哈师大、大庆铁人2023-2024学年高二下学期期末联考+数学试卷（含答案）

C.p 【答案】A 【解析】
【分析】将0.02换成x ，分别构造函数f(x),g(x)，，利用导数分析其在0的右侧包括0.02的较小范围内的单调性，结合f(0)= 0,g(0)= 0 即可得出m，n，p的大小关系.
【详解】令x = 0.02，则m = 21.02= 21+0.02= 21+x，n =4.24=4+0.24=4+12x，
p = 2.04 = 2+0.04 = 2+2x，
当0 = 2+2x-在单调递减，:f=0 >f
:p 当0 设g (x)= 2+2x-21+x，
则g¢(x)= 2-21+x ln2 = 2(1-2x ln2)>0，
= 2+2x-21+x在单调递增，:g(0)= 0 :21+0.02 <2+0.04 ，:m 【点睛】关键点睛：解决此类大小比较问题，关键是根据数的结构特征选择恰当的中间变量，然后构造函数。利用导数解决问题.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6 分，共18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．部分选对部分得分，有选错的得0 分.
9.已知f则下列说法中正确的有 ()
A.f(x)的展开式中的常数项为84
B.f(x)的展开式中不含的项
C.f(x)的展开式中的各项系数之和与二项式系数之和相等D.f(x)的展开式中的二项式系数最大的项是第四项和第五项【答案】AC
【解析】
【分析】根据二项展开式的通项公式以及二项式系数的性质即可解出.
因为展开式的通项公式+1 = Cx18-3r，所以
当r= 6,T7= C=84，A正确；
当r = 7 时，x-3 =，B 错误；
f(x)的展开式中各项系数和为29，二项式系数之和为29 ，C 正确；
根据二项式系数的性质可知，C=C最大，所以，f(x)的展开式中二项式系数最大的项是第五项和第六
项，D 错误.
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故选：AC.
10. 若函数f(x) = 2x3-ax2 (a <0)在(,) 上有最大值，则a的取值可能为
A.-6B.-5C.-4D.-3
【答案】ABC 【解析】
【分析】由利用导数判断函数的单调性可得f(x)的增区间为减区间为，可得f在x =处取得极大值，又
a a +6aa +6a
又f(x) 在(,) 上有最大值，则需<„ -，运算即可得解.233 36
解：令f¢,得x1= 0，x2=，当0 时，f¢(x) >0 ，则f(x)的增区间为，减区间为
由得(x-)2 (2x+) = 0，解得x =或x = -，
又f(x) 在(a , a+6) 上有最大值，
23
aa+6a
所以<„ -，即a„ -4，
336故选ABC.
【点睛】本题考查导数的综合应用，考查化归与转化的数学思想及运算求解能力.
11. 某校为了解学生对2024欧洲杯的关注度（关注或不关注），对本校学生随机做了一次调查，结果显示被
调查的男、女生人数相同，其中有的男生“关注”，有的女生“关注”，若依据小率值a= 0.001 的独立性
检验，认为学生对世界杯的关注度与性别有关联，则调查的总人数可能为()
参考公式：x2 =，n = a +b+c+d.
A. 276 B. 288 C. 300 D.312【答案】CD
【解析】
【分析】首先根据男、女生人数相等，结合比例，列出2×2 列联表，再计算x2，列不等式即可求解. 【详解】设男、女生人数均为n，可得如下2×2 列联表：
由题意可得所以≥10.828，所以n ≥146.178，
则2n ≥ 292.356，因为n 为6的倍数，则2n 为12的倍数，则CD 满足题意.故选：CD
三、填空题：本题共3小题，每小题5 分，共15 分.
12. 函数f(x)= e2x-1 在点(1,e)处的切线与两个坐标轴围成的三角形面积为.
【答案】
【解析】
【分析】根据导数的几何意义，结合直线的点斜式方程、三角形面积公式进行求解即可. 【详解】由题意可得f¢(x)= 2e2x-1 ，则曲线y = f(x) 在x =1处的切线斜率为2e，
切点为(1,e)，故切线方程为y -e = 2e(x-1) Þ y = 2ex-e .
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a
0.100
0.050
0.025
0.010
0.001
xa
2.706
3.841
5.024
6.635
10.828
对卡塔尔世界杯关注
对卡塔尔世界杯不关注
合计
男生
5n6
n
6
n
女生
2n3
n
3
n
合计
n
2
2n
令x = 0 ，得y= -e ；令y = 0，得x =. 则该切线与坐标轴分别交于点(0,-e) ，，
故该切线与坐标轴围成的三角形的面积为
e
故答案为：.
4
13. 某省计划在高考中对政治、地理、化学、生物四门选考科目进行赋分制度计分， 即将每门选考科目的考生原始成绩从高到低划分为A、B、C、D、E 共5 个等级，参照正态分布原则，确定各等级人数所占比例分别为10%，35%，35%，18%，2%，选考科目成绩计入考生总成绩时，将A 至E 等级内的考生原始成绩，依照等比例转换原则，分别转换到[86,100]，[71,85]，[56,70]、[41,55]、[30,40]五个分数区间，得到考生的赋分等级成绩，如果该省某次高考模拟考试政治科目的原始成绩X : N(50,256)，若一名学生想取
得A 等的赋分等级，则他的原始分数最低为分．（分数保留整数）
附：①若X : N，则Y : N；②当Y : N≈0.9 .
【答案】71 【解析】
【分析】设A 等级的原始分最低为X，由原始成绩，令Y =，则Y ~N
即可求解.
【详解】由题意知：从高到低，即A 等级人数所占比例为10%，若A 等级的原始分最低为X，又原始成绩X ~N(50,256)，
μ= 50，σ =16 ，令Y =，则Y ~N
又P(Y ≤ 1.3)≈ 0.9，所以P(Y ≥ 1.3)= 1-P(Y ≤ 1.3)≈0.1，
即≥ 1.3 ，可得X ≥ 50+1.3×16 = 70.8 ≈ 71分,
则他的原始分数最低为71.故答案为：71.
14. 设x0 是函数f(x)= x2ex-3+lnx-3 的零点，则e3-x0 +lnx0 =.
【答案】3 【解析】
【分析】根据零点的定义，结合对数与指数互化公式，通过构造新函数，利用新函数的单调性进行求解即
可.
【详解】由题意，f(x0)= xex0-3+lnx0 -3 = 0 .
注意到xeeee eexxxxx xx0000000-，
所以xex0-3+lnx0 -3 = ex0+2lnx0-3+lnx0 -3 =0，在ex0+2lnx0-3+lnx0-3 = 0两边同时加上x0 +lnx0 ，即ex0+2lnx0-3+x0 +2lnx0-3 = x0 +lnx0，
即ex0+2lnx0-3+(x0 +2lnx0 -3)= elnx0+lnx0，
设函数g(x)= ex +x，显然该函数是实数集上的增函数，
由ex0+2lnx0-3+x0 +2lnx0 -3 = elnx0 +lnx0 Þ g(x0 +2lnx0 -3)= g(lnx0)，
即x0 +2lnx0 -3 = lnx0 即x0 +lnx0 -3 =0，
所以e3-x0 +lnx0= elnx0 +lnx0=x0+lnx0= 3，故答案为：3
【点睛】关键点点睛：本题的关键是利用对数式与指数式的恒等式，由ex0+2lnx0-3+lnx0-3=0得到ex0+2lnx0-3+(x0 +2lnx0 -3)= elnx0+lnx0，然后通过构造函数，利用函数的单调性进行求解.
四、解答题：本题共5小题，共77 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.已知函数f(x)=.
（1）求函数f(x)的极值；
（2）若曲线y = f(x)在点(0,0)处的切线与曲线y = ax2+(2a+5)x-2 只有一个公共点，求a的值.
【答案】（1）极大值f(2)=，无极小值
【解析】
2-x
ex
【分析】（1）求导得f¢(x)=
,分析单调性可得极值点.
（2）由f¢(0)= 2和f(0)= 0可得切线方程，把切线方程代入曲线方程，因为切线与曲线只有一个公共
点，可得ax2+(2a +3)x-2 = 0有唯一解，对二次项系数分类讨论即可求解.【小问 1详解】
易知f(x)定义域为R，f¢
当x ∈(-∞,2)时，f¢(x) >0，当x ∈(2,+∞)时，f¢(x)<0 .\f(x)在(-∞,2)上单调递增，在(2,+∞)上单调递减，
故f(x)在x =2 处取得极大值且极大值无极小值.
【小问2 详解】
:曲线y =f(x)在点(0,0)处的切线为y =2x，
把切线方程y = 2x 代入曲线方程y = ax2+(2a +5)x-2，得ax2+(2a+3)x -2 =0有唯一解，
①当a = 0 时，方程为3x -2 = 0，有唯一解x =符合题意；
②a ≠ 0且Δ = 0，即(2a +3)2 -4a×(-2) =4a2 +20a+9 = 0，
解得或-所以或-
16. 某歌手选秀节目，要求参赛歌手先参加初赛．歌手晋级与否由A、B、C 三名导师负责．首先由A、B两位导师对歌手表现进行初评，若两位老师均表示通过，则歌手晋级；若均表示不通过，则歌手淘汰；若只有一名导师表示通过，则由老师C 进行复合审查，复合合格才能通过；并晋级．已知每个歌手通过A、
32，3
B、C 三位导师审核的概率分别为2， 1 1，且各老师的审核互不影响.
（1）在某歌手通过晋级的条件下，求他（她）经过了复合审查的概率；
（2）从参赛歌手中选出3 人，设其中通过晋级的人数为X，求X的分布列和数学期望.
【答案】（1）
3
（2）分布列见解析，
2
【解析】
【分析】（1）根据给定条件，利用互斥事件、相互独立事件的概率公式求出概率，再利用条件概率公式计算得解.
（2）求出X的可能取值，利用二项分布求出求出分布列及期望.【小问 1详解】
设事件A＝{A 老师表示通过}，事件B＝{B 老师表示通过}，事件C＝{C 老师表示通过}，事件D＝{歌手通过晋级}，事件E＝{歌手经过复审}，
则P(A)=，P(B)=，P(C)=，
P(D)= P(AB)+P(ABC)+P(ABC)= ×+××+××=
1
所以在某歌手通过晋级的条件下，求他（她）经过了复合审查的概率为 .
3
【小问2 详解】
依题意，X 的可能取值为0，1，2，3，显然，X ~ B
所以X 的分布列如下：
数学期望为E(X)= 3×=.
17.已知函数f(x)= alnx +-1(a ∈R).
（1）求函数f(x)的单调区间；
（2）若对于任意的x1,x2 ∈,且x1 ≠ x2，恒有求实数a 的取值范围.
【答案】（1）答案见解析
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X
0
1
2
3
P
1
8
3
8
3
8
1
8
（2）
【解析】
【分析】（1）求导后，根据导函数的正负情况对实数a 进行分类讨论；
（2）不妨设x1 f(x2)-2x2 ，进而转化为g(x)= f(x)-2x ，则函数g(x)在(0,1)上单调递减，然后利用导数研究函数的单调性求得实数a 的取值范围.
【小问 1详解】
f(x)的定义域为(0,+∞)
当a ≤ 0 时，f¢(x)<0在(0,+∞)恒成立，
当a >0 时，令f¢(x) >0，得x >，f(x)单调递增；令f¢(x)<0，得0 综上所述：当a ≤ 0 时，f(x)的单调递减区间为(0,+∞)；
当a >0 时，f(x)的单调递增区间为单调递减区间为.
【小问2 详解】
不妨设x1 2(x1-x2 )，
即f(x1 )-2x1 >f(x2 )-2x2 ，
令g(x)= f(x)-2x，则函数g(x)在(0,1)上单调递减，
则-2 ≤ 0在上恒成立，所以a ≤+2x 在(0,1)上恒成立，所以min ，
因为y = 2x +在上单调递减，在递增，所以所以实数a 的取值范围为
18. 某校高一新生共1000人，男女比例为1：1，经统计身高大于170cm的学生共600人，其中女生200人．该校为了解高一新生身高和体重的关系，在新生中随机抽测了10 人的身高（单位：cm）和体重（单位：kg）作为一个样本，所得样本数据如下表所示：
（1）在对这10 个学生组成的样本的检测过程中，采用不放回的方式，每次随机抽取1 人检测
(ⅰ)若已进行了三次抽取，求抽取的这三人中至少有两人体重大于74kg的概率；
(ⅱ)求第一次抽取的学生体重大于79kg 且第二次抽取的学生身高大于175cm的概率；
（2）由表中数据的散点图和残差分析，编号为5的数据(173,90)残差过大，确定其为离群点，所以应去
掉该数据后再求经验回归方程．已知未去掉离群点的样本相关系数约为0.802，请用样本相关系数说明去掉离群点(173,90)的合理性（相关系数r 保留三位小数）.
参考公式及数据：样本相关系数
【答案】（1）(ⅰ);(ⅱ)
（2）答案见解析
【解析】
【分析】（1）(ⅰ)由超几何分布的概率公式计算得出；(ⅱ) 记第一次抽取的学生体重大于79kg 为事件A，第二次抽取的学生身高大于175cm 为事件B，由乘法公式计算得出P(AB)；
（2）根据题设公式计算去掉离群点后的样本相关系数r2，由r2相比r1更接近1 得出去掉离群点(173,90)的合理性.
【小问 1详解】
(ⅰ)记抽取的这三人中至少有两人体重大于74kg为事件M，则P得.
(ⅱ)记第一次抽取的学生体重大于79kg 为事件A，第二次抽取的学生身高大于 175cm 为事件B.因为样本中学生身高大于175cm的有4 人，身高大于175cm 且体重大于79kg的有2 人，
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编号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
身高x/cm
164
165
170
172
173
174
176
177
179
180
体重y/kg
57
58
65
65
90
70
75
76
80
84
身高小于175cm 且体重大于79kg的有1 人，
所以
【小问2 详解】
设未去离群点的样本相关系数为r1 ，去掉离群点后的样本相关系数为r2，则r1 ≈ 0.802.
去掉离群点后xi¢ = xi -173 = 1730-173 = 1557 ，= 173，
因为r2>r1，且r2相比r1更接近1，所以y与x的线性相关性更强，所以去掉离群点(173,90)是合理的.
19. 帕德近似是法国数学家亨利·帕德发明的用有理多项式近似特定函数的方法，给定两个正整数m，n，函
数 f(x)在 x = 0 处的[m,n]阶帕德近似定义为且满足：
f(0)= R(0)，f¢(0)=R¢(0)，f¢¢(0)= R¢(0)… ，f(m+n) (0)= R(m+n) (0)（注：f¢¢(x)=f¢(x)¢,
f¢¢¢f¢¢¢¢,ⅆ,fn为f的导数）已知f(x)= ln(x +1)在x =0 处的[1,1]阶帕德近似为
（1）求实数a，b的值，并估计ln1.1的近似值（保留三位小数）；
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求证：
1
（3）求不等式(çè1+x（2）证明见解析 （3）(0,+∞)
【解析】
【分析】（1）根据二阶求导及定义得出近似值；
（2） 构造函数结合函数的单调性证明不等式；
（3）化简不等式分别构造函数，求出导函数结合函数的单调性得出最值进而解出不等式.【小问 1详解】
因为R(x)= ，所以R¢(x)=，；因为f(x)= ln(x +1)，所以f¢(x)=，f¢¢(x)= -
由题意知，f¢(0)= R¢(0)，R¢¢(0)= f¢¢(0)
所以= -1解得a = 1 ，b =
ln1.1= f(0.1)≈ R(0.1≈ 0.095
【小问2 详解】
即证时，有.lnt >1
设=lnt -，则
所以φ(t)在(0,1)上单调递增，在(1,+∞)上单调递增当t∈(0,1)时，φ(t)<φ(1)= 0，
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可得lnt <，即.lnt>1成立，
当t∈(1,+∞)时，φ(t)>φ(1)= 0，
可得lnt>，即2t+-11).lnt>1成立，综上可得当时，.lnt >1
【小问3 详解】
由题意知，欲使得不等式x 1
则至少有1+>0，即x >0 或x < -1.x
首先考虑该不等式等价于
1
所以使成立的x的取值范围为x >0 或x< -1再考虑x该不等式等价于
不妨令h(x)= lnx -x +1，函数定义域为(0,1)È(1,+∞).当0 0 ，h(x)单调递增；
当x >1时，h¢(x)<0 ，h(x)单调递减，所以h(x)第17页/共18页
即当x∈(0,1)È(1,+∞)时，lnx 则当时，有ln当x >0 时，由ln可得xln<1成立；
当x < -1时，由ln可得不成立，所以使成立的x的取值范围为(0,+∞)，
综上可得不等式x 【点睛】方法点睛：构造函数，求出导函数应用导函数正负得出函数的单调性证明不等式；
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