02 第2讲　常用逻辑用语 【答案】听课高考数学复习练习

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【知识聚焦】
1.充分 必要 充分不必要 必要不充分 充要
既不充分也不必要
2.(1)全称量词 ∀ (2)存在量词 ∃
(3)∃x∈M,?p(x) ∀x∈M,?p(x)
【对点演练】
1.必要不充分 [解析] 因为a∈P,所以a∈P∪Q,即q ⇒p,但当a∈P∪Q时,a不一定是P的元素,即p⇒/q,所以p是q的必要不充分条件.
2.全称 存在两个等边三角形,它们不相似 假 [解析] “任意两个等边三角形都相似”是全称量词命题,它的否定是“存在两个等边三角形,它们不相似”.因为任意两个等边三角形的三边成比例,所以任意两个等边三角形都相似.因此原命题的否定是假命题.
3.充要 [解析] 当a2+b2=c2时, △ABC为直角三角形,充分性成立;当△ABC为直角三角形时,因为a≤b≤c,所以a2+b2=c2,必要性也成立.故“a2+b2=c2”是“△ABC为直角三角形”的充要条件.
4.①(-∞,2] ②(2,+∞) [解析] ①因为p是q的充分不必要条件,所以{x|x5.存在一个奇数,它的立方不是奇数 [解析] 命题“奇数的立方是奇数”是省略了全称量词 “所有的”的全称量词命题,利用全称量词命题的否定是存在量词命题即可得出.
6.充分不必要 [解析] 依题意知p⇒r,r⇒/p,r⇒s,s⇒q,所以p⇒q,q⇒/p,故p是q的充分不必要条件.
● 课堂考点探究
例1 [思路点拨] (1)由三角函数的性质结合充分条件、必要条件的定义即可得解.(2)由lg3(x+1)<0,得-10恒成立的充要条件,再找其充分不必要条件.
(1)A (2)A (3)D [解析] (1)由sin2x+cs2x=1知,当sin x=1时,cs x=0;而当cs x=0时,sin x=±1,故“sin x=1”是“cs x=0”的充分不必要条件,故选A.
(2)由lg3(x+1)<0,得-1(3)要使关于x的不等式ax2-2x+1>0恒成立,需满足a>0,Δ=4-4a<0,解得a>1,所以关于x的不等式ax2-2x+1>0恒成立的充要条件是a>1.分析选项可知只有D符合题意,故选D.
变式题 (1)B (2)A [解析] (1)当a=1,b=4时,满足a+b>4,但a>2且b>2不成立,所以充分性不成立;反之,若a>2且b>2,则可得a+b>4成立,所以必要性成立.所以“a+b>4”是“a>2且b>2”的必要不充分条件.故选B.
(2)若向量a=(1,x)与b=(x+2,x)共线,则x=x(x+2),解得x=0或x=-1,所以p是q的充分不必要条件.故选A.
例2 [思路点拨] (1)由充要条件的定义可得答案.(2)化简p,q中的不等式,根据充分不必要条件的定义求a的取值范围.
(1)B (2)A [解析] (1)根据面面平行的判定定理,可知当α内有两条相交直线与β平行时,α与β平行.反之,若α与β平行,则α内任一直线均与平面β平行,自然也就满足α内有两条相交直线与β平行,故B正确.α内有无数条直线与β平行,不能推出α与β平行,故A错误.α与β平行于同一条直线或垂直于同一个平面时,α与β还可能相交,故C,D均错误.故选B.
(2)由已知可得p:x<1,q:x<2a+1,因为p是q的充分不必要条件,所以2a+1>1,解得a>0.故选A.
变式题 (1)C (2)(2,+∞) [解析] (1)由x-2x+1≤0,得(x+1)(x-2)≤0,x+1≠0,解得-1(2)若f(x)=x-aln x在[2,+∞)上单调递增,则f'(x)=1-ax≥0在[2,+∞)上恒成立,即a≤x对任意x∈[2,+∞)恒成立,∴a≤2.∵p是q的充分不必要条件,∴m>2,故实数m的取值范围为(2,+∞).
例3 [思路点拨] 对于A,通过解不等式判断;对于B,由一个数的平方非负判断;对于C,举例判断;对于D,解方程判断.
B [解析] 对于A,由4x<-3,得x<-34,所以不存在自然数使4x<-3成立,故A是假命题;对于B,因为x2≥0,所以x2+2≥2>0,故B是真命题;对于C,当x=2时,2x=x2=4,故C是假命题;对于D,由3x-2=0,得x=23∉Z,故D是假命题.故选B.
变式题 D [解析] ∀x∈R,sin2x3+cs2x3=1,故A是假命题;当x∈0,π4时,sin x≤cs x,故B是假命题;∵方程x2+x+2=0对应的判别式Δ=1-8<0,∴x2+x+2=0无解,故C是假命题;令
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例4 [思路点拨] (1)根据全称量词命题的否定为存在量词命题,将“∀”改为“∃”并否定原结论即可.(2)根据存在量词命题的否定是全称量词命题进行求解即可.
(1)B (2)D [解析] (1)由题设知,原命题的否定是∃x∈0,π2,x≤sin x.故选B.
(2)因为命题p是存在量词命题,存在量词命题的否定为全称量词命题,所以命题p的否定是“所有的等差数列都不是等比数列”.故选D.
变式题 (1)A (2)D [解析] (1)根据题意,命题“∃x>0,ex=x+1”中含有存在量词,∴该命题的否定需要将存在量词改为全称量词,且只否定结论,不否定条件,可得命题的否定为“∀x>0,ex≠x+1”.故选A.
(2)命题的否定要改写量词,否定结论,分析选项可知只有D满足题意.故选D.
例5 [思路点拨] (1)根据题意可知“∀x∈[-1,2],-x2+2(1)A (2)12,+∞ [解析] (1)若“∃x∈[-1,2],-x2+2≥a”是假命题,则“∀x∈[-1,2],-x2+22.故选A.
(2)依题意知f(x)max≤g(x)max.因为f(x)=x+4x在12,1上单调递减,所以f(x)max=f12=172,因为g(x)=2x+a在[2,3]上单调递增,所以g(x)max=8+a,所以172≤8+a,解得a≥12,故实数a的取值范围是12,+∞.
变式题 (1)充分不必要 (2)C [解析] (1)若“∃x∈R,ax2+2x+1<0”是假命题,则“∀x∈R,ax2+2x+1≥0”是真命题,所以a>0,Δ=4-4a≤0,解得a≥1,故p:a≥1,又q:a∈(1,+∞),所以q是p的充分不必要条件.
(2)若“∃x∈[1,2],2x2-λx+1<0”是假命题,则“∀x∈[1,2],2x2-λx+1≥0”是真命题,即∀x∈[1,2],λ≤2x+1x.令f(x)=2x+1x,x∈[1,2],则f'(x)=2-1x2=2x2-1x2>0,则f(x)在[1,2]上单调递增,所以f(x)min=f(1)=3,所以λ≤3.故选C.