上海市建平中学2023-2024学年高三上学期开学考试数学试题

这是一份上海市建平中学2023-2024学年高三上学期开学考试数学试题，共8页。试卷主要包含了09，已知复数，则_________，已知，则_________等内容，欢迎下载使用。

一、填空题
（本大题共有12小题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）
1.已知集合，，则_________.
2.已知复数（i为虚数单位），则_________.
3.设集合，，则_________.
4.已知，那么的最小值为_________.
5.已知（i为虚数单位），则_________.
6.若“”是“”的必要条件，则实数a的最大值为_________.
7.不等式的解集为（2，3），则的值为_________.
8.已知集合中有两个元素，则实数m的取值范围是_________.
9.若对任意的，不等式恒成立，则实数a的取值范围是_________.
10.设函数，若，则实数a的取值范围是_________.
11.已知常数，集合，，若，则实数t的取值范围是_________.
12.已知，且满足，则的最小值是_________.
二、选择题（本大题共有4小题，满分18分，其中第13、14题每题4分，第14、15题每题5分）
13.“”是“且”的（ ）条件
A.充分非必要B.必要非充分C.充要D.既非充分又非必要
14.设集合，，则（ ）
A.B.C.D.
15.已知常数，不等式的解集为M，不等式的解集为N，则下列关系式中不可能成立的是（ ）
A.B.C.D.
16.存在函数满足：对任意的都有（ ）
A.B.
C.D.
三、解答题（本大题共5题，满分78分）
17.已知集合，.
（1）分别求，；
（2）已知，若，求实数a的取值范围.
18.已知i为虚数单位，关于x的方程的两根分别为、.
（1）若，求实数p的值；
（2）若，求实数p的值.
19.企业研发部原有80人，年人均投入万元，为了优化内部结构，现把研发部人员分为两类：技术人员和研发人员，其中技术人员有x名（且），调整后，技术人员的年人均投入为（其中）万元，研发人员的年人均投入增加.
（1）要使调整后研发人员的年总投入不低于调整前的80人的年总投入，则优化结构调整后的技术人员x的取值范围是多少?
（2）若研发部新招聘1名员工，原来的研发部人员调整策略不变，且对任意一种研发部人员的分类方式，需要同时满足下列两个条件：①技术人员的年人均投入始终不减少；②调整后研发人员的年总投入始终不低于调整后技术人员的年总投入.请分析是否存在满足上述条件的正实数m，若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由.
20.已知函数.
（1）若不等式的解集为，求实数m的取值范围；
（2）解关于x的不等式；
（3）记不等式的解集为，若，求实m的取值范围.
21.已知集合中的n个元素都是正整数（，），且.若对任意的，且，都有，则称集合A具有性质M.
（1）判断集合是否具有性质M，并说明理由；
（2）已知集合A具有性质M，求证：；
（3）已知集合A具有性质M，求集合A中元素个数的最大值，并说明理由.
参考答案
一、填空题
1. 2. 3. 4.4 5. 6.-1
7.6 8. 9. 10. 11. 12.
二、选择题
13.B 14.D 15.B 16.D
三、解答题
17.（1）（4，6），；（2）
【解答】解：（1）由题意，集合，，
那么：，.
（2），.
∵，∴，∴，
解得：.
故得实数a的取值的集合为.
18.（1）6；（2）或±6
解：（1）∵，为方程的两根，由韦达定理得，.
又∵，∴，则.
（2）∵.
若，则，即，解得，
若，则，即，解得，
综上所述，实数p的值为或±6.
19.（1），；（2）不存在
解：（1）依题意得，调整后研发人员人数为人，年人均投入为万元，则有，
解得.
因为，且，所以.
所以优化调整后的技术人员人数的范围是.
（2）由题意知，现在研发部共有81人
假设存在正实数m同时满足题设中的条件①②，那么，
由条件①，技术人员的年人均投入始终不减少，则有，
解得（且），
因为且，所以当时，，
所以；
由条件②，研发人员的年总投入始终不低于技术人员的年总投入，
则有（且）.
即，
所以（且）.
由，
当且仅当，即时等号成立，
即，
所以.
综上所述，显然不存在正实数m同时满足题设条件（1）和（2）.
20.（1）；（2）见解析；（3）.
（1）根据题意，①当，即时，，不合题意；
②当，即时，
的解集为，即的解集为，
∴，
即，故时，或.
故.
（2），即，
即，
①当，即时，解集为；
②当，即时，，
∵，
∴解集为；
③当，即时，，
∵，
∴解集为.
综上所述：当时，解集为；
当时，解集为；当时，解集为.
（3），即，
∵恒成立，∴，
设，则，，
∴，
∵，当且仅当时取等号，
∴，当且仅当时取等号，
∴当时，，
∴.
21.（1）具有；（2）见解析；（3）9
解：（Ⅰ）由于，，，
，，
∴集合具有性质P；
（Ⅱ）依题意有：，
又，
因此：
可得：，
所以有：，
即.
得证；
（Ⅲ）由，，可得，
因此，同理，可得，.
又∵，可得，
那么：，也均成立
当时，取，则，可知.
又当时，，
所以
因此集合A中元素个数的最大值为9.