；过点C1作直线l的垂线，垂足为A2，交x轴于点B2，以A2B2为边作正方形A2B2C2D2；过点C2作x轴的垂线，垂足为A3，交直线l于点D3，以A3D3为边作正方形A3B3C3D3，…，按此规律操作下所得到的正方形AnBnCnDn的面积是_____．
22、（4分）在直角坐标系中，直线l为y=x，过点A1（1，0）作A1B1⊥x轴，与直线l交于点B1，以原点O为圆心，OB1长为半径画弧交x轴于点A2，再作A2B2⊥x轴，交直线l于点B2，以原点O为圆心，OB2长为半径画弧交x轴于点A3…按照这样的作法进行下去，则点A20的坐标是______．
23、（4分）已知α、β是一元二次方程x2﹣2019x+1＝0的两实根，则代数式（α﹣2019）（β﹣2019）＝_____．
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24、（8分）甲、乙两台机床同时生产一种零件，在5天中，两台机床每天出次品的数量如下表，
请根据上述数据判断，在这5天中，哪台机床出次品的波动较小？并说明理由．
25、（10分）如图，直线y＝x＋9分别交x轴、y轴于点A、B，∠ABO的平分线交x轴于点C．
（1）求点A、B、C的坐标；
（2）若点M与点A、B、C是平行四边形的四个顶点，求CM所在直线的解析式．
26、（12分）总书记说：“读可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气”某校为响应全民阅读活动，利用节假日面向社会开放学校图书馆．据统计，第一个月进馆128人次，进馆人次逐月增加，到第三个月末累计进馆608人次，若进馆人次的月平均增长率相同，求进馆人次的月平均增长率．
参考答案与详细解析
一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1、A
【解析】
根据关于y轴对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变可得答案．
【详解】
解：点P（2，﹣3）关于y轴对称的点的坐标是（﹣2，﹣3），
故选：A．
此题主要考查了关于y轴对称点的坐标，关键是掌握点的坐标的变化规律．
2、B
【解析】
根据一次函数图象的平移规律“左加右减，上加下减”即可解答.
【详解】
直线y=-3x-1的图象向左平移1个单位，再向上平移3个单位，得到的直线的解析式是：y=-3（x+1）-1+3=-3x-1，即y=-3x-1．
故选B．
本题考查了一次函数图象的平移规律，熟练运用一次函数图象的平移规律“左加右减，上加下减”是解决问题的关键.
3、A
【解析】
试题分析：如图：
∵E、F、G、H分别是边AD、AB、BC、CD的中点，
∴EF∥BD，GH∥BD，EF=BD，GH=BD，EH=AC，
∴EF∥GH，EF=GH，
∴四边形EFGH是平行四边形，
∵AC=BD，EF=BD，EH=AC，
∴EF=EH，
∴平行四边形EFGH是菱形．
故选B．
考点：1.三角形中位线定理；2.菱形的判定．
4、C
【解析】
至少有一个角不小于90°的反面是每个内角都为锐角，据此即可假设．
【详解】
解：反证法的第一步先假设结论不成立，即四边形的每个内角都为锐角．
故选C．
本题结合角的比较考查反证法，解答此题关键要懂得反证法的意义及步骤．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．
5、A
【解析】
首先找出考查的对象，从而找出总体、个体，再根据被收集数据的这一部分对象找出样本，最后再根据样本确定出样本容量.
【详解】
解：在这个问题中总体是：所有该种新车的100千米耗油量；
样本是：20辆该种新车的100千米耗油量；
样本容量为：20
个体为：每辆该种新车的100千米耗油量；
故选：A.
本题考查了总体、个体、样本、样本容量的定义,解题要分清具体问题中的总体、个体与样本，关键是明确考查的对象.总体、个体与样本的考查对象是相同的，所不同的是范围的大小.样本容量是样本中包含的个体的数目，不能带单位.
6、C
【解析】
根据一次函数的图象和性质，判断各个选项中的说法是否正确即可．
【详解】
解：∵y＝x−2，k＝1，
∴该函数y随x的增大而增大，故选项A正确，
该函数图象经过第一、三、四象限，故选项B正确，
与x轴的交点为（2，0），故选项C错误，
与y轴的交点为（0，−2），故选项D正确，
故选：C．
本题考查一次函数的图象和性质，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质解答．
7、B
【解析】
根据轴对称图形的概念逐一进行判断即可.
【详解】
平行四边形不是轴对称图形，故不符合题意；
矩形是轴对称图形，故符合题意；
菱形是轴对称图形，故符合题意；
正方形是轴对称图形，故符合题意，
所以是轴对称图形的个数是3个，
故选B.
本题考查了轴对称图形，在平面内，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，这样的图形叫做轴对称图形.
8、C
【解析】
根据直角三角形的性质可得出斜边的长，进而根据三角形的面积公式求出此三角形的面积．
【详解】
解：根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半知：此三角形的斜边长为5×2=10；
所以此三角形的面积为：×10×4=1．
故选：C．
本题考查直角三角形的性质以及三角形的面积计算方法．掌握直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键．
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9、1
【解析】
根据正方形的面积等于边长的平方，由正方形PQED的面积和正方形PRQF的面积分别表示出PR的平方及PQ的平方，又三角形PQR为直角三角形，根据勾股定理求出QR的平方，即为所求正方形的面积．
【详解】
解：∵正方形PQED的面积等于225，
∴即PQ2=225，
∵正方形PRGF的面积为289，
∴PR2=289，
又△PQR为直角三角形，根据勾股定理得：
PR2=PQ2+QR2，
∴QR2=PR2-PQ2=289-225=1，
则正方形QMNR的面积为1．
故答案为：1．
此题考查了勾股定理以及正方形的面积公式．勾股定理最大的贡献就是沟通“数”与“形”的关系，它的验证和利用都体现了数形结合的思想，即把图形的性质问题转化为数量关系的问题来解决．能否由实际的问题，联想到用勾股定理的知识来求解是本题的关键．
10、1．
【解析】
根据关于x轴对称的点的横坐标相同，纵坐标互为相反数可得a、b的值，继而可求得答案.
【详解】
∵点A(a，-5)和点B(3，b)关于x轴对称，
∴a=3，b=5，
∴ab=1，
故答案为：1.
本题考查了关于x轴对称的点的坐标特征，熟练掌握是解题的关键.
11、14元/千克
【解析】
依据这种什锦糖总价除以总的千克数，即可得到什锦糖每千克的价格．
【详解】
解：由题可得，这种什锦糖的价格为：，
故答案为：14元/千克．
本题主要考查了算术平均数，对于n个数x1，x2，…，xn，则就叫做这n个数的算术平均数．
12、0【解析】
根据已知,图象经过第一、三、四象限,容易画出直线的草图,再根据直线的上升或下降趋势,以及与y轴的交点位置，即可判断x的取值范围.
【详解】
∵关于x的一次函数y＝mx+(4m﹣2)的图象经过第一、三、四象限，
∴，
∴0故答案为：0该题结合不等式组重点考查了一次函数的性质，即y=kx+b中k和b的意义，k决定了函数的增减性，即图像从左到右是上升还是下降，b决定了函数与y轴交点的位置，因此熟练掌握相关的知识点，该题就很容易解决.
13、1
【解析】
先根据矩形的性质，推理得到OF=CF，再根据Rt△BOF求得OF的长，即可得到CF的长．
【详解】
解：∵EF⊥BD，∠AEO=120°，
∴∠EDO=30°，∠DEO=60°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠OBF=∠OCF=30°，∠BFO=60°，
∴∠FOC=60°-30°=30°，
∴OF=CF，
又∵Rt△BOF中，BO=BD=AC=，
∴OF=tan30°×BO=1，
∴CF=1，
故答案为：1．
本题考查矩形的性质以及解直角三角形的运用，解题关键是掌握：矩形的对角线相等且互相平分．
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14、 (1)见解析；(2)菱形的边长为.
【解析】
（1）连接BD，作BD的垂直平分线交AD、BC与E、F，点E、F即为所求的点；
（2）设ED=x，则BE=x，AE=5-x，在Rt△ABE中利用勾股定理可以算出x的值即可.
【详解】
（1）连接BD，作BD的垂直平分线交AD、BC与E、F，连接BE，DF即可，如图，菱形即为所求.
(2)设的长为，
∵，
∴，
∴在中，，
即，
解得，即菱形的边长为.
此题主要考查了菱形的判定与性质，以及勾股定理的应用，关键是正确画出图形，熟练掌握菱形的判定方法．
15、详见解析
【解析】
根据平行四边形的性质，证明全等即可证明结论.
【详解】
证明：四边形是平行四边形，
，.
.
.
.
.
.
本题主要考查平行四边形的性质定理，关键在于寻找全等的三角形.
16、证明见解析.
【解析】
利用三角形中位线定理判定OE∥BC，且OE=BC．结合已知条件CF=BC，则OE//CF，由“有一组对边平行且相等的四边形为平行四边形”证得结论．
【详解】
∵四边形ABCD是平行四边形，∴点O是BD的中点．
又∵点E是边CD的中点，∴OE是△BCD的中位线，∴OE∥BC，且OE=BC．
又∵CF=BC，∴OE=CF．
又∵点F在BC的延长线上，∴OE∥CF，
∴四边形OCFE是平行四边形．
本题考查了平行四边形的性质和三角形中位线定理．此题利用了“平行四边形的对角线互相平分”的性质和“有一组对边平行且相等的四边形为平行四边形”的判定定理．熟记相关定理并能应用是解题的关键.
17、当点在内时，成立，证明见解析；当点在外时，不成立，数量关系为.
【解析】
当点在内时（如图②），通过FD∥AB与AB=AC可知，FD=FC.即PD+PF=FC.要想FC+PE=AB,根据等量代换，只需要知道PE=AF，PE=AF可通过证明四边形AEPF是平行四边形，用对边相等得到；
当点在外时（如图③），类似于①可知FD=FC；同样可通过证明四边形AEPF是平行四边形，得到对边PE=AF，此时FD=PF-PD,所以数量关系上类似于①但不同于①，只是FD=PF-PD的区别.
【详解】
解：当点在内时，上述结论成立.
证明：∵，，∴四边形为平行四边形，
∴，∵，∴，
又∵，∴，∴，∴，
∴，即，
又∵，，
∴；
当点在外时，上述结论不成立，此时数量关系为.
证明：∵，，∴四边形为平行四边形，
∴，
∵，∴，
又∵，∴，∴，∴，
∴，即，
又∵，，
∴.
本题解题关键：运用平行四边形的判定和性质，等腰三角形的性质，结合多次等量代换，综合推理证明，特别注意的是点P在不同位置时，图形中线段的关系变化情况.
18、【几何背景】：详见解析；【知识迁移】：详见解析；【拓展应用】：
【解析】
几何背景：由 Rt△ABD中，AD1＝AB1﹣BD1，Rt△ACD中，AD1＝AC1﹣CD1，则结论可证．
知识迁移：过P点作PE⊥AD，延长EP交BC于F，可证四边形ABFE，四边形DCFE是矩形．根据上面的结论求得PA、PB、PC、PD之间的数量关系．
拓展应用：根据勾股定理可列方程组，可求PD＝c，PC＝c即可得.
【详解】
解：几何背景：在Rt△ABD中，AD1＝AB1﹣BD1
Rt△ACD中，AD1＝AC1﹣CD1，
∴AB1﹣BD1＝AC1﹣CD1，
∴AB1﹣AC1＝BD1﹣CD1．
知识迁移：BP1﹣PC1 ＝BF1﹣CF1．
如 图：
过P点作PE⊥AD，延长EP交BC于F
∴四边形ABCD是矩形
∴AD∥BC∠BAD＝∠ADC＝∠DCB＝∠ABC＝90°
又∵PE⊥AD
∴PF⊥BC
∵PE是△APD的高
∴PA1﹣PD1＝AE1﹣DE1．
∵PF是△PBC的高
∴BP1﹣PC1 ＝BF1﹣CF1．
∵∠BAD＝∠ADC＝∠DCB＝∠ABC＝90°，PE⊥AD，PF⊥BC
∴四边形ABFE，四边形DCFE是矩形
∴AE＝BF，CF＝DE
∴PA1﹣PD1＝BP1﹣PC1．
拓展应用：∵PA1﹣PD1＝BP1﹣PC1．
∴PA1﹣PB1＝c1．
∴PD1﹣PC1＝c1．
且PD1+PC1＝c1．
∴PD＝c，PC＝c
∴，
故答案为.
本题考查了四边形的综合题，矩形的性质，勾股定理，关键是利用勾股定理列方程组．
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19、
【解析】
根据二次根式的乘法，化简二次根式即可．
【详解】
解：，
故答案为：．
本题考查了二次根式的性质与化简，熟练掌握二次根式的乘法法则是解题关键．
20、35.
【解析】
利用四边形内角和得到∠BAD’，从而得到∠α
【详解】
如图，由矩形性质得到∠BAD’+∠α=90°；因为∠2=∠1=125°，所以∠BAD’=180°-∠2=55°，所以∠α=90°-55°=35°，故填35
本题主要考查矩形性质和四边形内角和性质等知识点，本题关键在于找到∠2与∠BAD互补
21、（）n﹣1
【解析】
根据正比例函数的性质得到∠D1OA1=45°，分别求出正方形A1B1C1D1的面积、正方形A2B2C2D2的面积，总结规律解答．
【详解】
∵直线l为正比例函数y=x的图象，
∴∠D1OA1=45°，
∴D1A1=OA1=1，
∴正方形A1B1C1D1的面积=1=（）1﹣1，
由勾股定理得，OD1=，D1A2=，
∴A2B2=A2O=，
∴正方形A2B2C2D2的面积==（）2﹣1，
同理，A3D3=OA3=，
∴正方形A3B3C3D3的面积==（）3﹣1，
…
由规律可知，正方形AnBnCnDn的面积=（）n﹣1，
故答案为（）n﹣1．
本题考查的是正方形的性质、一次函数图象上点的坐标特征，根据一次函数解析式得到∠D1OA1=45°，正确找出规律是解题的关键．
22、（219，0）
【解析】
根据题意，由(1，0)和直线关系式y=x，可以求出点B1的坐标，在Rt△OA1B1中，根据勾股定理，可以求出OB1的长；再根据OB1=OA2确定A2点坐标，同理可求出A3、A4、A5……，然后再找规律，得出An的坐标，从而求得点A20的坐标．
【详解】
当时，，即A1B1=，
在Rt△OA1B1中，由勾股定理得OB1=2，
∵OB1=OA2，
∴A2 (2，0)
同理可求：A3(4，0)、A4(8，0)、A5(16，0)……
由点：A1(1，0)、A2(2，0)、A3(4，0)、A4(8，0)、A5(16，0)……
即：A1(20，0)、A2(21，0)、A3(22，0)、A4(23，0)、A5(24，0)……可得An(2n-1，0)
∴点A20的坐标是(219，0)，
故答案为：(219，0)．
考查一次函数图象上的点坐标特征，勾股定理，以及点的坐标的规律性．在找规律时，A点的横坐标的指数与A所处的位数容易搞错，应注意．
23、1
【解析】
根据根与系数的关系可得：α+β＝2019，αβ＝1，将其代入（α﹣2019）（β﹣2019）＝αβ-2019（α+β）+ 中即可求出结论．
【详解】
∵α、β是一元二次方程x2﹣2019x+1＝0的两实根，
∴α+β＝2019，αβ＝1，
∴（α﹣2019）（β﹣2019）＝αβ-2019（α+β）+＝1．
故答案为1．
本题考查了一元二次方程根与系数的关系，熟练运用一元二次方程根与系数的关系是解决问题的关键.
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24、乙机床出次品的波动较小，理由见解析．
【解析】
根据方差的意义：反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立．
【详解】
解：乙机床出次品的波动较小，
∵甲，乙，
∴甲．
乙，
由甲乙知，乙机床出次品的波动较小．
本题考查了平均数和方差，一般地设n个数据，x1，x2，…xn的平均数为，则方差S2＝，它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立．
25、（1）；（2）或
【解析】
（1）首先根据一次函数的解析式即可得出A，B的坐标，然后利用勾股定理求出AB的长度，然后根据角平分线的性质得出，再利用即可得出CD的长度，从而求出点C的坐标；
（3）首先利用平行四边形的性质找出所有可能的M点，然后分情况进行讨论，利用待定系数法即可求解．
【详解】
（1）令，则，
令，则，解得 ，
∴，
，
．
过点C作交AB于点D，
∵BC平分， ，
．
，
，
解得 ，
．
（2）如图，能与A，B，C构成平行四边形的点有三处：，
①点C与在同一直线，是经过点C与AB平行的直线，设其直线的解析式为 ，
将代入中，
得，解得 ，
∴CM所在的直线的解析式为；
②∵四边形是平行四边形，
∴ ．
，
．
设直线 的解析式为 ，
将代入解析式中得
解得
∴直线解析式为 ，
综上所述，CM所在的直线的解析式为或．
本题主要考查一次函数与几何综合，平行四边形的判定与性质，掌握待定系数法及数形结合是解题的关键．
26、进馆人次的月平均增长率为50%
【解析】
先分别表示出第二个月和第三个月的进馆人次，再根据第一个月的进馆人次加第二和第三个月的进馆人次等于608，列方程求解．
【详解】
设进馆人次的月平均增长率为x，则由题意得：
128+128(1+x)+128(1+x)2=608，
化简得：4x2+12x-7=0，
∴(2x-1)(2x+7)=0，
∴x=0.5=50%或x=-3.5（舍），
答：进馆人次的月平均增长率为50%．
本题属于一元二次方程的应用题，列出方程是解题的关键．本题难度适中，属于中档题．
题号
一
二
三
四
五
总分
得分
甲
1
0
4
2
3
乙
3
2
1
2
2